Geometra Analtica

GEOMETRA ANALTICA 1. CONCEPTOS BSICOS Un segmento dirigido es aquella porcin de recta que posee adems de una longitud, una direccin o sentido, esto es, un punto inicial y un punto final. B A 1.1 Plano cartesiano A cada punto de un plano le asociamos una pareja de nmeros (x,y), llamados coordenadas rectangulares o cartesianas. Estas coordenadas son simplemente las distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal, llamada eje X, y la otra vertical, llamada eje Y. El punto de interseccin de los ejes se llama origen, y se representa por la letra O. La abscisa de un punto es la distancia dirigida del eje vertical (eje Y) al punto y se representa por x. La ordenada de un punto es la distancia dirigida del eje horizontal (eje X) al punto y se representa por y.

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro secciones, llamadas cuadrantes; stos se numeran en sentido contrario a las manecillas del reloj empezando con el cuadrante superior derecho en el que todos los puntos tienen las coordenadas positivas.

Curso Propedutico 1

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EJERCICIOS 1) Identifica la figura geomtrica formada al unir con segmentos rectilneos los puntos:

a) M(1,0), N(6, 0), O(4, 4), P(-1,4) b) F(2, 7), G(4,4), H(7,7), I(4, 11) c) A(0,0), B(8,0), C(5,3), D(0,3) d) P(0, 5 ), Q( 5 ,0), R(0,0)

2) Describe las caractersticas de las coordenadas de: a) Un punto cualquiera del eje X que no sea el origen b) Un punto cualquiera de la parte negativa del eje Y c) Un punto cualquiera en el segundo cuadrante d) Un punto cualquiera en el tercer cuadrante e) Un punto cualquiera en el cuarto cuadrante

1.2 Distancia entre dos puntos La distancia d entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) est dada por la frmula:

( ) ( )221221 yyxxd -+-= 1.3 Punto medio entre dos puntos Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son (x1, y1) y (x2, y2) son:

2

xxx 21

+= ,

2yy

y 21+

=

1.4 Pendiente de una recta Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ngulo de inclinacin.

La pendiente de una recta se designa comnmente por la letra m. Por lo tanto, podemos escribir:

m = tan

Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la

pendiente de la recta es:

2121

21 xx,xxyy

m --

=

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EJERCICIOS 1) Hallar el permetro del cuadriltero cuyos vrtices son (-3, -1), (0, 3), (3, 4), (4, -1). 2) Hallar el valor de y si la distancia entre (7, 1) y (3, y) es 5. 3) Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos: (3, 3), (6, 2), (8, -2). 4) Los vrtices de un tringulo son A(3, 8), B(2, -1) y C(6, -1). Si D es el punto medio del

lado BC, calcular la longitud de la mediana AD. 5) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es

(4, 3). Hallar el otro extremo. 6) Encontrar las coordenadas de P que est sobre la recta AB, si P est a una distancia

doble de B(-3, 1) que de A(2, 2). Cul es el punto medio de AB? 7) Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que pasa por los puntos

(-3, 2) y (7, -3). 8) Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta

es 4. Hallar su ordenada.

9) La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3, 2) es igual a 43

. Situar dos

puntos sobre la recta que equidisten 5 unidades de A. 10) Por medio de pendientes demostrar que los puntos A(-3, 4), B(3,2) y C(6, 1) son

colineales.

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2. RECTAS 2.1 Ecuaciones de la recta (diferentes modelos)

Punto-pendiente

La ecuacin de la recta que pasa por el punto y cuya pendiente es m es:

)y,x(P 111

)x-x(my-y 11 =

Pendiente-ordenada en el origen

La ecuacin de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto ( 0, b )

bmxy +=

Cartesiana

La recta que pasa por dos puntos dados

y tiene por ecuacin:

)y,x(P 111 )y,x(P 222

21

21

1

1

x-xy-y

x-xy-y

=

Reducida o abscisa y ordenada en el

origen La ecuacin de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (a, 0) (siendo a la abscisa en el origen) y (0, b) (siendo b la ordenada en el origen) respectivamente, es:

1by

ax

=+

General

Una ecuacin de primer grado en las variables x e y se puede escribir de la forma:

0CByAx =++

En donde A, B y C son constantes arbitrarias.

La pendiente de la recta escrita de esta forma es BA

-m = y su ordenada en el origen

BC

-b= .

2.2 Grfica de una recta Una forma para graficar la ecuacin de una recta es mediante su interseccin con los ejes coordenados, para la interseccin con el eje y hacemos x = 0 (ordenada al origen) y para la interseccin con el eje x hacemos y = 0. El nico caso en el que el mtodo anterior no proporciona mucha informacin acerca de la grfica de la recta es cuando esta pasa por el origen.

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2.3 Rectas paralelas y perpendiculares Si dos rectas y tienen pendientes y respectivamente, entonces: 1L 2L 1m 2m

Son paralelas, si sus pendientes son iguales, es decir:

21 mm =

Son perpendiculares, si la pendiente de una de ellas es igual al recproco de la pendiente de la otra con signo contrario, es decir:

21 m

1-m = , o bien, . 1-mm 21 =

2.4 Distancia de un punto a una recta La distancia d de una recta a un punto dado se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto en la frmula:

0CByAx =++ )y,x(P 111

2211

BA

CByAxd

+

++=

Podemos observar de acuerdo a la frmula que la distancia siempre ser positiva. Teorema. La distancia dirigida d de la recta dada al punto dado se obtiene por la frmula:

0CByAx =++ )y,x(P 111

2211

BA

CByAxd

+

++=

en donde el signo del radical se elige de acuerdo a si

22 BAr += el signo que precede al radical r se escoge como sigue: a) Si C 0, r es de signo contrario a C. b) Si C = 0 y B 0, r y B tienen el mismo signo. c) Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo.

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EJERCICIOS 1) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2. 2) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta

determinada por los dos puntos (4, 1) y (-2, 2). 3) Hallar la ecuacin de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3,

respectivamente. 4) Hallar el valor de k para que la recta sea perpendicular a la

recta . 03y)1k(xk 2 =+++

011-y2-x3 = 5) Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuacin Ax By + 4 = 0 de una

recta, si debe pasar por los puntos (-3, 1) y (1, 6). 6) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1, -6) y cuyo producto de

coordenadas en el es 1. 7) Hallar la ecuacin de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de

interseccin de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3x - 2y + 9 = 0. 8) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3, 1) y tal que la distancia de esta

recta al punto (-1, 1) sea igual a 2 .2 (Dos soluciones). 9) Hallar la ecuacin de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas

12x 5y + 3 = 0 y 12x 5y 6 = 0. 10) Hallar la forma normal de la recta que es paralela a la recta x 5y +11 = 0 y que pasa

por el punto (-7, 2).

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3. LA CIRCUNFERENCIA Definicin. Circunferencia es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Ecuaciones de la circunferencia

Circunferencia con centro en el origen (0, 0) y radio r.

222 ryx =+

Circunferencia con centro en (h, k) y radio r.

( ) ( ) 222 rk-yh-x =+

Toda ecuacin de la circunferencia se puede expresar por medio de una ecuacin del tipo: 0FEyDxyx 22 =++++ Si dejamos la ecuacin en la forma:

4F4-ED

2E

y2D

x2222 +

=+++

El centro es el punto (-D / 2, -E / 2) y el radio F4-ED21

r 22 +=

Si , la circunferencia es real. 0F4-ED 22 >+Si , la circunferencia es imaginaria. 0F4-ED 22

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EJERCICIOS 1) Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa o no una

circunferencia. Si la respuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio. a) 07y10x6-y2x2 22 =+++b) 053y8-x28y4x4 22 =+++c) 077y8x64-y16x16 22 =+++

2) Demuestra que las circunferencias y

son concntricas.

013y12x16-y4x4 22 =+++055y36x48-y12x12 22 =+++

3) Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre el eje X y que pasa por

los puntos A(1, 3) y B(4, 6). 4) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (-1, -4), (2. 1) y cuyo

centro est sobre la recta . 05y7x4 =++ 5) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y que es tangente

la recta en el punto (1,1). 03-y2x =+ 6) Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Hllese su ecuacin.

(Dos soluciones). 7) Demostrar que las circunferencias y

son tangentes.

025y10-x8-yx 22 =++023-y6x4yx 22 =+++

8) Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre la recta y

que es tangente a cada una de las rectas 01-y2-x7 =

05y12x5 =+ y . (Dos soluciones).

03-y3x4 =+

9) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (2, -2), (-2, -4) y (4, 2). 10) Hallar la ecuacin de la circunferencia circunscrita al tringulo de lados ,

, y . 02y-x =+

01-y3x2 =+ 017-yx4 =+

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4. SECCIONES CNICAS 4.1 Parbola Definicin. La parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. El punto fijo se llama Foco de la parbola y la recta fija es su directriz. Partes de la parbola Foco F

Directriz = Es la recta perpendicular que pasa por D

Eje Focal = Es la recta que pasa por el Foco y es perpendicular a la Directriz

Vrtice V = Punto de interseccin de la curva con su eje focal

P = Es la distancia entre el foco y el Vrtice L.R. = |4p| e =1

Ecuaciones ordinarias

Que se extiende hacia la derecha

px4y2 = Foco: F(p, 0) Directriz: x = -p

Parbola con vrtice en el origen O

Horizontal

Que se extiende hacia la izquierda

px4-y 2 = Foco: F(-p, 0) Directriz: x = p

Curso Propedutico 9

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Que se extiende hacia arriba

py4x2 = Foco: F(0,p) Directriz: y = -p

Vertical

Que se extiende hacia abajo

py4-x2 = Foco: F(0,-p) Directriz: y = p

Que se extiende hacia la derecha

)h-x(p4)k-y( 2 = Foco: F(h+p, k) Directriz: x = h-p

Horizontal

Que se extiende hacia la izquierda

)h-x(p4-)k-y( 2 = Foco: F(h-p, k) Directriz: x = h+p

Que se extiende hacia arriba

)k-y(p4)h-x( 2 = Foco: F(h, k+p) Directriz: y = k -p

Parbola con Vrtice en (h, k)

Vertical

Que se extiende hacia abajo )k-y(p4-)h-x( 2 =

Foco: F(h, k-p) Directriz: y = k+p

Curso Propedutico 10

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EJERCICIOS 1) Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice en el origen y foco el punto (3,0). 2) Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0. 3) Una parbola cuyo vrtice est en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por

el punto (-2,4). Hallar la ecuacin de la parbola, las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y la longitud de su lado recto.

4) Hallar la ecuacin de la parbola cuyos vrtices y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3)

respectivamente. Hallar tambin las ecuaciones de su directriz y su eje. 5) Hallar la ecuacin de la parbola cuyos vrtices y foco son los puntos (3,3) y (3,1)

respectivamente. 6) La directriz de una parbola es la recta y 1 = 0 y su foco es el punto (-4,3). Hallar la

ecuacin de la parbola. En los ejercicios 9 y 10, reduzca la ecuacin de la parbola en su forma ordinaria y halle las coordenadas del vrtice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje 7) 4y2 48x 20y = 71 8) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 9) Hallar la ecuacin de la parbola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres

puntos (0,0), (8,-4) y (3,1). 10) Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice el punto (4,-1), eje la recta y + 1 = 0 y

que pasa por el punto (3,-3). 4.2 Elipse

Definicin. La elipse es el lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se mueve sobre un plano de manera tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante. Los puntos fijos se llaman focos. Partes de la elipse

Longitud del eje mayor (V1V2) = 2a Longitud del eje menor (B1B2) = 2b Distancia entre los focos (F1F2) = 2c

c 222 ba =

Longitud del lado recto (L.R.) = ab2 2

Excentricidad. 1ace

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Ecuaciones ordinarias

Horizontal

122

2

2

=+by

ax

Elipse con centro en el origen

Vertical

122

2

2

=+ay

bx

Horizontal

( ) ( ) 12

2

2

2

=

+

bky

ahx

Elipse con centro en (h, k)

Vertical

( ) ( ) 12

2

2

2

=

+

aky

bhx

Ecuacin general. Toda ecuacin de la elipse se puede expresar por medio de una ecuacin del tipo:

022 =++++ FEyDxCyAx Siempre que A y C sean del mismo signo.

Curso Propedutico 12

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EJERCICIOS 1) Hallar la ecuacin de la elipse si:

a) );0,4(y )0,2( 11 VFb) 2;12y )0,4(2 = aF

c) 53y )4,0(1 =eF .

2) Hallar los vrtices, focos y excentricidad de la elipse:

a) ;12516

22=+

yx

b) ;225259 22 =+ yxc) .1243 22 =+ yx

3) Un foco de la elipse est en )4,0( y el eje mayor es el doble del eje menor. Obtener

su ecuacin y calcular su excentricidad.

4) Una elipse horizontal pasa por el punto y su excentricidad es )3,2(21 ; obtener su

ecuacin. 5) Hallar la ecuacin de la elipse horizontal que pasa por )2,6(y )3,4( . 6) Los focos de una elipse son los puntos ),0,3(),0,3( y la longitud de uno cualquiera de

sus lados rectos es igual a 9. Hallar la ecuacin de la elipse. 7) Hallar la ecuacin y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno

de sus vrtices est en el punto )7,0( y pasa por el punto

314,5

8) Halar la ecuacin de la elipse si:

a) Los focos son: , y la longitud del eje mayor =10; )2,3(y )8,3(

b) Los vrtices son: )1,5(y )1,3( , y su excentricidad 43

= ;

c) Los vrtices son: )2,2(y )6,2( , y la longitud del lado recto =2.

9) Los vrtices de una elipse son los puntos y su excentricidad es )1,7(y )1,1(31

. Hallar

la ecuacin de la elipse, se centro, las coordenadas de sus focos, las longitudes de su eje mayor y menor y la longitud de su lado recto.

10) Los focos de una elipse son los puntos , y la longitud de su eje menor es

8. Hallar la ecuacin de la elipse, su centro, las coordenadas de sus vrtices y su excentricidad.

)2,3(y )8,3(

Curso Propedutico 13

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11) El centro de una elipse es el punto )1,2( y uno de sus vrtices es el punto )1,3( . Si la longitud de cada lado recto es 4, hllese la ecuacin de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

12) El centro de una elipse es el punto )4,2( y el vrtice y el foco de un mismo lado del

centro son los puntos )4,1(y )4,2( respectivamente. Hallar la ecuacin de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto.

13) Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria y determine las coordenadas

del centro, vrtices y focos: a) ;0211664 22 =+++ yxyxb) ;037183294 22 =+++ yxyxc) .032849 22 =+ yyx

14) Hallar la ecuacin de la elipse que pasa por los puntos

y cuyos ejes paralelos son los de coordenadas. )3,8(y )4,2( , )1,8( , )4,6( 4.3 Hiprbola

Definicin. La hiprbola es el lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de un plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Partes de la hiprbola.

Centro (C) Longitud del eje transverso (V1V2) = 2a Longitud del eje conjugado (B1B2) = 2b Distancia entre los focos (F1F2) = 2c

222 bac +=

Longitud del lado recto = ab22

Excentricidad. 1>=ace

Curso Propedutico 14

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Ecuaciones ordinarias.

Horizontal

122

2

2

=by

ax

Asntotas

xaby =

Hiprbola con centro en el origen

Vertical

122

2

2

=bx

ay

Asntotas

xbay =

Horizontal

( ) ( ) 12

2

2

2

=

bky

ahx

Asntotas ( )

aakbhx

aby ++=

( )a

akbhxaby +=

Hiprbola con centro en (h, k)

Vertical

( ) ( ) 12

2

2

2

=

+

bhx

aky

Asntotas ( )

bbkahx

bay ++=

( )b

bkahxbay =

Ecuacin general Toda ecuacin de la hiprbola se puede expresar por medio de una ecuacin del tipo: Siempre que A y C sean

22

Curso Propedutico

de signo distinto.

0FyExDyx ++CA =++

15

Geometra Analtica

Ejercicios 1. Hllense las coordenadas de los vrtices y los focos, las longitudes de los ejes

transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. a) 36y4x9 22 =b) 36x4y9 22 =

2. Los vrtices de una hiprbola son V1(2,0), V2(-2,0), y sus focos los puntos F1 (3,0), F2(-3,0). Hallar su ecuacin y su excentricidad.

3. El centro de una hiprbola est en el origen, y su eje transverso est sobre el eje Y. Si

un foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3, hllese la ecuacin de la hiprbola y la longitud de cada lado recto.

4. Los extremos del eje conjugado de una hiprbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la

longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuacin de la hiprbola y las coordenadas de sus focos.

5. Una hiprbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. Hallar su

ecuacin sabiendo que su excentricidad es 621 y que la curva pasa por el punto (2,1).

6. Una hiprbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado est sobre el eje X. La

longitud de cada lado recto es 2/3, y la hiprbola pasa por el punto (-1,2). Hallar su ecuacin.

7. Hallar los puntos de interseccin de la recta 012y9x2 =+ con las asntotas de la

hiprbola . 11y9x4 22 = 8. Los vrtices de una hiprbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad = 3/2.

Hallar la ecuacin de la hiprbola, las coordenadas de sus focos, y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado y de cada lado recto.

9. Los focos de una hiprbola son los puntos (4,-2) y (4,-8) y la longitud de su eje

transverso es 4. Hallar la ecuacin de la hiprbola, la longitud de su lado recto y su excentricidad.

10. Reducir la ecuacin dada a la segunda forma ordinaria de la ecuacin de la hiprbola

y determinar las coordenadas del centro, vrtices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asntotas. a) 078x30yx3 22 =++b) 01x2y4x 22 =+

Curso Propedutico 16

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5. LUGARES GEOMTRICOS

os problemas fundamentales de la geometra analtica:

1. ica, o la condicin que deben cumplir los puntos de la misma,

2. in interpretarla geomtricamente, es decir, construir la grfica correspondiente.

.1 Ecuacin de un lugar geomtrico

rstica en comn que cumplen ciertas condiciones dadas se denomina lugar geomtrico.

efinicin. Se llama ecuacin de un lugar geomtrico plano a una ecuacin de la forma:

D

Dada una figura geomtrdeterminar su ecuacin. Dada una ecuac

5 Al conjunto de puntos de un plano (o espacio) que poseen cierta caracteo D

( ) 0y,xf = cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x y y son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la ondicin o condiciones geomtricas dadas que definen el lugar geomtrico.

JERCICIOS

1) acin del lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se mueve de tal

uierda del eje Y;

) est siempre a igual distancia de los eje X e Y.

2) je X. Hallar la ecuacin de su lugar

geomtrico y dar su interpretacin geomtrica.

3) eomtrico de los puntos P(x, y) que equidisten del punto (2, 3) y de la recta x + 2 = 0.

4) suma de cuadrados de distancias a los puntos fijos A (0, 0) y B (2, -4) sea igual a 20.

5) (x, y) de manera que la pendiente de PP1 sea igual a la pendiente PP2 ms la

unidad.

6) s siempre el doble de su distancia al eje X. Hallar la ecuacin de su lugar geomtrico.

c E

Hallar la ecumanera que: a) se conserva siempre a 2 unidades a la izqb) est siempre 4 unidades arriba del eje X; c Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al e

Hallar la ecuacin del lugar g

Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) cuya

Dados dos puntos P1(2, 4) y P2(5, -3), hallar la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P

Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(-1, 2) e

Curso Propedutico 17

Geometra Analtica

5.2 Grfica de un lugar geomtrico a partir de su ecuacin

unto cuyas coordenadas satisfacen la ecuacin pertenece a la rfica de la ecuacin.

e las ecuaciones, ue consiste en investigar para cada ecuacin los siguientes aspectos:

s ejes coordenados y el origen.

) Determinacin de asntotas verticales y horizontales.

tersecciones con los ejes

do del alor o valores de la ordenada de los puntos de la grfica que estn sobre el eje Y.

acin

las intersecciones de la grfica de la ecuacin con el eje Y, sustituimos x = 0.

imetras

es simtrica con respecto al eje X, si al sustituir (x,-y) en la ecuacin no cambia.

acin es simtrica con respecto al eje Y, si al sustituir (-x, y) en la ecuacin no cambia.

simtrica con respecto al origen O (0,0), si al ustituir (-x, -y) en la ecuacin no cambia.

ede ser simtrica con respecto al origen y no ser imtrica con ningn eje coordenado.

xtensin o campos de variacin de una grfica

toman valores reales. Esto es posibles haciendo un anlisis del dominio y rango de la

Definicin. Cualquier pg Para trazar la grfica de una ecuacin es conveniente conocer previamente algunas de sus caractersticas o propiedades para realizar la discusin o anlisis dq a) Determinar la interseccin de la grfica con los ejes coordenados. b) Simetra de la grfica con respecto a loc) Determinar la extensin de la grfica. d In Cuando se hable de la interseccin de la grfica con el eje X nos referimos al valor de la abscisa del punto o puntos de la grfica de una ecuacin que est sobre el eje X, y de igual manera cuando nos referimos a la interseccin con el eje Y se estar hablanv

Si buscamos los puntos de interseccin con el eje X de la grfica de la ecusabemos que la ordenada en este punto es igual a cero o sea sustituimos y = 0. De igual manera para hallar la o

S

Se dice que la grfica de una ecuacin

Se dice que la grfica de una ecu

Se dice que la grfica de una ecuacin ess NOTA. Si una curva es simtrica con respecto a los dos ejes coordenados, tambin lo es respecto al origen, pero una curva pus E La extensin o campo de variacin de una grfica es el estudio de la ecuacin de la grfica para determinar los intervalos en los cuales las variables x y y estn definidas o

Curso Propedutico 18

Geometra Analtica

ecuacin. Este anlisis es til para la localizacin general de la curva en los ejes coordenados y para saber si la curva es cerrada o de extensin indefinida. El dominio de una ecuacin son todos los valores reales posibles de la variable x que al ser evaluada en la ecuacin, genera uno o mas valores reales de y. A cada uno de los valores de y se les llaman imagen de x. Al conjunto de todas las imgenes le llamaremos rango de la ecuacin. Asntotas Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de este punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asntota de la curva. La definicin anterior implica:

Una curva que tiene asntotas no es cerrada o de extensin finita, sino se extiende indefinidamente.

Una curva se aproxima a la asntota ms y ms a medida que se extiende ms y ms en el plano coordenado.

Una asntota es una lnea recta la cual puede ser horizontal, vertical u oblicua o inclinada. La ecuacin de la recta horizontal como sabemos es y k = 0 (y es paralela al eje X), la vertical es x k = 0 (y es paralela al eje Y), y la oblicua, que es el caso ms especial, tiene la forma y = mx + b. EJERCICIOS Grafica las siguientes ecuaciones utilizando los siguientes pasos:

a) Halla las intersecciones con los ejes coordenados. b) Determina la simetra de la grfica respecto a los ejes coordenados y el origen. c) Determina la extensin de la grfica (su dominio y su rango). d) Determina sus asntotas verticales y horizontales (si tiene).

1) 09y3x2 =++2) 08y2xyy 2 =3) 0xy3xy2 =+-4) 0xy4yx2 =+-

Curso Propedutico 19

CONCEPTOS BSICOS1.1 Plano cartesianoEJERCICIOSRECTASEJERCICIOS

LA CIRCUNFERENCIAEcuaciones de la circunferenciaEJERCICIOS

SECCIONES CNICAS

Centro (C)Longitud del eje transverso (V1V2) = 2aLUGARES GEOMTRICOS5.1 Ecuacin de un lugar geomtricoEJERCICIOS

Intersecciones con los ejesExtensin o campos de variacin de una grficaEJERCICIOS