Geometria_11_12_ Regiones Poligonales y Sus Areas

Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP

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Cepre - UTP

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C ENTRO PRE-UNIVERSITARIO

GGEEOOMMEETTRRÍÍAA

TEMA Nº 11-12: REGIONES POLIGONALES Y SUS ÁREAS

DEFINICIÓN Área es el número que expresa la medida de la superficie de una figura cerrada.

POSTULADO FUNDAMENTAL El área de toda región cuadrada es siempre igual al cuadrado de la longitud de su lado.

ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR

Demostración :

l

l A = l 2

A (cm2, m2)

b

S = a.b S

S

b

b

a S

S

b a

A

4S + A = (b+a)2

4S + (b-a)2 = (b+a)2

4S = (b+a)2 - (b-a)2

4S = 4 a.b

S = a.b

a

a


- 2 -

ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRAMICA

Demostración :

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

Demostración :

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

1. EN FUNCIÓN DE LOS TRES LADOS TEOREMA DE HERON O DE LA ALTURA

2. EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA

c a

b

r

S = 2

.

2

.

2

. rcrbra S = r

cba

2

S = p.r

S = p.r

r

r

hb

c a

b

2

a b cp

S = 2

. bhb

hb = ))()((2

cpbpappb

S = ))()(( cpbpapp

h

S

S

b

h

b

b

h N

M N

S = M + N S = b.h

h S = b.h

b

S = 2

.hb

2S = b.h S = 2

.hb


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3. FORMA TRIGONOMÉTRICA

PARA UN TRIÁNGULO

EQUILÁTERO

PARA UN TRIÁNGULO

RECTÁNGULO

COMPARACIÓN DE ÁREAS

1. REGIONES TRIANGULARES DE ALTURA CONGRUENTES Y DIFERENTES BASES

Si dos triángulos tienen una misma altura entonces sus áreas se encuentran en la relación en la que se encuentran las longitudes de los lados a los cuales es relativa dicha altura.

CONSECUENCIAS

MC

MA

S

S

MBC

ABM

B

H C M A

hb

S

S S

S

S

S

c

b

a

a

b

c S

S

S S

b b

a

a

c

c S S S

b b b

60°

S = 2

3

260

2

2lsenl

l

S = 4

32l

l

l l hb=c.sen

c a

b

c

a

b

)1(2

.90

2

casenc

aS

S = 2

.ca

b b

S S

S = sencbhb b

2

.

2

.


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2. REGIONES TRIANGULARES SEMEJANTES

Si dos triángulos son semejantes, entonces sus áreas son proporcionales al cuadrado de sus elementos homólogos.

3. REGIONES TRIANGULARES CON UN ÁNGULO CONGRUENTE

O CON UN ÁNGULO SUPLEMENTARIO

Si dos triángulos tienen un par de ángulos congruentes o suplementarios, entonces sus áreas se encuentran en la relación en la que se encuentran el producto de las longitudes de los lados que forman dichos ángulos.

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

TRAPECIO

b

c

n

m

nm

cb

S

S

LMN

ABC

.

.

A L 180

n c

a

b m

nm

cb

S

S

LMN

ABC

.

.

A L

hb

A C

B

hm

L N

M

2

2

2

2

2

kMN

BC

h

h

S

S

m

b

LMN

ABC

h

B

2 2 2

Bh bh B bS S h

S = Mediana. h

h

B H

M N

D

Por semejanza:

MN aS ac

c h

a

c

A

B

b


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R

A

R

R

A

RA

R

A

RA60º

R

Q

P

A

O

R

R

R

ÁREAS DE REGIONES

CIRCULARES

CÍRCULO

A: Área

R: Radio

2A R

1. SECTOR CIRCULAR

2( )360

A R

IMPORTANTE: Principales sectores circulares

2

2

RA

2

4

RA

2

6

RA

2. SEGMENTO CIRCULAR

( ) ( )OPQ OPQA A Sector A

3. CORONA CIRCULAR

2 2( )A R r


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R

A

r

4. TRAPECIO CIRCULAR

2 2( ).

360º

R rA

ÁREAS DE LAS REGIONES

TRIANGULARES Y CUADRANGULARES

1. En un triángulo ABC: 12AC cm . Si la

distancia del punto medio de BC al lado

AC es 4cm, calcular el área de la región

triangular ABC.

A) 42cm B) 48cm2 C) 50cm

2

D) 64cm2 E) 72cm

2

2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en

B), BC = 8cm. Si la distancia del

circuncentro al cateto BC es 3cm.

Calcular el área de la región triangular

ABC.

A) 20cm2 B) 22cm

2 C) 24cm

2

D) 28cm2 E) 30cm

2

3. El perímetro de un triángulo equilátero es

igual al perímetro de un cuadrado. Si el

lado del cuadrado mide 9cm. Entonces, el

área de la región triangular es:

A) 225 3cm B)

230 2cm C) 232 3cm

D) 236 3cm E)

240 3cm

4. Los lados de un triángulo miden 11cm,

13cm y 20cm. Luego el área de la región

triangular es:

A) 266cm B) 270cm C) 277cm

D) 291cm E) 2100cm

5. Se tienen tres circunferencias tangentes

exteriores dos a dos cuyos radios miden

1cm, 2cm y 3cm. Luego el área de la

región triangular que resulta de unir los

centros de las tres circunferencia es:

A) 24cm B) 25cm C) 26cm

D) 27cm E) 28cm

6. Uniendo los puntos medios de los lados de

un triángulo rectángulo ABC, se obtiene un

triángulo cuyo cateto e hipotenusa miden

3cm y 5cm respectivamente. El área del

triángulo ABC es:

A) 232cm B) 230cm C) 224cm

D) 248cm E) 236cm

7. Calcular el área de un triángulo rectángulo,

sabiendo que los segmentos determinados en

la hipotenusa por la circunferencia inscrita

miden 4cm y 6cm.

A) 220cm B) 228cm C) 224cm

D) 218cm E) 242cm

8. En un cuadrado ABCD, se ubica “E” en la

prolongación de AD luego BE interfecta a

CD en M. Si CM = 1cm y AB = 4cm.

Entonces, la suma de las áreas de la región

triangular BCM y MDE es:

A) 216cm B) 218cm C) 220cm

D) 224cm E) 230cm

9. Calcule el área de la región triangular ABC,

si 4 , 12 2AC cm BC cm y

45ºm BAC m ABC

A) 224cm B) 216cm C) 218cm

D) 226cm E) 232cm


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B), se construye exteriormente los cuadrados

ABMN, BCDE y ACFH. Si las áreas de las

regiones cuadrangulares ABMN y BCDE

miden 2 225 144cm y cm respectivamente.

Entonces, el área de la región cuadrangular

ACFH es:

A) 2100cm B) 2150cm C) 2160cm

D) 2169cm E) 2194cm

11. El lado AD de un cuadrado ABCD se

prolonga hasta un punto E tal que

3( ) 10BC ED y BE cm . Luego el área

de la región cuadrangular ABCD es:

A) 216cm B) 220cm C) 225cm

D) 236cm E) 240cm

12. En un rectángulo ABCD, en el lado BC se

ubica F tal que AF = AD, CF = 1cm y

CD = 5cm. Luego el área de la región

rectangular ABCD es:

A) 250cm B) 255cm C) 260cm

D) 265cm E) 270cm

13. En un rectángulo las longitudes de los lados

están en la relación 1 a 3 y además su área es 248cm . Calcular el área de un cuadrado

cuyo perímetro es igual al del rectángulo.

A) 216cm B) 224cm C) 236cm

D) 248cm E) 264cm

14. Se tienen dos circunferencias 1 2C y C

tangentes exteriores en M, luego se traza la

tangente común exterior LN

1 2( )L enC y N enC . Si los radios de las

circunferencias 1 2C y C miden 8cm y 2cm

respectivamente, entonces el área de la

región rectangular AHLN (A es centro de

2C , B centro de 1C y H en BL ) , es:

A) 212cm B) 216cm C) 218cm

D) 220cm E) 224cm

15. Se tienen tres circunferencias tangentes

exteriores dos a dos cuyos radios miden

6cm, 7cm y 8cm. Calcular el radio de la

circunferencia que pasa por los puntos de

tangencia de las tres circunferencias

anteriores.

A) 2cm B) 3cm C) 4cm

D) 5cm E) 6cm

ÁREAS DE LAS REGIONES

CUADRANGULARES Y CIRCULARES

1. En un triángulo los lados miden 8cm,

12cm y 15cm. Si la bisectriz interior

relativa al mayor lado determina dos

segmentos sobre él, la medida del mayor

segmento es:


D) 11cm E) 12cm

2. En un triángulo ABC, se traza EF

paralela a ( )AC E en AB y F en BC . Si.

2 18 ,BF FC y AC cm entonces, la

longitud de EF es:


D) 12cm E) 15cm


B), 15ºm ACB , se trazan la altura BH

y la mediana BM . Calcule la longitud de

, 12HM si AC cm .

A) 3 2cm B) 3 3cm C) 4 3cm

D) 5 2cm E) 6 3cm

4. En un triángulo rectángulo, la altura

relativa a la hipotenusa determina en ella

dos segmentos que miden 3cm y 12cm.

Calcular el área de la región triangular.

A) 230cm B) 245cm C) 260cm

D) 275cm E) 290cm


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5. En un triángulo equilátero ABC, en BC se

ubica un punto P desde el cual se traza PQ

perpendicular a AC .

Si 8 6PC cm y AQ cm , entonces el área

de la región triangular ABC en centímetros

cuadrados es:

A) 22 2 B) 25 3 C) 26 3

D) 28 3 E) 30

6. Las alturas de un romboide miden 4cm y

1cm y su perímetro es 30cm. Hallar su área.

A) 26cm B) 28cm C) 212cm

D) 214cm E) 216cm

7. El perímetro de un rombo es 20cm. Si la

distancia entre dos de sus lados es 4cm.

Calcule el área de su región cuadrangular.

A) 216cm B) 220cm C) 224cm

D) 226cm E) 228cm

8. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD de

bases 3 12BC cm y AD cm . En el lado

AB , se ubica un punto medio “M” tal, que

90ºm CMD . Calcular el área de la

región ABCD.

A) 264cm B) 276cm C) 280cm

D) 290cm E) 2100cm

9. Los lados no paralelos y la base menor de un

trapecio son congruentes, la base mayor y la

base menor son entre sí como 11 es a 5.

Hallar el área del trapecio, si su altura mide

8cm.

A) 2128cm B) 264cm C) 2144cm

D) 2132cm E) 284cm

10. ABCD es un cuadrado inscrito en una

circunferencia, M es el punto medio de AB

y N punto medio de AD . Si MN = 4cm,

halle el área del circulo en 2cm .

A) 10 B)12 C) 16

D) 18 E) 20

11. Se tiene un círculo de radio “r” y un sector

circular de radio “6r” cuyo ángulo mide

Si las áreas de dichas figuras son iguales,

entonces, la medida de es:

A) 8º B) 10º C) 12º

D) 15º E) 30º

12. En un triángulo equilátero, la distancia del

ortocentro a un lado es 4cm. Calcular el área

del círculo circunscrito a dicho triángulo.

A) 264 cm B) 252 cm C) 248 cm

D) 242 cm E) 224 cm

13. Se tiene dos circunferencias concéntricas de

radios 6cm y 8cm. Calcular el área de la

región comprendida entre las dos

circunferencias.

A) 228 cm B) 236 cm C) 245 cm

D) 264 cm E) 280 cm

14. En un romboide ABCD, la altura BH y la

diagonal AC se intersectan en el punto P. Si

3 10PH cm y BH HD cm , entonces,

el área de región paralelográmica es:

A) 2152cm B) 2160cm C) 2165cm

D) 2175cm E) 2180cm

15. En un trapecio isósceles ABCD, los lados

iguales miden 15cm y la base mayor AD

mide 25cm. Si 90º ,m ABD calcule el

área de la región del trapecio.

A) 2142cm B) 2152cm C) 2162cm

D) 2182cm E) 2192cm

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