Geometría Tropical - César Rendón Mayorga - UPN

Introduccion a las Matematicas Tropicales

Cesar Rendon Mayorga

Universidad Pedagogica NacionalDepartamento de Matematicas

2 de Diciembre de 2013

Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 1 / 23

Resumen

Se pretenden mostrar los elementos basicos correspondientes a lasMatematicas Tropicales, haciendo un recorrido breve por su algebra,arıtmetica y geometrıa particular. Ası mismo, de manera transversal, sepretenden observar las relaciones variantes e invariantes con lasmatematicas ((usuales)).


Contenidos

Introduccion

Algebra Tropical

Aritmetica Tropical

Ecuaciones tropicales y graficas (Geometrıa Analıtica Tropical)


Introduccion

Las denominadas Matematicas Tropicales esencialmente se constituyencomo el estudio de variedades algebraicas definidas sobre el semianilloT = < ∪ {∞}, denominado comunmente Semianillo tropical.

Figura: Imre Simon


Aritmetica Tropical

El primer y mas grande cambio que se hara sobre las matematicas usuales,sera el de redefinir las operaciones de adicion y multiplicacion.

Operaciones tropicales

x ⊕ y = min{x , y}x ⊗ y = x + y


Aritmetica Tropical

Propiedades de (T ,⊗,⊕)

x ⊕ y = y ⊕ x

x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y)⊕ z

x ⊗ y = y ⊗ x

x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y)⊗ z

x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y)⊕ (x ⊗ z)

x ⊕ E = x

x ⊗ E ′ = x

x ⊗ y = E ′


Aritmetica Tropical

Potenciacion

xn = x ⊗ x ⊗ x ...⊗ x︸︷︷︸n veces

Gracias a esta definicion de potenciacion se puede mostrar la siguientepropiedad:

Propiedad

(x ⊕ y)2 = x2 ⊕ y2


Aritmetica Tropical

Tambien es cierto que

(x ⊕ y)3 = x3 ⊕ y3

En general podemos dar la siguiente afirmacion:

Theorem

Para cualquier entero positivo n, vale la igualdad: (x ⊕ y)n = xn ⊕ yn


Polinomios tropicales

Se define el polinomio P de la siguiente manera:

P := an ⊗ xn ⊕ ...⊕ a1 ⊗ x ⊕ a0; ai ∈ T

Se debe notar que hay polinomios distintos que inducen a la mismafuncion. Ejemplo:

x2 ⊕ 1⊗ x ⊕ 2 ˆ x2 ⊕ 2

El grado de un polinomio tropical P (deg(P)) es el maximo grado entresus monomios.



Theorem (Igualdad de polinomios)

Sean P,Q dos polinomios tropicales tales que P(x) = Q(x) para cadax ∈ T entonces deg(P) = deg(Q)

La demostracion procede de manera usual, por induccion. Se supone quem = n y se debe mostrar que (∀k = 0...n) entonces ak = bk

Comprobamos para el caso k = 0: ¿a0 = b0?

P(0) = Q(0)

a0 = b0



Suponemos que ak−1 = bk−1

Basta con igualar los polinomios, aplicar la HI, factorizar el termino xk yhacer lımx→0

Se concluye finalmente que ak = bk


Ecuaciones y Curvas Tropicales

Sea el polinomioP := a⊗ x ⊕ b (1)

Es de notar que el polinomio no tiene solucion si b 6= 0, lo que genera lasiguiente definicion:

Ceros de un polinomio

Para un polinomio P := a⊗ x ⊕ b se define a (b − a) como el cero de P.


Ecuaciones y curvas tropicales

Ejemplo: P := 2⊗ x ⊕ 3

Figura: Polinomio 1



Ejemplo: 3⊗ x4 ⊕ 2⊗ x2 ⊕−1⊗ x ⊕ 1

min{4x + 3, 2x + 2, x − 1, 2}



Figura: Polinomio 2

Que es equivalente a P := 3⊗ x4 ⊕−1⊗ x ⊕ 1

Las singularidades son: x = −43 y x = 2



1.

1⊗ x2 ⊕ 2⊗ x ⊕ 5

= 1 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5

= min{1 + 2x , 2 + x , 5}

2.

0⊗ x2 ⊕ 2⊗ x ⊕ 5

= 0 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5

= min{2x , 2 + x , 5}



Graficar:

x ⊕ 5

2⊗ x ⊕ 1

(x ⊕ 5)⊗ (2⊗ x ⊕ 1)

¿Que significa el producto entre polinomios tropicales?


Rectas Tropicales en T 2

Rectas Tropicales

Una recta tropical es el lugar de los puntos (x , y) ∈ T 2 donde el mınimoa⊗ x ⊕ b ⊗ y ⊕ c es asumido por lo menos dos veces, y por lo menos unoentre a, b es distinto de 0

Ejemplo: 1⊗ x ⊕ 2⊗ y ⊕ 2



Figura: Recta 1Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 19 / 23


Para que el mınimo se alcance al menos dos veces, hay 3 casos:

a + x = b + y ≤ c → y = x + a− b y x ≤ c − a

a + x = c ≤ b + y → x = c − a y y ≥ c − b

b + y = c ≤ a + x → y = c − b y x ≥ c − a

Interseccion de rectas

Dos rectas tropicales se pueden encontrar en infinitos puntos sin ser iguales



R1 : 1⊗ x ⊕ 2⊗ y ⊕ 2 R2 : 2⊗ x ⊕ 3⊗ y ⊕ 4

Figura: Interseccion de rectas


Conicas Tropicales

Figura: Conicas


Referencias

Speyer, D. Sturmfels, B. Tropical Mathematics. (2004). Universityof California. Berkeley

Vainsencher, I. Geometria das amebas. (2007)

Ellis, A. Tropical Algebra. (2004)

Mostovoy, J. Las Matematicas tropicales. (2008). CINVESTAV

Laface, A. Introduccion a la Geometrıa Tropical. (2010)

Barros, V. Curvas Algebricas e Geometria Tropical. (2007).Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro


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