Geometria Unidad I

5/16/2018 Geometria Unidad I - slidepdf.com

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Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” Departamento Matemática

UNIDAD I

La geometría estudia las relaciones que ligan directa o indirectamente los elementos (puntos,rectas, planos) constitutivos de las figuras geométricas.

GRUPOS DE AXIOMAS RELACIONES DE ENLACE O INCIDENCIA: de estar en, pasar por. unir, etc.

RELACIONES DE ORDENACIÓN: estar entre, separar, preceder, seguir, etc.

RELACIONES DE IGUALDAD O CONGRUENCIA: igualdad de triángulos, etc.

RELACIONES DE PARALELISMO: si una recta corta a otra, corta a todas las //.

RELACIONES DE CONTINUIDAD: puntos de intersección de recta y circunferencia, etc.

AXIOMAS DE INCIDENCIA O ENLACE

AX1. Existen infinitos entes llamados “puntos” cuyo conjunto llamaremos “espacio”. En elespacio existen subconjuntos de infinitos puntos llamados planos métricos y en cada

plano existen infinitos subconjuntos de infinitos puntos llamados rectas métricas.

AX2. Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen. Al decir determinansignifica que existe y es única dicha recta.

AX3. Tres puntos distintos no pertenecientes a una misma recta determinan un plano al que pertenecen.

AX4. Si dos puntos distintos pertenecen a un plano, la recta que determinan está incluida en él.

TEOREMA I :Si un punto no pertenece a una recta, ambos determinan un plano en el cual larecta está incluida y el punto pertenece.

H) a ∉ R T) a y R ≡ α / R ⊂ α y a ∈ α

D) Existencia: En R considero dos puntos tales que b y c ∈R (por AX1)a ∉ R (por hipótesis) ⇒ a, b y c determinan α (por AX3)Tal que a ∈ α yb ∈ α pero b y c ≡ R ⇒ R ⊂ α (por AX4)

Unicidad : Supongamos que existe α’ / a ∈ α’ y R ⊂ α’b ∈ R y R ⊂ α’ ⇒b ∈ α’c ∈ R y R ⊂ α’ ⇒c ∈ α’

⇒ α = α’ (pues si no contradice AX4)

TEOREMA II : Dos rectas que tiene sólo un punto en común (se dice que se cortan) determinanun plano en el cual está incluidas.

H) A y B rectas / A ∩ B ≡ {o} T) A y B ≡ α / A ⊂ α y B ⊂ α

D) Existencia: ∃ r ∈ A/ r ≠ o (AX1) ; ∃ q ∈ B /q ≠ oEntonces r, q y o ≡ α (AX3) / q ∈ α, r ∈ α y o ∈ α

si o ∈ α y r ∈ α ⇒ A ⊂ αsi o ∈ α y r ∈ α ⇒ B ⊂ α

Unicidad : Supongamos que ∃ β / A ⊂ β y B ⊂ βentonces si A ⊂ β ⇒ r ∈ β y o ∈ β B ⊂ β ⇒q ∈ β

Lic: Ana María Conversano Página 1 de 6

(AX4)

r, o, q ≡ β ⇒α = β (AX3)

oq

r

B

A

a , b y c ≡ α’ (por AX3)




AXIOMAS DE ORDENACIÓN

Conjunto linealmente ordenado: decimos que un conjunto está linealmente ordenado, cuandoes posible establecer entre sus elementos una relación de orden total estricto (arreflexiva

.asimétrica .transitiva). La relación de orden es “preceder” a

b entre puntos. Decir que unconjunto está linealmente ordenado por la relación de preceder quiere decir que tiene estructurade cadena o es una cadena.

Primero: si en un conjunto C linealmente ordenado existe un elemento p / p ∈ C y se verificaque ∀ x ∈ C ∧ x ≠ p ⇒p x , se dice que p es el primer elemento.

Ultimo: si en un conjunto C linealmente ordenado existe un elemento u / u ∈ C y ∀ x ∈ C ∧ x≠ u, x u, se dice que u es el último elemento.

Denso: un conjunto C linealmente ordenado tal que a y b ∈ C , ∃ x ∈ C / a x b , se diceque C es denso.

AX1. La recta es un conjunto linealmente ordenado de punto que no tiene ni primer ni último punto y es un conjunto denso.

Definiciones

Semirrecta: Es el conjunto de punto formado por un punto de una recta y todos los que lo preceden o bien un punto de una recta y todos los que le siguen. Consecuencia: Dado un puntoen una recta determina en ellas dos semirrectas; este punto se llama origen y las dos semirrectasse dice que son opuestas.

Segmento: Dados dos puntos de una recta a y b, denominamos segmento a la intersección de las

dos semirrectas opuestas: abbaab = y a y b reciben el nombre de extremos. Punto

interior: Se dice que un punto es interior a un segmento si pertenece al mismo y no a uno de susextremos.

Figura: Es cualquier conjunto de puntos.

Figura convexa: Se dice que una figura en convexa si y sólo si, dados dos puntos cualesquierade la figura, el segmento que determinan está incluido en la figura. Consecuencia: Laintersección de dos figuras convexas da como resultados otra figura convexa.

AX2. POSTULADO DE LA DIVISIÓN DEL PLANO: Toda recta incluida en un planodetermina en él tres subconjuntos que son la recta r y dos semiplanos abiertos S1 y S2 de modoque:

S1 ∪ S2 ∪ r = planoS1 ∩ S2 = ∅

S1 ∩ R = ∅

S2 ∩ R = ∅

Definición: S1 ∪ R = semiplano cerrado de borde R S2 ∪ R = semiplano cerrado de borde R

Corolario: Los semiplanos son figuras convexas.

Consecuencias: a ∈ S1 ∧ b ∈ S1 ⇒ ab ⊂ S1

a ∈ S2 ∧ b ∈ S2 ⇒ ab ⊂ S2

a ∈ S1 ∧ b ∈ S2 ∨ a ∈ S2 ∧ b ∈ S1 ⇒ ab ∩ R ≠ ∅





AX3. POSTULADO DE LA DIVISIÓN DEL ESPACIO: Todo plano divide al espacio en tressubconjuntos: dos semiespacios abiertos y el plano.

E1 ∪ E2 ∪ α = espacioE1 ∩ E2 = ∅

E1 ∩ α = ∅E2 ∩ α = ∅

Definición: E1 ∪ α = semiespacio cerrado de borde α E2 ∪ α = semiespacio cerrado de borde α

Corolario: Los semiespacios resultan figuras convexas.

Consecuencias: a ∈ E1 ∧ b ∈ E1 ⇒ ab ⊂ E1

a ∈ E2 ∧ b ∈ E2 ⇒ ab ⊂ E2

a ∈ E2 ∧ b ∈ E1 ∨ a ∈ E1 ∧ b ∈ E2 ⇒ ab ∩ α ≠ ∅

DEFINICIONESSector angular: Dados tres puntos no alineados a, b y c se llama sector angular convexo aldeterminado por la intersección del semiplano de borde ab que contiene al punto c y elsemiplano de borde bc que contiene al punto a. abc= semipl(ab , c) ∩ semipl(bc , c) Consecuencias: b vértice, ba y bc lados.

Sector angular cóncavo: Dados tres puntos no alineados, se llama sector angular cóncavo a launión de dos semiplanos: el de borde ab que no contiene a c y el de borde bc que no contiene a

a . abc cóncavo = semipl( ab , no c ) ∪ semipl(bc , no a)

Sectores angulares adyacentes: Dados en un plano dos rectas A y B incidentes, se llamansectores angulares adyacentes a las intersecciones de uno de los semiplanos de borde B con losdos semiplanos de borde A y viceversa. Consecuencias: - Dos sectores angulares adyacentestienen un lado común y los otros dos lados son semirrectas opuestas.- La unión de dos sectoresangulares adyacentes da un sector angular llano.

Sectores angulares opuestos por el vértice: Dados en un plano dos rectas A y B que se cortan,se llaman sectores angulares opuestos por el vértice a los obtenidos como intersección de uno delos semiplanos de borde A con uno de los de borde B y sus respectivos opuestos. Consecuencia:

Los lados son semirrectas opuestas.

Sector de diedro convexo: Dados cuatro puntos a, b, c y d no coplanares, se llama sector diedro convexo a la intersección del semiespacio de borde abc que contiene a d y elsemiespacio de borde bcd que contiene a a.Sectdiedr(abc; d) = semipl(abc;d) ∩ semipl(bcd, a)

Caras

Arista: recta bc


x

x

x

x

b

a

c d

semipl (bc , a)

semipl (bc , d)




Sector diedro llano: Es un semiespacio.

Sectores de diedros adyacentes: Es la intersección de uno de los semiespacios de borde α conlos de borde β o viceversa. Consecuencia: Tiene una cara en común y las otras dos caras sonsemiplanos opuestos.

Sectores de diedros opuestos por la arista: Es la intersección de un semiespacio de borde αcon un semiespacio de borde β y los respectivos opuestos.

TEOREMA I: Si dos planos diferentes tienen un punto en común, entonces determinan unarecta que pasa por el punto.

H) α ≠ β ; p ∈ α y p ∈ β T) α ∩ β ≡ R / p ∈ R

D) Existencia: En uno de los planos considero dos semirrectas tales que ambas estén incluidas

en un mismo plano y no estén opuestos. Entonces en β, pa y pb están en semiespacios

opuestos de borde α. Entonces a y b ∩ α ≡ {q}(por AX3) ( I )

Como pa y pb no opuestos p ≠ q ⇒ p y q ≡ R / p ∈ R y q ∈ R y q ∈ ab ⇒ q ∈ β ( II ) pero q ∈ α por ( I )

Luego p ∈ α y q ∈ α ⇒R ≡ p y q / R ⊂ αP ∈ β y q ∈ β ⇒R ≡ p y q / R ⊂ β

Unicidad : Supongamos que existe R’ ≠ R / p ∈ R’ y R’ ⊂ α y R’ ⊂ β.Si p ∈ R y p ∈ R’ y R’ ≠ R ⇒ R ∩ R’ ≡ un plano en el que están incluidas

⇒ α = β absurdo por hipótesis ⇒R !.

TEOREMA II:Si en un plano α una semirrecta OA tiene su origen perteneciente a una recta r incluida en α, la semirrecta está, o bien incluida en r o en uno y sólo uno de los

semiplanos de borde r.

H) α plano o ∈ R , R ⊂ α T) oa ⊂ α1 o oa ⊂ α2 o oa ⊂ R

D) Supongamos p ∈ oa / p ∈R ⇒ oa ⊂ R (por AX dos puntos ≠ )

Supongamos que p ∈ oa y p ∈ α1 y q ∈ oa / q ∈ α2 ⇒

⇒ pq es tal que p o q o q o p ABS. (def. semirr)

Luego la única posibilidad es que oa ⊂ α1 o oa ⊂ α2

Definición: p interior al sector angular ⇔p ∉ a sus lados.


x

xx

x b

cd

a

r ≡ α ∩ β

α

β

p

x

x

R

b

q

o

α2 a

α1

R

α

Sector de diedro cóncavo: Dados cuatro puntos a, b, c y d no coplanares, se llama

sector de diedro cóncavo a la unión de lossemiespacios de borde abc que no contiene ad con el de borde bcd que no contiene a a.

a




TEOREMA III: Toda semirrecta interior a un sector angular convexo corta a todo segmento consus extremos pertenecientes uno a cada lado del sector angular.

H) aob convexo, op interior. T) ab ∩ op ≠ ∅

D) Consideremos el punto b’ sobre la semirrecta opuesta ob , ob opuesta a 'ob .El segmento 'ab = 'ab ∩ ab' . Consideremos 'op opuesta a op .

La recta ' pp = 'op ∪ op , luego )'()''('' opopabab ppab ∪∩∩=∩ .

Aplicando distributiva: ])''[(]')''[('' opababopabab ppab ∩∩∪∩∩=∩

)])'('[)]')'('['' opababopabab ppab ∩∩∪∩∩=∩

Luego 'ab y ' pp no tienen puntos comunes, lo que nos explica que a y b’ pertenezcan a un

mismo semiplano respecto de ' pp , pero b pertenece al mismo semiplano ' pp que no contiene a b’. b ∈ semipl( ' pp , no b) ∴ a ∈ semipl( ' pp , b’) De acuerdo al AX2, ab corta ' pp recta

borde y como acb es convexo, op ⊂ ' pp ⇒ op corta a ab en q.

Corolarios: 1) Toda recta interior a un ángulo convexo determina dos ángulos con los ladosdel mismo que tiene en común a dicha semirrecta.

2) Todo ángulo convexo puede considerarse como conjunto formado por los lados ytodas las semirrectas interiores.

DEFINICIONES

Haz de rectas o haz de rayos: Dado un punto o, se llama haz de rayos al conjunto de todas lasrectas incluidas en α que pasen por o.

Triángulo: Dados tres puntos no alineados, se llama triángulo abc a la intersecciónsemipl(ab , c) ∩ semipl(bc , a) ∩ semipl(ac , b). Elementos: lados, ángulos interiores, ángulosexteriores.

Polígono convexo: Dados n puntos coplanares con n ≥ 3 (n finito), no alineados de a tres en undeterminado orden. Si trazamos los semiplanos de borde tal que la recta determinada por dos

puntos contenga a los puntos restantes, la intersección de los mismos da un polígono convexo.Los puntos se llaman vértices, los segmentos que tienen por extremo a todo par de vérticesconsecutivos se denominan lados y los segmentos que tienen por extremos a pares de vérticesno consecutivos, diagonales. Elementos: Contorno abc (figura formada por todos los puntos

pertenecientes a sus lados), sectores angulares externos y sectores angulares internos.

Sector angular poliedro: Dadas tres o más semirrectas en un número finito con origen comúnv, no coplanares de a tres, en un determinado origen de modo que el plano determinado por dosconsecutivas cualesquiera deje a todas las demás en un mismo subespacio, se llama sector angular poliedro a la intersección de dichos semiespacios.


∅ ∅∅∅

oα

α : plano sosténo : centro del haz

Dos caras consecutivas forman un sector diedro interior .Si el número de aristas es tres,entonces es sector de diedro.




v: vérticevavc, : aristas

avb , bvc : caras (sectores angulares)

Poligonal: Es el conjunto de varios segmentos ordenados k, l ,m etc. de modo tal que elextremo de uno coincide con el del otro (no alineados).

Poligonal cerrada: Ídem anterior, pero el extremo del primer segmento coincide con el vérticedel último.

Poligonal simple: Poligonal cerrada con un único punto común exterior.

Poligonal no simple: Poligonal cerrada con más de un punto común.

Poligonal simple Poligonal no simple


el

m

p

nn

l

m

k

Poligonal abierta

x

v

a

e

b

d

x

c

el

m

n

f

q

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