gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
76
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 1/76 4. ACTIVOS ARROW-DEBREU Y LA ECUACI6N FUNDAMENTAL DE VALORACI6N EN UN CONTEXTO DE AUSENCIA DE ARBITRAJE 4.1 Valoraci6n y acti v os conlingentes ; l a s ideas fu ndamenlale s En los capitulos anleriores, 51' han discutido los conceptos de valoraci6n de ac t i- vos financieros de renla fija en l.Ul contexto de ausencia de arbitraje utilizando como herramienla dilve Iii idea de ca r teras que rcplican los pagos fu turos de los ac tivos a villoTar. Resultaba muy convenie nt I comenz..1T est ' libm suponiendo que nos movia mas en un marco de ce r teza para asi (entramos, con mayor facilidad, en los as - pectos conceptuales fundamentales. Sin embargo, es evidente, que un marco de trabajo mtis interesanle e induso mas relevan te desde un punta de vis ta prticli- co, consiste en rcconoccr que Irabajamos en un cn loma de inccrtidumbre con ae- tivos financieros arriesgados. 1 En definiliva, necesitamos analizar las es t rategias de arbitra}e que utilicen acti- vos arriesgados. Tal cornu ocurria en el marco de trabajo anterio r , estas es tra t egias cstan basadas en l a construcd6n de car te r as replica y en In idea intui tiva que 1c acompafla que se re>ume e n comprar b.1rato y vender cam. Veamos un primer casu en e l que los flujos de caja gene rados p or ciertos a c - tivos ar riesgados pueden replicarse mediante los f1ujos de caja ob tenidos poT OITOS aclivos. EJEMPLO 4.1.1 (Escuela de Negocios de la Un1v . sity 0/ Calilom i a en Berke ley) La tecmca e valorad6n bajo ausencia e arbitmje umizando romo / erramienta e tmbajo las car - teras r8p1icaB fiB v lida fill un coo/axt e incfIr/idumbrfl Imegintlmos que Irabajemos en una emprflS8 de ~ IKnoiogia donde nuestro se lario looui· r.t una compensaci6n li gada al compor tamiento bursali i de la cotizaci6n de la acci6n de la em- prasa. Supongamos que nos encontramos juslo a principios de a ~ o AI t i ne liza r el ailo, s i el p ecio de Ie ecc;oo en e l merced<> bu r lil sub< . ot r acen pegarnos la diferenda enl re el precio de la ac· I En cI caprtulo 3 yo sc discutieron aspoctos de gr,ln importaneia polra I. n1l la fija < Il un contex - to de incertidumb ,.
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4.
ACTIVOS ARROW-DEBREU
Y
LA
ECUACI6N
FUNDAMENTAL DE
VALORACI6N EN UN CONTEXTO
DE AUSENCIA DE ARBITRAJE
4.1 Valoraci6n y activos conlingentes; las ideas fu
ndamenlale
s
En los capitulos anleriores, 51' han
discutido
los
conceptos de
valoraci6n
de
act i-
vos financieros de renla fija
en l.Ul
contexto de ausencia de arbitraje
utilizando
como
herramienla dilve
Iii idea de
car
teras
que
rcplican los
pagos
fu turos de los
activos a villoTar.
Resultaba muy convenientI comenz..1T est '
libm
suponiendo que
nos
movia
mas en
un marco de certeza para asi
(entramos, con
mayor facilidad,
en
los as-
pectos conceptuales fundamentales.
Sin
embargo, es
evidente, que
un marco de
trabajo mtis interesanle e
induso
mas
relevante
desde
un punta
de
vis
ta prticli-
co, consiste
en
rcconoccr
que
Irabajamos
en
un
cn
loma
de
inccrtidumbre con ae-
tivos financieros arriesgados.
1
En definiliva, necesitamos analizar las es trategias de arbitra}e
que
utilicen acti-
vos arriesgados. Tal cornu ocurria
en
el marco de trabajo anterior, estas estra tegias
cstan
basadas en
la
construcd6n
de carteras replica
y en
In idea intui tiva
que
1c
acompafla que se re>ume en comprar b.1rato y vender cam.
Veamos un
primer
casu en el que los flujos de caja gene rados p
or
ciertos ac-
tivos ar riesgados pueden replicarse mediante los f1ujos de caja ob tenidos
poT
OITOS
aclivos.
EJEMPLO 4.1.1 (Escuela de Negocios de
la
Un1v. sity
0/
Calilomia en Berke ley)
La tecmca
e
valorad6n bajo ausencia e arbitmje umizando
romo
/ erramienta e tmbajo las
car-
teras
r8p1icaB fiB
v lida fi l l un coo/axt
e
incfIr/idumbrfl
Imegintlmos que Irabajemos en una emprflS8 de ~ IKnoiogia donde nuestro se lario looui·
r.t una compensaci6n ligada al comportamiento bursalii de
la
cotizaci6n
de
la acci6n de la em-
prasa. Supongamos que nos encontramos juslo a principios
de a ~ o
AI t ine lizar el ailo, si el p ecio
de
Ie ecc;oo en e l merced<>
bu
r
lil
sub< .
ot
racen pegarnos la diferenda enlre el precio
de
la ac·
I
En
cI caprtulo 3 yo
sc
discutieron aspoctos de gr,ln importaneia polra I.
n1l la
fija
< Il
un contex-
to de incertidumb ,.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 2/76
124/ F.cONOMfA FINANClfRA
ci6n 8 final de d>ciembre,
PT
Y 91pr
edo
de fa
acci6n hoy. P.
mull
ip
licada po r 1.
000
0 b<en. si es·
la canlidad nos parece excesiva .
nos
Olrecen como alt<lrnativa dicha
di
lorencia
P<lro
mulliplicada
s6
1
amen
to
por
100. Ahora bien , 5i el prock> de la
acci6n dism
iml)'<l.
nos
riamos obligados a pa
gar
a la empresa la diferencia ent re los precios
multip
licada
por
1.000
0 por
100.
5<11
r
919
de 9S-
ooger uno de los dos mull i
plicadores)'
docidi r u ~ n t o va le
cada
una
de las
dos
of
rt
as
recibidas
(Ia opciOn del
muit
iplica
dor
igual a 1.000 0 Ia opci6n del multiplicador Ogual a
l00j, sab
iendo que
8 acciOn S<l ha
comporlando
francamente bian en
<ll pasado
m<l:s looanta), que actualmant<l
sa
est
cotizando po r
70€.
EI anterior acuerdo 5upone ufla gaMncia de
(P,
-
P)
X. doode Xes <ll m u ~ i c d o r de 1.000 0
t
OO.
Este pago puede descomponerse en dos partes:
P.,x - PX
que. a
su
z,
puede
interpretarse
de Ia
sOgui<lnte
for
ma
:
• redbiremos una cantKlad X mufhpficada por ~ vator de Ia acciOn at tina l
allo
PrXl.
• tendremos que pagar
Ia
canMad lija )' conocida X multiplicada par 70 que es al prado ac
tual de ta acci6n PX. lOX .
Podemos replica r la primera parle
comprando
X
t i
tuios de
Ia
acei6n hoy, donda X
S<la
100 0
1.000. Esta operaciOn cueSla hoy 70 X. La segunda part<l no tiene nasgo alguno y consiste en pe
di
, prestado
hoy
una
canlidad
iguat a lOXb
doode
b, es al preCia
hoy del
bono bASK:o que ven
ce
en t ana.
Asi
. en un
ano lendramos qua diwoIv'lr
t canJidad
qua hemos
r&eibido d<ll pr
estamo
mas los inlereses.
70Xb, (1 +
r)
~
lO
X.
)'a q..a b .. III
+
r
Ambas
par
tes conjuntame<lte tendran un v tor hoy ;gual
atcoste
de tas des operaciones qoe per·
mi
le-n
r<lplicarlas. Dada la discusi6rl
de
los capilulos anleriores),a sabemos que.
<In
caso
conl
rario,
landrlamos la posibitidad de realizar un arbilraje . Par tan to. eI coste de tas opciones que se
nos
pro
ponen eS : lOX -
(70
Xb,l 70X(1 - b,j. Suponi<lndo que el
bono
bAsico a 1 allo S<l C01iza en el mer
cado hoy par 0.90
centimos de euro, t combinaci6n valdria
hoy
70X(1 -
0.90).
l X. Asl,
ta opci6n
que tiene como compensaci6n X 1.000. signil lcarla dispone' de un BCtiI- O sin "eSg<) alguno coo va
lor iguat a 7.000E. Por 10 tanto. dicha compensaci6rl seria como 'ecitlir un regalc sin rie5go alguno
con valor ;guat a 7. IOO€ .
A e'natMlmente,
es
ta opci6n puede valorarse mediante al razooamiento siguienta. Podemos
....nde, en descutlie rto hoy 1.000 ti
lulos
de ta accK)n par lO.OO l€ e invertir 63.000E en un bono sin
riesgo. L
os
63.000E rosunan de multiplicar: 70 x 1.000 x 0.90, 10
que
a
S<J
vez repraoonta III valor
hoy de recibir 70.000E manana. De <lsta forma. ir>gresamos de monera instantl.nea l.OOO€. t rias
go 58 ha transfe ' ido al comprado de los 1.000 1itulos que espera ob1ener un benelicio juslO como
compensaci6n par el riesgo que soporta. Es im
por
tanle ser cooscientos que asia operaci6n
no su
pone
iesgo
~ u n o para nosol,os ya
que
t finat del
ana
recibiremos Ia comP<lnsaci6n pactada coo
~ empresa. Ahara tlien. baiO esta aitamativa
debemos
praguntarnos qu<l <>Curre exactamente al fi
nal del ana. Po, un tado. como homos invertido 63 .0IXl€ en un bono libre de
Oesgo,
,ocltliremos et
valor futuro de dic/la inversi6n. que es p'ecisamente /gual a 70.000E.
Esta
cantldad. iunto con la
compensaci6n pactada. noS permitira vo/ver a comprar los 1.000 tl
lulos
de
la acciOn que det)emos
devoIver par \aber realizado una venta en descubierto. De esta Iorma, Ia ope 'aci6n resu"ara en un
pago neto a l final
allo Ogua
l a cero. Natura lmente,
dobemos
recordar que
nos
homos embolsado
en el momento
n i c ~ t
una canlidad Oguat l.OOO€ que es, precisamente. III valor de la compensaci6n
pac1ada tal como resultaba bajo primara de las
alterMtivas
analizadas. La oogunda opci6n len-
drla un valor de 10 \l9Ces menos 0
lOOE.
En
~
cuadro 4.1 representamos
de
Iorma
esquernalica eSla oogunda forma
de
anatiza, el pro
blema y ~ valoraci6n mediante ca ' laras replicas en un COOtex to de incertidumbre .
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Act; . .
A,ro1l
..o..vrru
ylff
t Cuac;61l
i
mdammlai
de mlomd6n ...
c.
4) /125
C dro
4.1.
f epli<:. con
IncertHlumb.-..
ESTRATEGIA
,
..
,.,
llerxll < on , , oc . - .o 1.000 .7 0 .000
- 1.000P
li1ulos a 70€ po.- acciIin
1",.nti,63.000€
ftn
born
_ 63 .000 • 63.000(1/0,90) • • 70.000
Iib<e
Ie rie-sgo
+omper.saci6n final
paclada
-
'
,
.
•
COl> ' e V
1.000P,_70.000
PAOOTOTAL
• 7.000
•
En
defioitiva. los pagos
BSxiados oompensaci6n
pactada
con
fa
empresa puedoo replicarw
exactamente
modianlll
t .na carlefa cornpuesta
de
acdooes
de
fa prop4a emp<esa Y uM determinada
canIidad de
bonos
cup6n cero sin
rlesgo
alglno de iosoIwncia. En geneoal. oos referiremos a eSlos IJo.
oos oomo . .
actiK>
segutO. Lo mpo
tanlll
as que soroos capaces
de
vatoraf eI
esquema
~ s t o r i o
propueSlO
iodependientemente de
que
eI
precio
de fa ao::i6n de fa empresa suba 0 baja •
Para
que
esta cobertura perfecta 0 replica bajo incertidumbre
fundone
como en
el ejemplo,
dos
a mas inversiones 0 activos deben ser
COlllillgenles
(su valor
depen
de de) en la misma fuente de incertidumhre. En el ejemplo 4.1.1 < compensa
d6n
propuesta representa
un den'Cl o ctioo lllillg lll
sobre el comportamiento
de
lasaceionesde
<
empresa. As ,
podemos
cubrir 0 rcpliC(lr
sus
pagos negoci<lndo
I<ls
propias aceiones
de
la empresa
que son
la ultima fuente
de
incert
idumbre
en dicho
ejemplo. En olras palabras, tenemos una Unica fuenle
de
incertidumbre asociada
al
comportamiento del precio
de la
acei6n.
Est.
1 incert
idumhre la podemos
caracteri
zar
mediante
dos
est<ldos
de la
naturaleza:
el predo de la
acci6n subira
0
b.1jara.
La
compensaci6n propuesta el activo que
debemos
valorar) es coillingellte con el pre
do de
la acei6n
y, por
lanlo, se
ve
afectado
por la
misma incertidllmbre que dicho
precio. Los ragos de la
compensad6n
los replicaremos negociando a traves del ac
tivo disponible sobre
el cualla
compensad6n
es
CQlllillgellfe;
L
s
to es, negociando las
acciones de la empresa. Sin embargo, exislen
dos
estados
de
la n<lturaleza. Necesi
tamos no s610 negociar
en
las aceiones
de la
empresa, sino tambien con
1m
segun
do activo. Este segundo activo es el activo
segura;
los
bonos
cup6n cera.
Evi
dcn t
eme
nte es importante
qu
_ tanto las aceiones como los bonos sean activos
negociados en el mercado.
DE FI
NICI6N:
Un activo 0 derecho)
contingente
es
un
activo
finandero
cu
yos pagos
se
definen como
una fund6n
(
definida
a priori)
de un
suceso
futu
ro incierto.
Par
ejemplo, el juego
de
la ruleta en un casino es
un
viejo ejemplo
de 10
que
en tend
emos
por
aclivos contingcntes. Dicho
juego
especifica la can
ti
d
d
ganada
a
perdida como
funci6n del numera que salga al
girar la
ruleta.
Aunquc
el
pago
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126 ( ECONOM "
~ R "
fina l sea incierto, es claro que depende s610 del numero que salga iJI
girar
la ru
leta. De la misma forma, un activo
puede
ser contingente con
que
el precio de
una determinada acci6n 0 el valor de un determinado indice burslitil supere
un
nivel especificado priori
en
el contra to establecido
enlre
dos partes.
os dena
minados
aclivos derivados
como
las
opcioncs y
los fu l
uros son
los
ejcmplos mas
evidentes
de
activos continge
nt
es. En estos activos sus pagos
futuros
inciertos se
deriVIIIl de 0 son colltingelltes
COli
el comportamiento del d
enominado
activo sub
yacen te. E
ste
es el
activo
financi
ero
que
se
negocia
en
los
merc
ados financieros y
sobre
el
que
se ha establecido eI contra to del activo
contingente.
En el cjemplo
del esquema compensatorio del
gerente, eI
activo subyacente era la accion de la
empresa. En una opci6n 0
un
futuro contingente
con
el
comportamiento
de
un
indice
bursMil, el
activo
subyacente es precisamenle el
indice
bursa lil.
Ya
enemos
una
serie
importante
de
ingn.>dien t
es
que
nos permi te
aVJOL·U
en
la
valoradon de adivos financieros median te arbi traje
en
un con texto de
inccrtidum
bee. Es importante quecJ activo a valorar sea contingente con el comportamiento de
alglin activo financiero arriesgado que se negocie
en
los mereados fmancieros. De
es ta forma, tanto el activo contingente como el subyacente estan asociados a la
misma
fuente b.:\sica de inccrt
idumbre.
Ahora bien, debemos
ser
muy precisos
en
la
forma
en
la que definimos la inccrtidumbrc. A contin uaci6n prcscntamos eI deno
minado
modele
de preferellcia
Iit lllpo-t Studo
que es, sin
duda,
la forma mas general
de
repll.'SeI1tar las inccrtidumbres
que
vienen asociadas a los mereados financie ros.
4.2 EI
modelo de
preferencia t iempo
-e
s lado,
lo
s activos
Arrow-Debrell y
1a
(cuadon fundamental
de
va
lor
adon
ESle .modelo describe las incertidumbres sobre las que siempre gravitan los pa
goo fuluros de los activoo financieros en
tcnninos
de posibles es.cenarios
deno
minados,
en
general,
estados de la natura1cz.a..
Cuando
intentamos
peededr eI
futuro
comportam iento de los tipos de interCs,
de la inflaci6n
0
del deficit publico, los economistas solemos tender a represcntar
la inherente incertidumbre asociada a d ichas variables a travCs de los posibles es
ccnarios
que,
bajo
dertas
probabilidildes,
pucci<:. J1
(>Currir
en
el futuro. Est
os
< See-
narios
son 10 que
denominarcmos
I S/udos
de
10
1I0 Z jruICUl.
EI
modclo de prcferencia
tiempo-€St
ado hace el supuesto explicito
de que
existe un numero fillito de esta
dos
de
la
naturaleza
. A pesilr
de
que, como en todo modelo, este supuesto sea una
vision simplificada de realidad, tambi(in es
cierlo
que e modelo de preferencia
tiempo-estado
puede
ser una aproximaci6n cereana a a rcalidad ya
que
nos bas
ta con
aumentar
el conjunto
de
los posibles
estados
de la
naturaleza que
conside-
re
nues
tro modelo.
A modo de
cjemplo,
pensemos en el caso
en
que la renlabilidad
de una
dete-
minada empresa depende del precio del cobre
en
el futuro. Dicho precio puccie
tomar exdusivamenle
valores positivos,
pero podemos
simplificar los posibles
escenarios
analizando
unicamen te el impacto
que
tenga en la
rentabilidad
de la
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 5/76
ACliros Arrow-Ot breu y o , ,uacion fundamental dr I ,,,,,wn
... c.
4) / 127
empresa los cambios de 100
eurns
por tonel
ada
en el precio del cobre. Asi, nues--
tros escenarios an(llizMian 10 que oeurriri con In rentobilidnd
si el
precio del co-
bre fuero 700€/Tn (euro por toneloda), 800, 900,
1.000,
1.100, ...
,2.000,2.100,
2.200. Si necesitamos una moyor precisi6n, podriamos considerar
el
impacto so-
bre la rentabilidad de cambios en 50€ / Tn en el precio del cobre. Na turalmente,
cuanto mayor sea
el
numero de estados coTtsiderados mas pr6ximos estaremos
de la inccrtidumbre real del precio del cobrc.
Pensemos
en
un ejcmplo muy simpli fi
cado
pero de enorme importancia para
enlender las ideas subyacentes en las Finanz.1.s modemas. Supongamos tm caso en
el
que
s6lo consideremos
dosestados
de
In
IlatllralezJI 11/1
unico
periodode itrversiOn
COli
do;; ec}U/S,
Iroy
I1Imlmra (ul mlo . Imaginemos
que
una cmpresa esta oonsiderando
la
posibilidad de perforar
una
mina de oro y que]a fuenle basica de inccrtidumbre
cs
el
precio
que
el oro l
endd
en
el mercado intemacional.
Si
los
palscs
produclores
de
oro se
po en de
acuerdo y fijan lma politica concrela
de
extracci6n del oro, su
precio a1canzaria los 280€ /Oz (eurns por onza) en tm mlo y
la
mina propiedad de
la
empresa tend ria un valor de 200 millones de euros. En caso contrario,
el
precio
del oro sc quedaria en 230€ /Oz dcnlro de un ailO y
la
mina valdria 50 millones de
euros. Supondremos
que
el oro
puede
almacenarse
sin
coste alglmo,
5U
precio hoy
es igual a 250€ /Oz y que
el
tipo de interl's del activo seguro a un ano cs igual al
5,82% (n6lese
que
el precio del bono basico hoy scria igual a
1/1.0.582
",
0.945 eu-
ros).
La
siluaci6n queda reflcjada en
el
cuadro 4.2.
Cuad
m 4.2. La valorado
de
UnA mina
de
oro.
H OY EN UN ANO
Eslados Precio allo
(s
= 1) Precio bajo
(s
= 2)
l'recio oro
250€/Oz
28O€/Oz 230€/Oz
Valor mina de oro
,
200 mill. euros 50 mill. euros
Valor
bono b<1sieo
0.945 CurOS 1 euro 1 cum
EI dato
clave
que
a la empTCSil Ie interesa conoeer cs el valor
de
su mina de
oro hoy. o habitual
en
un planteamienlo de
..
SIc tipo es preguntarse
por
las pro-
babilidades de ocurrencia de cada
uno
de los
eslados
de la naturaleza para pa-
der asignar un valor
esperado
a los pagos futuros del
oro y,
por tanto,
un
valor
csperado
al valor
de
la mina.
l'sta la unica posibilidad que
lenemos
para
valorar
la mina de oro?
En absoluto.
Nuestro argumento
para
dcmostrar que
tenemos
una
potentisi-
rna herramienta de valoraci6n bajo inccrtidumbrc se basa en la construed6n de
una cartcra
dc
los aclivos existentes que replique los
pagas
futuros
de
la mina
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(acl1\'o a valorar).
Ahora
bien, icu5i es c1 activo subyacenle? En es le ejemplo,
es
evidente:
el
oro. N61ese que
la
mina es un activo contingente cuyo valor depen
de
0 es contingente con
el
valor futuro del oro. EI oro es
un
activo sobre
el
cual
podemos
negociar en los
mercados
inlemacionales.
La
fuente de incertidumbre
asociada al nctivo (real) n valorar y a l subyacente esla
misma
y, ademas, tenemos
dos estados
de
la naturnleza. Finalmente, sabemos que exisle lambicn
la
posibi
lidad de invert
ir
en un activo seguro (el bono bdsico).
En definiliva, podemos replicar los pagos 0 valores futuros
de
la
mina
de oro
median te una cartera formada por oro (el activo subyacente) y por
eI
activo se
guro. Supongamos
que compramos
3 millones
de onzas
de oro.
Nuestra
inver
si6n
valdnl840
millones de
euros
en
eI
primer estado y 690 milJones de eufOS en
el segundo estado. N6tese que eslas cantidades represen tan 640 mi110nes
de
eu-
f S mas
que
€I
valor
que
alcanzaria la
mina
en
cada uno
de
los
dos
estados. Si
pc-
dimos un pres
t
amo po
r valor
de
0.945 x 640 millones
de euros
para financiar la
compra
del oro, nuestra cartera tendrd
unos
alores°pagos fuh fOS iguales a los
que tiene la
mma
en cada uno
de
los dos estados. Dc esta forma, por tanio, he
mos rcplicado los pagos futuros del activo a valorar,
la
mina de oro. Este activo
por ausencia de arbit raje valdra hoy 10 mismo que el coste de
la
cartera replica
construid a a base de bonos y oro. Como
el
oro y d bono btisico son activos que
se negocian en el mercado, s.1.bcmos con precisi6n eI coste de In (arlera replica al
poder observar
sus precios de
mercado
y, 10
que es
10 mismo. el coste 0 valor
de
la
mina de oro. Lo
podemos
comprobar en
eI
cuadro 4.3.
Cuadro 4.3. Cartera
,< p li
ca para valorar I. min. de
orO
.
HOY
N
UN Na
Estados s = I s = 2
Compra del oro - 750
mill. eUfOS 840 mill.
euros
690 mill. eufOS
I'restamo
604.8
mill. eufOS
- 640 mill. Coros - 640
mill.
eurOS
Carlera replica
145.2
mill. euroS
200
mill. euros
50 mill.
CufOS
Valor
mina
de Oro 145.2 mill
eUfOS 200
mill. euros
50
mill. e\.lTOS
l.6gicamente,
podemos
seguir un procedimiento mas general par,l
obtener
la
carlera replica del activo que deseamos valorar. Para ello, denominamos por
zorn
al nl mero de
onzas de
oro que
compramos
en
nues
lra carlera replica y
b
a la
cantidad
en
euros
que e e s i t ~ m o s del bono
basico.
Ambas puede
n
ser
negalivas
suponiendo
que admilamos ventas en descubierto. POf supuesto, en el caso
del
bono
basico,
un
zb
negalivo indica ria
que pedimos
prestado
10 que,
naturalmen-
Ie, es equivalente a una venta en descub
ie
rlo del activo seguro.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 7/76
Actioos A,,,,...,.Drb,,,,, I la cruaciCn f damenlai Q£ wiorad6' .... (c .
4
I 29
Las cantidades om Y b se escogen
de
forma que los flujos
de
caja gem·rados
por In cartera replica sean equivalentes a los flujos generados por la mina de oro
en
cada
es t
ado
de
la
naturaleza. Este
plantcamiento nos conduce
a
un
senciJJo
sistcma de c<:uacioncs:
s = 1:
280z"",
+ lz
b
= 200 mill.
s = 2:
23Oz
o
,
+ l
Zb = 50 mill.
>=00 Z = 3 mill. onzas
-
'
Zb
=
~
640 mill. euros.
EI valor (coste) dc
Ia
mrtera
replica y por tanto, e valor dc
Ia
mina dc oro
consist
ente
con la ausencia de arbitraje
es
v
=
25Oz
r
+
0.945z
b
" 250 X 3 - 0.945 X 640 = 145.2 mill. euros.
Es importante
dejar claro
desde
el principio que si cOl15ideriiramos,
por
ejem
plo, cuatro estados de la naturalcza, nec
esitariamos di
sponcr
dc
cuatro activos
fi
nancieros que generen flujos de caja linealmente independientes. de forma
que
pudieramos
resolver
un
sistema d(' cuatro ecuaciones
lineak
-s para
obtener
cantidad necesaria dc los activos disponiblcs qu(' repliquen ('I activo a valorar.
N6tese que en el ejemplo anterior teniamos dos
cstados
de naturale:z.1 y dos ac
tivos disponibles linealmente indepcnd ientes ; el oro y eI bono basico. Esto nos
permitia resolver el sistema
de
ecuaciones para
obtener
z m Y
' Con
cuatro es
tados de la naturaleza neCl'Sitariamos cuatro activos financieros. Si el ejercicio
exigiera 5
estados de
la
naturalcza nos harian
falta 5 activos financieros lineal
mente independientes. Recuerdese que csta exigencia es la misma que teniamos
en
e
c
apitulo
2 cuando nea.
-s
itabamos t<ln tos bonos btisicos como periodos dt
tiempo en los que el activo a valorar generaba flujos de caja. Aqui, tenemos
un
solo
periodo
temporal pero
multiples
L'Stados
de
la naluraleza. Alii, teniamos
multip
les periodos
de
tiempo pero
un
unico
cstado de In
naturaleza (certeza).
A continuaci6n desarrollamos las tecnicas generales
que
nos
pe
rmiten valo
rar activos b.1jO ausencin
de
arbitraje en el contexto del mode o
de
preferencia
tiempo-estado. En olras palabras, generalizaremos el ejemplo anterior de forma
que ob tengamos
una
teenica de valoraci6n de activos bajo incc
rtidumbre
basada
en el supuesto fundamental de auscncia de arbitraje. Esta teenica es dave en las
Finonzas
moderna
s y su oplicaci6n
induye p r ~ t i m n t todos
los moddos de
valoraci6n de activos conocidos.
Ya
hemos
scfialado que sc trata dc replicar los
pagos
de
un
activo en cada t tado fu turo, de misma forma que en los capitulos
anteriores replicabamos los
pagos
en cada fCc/ill futura.
DEF1N106N:
Un activo co
nt
in
gente
ele
mental
0
activo
Arrow-Debreu
es
un act ivo
que
paga 1 euro si un dele rmif ado es l
ado
de la naturaleza ocurre y
nada
en caso conlrario.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 8/76
13
I EcoNOMr .. FIN IlNClER
N6tesc que el concepto de activo Arrow-Debreu no
es
mas que la extensi6n
del concepto
de
bono basico al caso
en que
existe incertidumbre caracterizada
por los estados de la naturaleza. La contingencia se asocia con la ocurrencia de
un es tado de la
naturaleza
concreto en el futuro, y
asi
el precio
del
activo
Arrow
Debreu nos proporciona el valor que liene hoy
un
euro recibido en el futuro en
un
cstado delerminado. Es, sin duda
alguna
uno
de l
os conceptos mas impor
tantes en Economia Financiera.
En el e;emplo sobre la valornci6n de
la
mina de oro existian dos cstados
de 1 1 1k1-
turaleza. P Of tanto, dtWn existir dos activos Arrow-Debreu. EI activo 1 paga 1 eu
ro en cI cstado s ' 1 Ynada
en
el
estados
= 2. El activo Arrow-Debreu #2 paga 1 euro
en el estado 5 = 2 Y cero en el estado 5 = 1. Denominaremos como
s
al precio hoy
del activo
Arrow
-Debreu que paga 1 euro
en
el estado s y nada en caso contrario.
Volvamos a
nuestro
ejemplo.
Si
qu
eremos
replicar los valorcs
futuros del
oro
mediante activos Arrow-Debreu deberiamos man tener una cartera con 280 tilu
los del activo
Arrow-Debreu
1 y 230 titulos
del
activo
Arrow-Dehreu
#2. Asi,
dada la definici6n de los activos Arrow-Dcbreu los
pagos
de esta
car
lera
en
ca
da estado de
1 1 naturaleza
son:
2lIil
x
1
+
23Q
x
0
=
280 euros
-<-'
Y
titulos A - 0 1 pago
en euros
titulos A -
0 2
p
ago en euros
2lIil
X
0 + 230
X
1 = 230 euros.
y
titulos A -
D 1
pago en euros
titulos A - D 2
pago
en euros
Por tanto, para evit;Jr las posibilidades de arbitraje, el coste
hoy
de esta carte
ra
de
activos Arrow-Debccu
debe
ser igual al valor hoy
del
oro.
250,
coste
hoy
carteTa activos - D coste
hoy oro
donde l
es
el precio hoy del activo Arrow-Debreu 1 y
es
el prccio hoy del
activo
Ar
r
ow-Debccu
#2.
De la misma forma, los pagos del activo seguro
pueden
replicarsc mantenien
do
una
cartera oompucsta
de un
titulo
de
cada activo Arrow-Dcbreu existente.
I
X
1
+
1
X
0 = 1 euro
y y
y
Htulos A - D I pago
en
euros lilulos A - D 2 pago
en
euros
I X
0
+
1
x
1 = 1 euros.
y
y
y y
titulos A - 0 1
pago en euros
titulos A - D 2 pago
en
euros
De nuevo para evi tar arbilraje, el coste de la cartera de activosArrow-Debreu
debe
ser
igual al coste del activo seguro.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
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cUws
Arrow-Dtbrru yla ecuacw
jU
lldamelllai de wioracW , .. (c.
4)
I 3
11; + 147
---v--
cos te hoy cartera activos - D
=
0 945.
coste hoy bono basico
En defini tiva,
uniendo amb
as ccuaciones
de
valoraci6n,
nos
encontramos
con
un sistema de dos ffuaciones (una para cada activo negociado en el mercado) y
dos inc6gnitas (los precios
de
los activos Arrow-Dcbreu). Es fundamental enten-
der
que
este sistema n:.'Sulta
de
imponer la
ausenda
de oportunidades
de
arbi
traje, y permi te
encontrar
los precios de los activos Arrow-Dcbreu.
2804'1 2 3 ~ =
250
4> =
0.
945
.... 4> = 0.653
=-
=
0.292,
Es
importante
rcsaltar la siguiente rclaci6n:
donde r es el rcndimicnlo a un a
no
del activo seguro y b es el pn:.'Cio
del
bono ba-
sico
que
paga
I e
uro en un
ano.2 En general. para
evilar
las
posibilidades
de
ar
bitraje
debe
ser
der
lo que
[4.1 J
siemprc que es temos trabajando con
mOOe
los de
un
solo pcriOOo 0, alternativa
mente, con estrategias de negociaci6n estaticas, en las que el horizonle
de
los in
versores
no
va
mas
alia de un unico pcriOOo
de
tiempo,
aunque,
naturalmenle,
al final del pcrlOOo
pueden
existir 5
estados
de
la
na iuraleza.
N6
tese
tambien
que la cxpresi6n [4.1} implica que la suma de los prccios de tos activos Arrow
Debrcu no es, en ningun caso, iguaJ a uno. ) La intuici6n
de
l
Tas de
la ecuaci6n
{4.1J es bastante inmediala. Al final del pcricldo siemprc debe ocurrir uno de los
estados de
la
naluralez
a. Si mantenemos
un
titulo de cada uno de los activos
Arrow-Debrcu existentes nos
aseguramos
que, al final del pefiOOo, recibamos 1
euro. Pero este pago es identico al
que
recibiriamos
por
invertir en el bono basi
co. Poc tanto, la cartera compucsta por una unid
nd
de cada uno de los activos
Arrow
-Dcbreu y el
bono
basico
deben
tener hoy cl
mismo
coste.
Dado que lodo eI capilulo se "eru en una eronomfa
de
un
unk<:>
periodo. no empl""mos
el
. ubindk 1 en
I
precio del bor.u b.isico.
un
aflo p s;mplifkar I. not1Ici6n. S
) Ex<:epto, cvidenlemcnle.
cua
ndo
eJ
t ip > de intere. .,. igual a cero,
En
S",.....a , I ••
<
L
• _ 1
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 10/76
132
ECONOMiA FIN NCIER
Una vez que disponemos de los pre;:ios de los activos Arrow·Debreu estamos
en cond iciones de poder valorar cualqu ier activo nnanciero. De hl. Cho, eslos pre
cios
son
piezas dave en t
oda
expresi6n de \'aloraci6n de ac tivos nnancieros.
Reflejan
10 que
los inversores estan dispucstos a pagar hoy
por
unidades
de
con
sumo de euros) en cada uno de los
cstados de
la naturaleza futuros. Recogen,
por tanio,
la
inecrtidumbre asociada a cada uno
de
dichos estados y son, ademas,
precios de hoy, por
10
que
incorporan un
faclor
de descuento
temporal. En defi
niliva,
valoran
hoy unidades de
consumo
fuluras teniendo en cuenta lanlo la in
ecrtidumbre de cada estado como
la
valoraci6n temporal del dinero.
En cierta forma, tambicn
podemos
entender los activos
Arrow
-Debrcu
como
seguros
que conlratamos pa ra rccibir una
dcterminada
cantidad de dinero
si
un
det
erminado
estado de
la
naturaleza ocurre. Asi, sus prccios
podrfan enlenderse
como
la
prima
del scguro
de
una
p6
l
iL1. que
nos
cubrc an
te ciertas con
ti
ngencias
en el caso de que
un
estado de la naturaleza particular ocurra en el futuro.
POT
cs te molivo, si mantenemos una cantidad
de
todos y cada uno
de
los
adivos
Arrow-Debrcu seria equiva l
ente
a
disponer
de
una
p61iza
de seguros
que
nos
cu
bril. SC an te cualquier contingencia posible.
Comp robemos c6mo podemos vaJorar cU<lJquier activo financiero a t r n ~
de
l
os
precios
de
los aclivos Arrow-Dcbrco. Volv i
endo
al valor
de
la
mina de
oro,
n6tese que podemos ob tener su valor haciendo uso
de
4> y th..
v = 2 4>1 .. 50th. ' 200 x 0.653 50 x 0.292 = 145.2 mill. euros,
donde 200 Y 50 son, en esla ccuaci6n, los flujos
de
caja que genera la mina
de
oro
(el activo a valorar) en cada uno de los eslados de
la
naturaleza fUl\lros.
En definitiva, sin emplear explici tamente las probabiJidades asociadas a cada
-
tado, los precios de los activos Arrow-Dcbreu son la
her
ramienta mas ut
il
en
Ja
que
podamos pensar pam valorar acl;vos fUlancieros. PodemOli conduir que los precios
de los act;vos Arrow-Debreu pucden utiliL1.rse para valorar cualquier activo (real 0
financiero) cuyos pagOli pUL-dan espo.. Cinca..-se en cada estado de la naturaleza.
Ahora
ya podemos presentar la
ecuacichl jlllldam( l1lai de valoraci6/l
de la
Economfa Financiera. Dcnominamos X
<
al
pago
(flujo de caja) en
curos del
acti
vo en
el
est
ad
o
de
la
naturaleza
s y
4>
,
al
precio
del
activo
Arrow
-Debreu
que pa-
ga
un
euro en el estado 5 y ecro en caso contrario. En ausencia de arbi traje, el
valor actual de cste activo
j
viene dado por la siguiente expresi6n
[4 .2J
Esta es, esencia lmcnte,
la
misma ecuaci6n que presentamos en
un
mundo don-
de los flujos
de
caja se generaban a 10 largo
de
multiples periodos con absolu la cer
teL1 y que venia dada por la expresi6n
(2.41.
Insistimos en que las prob..1.bilidades
de
cada
estado 11
son neccsarias para valorar activos; los precios
hoy
de
las lIni
dades
de consumo rccibidas en los es tados de la naturalcza futuros (precios
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 11/76
Act,,,,,, Arrow-Drvrru lla
t CuacIDn
f,mdamental de ""Ioracw . , . c. 4) I 133
Arrow-Debreu 0 prccios
de
los activos contingentes elementales) son 5uficientes
para valorar cualquier activo financiero mediante carteras replica siempre que
exis
tllil
IlInlOS IICtiOOS
jinllncieros
con
pagos /ilu l/imente
indepcndiente5 como
mimero
de COII
lillgmcins II eslildos de III natumll'Zll. Esta t·lltima Frase es equivalente a doxir sil'm
pre
qHe exislnn IlInlos
l id vas
Arrow-
DebTI ll
como
conlingl 11cills
0
esllldos de
III
IIlIlumlan; es
decir, siempre que exista un conjunto completo de activos Arrow-Debreu. Esta
i d e ~
hate
referencia a otro concepto fundamental en Economia Financiera que se
denomina mercados comple/os que ya adclantamos en cI capitulo 2 y que discutirc
mos ampliamentc
mas
adclante
en
cstc
mismo
capitulo.
N6tese que detr;ls de la expresi6n [4 .2[ se encuentran, una vez mas, los argu
mentos
de
ausencia
de
arbitraje. Consideremos cualquier activo
j
que
paga
Xj< en
1 1 estado
s. Los
inversores pueden replicar dicho pago mantenicndo Xj< titulos
del
activo Arrow-Debrcu
que
paga
en el
estado
s.
Esta estralegia se
pooria
seguir
para tooos los estados, 5 " I, .. " S. Por tanto, para evitar posibilidades de arbi
traje, el coste de la cartera replica de activos Arrow-Debreu
debe
ser
igua
l al cos
te del activo j. EI coste de la cartera replica de activos Arrow-Debrcu es cI
resultado de
multiplicar cantidades por prccios y es igual a
,
L
' Xi>
.
I
-. ..-
__
p"",ios c ~ n t i d d o s
EI
coste
del
activo
j
es
su
precio 0 valor
de
mercado,
\j.
En definitiva,
debe
satis
facerse la ccuaci6n f
undamental
de valoraci6n [4.21.
lCua
es la interpretaci6n intuitiva que
podemos
dar
de
la ecuaci6n [4.2]? Esta
expresi6n nos dice simplemente que 1 1 precio 0 valor de cualquier ~ c t i v o j con
sistente con 1a ~ u s e n c i a
de
arbitraje es
cI
vJlor actual
de
sus pagos futuros, don-
de los factores de dcscucnto rcflejan tanto la incertidumbre de cada estado
donde
se
generan
los flujos de caja
como elvalor
temporal
del
dinero, y vienen rccogi
dos por los prccios de los aclivos Arrow-Debreu.
Una evidenlC dificul tad
que
pll.'Senta co
nceptualmcnte la
exprcsi6n [4.2] es
c6mo dcfinir apropiadamen te el numero de es tados
de a
na turaleza futuros en
que
1 1
activo genera flujos de caja. En principio, este puede ser
enorme,
por
10
que surge una pregunta de fo rma inmediata,
,podemos
redu
ci
r
el
numero
de
es
tados? La respuesta
es
si,
siempre
que los inversores eslCn bien diversificados.
4
EI siguienlC cjcmplo ilustra esta idea.
•
La
di,
·ersificad6n del ,iesgo PO' pa,te
de
los inverson;s t'S un roncepto que discutif'l'll1os ron
much.:> pr.dsi6n en I",
prOxirnos
capitul",
del Hbro. Sc t','t.' • ...., cu.lquk.,.
caSQ, de p o s i c i o n ~ .. lOgi_
c.,
<'11 individuos
.""""",,.1
riesgo que tratan
de
disminuir
I. ,·.ri.bilidad de
los pre.:ios
de
su,
in-
vcrsionoes combinando aclivos cu)"',. rendirnicnt06
no
esMn perfect.mente corrclacionados.
Dc
est.
forma.
100
riesg"" asoci3dns a irl\"erSio
......
en empTt. ' individual
..,
"a"""lan
quedando
exdusi-
v.mente
el riesso
"sod.do
a I
. . . . , ~ 1
en su conj
unto
0 riesgo
de
n,ercado.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 12/76
34
I
EcoNoMfA F
INANCIERA
EJEMPl O 4.2.1
lmagioomoo que los nujos de caja qua genera una delermi M ampresa depeoden de dos lactores:
a) La si uaci6n gene ral de
~
economla 0
de
10
que
denominaremos mercado. En eSle sentido.
supongamos qua esperamos dos eSlados de la Mlu raleza: eI estado uoo (expansi6n econ6mica gl0-
bal)
Y
el astado dos
(re<.:esi6n
econ6mica global).
b) La
sl
tuaci6n especlfica
de
Ia industr;"
donOe
sa fabrica
eI
producto
proopa
l de esta empre·
sa. Aqul. tembi60 tenemos dos eslados:
O l
aslaOo uno p n s ~ de Ia Iodustr ja) Y
O l
estado des
(r
ecesiOO
de Ie indoslr;") .
Asi, lenemos cuelro estados de Ie naluraleUi QUI.I representamos en el cuadro 4.4.
C. . .
dro
,
... 1 0
redue<:1On
de
l nOme",
de H <IoI.
M RCA
DO Gl
O
I:IA
l
ExpansiOO
0
. 1) R ,s iM (J . 2)
E>:pansiOn (0 I)
'00
lNDUSTRIA
(0.4)
(0.11
R ,, ( . . 2) ro
0.21 (0.3)
donOe
los numeras representan miles de euros generados por la empresa en cacla uno de los cua-
IrO
eslados
y enlre
parentesis aparecen las probat>lidacles asoc; das
a ceda uno de
los
cualra es-
tados
de
Ia
Iura
laza. As;,
podemos
obtener las siguieoles probat>lidades:
Prob.M(s .. 1) . 0.6
Prob. M
s
2) .. 0.4
Prob.l(s
..
l) ..
0.5
Prob. I (s 2) .. 0.5.
as dedI , Ie
probabil
idad
de que
eI
mercado aSle
en
expansi60
es
e16O%. mientras
Que una
recesi60
gene",1
sa
espera con un 40% de posJbilidades.L8 induslr;" pre.ente. sin embargo. Ie misma pm-
bat>lidad pare cada
astado
U idea csocla l as delinlr con
precisi6n
10
que
enlaodemos par irrversores bien di'fflrsilicados.
I'odefoos
Oedr que los Irrversores bien diversil icaOOs
son
neulraies ante cualquie r riesgo
qoo
00
sea
el rlesgo global 001 mercado 0 la &COOOr1lia. Dadas sus posiciooes di'fflrsificadas. al riesgo prove
niente
de
industrias especllicas
0
sectores concretos
00 es
relevante para ellos.
El Unito
liesgo
que
las preocupa
as
al
riesgo
que, en
uK
imo
~ r m i o o .
00 pueden diversificar.
Se tra te de oblener los Ilujos
de
ceja que espera
gene'ar
eSIa empresa condicionades
a
que el
marcado (pera
s6Io
eI
mercado)
s l ~
an un detarminado astado
de
natu",ieza:
X
IM 1]2 (0.4 X
100 ..
0.2 X 4
0)/0.6
60
ElXIM
.. 2
]
0.1 X
50
.. 0.3 X
2O)/OA
.. 30.
Es ded
Ia
empresa
espe' gene ,r 80.000
auras coodicionado a que
Ia
oconom(a
se
situ... en
el estado de expansiOn I) y 30,000 condicionado a
que
al mercado estt; en el segundo
stad<>,
Lo Importanta es qoo Ia descripcl6n
de
los estados
de
Ia oaturaleza ralevantas quede reducida a des
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 13/76
Ac/ioos Arrow-Dtureu
Jlla
ecuacwn fi
,dammlal
de
,/omckin ..
(c . 4)
I
135
en luga' do los coalm originale
s.
Eslo impIica
qoo
los inverso<es bien diversilicaoos se muestran
In_
diferenles enlre
fa
siluaci6n 0 flujos do caja
(00
miles) representados en el liguienle cuadm:
C d
rn
4.$ {A)
E"PInal6n { • • 1)
I
Roe
...
6n (0 . 2)
I
I I
y fa s ~ u a c i n original que venia dada en forma simplificada por'
CUadrn 4.$ ( II )
E. ""na\6n {• • 1)
Roo
ut6n (0.2)
'00
ro
ro
AJ final. los cuatro estados quedan reduc;oos a dos unloos estados 'e l antes desdo al punlO
de
vista do los inverso<es. Sa trata do conside'a' exclusivamen1e los estados
an
donde
Ia
econcM I1ia en
SU conj
unto
(al mercado) presenta niveles de riqueza dife,ootes. •
4.3
Valoraci6n de adivo
s
financier
os: arbitraje y
probabilidade
s
neutrales al rie sgo
A continuaci6n
prcscntaremos
las ideas anteriores de
manera
mas formal y com
pacta. Estas ideas representan
tooa
una
teorla
de
valoraci6n
de
activos financie
ros. EI Testo de los capitulos de este libro extienden, para situaciones cada vez
mas
prt'Cisas, las ideas
de
esta secci6n.
Dcnominaremos al p
rc
do 0
valo
r
de
cualquier
activo
fin
andcro;, para
i
1,
... ,
N,
en
un
mom
e
nta
del tiempo
t,
que eliminaremos de
la
nolaci6n con
el
unico
fin de simplificarla. Simplemen te debemos r&ordar que estamos en
una
econom
ia
de un solo periodo
y dos f
echas
hoy
(I) y
manana T). El
vc£tor
N-
dimensional
de
precios
de
los
aclivos financieros es:
5
v=
v
V
SM;\ . adelante en esta ,;.eqi6n trabaj. ,mos
« T l .clivus
fin.n ;ef(l$
<:omO
a«iOfles,
1
,
- ,;
y op
ciooes. De momento, el man:o de trabajo pret<'nde ser general.
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136
/ Ec'ONoMfll F1NIINC1ERII
EI conjunto de posible:; est dos de 1 n turaleza 10 repn.'SCnt mos por un vec
tor S-dimensional ,
y
donde, n tur lmente,
estos estados
son
mutu mente excluyentes, pero uno
de
e110s
debe
ocurrir necesari ment
e,
Llamaremos Xj< al flujo de Cilja 0
pago
en
euros
que cada activo financicro j
genera si se presenta el estado de la naturale;:a s. Dc esta forma, tenemos la de
nomin da
/HalTiz
de pagos,
X,
que sera una matriz de
orden
N x 5:
x
~
donde cada fiJa representa
10
que cada activo individual genera 0 paga en cada
uno de
los 5 posibJes estados,
y
cad
columna
indica
10
que
cada
un
o
de
los N
ac ti vos existentes paga en
un determinado
es tado
de
naturaleza.
Si dividimos cada elemento
de
la matriz anterior
por
el precio actual
de
cada
u-
no de los activos existentcs que, dada la responsabilidad limitada, debe ser distinto
de
eero y positivo, obtenemos la rcntabilidad bru ta
de
cada activo j que rcpresenta
rcmos por
t
Asi, tenemos la miltrizde rent biJidildL'S brullls, R, que vien.e d da por:
Xl1/V .
R
I
X
• RZI
Supongamos, pilta coneret
ilr,
que l'Stamos anali z
ando un
mercado financicro
que tiene Ires
aclh OS
f hwrrciervs.
EI
primero cs eJ activo
seg
uro en eJ que invertimos u-
na cilntidild delermin d
de
dinero, B cuy rentabiJid d bru ta a un horizonte
de
un
unico periodo y conocida con certeza es igual a (1 rl. 5i B fucra negativa significil
ria que hemos pedido
un
pn'-slamo
por
dicha Cilnndad
al
tipo de interes
del
activo
seguro, 5i, por el contra rio, B fuese posinva significa ria que hemos prestado una
cantidad igual B t mbien ill t po
de
inten'-s del
cnvo
segUTO. El segundo es
un
ac·
livo
incierlo {acciouL S) cuyo pago futuTO
puede
seT mas alto 0
mas
bajo rcspecto al ni-
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Aelivos
A r r o , , ~ D r ~ m
ylu emae;,; fimdume lal valorado,
..
.
(c.
4)
I
137
vel actual
de
su precio.
6
Esto implica queestamos peru;ando en dos posibles estados
de Ia naturaleza,
donde
el primero sera eI t'Stado al al:w
en
eI precio del activo y que
denominaremos
51 = II,
mienlras que el segundoescl estado a la baja en el prccio del
activo y
que
llamaremos
s2
=
d?
Finalmente, e l terrer activo sera un
aclil'O
derivado
0
activo contingente que denominaremus oIXi6n
de
compra (call optiolll y que otorga
a
su
titular
eI
derechu (pero no
la
obligaci6n) de
comprar un
nllmero determinado
de
titulus del activo subyaccnte incierto al final del pcriodo por un prccio especifi
cado hoy igual a
K.
En este caso, el vector
de
prccios
puede
representarsc como:
B
V ,
P
donde
B
es la cantidad en emos
prestada
0 pedida
preslada
al tipo
de
interes del
activo seguro, P es cI prccio nctual del nctivu incierto
y
C
C5
cl
prccio actual de la
opci6n de compra.
8
As ,
tcnemos N =
3
activos y
5
=:2 es tados de la
naturaleza.
La matriz
de
pagos, X, sera en es te
caso
una
matriz
de orden 3
x
2 que puede
11'
presentarse como:
Xu
. 1 +r)B
X
21
•
p
X
3
•
c
X
12
• 1 +
r)B
X
n
• Pd
X J2 •
Cd
donde,
dada
1 1 definicion
de
la opcion
de
compra,
C"
' max (0, - K
[4.3)
ya que eltitular
5010
cjcrcera su den'Cho en c\ caso de que e1 prccio del subyacente
al final del perkxlo sea superior a l vaJor fijado
en
el
contmto
K. RlCuerdese que el
titular, l'll esc caso, tend ria den.'Cho a
comprar por un
prccio
K
un
activo
que
tiene
un v lor en el rnercado secundario superior a K. Cuando
cl
prccio del subyaccnte cs
menorque
K
c\ titular de la oIXi6n no ejerreria su derecho. Seria preferible
comprar
el
ac
tivo en el mereado secundario en lugar
de
ejereer la oIXi6n y tener que pagar K
•
Como
c" lam""
.natizando
un
mundo un
unico
periodo y dos f'-"MS podem05 intcrprel.r
cl
pago
det oclivo
indcrto . 1
roM I
dc
l peTOOo
como
el pre<:io final
dc dicho
octi,·o 0 pre<:io al
quc ...
liquidarfa dich. emp""'"'_
7 I) da la /101,.."..,lalura < ' S t ~ n d a r en Finall"a •. uliiiuo",mOll I", iniciilles d e l l ~ r m i n o all);I",",,;oo
III'
par.1 dt.'n<""inar al ,,"lado
ron
p",,,io al
017,1
y J . p.,, rderim<l§ .1 ....tado
ron
p"-,,io • 1
1
b ~ l ,
S
Es
importallie ...".,Itar que B ,/0 hace ",ft,rt."flCia .1 p"-,,io pot
uniddd,
como<", d C""" del acli,' o in-
cicTlo y
de ta
opd6n_
Es
I.
cmlidad /01.,1 in ,
·ct1ida allip<>
dc
inlc,,-,"
derto T,
AI
l<.'m.ll
i,·.lmcnle,
1.
p
.....
senLlCi6n ..,
podria
h.>cer " Iraves de un Ix .., Wsico cuyo r e c ~ ' actual so.."';;'
b
y d pago (ulUfO
un
CUfO.
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138 /
EC
ONOMIA FrNANO[RA
A continuaci6n se presenta uno de los teoremas
mas
importantes
de
la
Economia Financiera. En
primer
lugar, en el contexto
de
los tres activos,
da
dos el
vector
de predos, V y
la matriz
de pagos
X
y suponiendo
que los dos
es
t
ados
de
la
naturaleza tienen probabilidades positivas de ocurrir, puede afirmarsc que:
a) 5i existcn dos constantes es trictamente positivas, q . ~ y q.d' tal que los precios
de
los activos financieros satisfacen la expresi6n:
8
p
8(1 +
r)
p.
.
B l
+ r)
P,
entonces
no
existen
opor
l
unidades
de
arbitraje.
[4.4]
b) 5i
el mercado finandero compuesto
por
el
ve<:tor
de
precios, V y Ia ma
triz de pagos, X, no prcscnta oportunidades de arbitraje, entonces podemos en
contrar dos constantes estrictamente
positiv
as, q . ~ y q.J' que sa ti5facen la
ex
presi6n
[4.4].
Naturalmen te, estas constantes son los precios
de
los activos contingenK S ele
mentales
qu
e
denomin
amos activos Arrow-Debreu que
pagan
1
euro
si
un deter-
minado estado de
la
nahlraleza ocurre y nada en caso contrario. Este resuI
tado
puede generalizarse en
el
siguiente tcorema:
TEOREMA 4.1 Primer Trorema Frmdame,rtaf
de
fa Economia Finmrciera)9
La es tructura financiera V, X)
esUi
exenta de oportunidades de arbitraje si y 56-
10
si existe
un
ve<:tor de constantes es trictamen te positivas <
>
, tal que V ' X
J
.
Las consecuencias pnkticas del Primer Trorema Fl/Irdamellia/ de fa Economia
Finallcicnr
son
sorprendentes. Para verlo,
n6
tesc que la
primer
a fila
de
la exprc
si6n [4.41, una vel que ambos lados SoC dividen por B, puede escribirse
como
1
=
1 +
r)q.
+ (1 + r)q.d.
Definamos a continuaci6n l
os
siguientes
~ r m i n o s
+r)q.
lrj
• 1 + r) q.J.
[4 .5]
[4. 6]
Dado que los precios de los activos Arrow-Debreu
son
poslllvos y dada
la expresi6n [4 .51,
lr
y
l d
tienen exactamente las mismas
propiedades
que
una
probabilidad. Asf,10
• EI pendiC<
de
esl<l
.pftulo
mntime
un. pNSentad6n
formali7.ada
de
cste
n,<>n,ma.
10
I..a
desigual
d.d
no estr; ;t.
dell3do de 'ho nee ia
P '
dmiti, I.
posibi1idad
de q
exista 0010 un est.do de
I. tur.leu
.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
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Adioos Arrow-(;r..b u lila ocuacion /u dammlal
de
rn/otllcWn._. (c. 4) I 139
O<Jf·s1·s=1
1 d
. ,
Como
vernos, los t
erminos:r;
son numeros positivos y
suman 1.
Por tanto,
pue-
dl ll
illtcrpretarse como probabilidades
asociadas
a
los
estados de f
tlllilimiezn
que, en este
ejemplo,
denominamos
estados al alza y a
la
baja. Debe
quedar muy
claro
que
no
son
las originales probabilidades
de
ocurrencia
de
los distintos estados
de
la niltu
raleza. De he.:ho, las verdaderas probabilidades seran en general diferentes
de
: y
.Ilj
y,
en principio, estas ultimas no ofrecen
ningun
t po
de
evidencia dirKta 0 inmc
diata sobre las verdaderas probabilida
des
asoc
iadas
con los estados. Estas probabi
li
dadesse denominan
probabilidades lieu/roles
al riesgo 0 probabilidadi. S
riesgo
ueulro. La
raz6n
de
este nombre resultnra evidente en las siguientes lineas
de
esle
cap
itulo_
Dado
un
activo
seguro
que of
rece
un rcndimiento
igual a r, las probabilidades
neutrales al riesgo existen
siemprc que no
existan
opor
t
unidades de
arbit raje en
el mercado financiero y viceversa;
siempre
que
podamos
encontrar las probabili
dades
neutrales
al riesgo
no
e
xist
iran
oportunidades de
arbitraje en
c
mercado
fi-
nanciero. Estamos simplemente describiendo
el Primer Teort llla Fundamellial de la
ECOl1omill
FinallCiem en terminos
de
l
as
probabiJidades
ncut
rales
al
riesgo en
lugar
de utilizar los pr<.ocios de los activos Arrow-Debrcu .
Ahora bien. ,cual es el uso
que
podcm05 haeer en la practica de las probabi
lida
des
neutrales al riesgo?
Puede parecer sorprcndente. pero
las aplicilcioncs
pTikticas
de
dichas
probabilidadcs
han
sido
decisivas para
entender
el
mundo
real
de
los
mercados
financieros en los uJtimos anos.
Volvamos
ala
expresi6n
(4.
4]
y
separcmos sus
componentcs:
1 =
i
r 4>.
(1 r}¢J
P 4>.P.+4>d
P
J
c
=
'.c.
I/IJc
J
•
[
4. 7]
Evidentemente. estllS expresiones
no
son mas
que
una apJicaci6n directa de la
ccuaci6n flmdamental
de
valoraci6n
dada
por
la expresi6n [4.2]. Asimismo,
la
prj
meTa de
las tres ecuacioncs an teriorcs es simpJemcnte la ecuaci6n [4.1].
Mu
ltipiiquemos a continuaci6n
eJ
lado derecho
de
las d
os
iiltimas ecuaciones
en
[4.7]
por
(1
r}/ I
r) yobtenemos
1
[4
.8]
Dado que
podcmos
interpretar
I
r) .
como
una
prob
abilidad.
pode-
mos escribir 4.8)
como
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~
1
l ] f ~ p
+ 1rj
P
1 :
r)
[ ; r ~ p + 1 -
' T ~ ) P d ]
(1
+
r)
r4.9]
1
[ ] f ~ +
nJc
J
J
1
r)
[ J r ~ C + 1 - T:lcd]
,
-
(1
+
r)
As ,
pMi cualquier
activo j euyo precio 0 valor vcnga
dado poT \ j
Y
sus
pagos
poT Xi para Un estada cua)quicra 5, la
expresi6n 14.9J
puede escribirse de formil
gene
ralizada como
$
$
L ll ;X
;.
/J L n;X '
• _ 1 I
14.10]
, eual cs la interp r
> \
aci6n de In
cxpresi6n
[4.9J 0, altemativamcnte, de
su
vcr
si6n gencraI14.10]?
Los ierminos denim
del
corchete en
el
[ado derecho de las ccuaciones
[4.91
son
simplcmL>J1 tc los vaJoresespemdos de los flUj05 futuros c m ~ r a d 5 por ambos ctivos.
Representan
WlO
media pondcroda de los f1ujos futuros, donde las ponderaciones
son
las
proba/Jilidades
asociadas a cada estado. Naturalmcntc,
no
son las probabilida
des originaJes 0
vcmaderas
de
ada
estada
de
la naturolcza, sino las probabilidadL'S
neutrales al riesgo. En cual'luier caso, las ponderaciones son probabilidades y los
rorche
tes son,
\Xlf
tanto, valores
esper
ados.
De
esta f
orma,
d
valor de cualquier
activo puede
calcularse
rotllO d
1XI/or
espemrlo de sus flujos futuros descont<1dos tipo de interes libre
de
riesgo. Una
\ ez mas, aparece la nocion hab itual de p ~ o romo valor
actual
de flujos funl
ros. Sin
embargo,
la noeion que
empleamos
en las ex
presi
oncs
[4.9J y
14.1OJ
no
implica
que
los flujos
futuros
generados en
\.Ul conlexlo de incertidumbre pue-
den descontarse al tipo de interes
ibn:
de riesgo. Esto
5010
es asf cuando las ex
pectativas de los flujos futuros se loman r c s p L ~ l o a la
probabilidad
neulral al
riesgo
y no r l S p t . ~ t o
a la
probabilidad verdadera.
Bajo es te argumento, podemos escribir d siguiente modelo como forma ge
neral
de
expresar
la
valoradon de
a<:tivos
finilnderos
ineiertos
en
un
con
l
exlo
de
auscnciil
de
arbitraje:
El precio de cualquie r activo finan ciero
es
d valor actual (al t ipo de interes
libre
de
riesgo)
de
la expeclaliva,
bajo [a
probabilidad ne
ulral
al riesgo,
de
sus
flujo
s fu t
uros de
c
aja
,
14·11 J
donde
P
es
el
operador de expcctativas bajo
la
probabilidad neulral
al ries
go
; r
•.
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Arlit'
Arrow-Deb ,,,
l la
«,,.ciOn f ,ja ,.nlal
,Ie
,,,,Ioraeiill,
.
. c.
4)
I 141
Volvamos a nuestro cjemplo
de
la mina de oro p(Ha ascgurarnos que obtene
mos cI
mismo
valor de la mina
usando
las probabilidades neu tral('S al riesgo.
Recon:lemos
que
el
tipo
de
interCs
del
activo
seguro
era igual aI5.082% y los pre
(ios
Arrow-Debreu que
nos
pcrmitieron valornr la m in a
de
oro
eran
v
I
' 0.653
= 0.292.
P
or
tanto, las
probabilidades neulralcs
al ricsgo seran:
Jr
i
=
,, I
+ r) = 0,653
x
1.0582 ' 0.6910
H
=
~ 1
+
r
=
0.292
x
1.0582
=
0.3090.
De
acuen:lo con la expresi6n [
4. IOJ,
la mina
de
oro tendria el siguiente valor:
I
'
(1 r
[H
i X200 + 1 -
:ril
X ] - ' 1 . 1 i 0 ~ ~ 8 2
1
1.0582
[153.65) = 145.2.
vnlor C'Spcrado
bajo
la
probabilidad
neutral al riesgo IT
[0.6910
X200 + 0.3090 X
S ]
Tenemos dus formas (.'quivaientes de
aproximamos
al
mismo
problema. Pode
mos utili 1r los prccius
de
los aetivos Arrow-Debreu 0 , allemativamente, las pro
b.1bilidadcs neutralcs al ricsgo. La valoraci6n
de
aetivos financieros iI1ciertos bajo
ausencin de arbitraje descansa en cualquiera de los dos conceptos ilnteriorcs.
Es importante
comprendcr
que las probabilidad
.
s
neulralcs
al riesgo son,
de
hcchu, probabilidadcs
que
rccogen
el
ricsgo impHcilo en los reeursos generados
por las
emprcsas
0 aetivos que dcseamos valorar.
Para verlo,
denomincmos
H, a las vc r
dade
ras probabilidadcs de ocurrencia de
los difcrentc5 cst
ados
dc la nalurnlcza. Asimismo, sea I la lerha actual y T ia fc·
eha fulura donde sc realizan los pagas futuros de los activos considerildos en las
expresiones [4.9].
Sahcmos que In expcclativa, bajo la vcrdndera pmbabilidad, de los flujos fu
lu ros para ambos adi os pucde escribirsc
como
:
E[Prl
=
[:rol)
+
H ldl
E[erl
' [HuC
u
+
· dCdl.
N6t..,..,
que
las probabilidad.'S neutral.,.
I
riesgo suman
uno.
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142
Eco.'JOMfA. FI:-IANCIERA
uplmgamos que
€I
v ~ o r aC
lual
de
ambos
activos
puooe
obtenerse dcscon t
an-
do
al tipo
de
inleres libre
de
riesgo dicha expectativa
verdadera.
Den
ominemos
a d i
chos
valores aCluales
por
p ~
y
cr
Asi,
\2
0, al lernalivamente,
pr'
(
1 ) E[Prl
1 >
1
c , ' (1 +
r)
Elerl
EJPrl
P = 1+r)
,
= 1 + r).
Si
estas expresioncs fucran corrcclas, implicarian
que
el
rendimienlo es
pera
do de
cualquier
activo incicrto, baio la vcrdactcra expcctativa,
es
igual al tipo de
intcres libre
de
riesgo. Eslo es
evidentemcnte
fa lso.\3
Ningun inve
r
sor cs
taria
d i
spues
to a s.oporlar
un
ries
go
sin rccibir a
C 1
.m
bio una compe
nsaci6n 0
prima
por
acep
t
ar
dicho riesgo.
Nadie
invertiria
en
activos inciertos. En
otras
palabras,
los activos inciertos incorporan una
prima
por riesgo. As ,
EIPrl
' ( I + r +
prima
de riL Sgo
del activo)
P
E I ~ r l
'"
( I +
r
+
prima
dehesgode
la opci6n).
,
La
cons.ecuencia
inmediata
para los
vcrdaderos
precios
es qu
e
"1<
( 1 ~ ; ~ E[Prl
,< ~ ; ~ ' C ) Elerl
Sin embargo, bajo la probabilidad
neulral
al
riL Sgo y su
cxpectativa asocia
da
,
tenemos
que
La p...-senla.d6n se Mce par. un. eron<lmi.
de
un 5< >10 pe,jodo. En 01'"" pal b,as T _ I I.
lJ Sen. , ,<;10 j 100' 105 ;nvcTSOres lu ....... neutral
..
al ';"'go.
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Acli
vos
, ~ D t h r t
yla ,
,,ncio,, fi ,dn 'enlni de WiQ
rocio
n ..
(c. 4)
I
14J
P, =
1
P[P
r ]
1
1 r ~ P
(1
+ r
(1
+ r)
[4.12]
c,
=
1
(1
+ r
P[c
r ]
= (1
~
r)
[
.1r:C
u
+
(1
- .1r:)c
J ]
Es decir, las p r o b ~ b i 1 i d a d e s n e u t r ~ l e s riesgo
iulemali::tm
prima
de riesgo
de
los activos inciertos al penali1..ar P[P
r
]sobre E[P
r
] ya que,
dadns
las expresio
nes anteriores, E*[I'r] < E[P
r
]. Este es
un
resultado
muy
titil desde el punto de vis
la pr<lctico.
Los
agentes econ6micos evitan la necesidad
de
eslimar primas
de
riesgo de aclivos incierto5, tarea cierlamente compleja. Para v a l o r ~ r activos pue
den
de
forma
a l t e m ~ t i v a e x t r ~ e r
de los precios de activos que se negocian en los
mercados financieros reales l ~ s probabilidades neutrales al riL Sgo y utiliznrlas pa-
ra valorar cualquier activo financiero 0 real.
, Por que se denominan probabiJidades neutrales al riesgo?
De acuerdo con la ecuaci6n
f u n d ~ m e n t a l de
valoraci6n
dada
por la ecuaci6n
[4.2] y nuestro ejemplo en
[4.4]
sabemos que
[4.131
Dividiendo
ambos
lados
de [4.131
por el precio actual
de
los respectivos aClivoo
financieros y multiplicando tambicn
ambos
lados
de
[4.13]
po
r
(1
+
r
ob
tenemos:
1
+
r)P
t
1
+ r)¢ P.
1
+ r ¢,
ld :r:p ,
+
dP
t P[P
r ]
-
+
l
+ r = =
P
P
P P P
[
4. 14J
1
+
rI
c,
1
+ r ¢.c
y
1
+
r ¢6
=
(1
+ r) = .1r:cl/
+
Jrjc
d
= Cr
l
•
. ,
,
" c
ObsCrvesc que [4.1
4)
tambien se obtienc directamente de [4.121 . En defini
ti
va,
bajo la probabilidad tr", lodos los activos financieros (en el ejemplo, un activo in
cierto cualquiera y
UJla opc
i6n
de
compra) ti
enen
la misma rentabilidad
esperada
que, ademas, resul ta igual al
ti
po de
interes del activo seguro. Bajo las probabili
dades originales,
un
resultado asi seria cierto exclusivamentc con agentes neutra
les riesgo. Es decir, con agentes que se mues ran indiferenles ante cl rk'Sgo. Por
tanto, parcce oportuno
denominarlas
probabilidades neutrales al riesgo.
4.4 Opciones de
compra
y de venia
En
la discusi6n anterior se ha introducido
UJl
aclivo financiero dcnominado opci6n
de
c
ompra
(call optioll). A continuaci6n definimos con mils
cuidado
las opciones fi-
nancieras y analizamos su
va
loraci6n
tanto
medinnte las probnbiJidades neutrales
al riesgo como a traves de carieras replica.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 22/76
144 I Ecol'OM1A FIl'lANCIERA
OPCl6N
DE COMI'RA
Cilll
Olilion : "Es
un
contrMo
que
proporciona a su
po
set'dor
(el
compr
ad
or) el deredlO (no la obligaci6n) a
colllllmr
un
nllmero esp
edfi-
cado
de
acciones (u otro tipo
de
activo) a
un lI edo
eslilblecido (precio
de
ejercicio)
erl
lUla fceha estipulada
en
el oontrato (fceha
de
vencimiento) 0
Imslil
una fceha
es
pecificada en el conlrato".
OPCI6N
DE VE
NTA
(Pili
oplioll : "Es
un
conlra to
que proporciona
a su
po-
M. Cdor (el c o m p r ~ d o f el
derecho
(no la obligaci6n) a vellder un mimero especifi
cado
de
acciones (u otro tipo
de
activo) a
un
precio eslabkcido (precio
de
cjercicio)
ell
lUla
fceha
estipulada en
el contr
ato
(fceha
de
vencimiento) 0
hils/a una
fceha
especificada en el oontrato" .
Si la
opci6n
sOlo puede
ejercerse
en la fc<:ha de ven
cim
ien
to, se
denomina
Cl
j -
ropea,
mientras
que
si
pucde
cjercerse en
cualquier
momenta
del
liempo
hasta la
fecha
de
vencimiento, se llama
amcricmm.
Las opciones son aclivos
cont
ingentt
. s al depender del
comportamienlo
de un
activo subyacenle y
concrelamenle del
livel
de dicho
subyacente relativo al pre
cio
de
ejercicio en su fceha
de
vencimiento
T.
En la practica, tanto los futuros co
mo las opciones
se
denominan
acliUllS derivarlos
y asi
nos
rcferiremos a ellos
durante el reslo de los caprtulos
de
este libro.
EJEMPLO 4.4.1
Imagioemo& una <>pci6n de compra
eur<>Pea
sob,e una de terminada 8OCi6n cuyo precio actual en al
mercaOo
\)Urs;ltil
es
igual a
60€
Oenlro
de un
ai lo,
eI compraoor
de
Opci6n
de
compra
puede
(l i
e·
ne el derecho a) comp<ar la
aecooo pot'
un p<ecio de ejercicio igual 3 65€. Denominaremos
como
K
el precio de
ejerdcio
y Tla Ie< :IIa
de
ven:;;"...,nto de ta Opci6n.
Si en T eI p<ecio de
Ia acd6n
en et mercad<>
burs;ltil es
;guat a
7
5€, el titular de
Ia
<>pciOn de
compra ajercerli la opci6n Que valdrfa en asa momenlO
EI COIllflrador ejere< SU de,echo ya Que puede comp<ar po< 65€ una acd6n Qua liana un precio
de marcad<> de 75€.
AsI, et
conlllrador pa98-ria al veodedo< de la <>pcooo de compra al p recio da ajer
em, esto es, 6SE: y '" veOOe<;ior delleria entregar p<op<edad de la acci60 al titu lar de la opci6n
de
comp<a. NalUralmen
e,
en
al
momento
actual
al
COIllflrador
de
opci6n
debe
pa98-
r
al
vandedot
una
prima (el precio de la opciOn en eI momento del establedment() del contralo) que Ie dar. ' derecho
a ejercer dicha opci6o at vencimienlO.
Si, po< at conirario, la acd6n va le en T
48€
el titular sifTl llementa
00
harli
nada
D e j a Que ta
opciOO
""pire
ya
Que no
me rBC9 pena
pagar
sse
P<> una acciOn
Qua
vale 46€ . EI prado
de
la op
ci6n en Too
lendrla
vato<
alguoo an eSla S&gundo
astad<>
da naturaleza:
Cr - O.
En este caso, el
venOe<.k>r
manlendrla 18 prima pagada
por
el comp ador en al momenlo
de lor·
mallUlr al conl ra e y
00 sa
p<oducir
ia
inlarcambio alguoo adiciooal.
EI
compr3
dor
pameria
Ia
prima
pagada
pm
ta <>pcooo at vendedor en el momemo del contrato.
En definitiva,
en
T (al verteimiente)
Ie
opci6n
v a l d ~
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
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Act; Arror"..oro,,,,,
y 1
ci6n f I. euM de lorado
..
c.
4)
I 145
Generalizando
10
aprcndido en el
ejemp
lo,
si el
titular
de la opdon cs
un
inversor raeional, ejercera la call
exclusivamente
si se beneficia con ello,
situa
ci6n
que
ocurTe si d precio
del
subYilcente en
T, Pp es superior
al precio de
ejercicio,
K Por d contra
rio
si el prccio del
subyacente
en
T es igual 0
inferior
al
precio de
ejercicio,
su propietario no
ejercera y la
opci6n veneera
sin
valor
i1lguno.
Los pagos de Iii call
europea
al vencimie
nlo pucden
resumirsc
como
[4 15
Una
opci6,r
de {Ie ,rta 0 pHI olorga
i
su
propietario
el deroxho a
vender un de
t
erminado
activo en las mismas condiciones
que la
OjXi6n
de
compra
.
Los
pagos
de una pHt e u r o ~ ill
vencimiento son
o
[4.161
K - P
r
Existen en definitiva cuatro posieiones btisicils (.'11 la negociaci6n
de
las OjXiones:
• posici6n larga (compra)
de una
OjXion
call:
max
PT - KO),
• posici6n corta (venta)
de
una OjXi6n call:
-max P
r
-K,O)
' min (K -
Pp 0),
• posicion larga (compra) de
una
ojXi6n
pr j/:
max
{K
Pp 0),
• posici6n corta
ven
ta)
de una
ojXi6n
put:
- max K-PT,O
....
min P
T -KO).
Las estrucluras
de pagas ponen de
manificslo
que una call corresponde
a
una
posici6n larga
en cI
subyacente.
Si
cste subyacente, llna acei6n
por
ejemplo,
experimen ta
una
subida en Stl precio
observamos
que la ojXi6n tilmbicn incre
menta su valor.
Por el
contrario,
una
ojXi6n pHI t
endni
un pago
mayor
al venci
mienlo
cuanto
pror sea el comportllmiento
de a
acci6n subyacente.
Dc
hccho, si
somos
propietllrias simulltineamcntc
de la
acci6n subyacenle y
una pili
sobre di-
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146 I EcONOMtA FINANCIERA
cha accion,
podcmos
cs t
ar
scguros
que eJ
resuJtado global sera, al menos, el pre
ci
o de ejercicio, K. N6tese que al compraf la pili el inversor pmpictario de la ac
ci6n esta comprando l segum
contra
cl riesgo a la baja que Ie suponia su
posici6n larga en la
acd6n. EI
titul
ar de
una opci6n
de
compra
0 de
venta
no
tie
nc
que
cjcrccr obligatoriamentc su derccho, por tanto, los pagos
de
una posici6n
combinada de la acri6n y
una pul
nunca son ncgativos y
el
valor de esla posici6n
en el
momento
actual debe ser al mcnos igual a cem.
EJEMPLO 4.4.2
Imag i
oolOO5
un fnve rsar que compra 100 opciones de compra ca/Is) europeas sotxe Tejel6nica
(TEF) COO un p<ecio de ejercicio 34€ Y
supoogamos
que el precio aC1ual de TEF es 36E . EI van·
c4m
ienta es a un mes (30 d ias) y el preckl de
opci6n
es igual a 2.40€ . Estamos suponieodo
un
ti·
p<>
de
inter< s del a
C
ivo lib , de riesgo del
3,5
aooat y una voIatilidad (desviaci60 e s t ~ l l de l
p<ecio de
TEF
del
25%.
De acuerda can la expres i6n
[4_15
1.
5i
en la lecha
de
vencimienta, TEF vale menos que 34€
.
el inverso, no
e j e r e
la opci6n
call.
aunque en el momento de realiz
ar
el cenlrato
luviese
que
pagar 2 4
0€
por su de'echo y a pesar
de
que ahera no 10 ejerza. Supongamos que TEF va le
35 en
un
meso
Ejerci
endo
la opci6n, el inver
sor
puede
comprar 100
t itu l
os de TEF
por
3.400€.
5i diches l iMos sa venden Inmedialamente en el mercaclo bursAl i l. el inversor gana 1 auro
por
acc i
6n (IOO€
en
lota
l) que as la (liferencia enl re
35 y 34
euros . N6tese, sin embargo.
que
en
lerminas nelos el inversor lodav ia pie,de. ya
que
para ejerce , el dereche pag6 al comprar Is call
2.
40€
.
Imaginemos a conlinuaci60 que TEF
va
le al vencim
ie
nto
de la
call
38€. EI
inversor eje rceria
ganando
38
-
34
4 euroS PO' acclOn 0 un lotal
de 400€.
Ahera lambioin ganarla 8I11arminos ne·
los.
ya
que 4 - 2.
40 E
1.60 euros a 160
en
lola
l. Es
evk ente que 81 nversar en una call espera
que
el
precia del subyacente suba, mienlras que el inverso. en una
put
esperaria qua diche pre·
cia dlsmiooyesa,
EsUls situaciones las
podemos
'epresenUlr en los denominaoos diagramas
e
benaficiosal Yen·
dmiento
de
las opciones alle rnativas;
a) beneficia (perdida) al vencimiento
de
una compra
de
una
cart c
2 ,
40€; _ 34€ (pre<:kJ
de eje'cicio).
--
,
2 <1
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
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Acti , Arrow-Deb.,.u y
IQ
f C
uQd6n fw,d ,e '''[ d, w loracwn . (c. 4) I 147
b) ooneficio
(perdid;t)
al ver.cimientQ
de
una compra
de
una put. O.2 l€: K
34€
.
_ D o
•
- 0.28
c)
wneficio
{percllda)
8
veoclmientQ
de
una vanta
de
una calt.
c
2,
4 €: K
34€
.
• 2 . ~ l -.
d) beneficio (pe,dida) al ver.cimientQ
de
una venIa
de
una put:
•
O,2 l€:
K 34€
.. ~ ~ - ~ -
"
- ~ ~ ~ - t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ -
•
En
elejemplo anterior
se han prcscntado las posicioncs de bcneficios/perdi-
das al vencimiento en funci6n de las posiciones altemativas que
un
inversor plie
dI'
tomar
en opciones
tanto
de
compra como
de
venta. M
ed
iante
el
supucsto
de
auscncia
de
arbitraje 51' puede cstableccr una rc aci6n muy importante entre los
prccios
de
las opciones
call
y put sobre el
mismo
sllbyacenle y con el
mismo
ti
cm
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]48 I EcONOM IA flNANCIERA
po
hasta el vencimienlo y precio
de
ejercicio. Dicha relaci6n se conoee
como
la re-
ladol
de paridad pHI cali para
opciones eumpeas
cuando el subyacente
no paga
dividcndos
durante
la vida
de
la
opci6n .
Para verlo,
supongamos dos
carteras.
La
primern
se
com
pone de una
call
eu-
ropca mtis
una
Gm t
idad de dinero igua
l a l valor actual del precio
de
ejercicio,
KI i +
r).
La segunda induye una pili europea
mas
un
tftu lo
del suby
acente.
Tanto
la
call como
la pul son opciones SObTC
el
mismo
subyacente,
mismo tiempo
al vencimiento
\l. : l
periodo) y
mismo
precio
de
ejercicio.
Al
vencimiento
de
las opcionL'S en
d momenta T ambas car
teras valen
max(P
p
K).
Como son opciones
europeas no
pueden
ejcrcersc
antes
del vencimiento
y,
por tanto,
pam
evitar posibi lidades de arbitraje,
ambas
cartcras deben t
ener
hoy
el
mismo
valor
K
p
+
P,
1.
donde p
es el precio
de la
pili
en cl momenta
actual
I.
Despejando el precio
de la
call
se
obtiene
la
reillciou de paridlld pul-call:
K
p+P
,.,
[4.17]
Esta ecuaci6n es, sin dud<l, importante, ya que
permitc deduc
ir el valor de
unil call
can
un
cierto precio
de
ejercicio y fecha
de
vencimiento
med
iilnte
una Iml
eumpea
con sus mismas caracterfslicas.
EJE
MPLO 4 .4.3 Estrategia de
a r b ~
a j e
cuando la r ~
de pandad
pul-call no
se satislace
lmagjoornos
ql.ltl una
acd6ll QUe no paga djvH:lendos sa
ooli28 aClual
men
te
po 75€ Ven at meres
cIo se oogocian una call y una pul eUl opeas sobre dicho subyaoonte con un prado de ejercicio igual
a 70€. vendmiento de un aoo y
ti
l '
de
in t
e" s
de Ia etra a un BOO det 6%.
EI
precio de Ia call en
el
mercaoo es 1?€. mienlras que la put se I'€Ode por 8€.
EI
valor
ac1ua
l det precio
de
ejercicio
es
66€
.
por
10
qUB
P
-
VA K) 75 - 66 9 BUres.
Como
C
p ~ 12 - 8 .. 4. tenemas que
c - p
< VA K) .Esto implica una
ClpOrtunkiad
de arbitraj .. Veamos
Ia estralegia
de
arbitraje que podernos formal:
Eotrat Vio
de
I rMr lje
'0,
I
P K
I
P r ~
K
Compra.r 1 cal
-
."
rt
aput
••
- ,
Verd.
la
aoci6r,
.
00
00
(en a....:.bie,to)
Invertir se
ewos
011 ]a
_ 00
.
.
tetra
Gel
Te
soro
at
6%
I
="
.,
I I
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 27/76
Acti .,. Arrow-Debre y n
I I;
,M f da , ,,'n/ d
Io 'c;'k
. c.
4)
I 149
Como puedo observarse dicha estrategia ro:>s permite ingresa' 5€ en eI momento actual sin tene'
obIigaci6o de pago Milia independien
t
emente
del
estaOO de Ia na
t
uraieza que
se
produzca. •
Una esclare<:edora discusi6n oobrc la rclaci6n
de
paridad
all
puedc
hacer
sc
usando
el concepto
de
aseguramiento
de
cartera portfolio irlslmlllCl'j desarro
lIado por leland, O'Brilln y Rubinstein en los ai'ios ochenta.
EI
aseguramien
to
de
carteras es una
particular
f
orma de
inversi6n que utiliza
las opciones para
proteger
las posicion(.'S
que tengan
los fondos
de
inversi6n 0
fondos de pensiones
ante
una calda importante del valor de dichas posiciones en
una determinada k C
ha futura.
La
filosofla
de
t
isdel aseguramienlo de
carteras
se bas.' en
1 1 potencial no limi tado
de ganancias
que presentan las opciones y
que, sin embMgo, se
\ '
1
acompai'iado
de unos
limitcs al riesgo
de
perdidils.
Imaginemos que construimos una cartera compuesta de una opci6n call que
venee en una fecha fulura
T y que
liene
un
pfffio
de
ejercicio igual a K
y un
bo
no cup6
n cero sin
ri esg
o con
un
valor
nominal igual a
B.
Esle valor nominal
del
bono se
convicrle
en la
cota minima del valor
que puede
alcanzar
la
cartera
en T.
De
esta forma evitamos el riesgo a la baja en nueslra cartera imponiend o, ade-
mas,
un
valor concreto
al
valor
minimo
posible
de nuestra
carlera. Esla idea se
ilustra en
Iii figUTiI
4.1.
Pago
,r T
Opci6n
call
K
Pago
,r T
Bono
cup6n CeTO
+
P,
Figura 4.1
l'ilgo
,r T
Cartera
' f -
L : :K
La
fund6n
de pagos de
la mil
ill vcncimiento
es muy
similar
a
In
corres
pondienle
figura
del
ejemplo
4.4.2. Sin
embargo,
en
esle
caso no se
tiene
en
c
uenta el
coste inicial
de
la
opci6n
y wlo se rcfleja 1 1
pago de la misma al
ven
cimiento.
Puede
observarse como
la
cartera
asegurada
iiene
un
pago
en
T
igual
a B
+ max
IP r -
K,
0).
De
cs ta forma, el va lor
de
la
car
t
era nunca
es menor que
1 1
valor nominill
del bono
cup6n
ceTO
sin
riesgo.
N6tese
que si el pre-cio
del sub
yacente sobre el que
(otiza la
opci6n baja
durante la
vida
de la call
la opci6n
venceria sin
valor alguno.
Sin embargo,
como
la
carlera
tambien esta
com-
p u s l ~ del
bono cup6n
(eTO, el
valor de
la misma en es te
(aso
seda igua a B.
Naturalmcnte,
si el
subyacente experimenta u n ~ subida en su
precio,
la
carle
ra
valdra H
mas 1 1
pago
que pTOviene
de
ejercer
la call .
As ,
hemos
logrado ase
gurar
la cartera. EI
valor
actual
de
esta
carte
ra
asegurada cs
[4.18)
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 28/76
Naturalmente
este
razonamiento
seria perfecto si los fondos de inversi6n y
los fondos de pensiones estuviescn compuestos
de
calls
y bonos cup6n cem
sin
ricsgo.
EI correspondiente aseguramiento de
eslas
mrlera
seria inmediato. Es
evidente, sin embargo,
que
las carler
as
que
lienen estas instiluciones
de
inver
si6n
cole<:
liva
son
muy diversas y mucho
mas
complejas
que una
simple combi
naci6n
de calls
y letras del Tesoro.
La
idea
para asegurar
carteras realistas es, m riosamen te, la
misma
que apa
rece en la figura 4.1. Se Irata simplemente
de
acomodarla
de
manera que OOten-
gamos
pagos similares a los
de
nuestra carlera, 8
+
max
IPr
-
K, 0 .
Ahora
bien, i.c6mo hac:erlo
en
la practica?
Los
creadorcs
del
aseguramiento
de
carteras propusieron utilizar
0l1<:iones
pUI soIJre Indices
bllrsaliies de
forma que el
pre<:io de
ejercicio
de la pili
detennine
la
cola minima
que
limila las
perdidas po
tenciales
en
el valor
del
indic:e
utiliwdo.
Existe otro
imporlante
problema para
pe>-
ner en
marcha esta idea.
La
diversidad de
precios
de
cjercicio sabre los
que
se
negocian
puis
sabre indices bursa tiles es, 16gicamente, limitada. Incluso en varios
de
los precios
de
ejercicio
donde
enconlremos cotizaci6n para las
pills 1 1
liquidez
existente
puede
ser potenCialmente
muy
pequei ia. Ahora bien, los activos deriva
dos
puede
replicarse
mediante
activos existentes.
n
particular,
podemos
replicar
una pilI sobre
I Ul
indice bursatil. Para verlo, debemos ser conscientes de que cual
quier pago de dividendos que
reaiiza una empresa implica j
iquidar en
parte (aun
que sea pequei ia) la empresa. Asi, la empresa valdnl
menos
y
por
tanto, ruando
se
paga un
dividendo,
el
predo de
la
acci6n
debe
caeT
en la
misma
magnitud del
dividendo. Este simple
razonamicnto
implica
que
la relaci6n
de paridad pia
-roil
ruando
el subyacen te
paga dividen
d
os durante
la vida de las opcioncs
es
K
+ P - D = C + T 1 C ~ '
K
c
poop -D
1
[4.19)
d
onde
D es el valor actual
de
los
dividendos pagados duran
te
la
vida
de las op-
ciones, cantidad que se resta al precio
del
subyacente. Asi, el valor actua l
de
la
cartera
asegurada es
c + B
=
P [ + K _ B]
l r
p
l r l r
[4.20)
Ellado
izquierdo
de
[4.20) es el valor actual de la cariera
asegurada
con
una ro-
la igual a B (valor minima que lendra la cariera en D.
Ellado
derecho implica que
si un
inversor tiene
una
cartera
no
asegurada
por
valor igual a P ne<:esitara
ad
quirir
una
put sabre dicho subyac:ente para conseguir que
su
valor sea el
de una
carteril ascgurada. Asimjsmo, si se
de
trabajar con
un
aseguramiento
de
car
lera sin coste, esto es,
si queremos
a b ~ j a r
de
forma
que no
tengamos
que
realizar
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 29/76
Act;
,
A.row-O b ...
u y
/0 m o c i n fondoltlento/
dr
/o,ocid,,... (c.
4)
I lSI
posiciones en nuestra cartera base para adquirir Ia pili, ellado dere<:ho de [4.20] de-
be
valeT <.'Xactamente P Esta restricci6n implica que eI termino en corchetes
debe
ser igual al precio de la
pili.
Asf, la cota minima, B y d pre<:io de ejercicio de la put
K
que
afecta al
prcdo
de
Ia
pllt
deben escogersc
cuidadosamente
para Iograr
tu
aseguramicnto sin coste.
Finalmente, para terminar nuestra discusi6n sobre aspedos hasicos de l
as
op-
ciones, debemos senalar que
un
aspecto crucial que caracteriza a las opciones,
tanto
de compra como de
ven Ia, cs que sus precios ailmelzlull
COil
la volatilidad del
precio del
aclivo Silbyacellie. Un incremento de dicha volatilidad aumenta las posi
bilidades de que el subyacente se
comporte
muy bien 0 muy mal con relaci6n al
precio de ejercicio. Esto beneficia a los titulares de las opciones. En el caso
de
la
ll , el titular
tiene mas
posibilidades
de
ej-crcer mientras que su riesgo a
la
baja
es ta limitado ya
que
no estd obligado a eJercer y 0010 perderfa
c1 predo pagado
por la opci6n. n el caso de la pili, el razonamiento es similar ya que el propie
tario tiene limi lado su riesgo de
perdida
si se
produce un aumen
lo en
el
pre<:io
del subyacente.
Una
vez cstabledd
as estas nociones basicas, analizamos
mas
dire<:tamente Ia
valoraci6n de la
opc
iones: lcuanto valdrfa la opci6n en el momento del estable
cimiento
del
contrato?, lcuanto valdria Ia opci6n
de compra europea hoy?
Antes de contt'Star a est
as preguntas
resulta convenicnte discutir el Primer
Tcorema
FUildamClllal de
la
ECOllomia Fillanciera y comprobar el papel que
juegan
los pre<:ios
de
los aclivos Arrow-Dcbreu. Para ello, utilicemos los dos
estados
de
la
naluraleza provenientes
de
los
dos
posibles valores
que
toma
)a
acci6n
subya-
cente en el ejemplo 4.4.1: P
u
= 75, P
d
=
48.
Im
aginemos
que el tipo
de
interes
del
activo
seguro
sea iguaJ
all0
% y que in
vertimos 1 euro en dicho activo seguro. La ecuaci6n fundamental de valoraci6n
expresada en notaci6n matridal en ]4.4 ] serfa
para
es le ejemplo:
1
60
,
l,to 1,10
75
48
10 0
de donde
obtenemos
las Ires ecuaciones de valoraci6n
correspondientes
a cada
uno de los tres activos:
1 = l ,to)f
u
(1.10)fd
60 = 754> 48fd
C =
to4> 04>d
Supongamos
que la opci6n de
compra
se cotiza en el
mercado
por 5,5€. Asf,
podemos ob
t
ener
los precios
de
los ac
ti
vos Arrow
-Dcbreu
de
las
dos
u timas
ecunciones:
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 30/76
152
/
EcoNo
M
IA
FI
NA
NCIE
RA
5.5 -; 104' = ' = 05500
60 = 75 X 055 48 '<1 = J= 0.3906.
Sin embargo a estos precios la
primera
ecuaci6n no
s.e
sat isface
(1.10)05500 (1.10)0,3906 .. 1.
t o que esta
ocurricndo
es que 110 crislell dos
constantes 4'
" y d ue salisfagan
simulianeamente las tres {'Cuaciones, dado un precio de la
opci6n
de compra
igual a 5,5€. Este resultado implica que el precio de negociaci6n de la opci6n
de
compra
admite oportunidades
de
arbitrilje.
Altemativamen te, pOOemos Usaf
13
ccunci6n
fundnmen
tnl
de valomci6n
co
mo her
r
amienta
p.1m
OOtener el pfccio
de
no
arbitraje
de
la
opci6
n
de
compra.
En nuestro
ejemplo
10
unico que lenemos que haecr es resolver el sistema
de
dos
ecuaciones y dos
inc6gnitas que
for
man
las dos primeras Ci:uaciones,
1 ' (1.\0)",,, (1.10)"'<
60 = 75"," 48 ,,,
- ¢
,,
=
0.60606
' ¢d = 0.30303,
y aplicar
esta
soluci6n a la tereera ecuaci6n,
-=>
C
= 0.60606 x 10 0.30303 X 0 = 6.06.
A es te precio no existen
oportunidades de
arbitraje. Existen dos constantes
positivas, ¢" y
¢J
cuya
soluci6n
es ademas unica, que
valoran tOOos
los
activos
financieros existentes en el mercado financicro de nuestro
ejemplo.
Altemativamente si utilizamos las
probilbilidades ncutrales
al riesgo,
n
=
(1
r) ,,, = 1.10
x
0.60606 = 0.667
n = (1
r ¢d
= 1.10 x 0.30303 = 0.333
c
=
1
P[c
r l
=
1 [n;;cu (1 _
;r: cd]=
_1_ [0,667 x 10 0.333 x 01
=
6.06.
(1 + r (1 + r
1.10
Aunque
mas ildelante discutiremos con detalle el
concep
to de los mercados com
p ctos, es
muy
importante sci\alar que
hemos sido
c.-traces de OOtencr cl unico pre
cio de la opci6n de compra consistente con la auscnda de amitraje, ya que estamos
trabajando
con dos
esla
dos
de
1a
na turaleza y renemos
dos
activos negociandosc
en
el
mercado cuyos
pagos son
Hnealmente independientes:
cI
activo subyaccntc in
cierto y el activo scguro.
N6
tcsc
que
la misma fuente de
incerlidumbrc
afecta al ac-
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 31/76
Acljoos
tlrrow-o breil y In oc
,mci6
fum/m ,,,'al de wloMciJ ..
(c. 4)
/153
tivo u b y ~ c e n t e y al ~ c t i v o d e r i v ~ d o ) contingcnle - Ia opei6n de compra. EI proce
dimiento de valoraci6n no fWldonaria si tuvieramos Ires cstados
de la n ~ l u r a l e z a
como el siguiente caso:
1
1.10 1.10 1.10
"
0
•
75
65
48
4> ,
,
10 0 0
"
Aquf, no podemos utili7.ar I ~ s
dos
primeras ecuaciones
pilTa
d e e n n i n ~ r el uni
co conjunto de precios >5 >
0,
5 '
u,
m, d, que puede introducirse
en
la tercera ecua
ci6n para obtener
el
valor de
la
opeion
de
compra. De hedlO,
en
este caso, existen
m u J t i p k ~ soluciones para los precios de los activos Arrow-Debreu que satisfacen
las Ires ecuaciom.'S
de
nUL Stro
mercado financicro. Siempre
que
existen
prcdos
de
activos Armw Dcbreu positivos, el I'rimer Teorema FWldamelllai
de ill
Ecol1omia
FiulIl1ciem nos garantiza
que
no existan o p o r t u n i d ~ d e s de ~ r b i l r a j e
en el
mercado.
Sin embargo, con mas cslados de \a naluraleza que activos financieros no podemos
garantizar
un
tinico precio de los activos Arrow-Debrcu consistcnie con
la
valora
ci6n de no arbitrojc de todos los ~ c t i \ o s finoncieros. Exislira, dcsde luego, un uni
co conjunto de precios de aclivos Arrow-Debreu mrreelo 0, 10
que
cs
10
mismo, un
unico conjunto de p m b a b i l i d a d ~ neulraies al riesgo corree/o. Sin embargo, LStOS
precios correc/os s.610 se podrfan oblener con
argumNllos
de equilibrio
,
EJEMPLO 4.4.4
lmaginemos una e< OfIOmla con un linico pe riodo, esto es. dos Jechas I .. 0 Y t . 1. y tres estados de
~ MturaleUl s,
.
5; s,). Ademl\s. per.semos en un n>ercado tinanciero en el Q<IfI e. iSlen dos
actio
vas incie rtos cu)'Os pagos son condicionaies at estado
de
la naturaleUl y sa reoogen en Ia siguien'
Ie matnz 00 pagos:
b tod_
X/en S,
XI ~
l e n ~
Ac
tivo.
ACT. 1
,
•
•
ACT
. 2
, , ,
a) Sa t ra ta
de
saber culi les de kls siguientes pr9Cios 00 ios
activos
I Y2 en I 0 son consis-
tentes con la ausencia de art>itraje:
al
P,:
(7: 4)
a2)
P,:
P ~ ) '" (0.7: 0 .4 )
03) P, : P
2
) .. (1; 2)
a4) P,: P
2
) (200: SO)
a5)
P ,: P ..
(3: 3)
a6) (P,:
P
2
)
' (2: 7).
Recordemos qe>e definimos a m ~
a j e
como
la
JX>sibflkfa<l 00 crear una ca rtera con un cosla no
positM> I .. 0 y re<:ibjr una c8I1tidad es riclan>ellI8 posiliva en
/ 1.
De manera mas lormal. sea
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 32/76
z
i a I, .. " N eI ""<nero de rltulos de cacla actiVO
i
qll9 se manl;ene en una delerminada cartera.
Arb<lraje consiSle
an
conslruir una
canera (z) lal que
,
"
· 0
i _ , J
I
"
O ; \ I s
i _ ,
Y
donda
axis1irl\.
al
manos, o..oa desitWldad estricta
en
I¥\a de
las
S + I ecuaciones
del
sistema
ante
rior,
Para contesta, a la pregunla de esre apanado a) , buscaremos la ganancia de Ia estrategia de
cos te nulo consistente en venc er
at
activo caro
y
comprar las unidades
qll9
podamos (para
que
el
cos te de la inversi6n sea igua l a ooro) del activo ba,at
o.
Si las ganancias
son
posil>vas en todos los
eSlados,
..
Sla eSlratagia sera de arbitraje.
SI
son si( mpre negalivas, al arbitraja consislirla en
Ia
es-
tr
al
egia inversa. "of ultimo.
s;
hay
ganaooas
posit>vas
y
nega
l i s,
al
m ~
serfa Imposibill.
al) En eS le caso
P,
P
Y
por cada
lfIulo que
vendamos del activo
1
podllmos comprar
i _ .75
tlrulos del activo
2. Por
tanto. teniendo en
c nta
la ma triz de pagos
en I
a
I y q
vendemos al des-
cubierto un lfIulo
del
act ivo
I
y compramos
1.75
del activo
2.
tendremos los siguientes pagos tota-
les en los
di l
a,entes estatlos:
E, 'do.
",<'i¥'01
X, ....
Xl ••
Xl
ACT.
,
_ 1 ><2,. ·2
1 x 4 •
•
, x 6 .
•
ACT
. 2
1.75
>
3 ,. 5.25
1.75x2 . 3,5 1.75X5 _ 6,75
Ganancio '
3 2 5 ~ 0
_
0.5<0
+2.75>0
Asi.
mediamllia estrategia supuesta obtendrlamos una gananda segura
.....
los es ados
s,
y
II: pe.
ro
no
estariamos
asegurados
"
.....
eI
e S l a d o ~
Pot-
tanto,
no existllia posibiIidad
de
eM
raje"
a2) De forma analoQa al cas<> a
1) ,
tampooo IIxisliria Ia posH>iIi<; ad de
arti
tra e.
83)
En este caso P
<
P
2
y
PO'
cada titulo
que
vendamos del activo 2 podemos comprar 2
tltu·
los del activo 1:
E. tado.
Ac t
l_
XI' ,
Xl e
n
x/ en . .
"" ,
2><2.4 2>< 4 8
2x6
_
'2
ACT
. 2
t > 3 •
,
l x 2 . _ 2 _ 1><5 · _ 5
Ganancio
nets
• 1 > 0 .6 0 . 7>0
" N6t""" que la
rregunt.
es
si '
preclos son
consistent
no
COI I 13
ausencia
de
am i t ,aje. Nos
basta ~ t > C O f l t r a r una est,.tegia que impli, ue I. au""""i. .rbit raj< para obteoer 1. "-'SpU.,;13.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 33/76
Aclivos Arrow-lkbreu I
i.
ocu.ci6n f ,md.mm lai de w iol llci£in... c. 4) I
155
LUego e
xi
ste Is posibilidad
de
arbitraje: bap nuestra estralegia
de inversi6n.
al activo I cIomina
an
toOOS
los es1ados
de
Ia naturaleza
a
activo
2.
a4) En eSle
caoo
P, P2
Y
po.
cada
titulo
que
vendamos del activo t
podemos
oomprar
4
IlIu
m del activo
2:
EslMlos
Ac,
l
X/,, s,
X/en .
x/en . ,
ACT
. ,
- , X 2 · - 2 - ,
X4
· - 4 - 1 X 6 * - 6
AC
T. 2
4X
J .
,2
4 x 2 . 6
5x
5 _
2O
Ganaocia . Ia
• ,0 > 0
4
> 0
•
4>
0
Una ve
z
mas. a, iSla
Ia
posJbilidad
de
amro-a je,
as
)
P,
•
P
2
y. po r lanto.
no
exiSla la posibilidad de
a.b
ilraje dada la mat.i. de pagos del
ejemplo.
a6)
En
eSle
wOO P < P2
y por cada tflulo que vendamos del activo
2
podemos comprar
3.5 tI·
tulos del activo 1:
h t ado
Activo.
X n X n X
/ . n
. .
AC
T. I 3.S x 2 . 7
3.
5 X 4 . 14
3.5 x 6 _
21
ACT. 2
-
l X J
_ _ 3
_ I
X2
_ _ 2
- I X 5 _ _ S
Gano ,
O&\a
+4>0
+
12 > 0 • 16
>
0
Luego e. iSle posibilidad de atbit ra je.
b) Los p< ekls de <los acti..:lS finaneie ros qua lienan
Ia
mal fi. de pagos dada eo
eI
apa.lado an
terior, (P,: P
2
) 4: 3),
son
oonsislentes con Ia ausancia de arbitraje. ~ l I \ l e de los siguienles pre
cios de
aCI;.,.os
conlingentes
Arrow-
Deb<eu
son
consistenles con
P,; P
2
)
•
4:
3)7
bl
)
(3120 ; 4110:
7120)
.
b2) (3:
2Q:
I).
bJ) t f
4:
112: tiS ).
boil
(-
1/3
: - 6/27: 819).
b5 ) (9f20: 7110;
1120)
.
Para responde. a asIa pregunla Ilasla con oomprobar
'
Ia ecuaci6n lundamenlal de IIaloraci6n
de no
am;traje sa salis18Cf1:
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 34/76
156
/ E<xJr.;oMI , n
'
NCI ERA
,
_ exisle consislencia.
',
P E3X2 .20><4 .1
><6.92_4
P,E3 X 3 . 2 0 x 2
.1
X 5
.
5 4 _ 3
_ no e><isle consistencia tal oomo 9Speffiflamos dado
que.
en este caso.
f
1
.
,
,
- 2 _ 4
. ,
,
,
6 .. 3.7.4
P •
, ,
,
5 .2 .75 .3
,. -
,.
•
, ,
_ no e. iste consislencia.
boI)
En
este caso.
00
consiOOran precios de actives Arrow·Debrau negativos. Sabemos
qV9 pa_
ra que no
e:o:
ista posib<lldad
cIe
arbilraje. tal oomo so enuncia en el
Primer Teorema
Fundamenral
de
1/1
conomia
Financiera,
dichos
predos
cleben ser posilivos. En Olras palabras. en eSle
caso.
00 Ie-
nemos un conjunto
cIe
pwoob<lidades neulrales al riesgo.
Por
l nto. 00 encoolraremos consistenc;a:
_
00 e. isle consistenc;a.
0>
_ e. isle consislencia.
••
,
9 6,,3.7 _ 4
, , ,
P. - -3--Z+ 5 .3_3
l
3 27 9
, ,
P,._Z+_ .
'
Este caso retieja un resullado importante. Hemos
comp<Obacio
que cuando existen
~
estados
que activos, poeden existir pre<:ios de activos Arrow·Deb<eu que SOIl positives
Y
consisternes con ia au·
sancia
cIe
arbitraje.
Sin
embargo,
a no
ser
que eI
ntimero
de
aclivos
sea
igtJa/
aJ m.imeIO
de
es/ados
no tenemos
garanr/a
sigma
de que dichos predos sean ni os .
En
eI apartado b de eSle ejempio, ye.
moo c6mo existon doli conjunlos
de
precios
cIe
activos Arrow·Deb,,,,, consistenles con la auseoda
de
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 35/76
Actives
~
y lQ I <wn jm,damnlla/
de ""/"'11<:;
6
..
.
(c.
4) / 157
arbitraje. La razOn e s ~ desde Iuego, en que esta ejemplo f'Il'Senta dos act , Y tres
es
tados de (a na·
tu,aieza. De m<lflera equivalerne. n61ese que en el apa.rlado a)
del
ejemplo t ~ comprobamos
que
pueden
a, isti, distintos precios de
activos
oonsistentes coo
Ia
auseooa de arbi t
raje.
c)
Supoogamos que
los
p,ecios de
los act , A,row·Deb'e u
vienen ooclos PO' (3120: 4/10: 7(20).
LCu;l1 es el tipo de interes ~ r e de riesgo?
1 5 3 4 7
- C
-
-
- _0.90
(1 1) • • ,
20 10 20
_ , , ' 1.
'1
% •
Hemos
visto como v a l o r ~ r activos fin:'lncierus en
un
contexto de ~ u s e n c i a de
arbitraje
mediante
los
pr
e
dos
de
los activos Arrow-Dcbreu 0,
t e m ~ t i v a m e n
mediante
las probabi l
idades
neutralcs al riesgo. Ahora bien, . cwil t:S 10
reloddll 1'11-
Ire estos proct'liimielilos
de
valomcioll Y 10 hermmicnlo de corlems n'plico que COIl 101110
fixito estomos empft>olldo a 10 la r
go
de < Sle libro?
Cu ando planteamos la valorad6n ba
jo
ausencia de arbitraje
de un
activo fi -.
nanciero cualquiera. tenemos
dos
posibilidades:
• utili7..ar activos existentcs en 1'1 mercado para formal' carteras
que
repliquen
los
p..lgOS del activo
que
dcscamos valorar y, una vez disponible dicha
car'
tera, obtener su coste que sen'i, en ultimo termino,
el
valor del activo que
busc;ibamos valora
r;
• utilizar los precios de los activos Arrow-Debreu 0 las probabilidades neu
trales
al
ricsgo
y emplear
la ecuaci6n fundamental
de
valorad6n
como
for
ma de valorar cualquier activo financiero .
L6gicamente, los
dos
procedimientos son idcnticos y nos darian ex
actamente
los mismos precios de
no ar
bi traje. Son dos formas altcrnativas
de
dcscribir
cl
mismo procedimiento de
va
loraci6n. Ahara bim, II oclllajl
de
e111plel r probabilidodt:S
lIeut roles al riesgo es
que 11
l1 S
veil OS
jorzados a collslm
ir 1111 car/era
replica
cada
ve::
que qllcrem
os va/oror
1111
activo
fiul lIciero.
Son
probabilidades
que pued
en extrarse
de los precios de mercado de los activos
que
sc negocian. Esta es una ventaja
muy impor
tante y fundamenta el exito, desde 1
1
punto
de
vista de los mercados
reales,
que
han tenido las probabilidades neutra les al riesgo.
PJra vcr
c6mo podcmos
construir unn carteru replica
que
nos Ileve al mismo
precio de no arbitrajc que I ~ s probnbilidndes
neu
trules al riesgo, desarrollaremos
a continuad6n eI cjemplo 4.4.5.
EJEMPLO
4.4.5
Oue,emos vaiorar una
opCi6n
de comp<a
sobr"
una aod6n cuyo precio act",, es ;gual a 60€. EI va·
10< de
Ia
acciOn al
veoc;mi
ento de 18 opci6n so, ia igua l a 75€ 0 , en
al
es
t
ado
""gativo.
igual
a
48 €
.
EI ~ p o de inte'es del
activo
seguro as ~ 11) Y al precio de ejercicio de 18
opCi6n
es 65€
.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 36/76
158 / ECONOMIA F'NANClOtA
La si1(1I\Ci6n puede deSCfilJ;rse mediante eI 6 i g u ~ n
ArboIlJ; )O(I'\jal:
p _
60
:
Pd' ,P.,,,, _ , .
'"'
~ ~
48 dP_d60 _
d_
0 80
donde
u y
d SOIl constantes
que repre5entan los rend im;entos t>rutos
de
la acci6n en cada Ur>O de
los dos estados de Ia na turaleza del ajemplo. N6tese que pa ,a evita, las positlilidades de arni
t,a
je
d«
I
+t <u.
AdemAs. como en
T Ia
opciOn \/IIle
lendremos que.
: ', P,·K ·
c ~ _ P d ~
~
48 - 65 _ _
o
La aSI ,atag ia
de Ia ca,tera
flIplica c o n s i s ~ A en consl",i,
uM ca,tera
formada por los
dos a c t ~
"OS negoci dos en
91
mercado Ia acci6n subyacenta y el activo
~ u r o
de Io'ma que reproduz·
camos los pagos de
Ia
opci6n de compra en cada uno de los estados de la naturaleza.
Para
9110.
denominamos B a Ie canlidad en au ,
os
que invertj
'emos
(p'
estando
0 piOIendo un
prestamo) en
el
activo ~ u r o y '" sera eI numero de ,ilulos de la
acci6n
subyacente que manten·
d,emos en ooesl,a
cart
e ra ~ i c a . La es tralegia aquella que ,eplique los pagos de la opciOn e n
cada uoo
de
los <los
estados de
Ia Mtural
eza
luturos
Y
por lanlo.
fluP
+
6::1
+
t) _ c
u
fldP+
6::1
+
t) ..
De
asle
sistema de ecuaciones podemos despeja, B y fl'
C
u
- c
1 0 0
.. 0.3704
.
•
u - rfJP
(1.25 - 0.80)60
S .
c"
- de
1.25 X 0-0.60 x 10
•
u-d) 1
+ t)
(1.25 - 0.80)(1.
10)
[4
211
[4.221
. .-16.17
Es deci,. si comptamos 0.3704 tltulos
de Ia
aOOOn subyacente y tinanciamos dieha comp'a pi.
di
endo
un pulstamo
por
16.17€ SB,emos
capaces
de obtene, en el ver.cimiento de la
opci6n
exac·
lamente los mismos pagos que dicha opci6n. Para avila' las opo<1Unidades
de
arbitraje. al coste
de
la
ca
,tera ' '''plica 00be se, ;gual a l
cos
te 0 predo
de
la opci6n.
c ..
/;I P
B 0.3704 X
60
- 16.17 .. 6.
06
, [4.23]
Que es precisamente el p'ecio
de Ia
opci6n de comp'a que
ob
teniamos mediante las p'obab
il
Klades
ooutrales
al riesgo (0 medianle los prectos de los activos A,
row
·OOOreu). N6tese que a diie rer.cia
del
metodo
de las
p 'obalJ;lk ades oeutrales a l 'iesgo. cada vez que qulsie<amos vaiorar un acti\>\:) ten·
d,ia mos que
deduc
i'
la
est'ategia
''''plica
ap
'
opiada
. Es
deci"
e n
cada
va lorad6n
ind
ividual necesita·
,iamos obteoer una
de te'm
inada
cart8,a
flIpilca. Las probabilidedes neul,ales a l liesgo nos permiteo
\/lllora' toOos los activos di'eclamenta. Esta as su gran ventaja •
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 37/76
ACives A
rr
mo-Dd> ' y 10
,ad6
fimda t /o'dr
w
lo
rlld6 , .. (C 4) / 1
59
i
Podemos
r e l ~ c i o n r con
mayor
exactit
ud ambos
cnfoques? Sin
duda.
Se trata simplCfficnte
de
sustituir los valoft.S
de
J. y B obtenidos en la exprc
si6n
14.221
en
c1
coste
de
la c
artera
dado
poT ecuaci6n
14.23]:
[
C,,
Cd
1
IIcd-
d
c
c,, J.P + 8 = P+
I I - djP I I - d)(1 + r)
1
= c
'
~ ~
l + r - d 1
1- (l+
r)
I I d c + I I d
.
,
_ c = 1 Plc
r
].
(1
+
r)
14.241
Hemos sciialado que
para
evitaT arbit raje, II
<
(1
+
r)
< II.
Esto implica que los
t
erminos
entre corchetes
de
ecuaci6n
[4.241
son
ef
ectivamente
probabilidade
s:
1 +rJ -d
0 <
d
-
1 +r)
- d
(II -
d)
+ - ( l+r) = 1-
(11
- If)
De hecho, estas son la s
probabilidades neutrales
al riesgo:
y, evidcntementc
,
11'.
~ ~ )
,- d
U II -d
,
[( l
+ rl - d ]
(1 + r) u - d
• _ 1 [11 -
1 + r) ]
d - 1 + rJ II -d
[4.25/
14.261
son los precios de los activos Arrow-Debrcu_
Naturalmente,
estas exprcsiones
son
validas
(y
tinicas)
en
el contexto
de
este mercado
p ~ r t i c u l r donde
el ntimero
de
est
ados
coincide con el
ntimero de
activos disponibles
(Ia
opci6n
es
el activo a va
lorar
y,
desde
este
punto de
vista, no di sponible)
y
donde
c1
valor
del
subyacente
s610 puede
tomar dos valores futucos. Este contexto se
denomina
I/uxlelo
bin
o
mial
de valoracion de
op<ion
e5.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 38/76
Veamos que utilizando ]4.25] cfectivamente obtenemos las mismas probabili
dades neutrales
al riesgo que
en
el ejemplo 4.4. 1:
: r ~
'
l+ r ) - d
(1.10)-0.80
0.667
I I -d
1.25 - 0.80
rj
'"
11- 1 +r)
1.25 - (1.10)
'"
0.333.
u-d
1.25 - 0.80
Es
inmcdiato comprobar que los prccios de los ~ c t i v o s Arrow-Debreu tam
bien coinciden con los del ejemplo anterior.
Finalmente, es interes..,nte haeer uso del modelo binomial para insistir en las
razoncs ya sei'ialadas para
dcnominar
probabilidades neutra
I
cs
aI
riesgo a las ex
prcsioncs ]4.25]. Sabemos que bajo dicnas
probabilidadcs
todos los activos fi
nancieros inciertos deben tener la misma rentabilidad csperada
que
debe ser,
ademas,
e
tipo de inter6libre de riesgo. Asi, cscr ibamos
e
valor espcrado que
tiene el precio
de cualquier
activo financiero incierto bajo ;r :
P]p., ] } I ~
liP
+ l I ~
)dP " .tr:
11 -
dIP
+ d l ~
u s a n d o ; r ~ '"
(1 +
r) -
d)/(rj
- d en la expresi6n anterior obtcnemos
E' P
r
]
=
[ I
+
r ) -d
] II
- d)P
+
=
(1
+
r)p,
(II d
por
10
que el
precio
de
un activo
financiero incierto crece a una tasa cspe
rada,
bajo ;r , igual al
tipo
de inte res del activo seguro. Evidentemenle, bajo las pro
babilidades or i
giMles
eslc
resultado s610 es
cierto para
inversores
neutrales
aI ricsgo.
EJEM
PLO
4.4.6
Imaginal
que
un determinado (<>die( b rsAh l
puede
lorna, 00s valores al final de Un periodo dado.
Odlos
valo,es. t,ansformaoos en eu,os, son
4.08{)
y
2.176
.
Et valo, en
eufOS
oot ir.dice en el mo
memo acloat
8S
igual a 2.720
.
Supooieodo Que tipo 00 inte,es 001 activo segura es ellO y el
Pfecio 00 eje,cicio de una
opci6n
de compra auropea sobre dicho
indice
es 3.000. se
pida:
a)
EI
Pfecio 00 los act; ; ;
A,mw
-Dtibfeu que existi,lan en eSl e mercado.
b) EI valor 00 las p,ooabili
dadoes
rleutrales al
ri sgo
.
c) EI pfecio
00
la
opci6n
doe oompra sobre
dicho
IndicfI.
d) EI P'ec\Q 00 un activo linanciem cuyos pagos luturos son 10,000 0 7.000 deper.dieodo del
estado de la naluraleza.
• Sabemos
PO' la eruaci6n lu
ndamenlal 00 valo'aci6n
que
el Pf9COo 00 cualquier activo l i
nanciem j
puede esc,ibi,se como:
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 39/76
flcliuos
flrrow-Dt bl l u
y
I. < CuacwlI i ,rrl. wllial de
,,,lorado,,
.. c.
4) I
161
Ademas sabemos Que la suma
de
los preck>
de
los acti
\l\>S
Arrow-Deb/eu es igual al precio det
bono tnisico a
un
periodo,
,
- I
f
..
UtitizaF ldo ambas
e xpresiooes.
0.9091 - f
u
f
f u - 0.3896:
f
d 0.5 195.
A1tem
at
ivamente.
uP.
4.080 _ u .. 1.50
Y dP _
2.176 _
d
0.80 ya
qu-e
el pr
ack>
del aclrvo
en
e l momen10 actual .
P
es
i
gue
l a 2.720. ASi.
podemos usa
r las
e.presi6n
(4.21):
f [
1.10 - 0.80 ] . -- -- [0.30 ]
03896
u
1.10
1.50-0.80
1.10 0.70 .
f L [
1.50 - 1.10 ] _
..
[ 0.40 ] 0 5195.
1.1
0 0.70 1.10 0.70 .
• Las probatlilidades neutrales al riesgo son
u- f u
(1
.. r) _ 0.4286
'
fd
(1
..
r) _ 0.57 14 .
•
La
opci6n de oomp' toma dos posibles valores a l final de l periodo:
Por
tanto.
c
u
max(P
u
- K, 0) .4
.
080
- 3.
000.
1.
080
cd. max(P -
K
0) .. O
,.
,
[1.080 X 0
,4286]_
42(l.8
1.10
•
EI
precio del actrvo linanciero q...a
paga
10.000 0 7.000 ser/l
EJEMPLO 4.4.7
e . (10.000 X 0.4286 .. 7000 X 0.5714] _ 7.532.5 •
1.10
Este ejemplo pr
esen
ta
una
posible obtenci6n
de los
precios
Arrow ·De
breu con
datos de
un morea·
do linanciero
'e a
l.
EI ma
rtes 26
de
enero
de
1993. e l ioooce
b u r s a ~ IBE
X·35 len
ia un
nivel igual a 2.
568
.
Ese
dia
sa negociaban 5 opciones de compo'a sob<e eIIBEX·35 cuya lache de vencimienlO et a 0119 de le
brero
de
1993.
Un
indica
burMtii
puede
ser un exceIenta
indicador de
los
estados de Ia naM
alez8 I
UTuros Q a es
peran los
irl'versores
en agregado. De
hecho,
los
niYeles
de
riquem
de
la
ecooomia en su
oonjunto,
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 40/76
162/ EcoNoM1A FIN
ANCIERA
que sa deberian ,elleiar &Il elindice bursMI,
_ fan
los linicos estados de Ia na Uf'alez8 re1evanleS pa.
ra agenles econ6micos hien diversificados y que, per tanIo, sa moslrasen indiie"lnles a los riesgos
in
·
dividuales y
s6Io
se preocupaseo de
los nMlles
de
tiesgo
que 00 poedeo diversil icar asociados II
Ia
If'lIlIlrtidumtlre Inherente al
estado
de
Ia economla
en
su
con;un Q, As', los
posibles
n;veles
que
un In·
dice
bursalil pueda ak:anzar en futu ro fijado
de
an1emaoo sugieren
los
esrados de]a nalUfaleza
de
Ia eoonomla.AI
negoc;arse
opciones sobre Indices u ~
i l e s 91
propio mercado def ine los posibles n;
_5
QUe se aspera alcarlCe
ej
Indice bu rs;i til en 00
Muro
dado.
N61ese que las
opciones se
oegocian
lijando un preclo de ajercicio. La disponibflldad de aSle
i>'f CiO
de eierticio y de ]a fecha de veocimien·
10
de
las opciones oos p e r m ~ e definir con precisi6n los aSlados de
Ia
nalUfalea que espe<an los
&gen.
les 81 vencirrMeolo de las correspondienl
es
opciones.
EI ma rIes 26 de enero se negociaban 5 opciones
de
compra con los 5iguienles nivele.
de
pre·
cios de ejercicio: K • 2.550; ~ 2,600; S = 2,65(); K • 2.700:
K ; _
2.750. Esto oos suglere que el
mercado esperaba 6 eslados de ]a nalura le
za
pa,a
Ia fecha
19 de lebrero,
Que
as la fedla de 'loci·
mien
lo de
estas opciones, AI 00 existir negoclac06n alguna sobre un nivel det Indice bursAl
il
como, a
modo
de alemplo. 3.000, podemos afirmar que un
es
lado de la natura leza que I
mp
licase una . itua·
ci6n
ec<:>06mica
tan excalerlte
como
para suponer que el merca<lo alc./lnzase dicho nive l en tres se·
manas 00 es posible 0, al meoos, 110 es relevanle como posObie ~ de ';queza agregada .
Podemos al irmar que las opciooes sabre Indices
b u ~ i l e
representan Uf\3 forma practica de
esrat>lece r contraros conllngenles sobre 01 nival que puede lener una delerminada ooooomfa y reo
presenlan un ava
rICe
eoorme sabre las posibilidades que llenen
los
agenles ec<:>06micos para
me
·
jorar SOj hienestal,
los 6 estados de
Ia
na tura leza, segun ~
nMlles
en
los
que podrfa eSlar
eIIBEX·35
9119 de
fe·
brero, son los sigu iente
s:
tBEX·35
_ -r_-.....,.,.
...
'T...,.,.
........ o9>t
...
.
La malriz de pagos de las diferentes opclones, segun la expresi6n c
r
= max(O,
r
- Kj, y a l vec·
lor
de
preclos a los
Que
sa negoc;aban las 5 opc;ones
de
compra el
26
de enero son:
C ..dro •. 6
8)
. Opc_
do
cO<nj>ra
t indl« bu . . . i .
.
+
2.800
..
2.750
,
~
...
2.650
,
~
..
2.550
_ . . __ ,. _
on
"'" _ 1BEX
15
_I
...,. . ...
_ ............... .., _ ' • 2.
1
.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 41/76
Acf
WS
Arrow-Debreu I/a /X
un
n fundamental deva /Q 6 1...
c
4) I 163
Se
trata de lItilizar la ecuaci6n fundamental de valoraciOn
y
a p l K a ~ a
a cada una
de
las opciones, toma
ndo
como precios
de
00 arbitraja los precios a los que
sa astAn cotizando las
opciooes
da compra. Po, tanio,
100ft. 2.0 0) 1
~
2.0100)
+ SOfe2
.
1OO)
t9
200+
U
OO)
.. P . ; Q
..
SOfe2.1OO)
..
31
250fc.
2.
000) + 1 5 0 +
l
00fe2
.>OO)
+
5O
fe
2.
5O)
54
2
.800
) +
200+
(2-750 ) + l
5Ofc
2.700) + l00fez
05OO
+ SOffe2 000) 83.
De donde obtenemos:
fe . 2.000) ' 0 .11
fe . 2.7
50
" 0.05
fe. 2.
7(0)
0.08
fe . 2.650)
. .
0.22
fe. 2.0100) .. 0.12
fe.
2S50)
?
P
ara
calcutar el (Jki
mo
de los p<edos de
los
actiYos Anow·Debreu basta recoroar qua
. ,
}:
.
' .
• • ,
(1
+
<)
EI
tipo
de
,teres de las
te
tras del
Tesoro
a un ai\o eI
26 de
enero de 1993 era Igoat at
12
.5%
Tanieodo an cuenta Qua allan 24 dlas at venc<m>en to,
. ,
):
' . ..
0.9918.
, II
+
(241365)0,
12
51
Po. tanto.
fe. 2.550) .. 0.9918 - 0,5800 .. 0.4118.
ConctllSi6n
:
los
precios
de
los
activos
Anow
-Deb,eu
0
las
probabilidades neutrales al rlesgo
pueden e. trarse de
los
precios da
cotizaciOn de
activos negoQados
Y. PO ta
nto. as e-I p
ropio
merca-
cIo at Que oos
of
'ece
la
InformacOOn. •
Para t
erminar
t.S ta
secci6n
sabre
opciones
debe
destacarse un aspecto de
enorme re levancia practica y que resulta
sencillo
verlo en e l contexlo
de
la valo-
raci6n binomial. Se Irala de disculir el concerto
de
caber tllra
delta.
En
el
ejemplo 4.4.5 se
ha
replicado la opci6n de
comprs
mediante una carte-
ra compuesta de;). titulos del s ubya
ccnte
y
B euros
del bono libre de riesgo. Para
entender
el
impacto que
las
opciones han
ten
ido en
los
mercados financieros es
muy
importante notar
que
tambien es posible replicar
cI
bono
libre
de
riesgo me-
dian te una cartera con IIna posici6n
corta
en la opci6n ve ndiendo una opci6n de
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 42/76
164 / Ecor>;OMIA F N ANC
UV'
compra) y una posici6n larga en la accion igual a fl tftulos. Esla cartera s in riL'S-
go debe ofrL'Cer un
rendimienlo
ig
uaI
aI
tipo de interes del activo
seguTO
0, en ca
so conlrario, exislirfa
la
posibilidad de arbitraje. Se trala de
cn
con lrar
eI
numeTO
de
tituIos,
fl
que deben comprarsc
del subyace
nl
e para
manlener
un.l posici6n
Iibre
de riL'Sgo.
Si
no
se
compraran
titulos del subyacente, Ia carlera estaria so
metida
al
riesgo asociodo a 10 posicion coria en la opei6n de compra. Sin embar
go, al
invertir lambi
en exaclamenle
fl
tftulos del subyace
nt
e se logra una
posici6n libre de riesgo
que
cubre la posici6n arriesgada cn
la
opei6n. Esta eslra
tegia redbe el
nombre de
cobertura del ta. En dcfini tiva, fl
cubre
la posici6n cor
ta en la opeion.
Con los
datos
del cjemplo 4 .4.5, si la acci6n aumenta y termina con un valor
igual a
75€, cI
valor
de
la carlera seni
75fl,
mienlras que
1 1 valor de
la
opei6n
se
ra igual a 1
0€
.
Como
en
la
carlera
de
cobertura
se
ha
cndido
la
opei6n call
y
su
tilular
la
ejereed, 1 1 va l
or
de
la
carlera ser6 75fl - l0. Si
la
acci6n
desciende
a 48€,
la
cartera valdr,a 4Sf>. La cartera de cobertura formada por 13 acci6n y 13 opei6n
debe pagar 10 mismo independ ien temenle del estado de la na turaleza,
75t
-
iO
'" 8fl
=:> fl
=
0,3704.
Por
lanto,
una carlera que replica la posici6n
sin
ricsgo
consiste
en una po-
sici6n larga
de
0.3704 litulos en la
acci6n
y una
posici6n corta
de una opci6n
call
En
otras
palab
ras,
una
posici6n
fl
'" 0.3704
titulo
s
del subyacenle
cubre
13
posici6n corta en la opci6n. AI
vcncimien
to de la
opci6n,
la
car
tera va ldn'i
75 (0,3704) - 10 '" 17.78 '"
48
(03704) independienlemente del estado de la
na
turaleza
que
ocurra. El valor actua l de dicha
cantidad
cier ta es
v:
=
17.78 '" 16 16 .
c 1.10 .
Para evi
lar
posibilidades de
arb
itra je, 1 1 coste de la cartera replica hoy de
be ser igual a 16.16€;
esloes,
al valor actual
de
la
cantidad
cierta recibida co
1 1
futuro,
60(0.3704) -
c
= 16.16
=- c =
6.1)6,
tal como habialllOS obtenido anleriormenle.
Illlaginelllos a continuacion que
la
vida de
la
opei
6n
se cxtiende a dos perio
dos
de un ano cada uno. Los rcndimicntos brulos II '" 1.25 Y
d
'" 0.80 se suponen
constantcs. Ademas, dado que
r
es lambien constante, la probabi
li
d ad neutral al
riesgo
sera
la
misma en
cada periodo
e igual a
JI :
'
0.663 Y
;rJ
=
0.333.
EI
nuevo
arbol binomial s r ~
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Peo
60
c
= to.57
Il '" 0.6456
ct no ;>;;
A . . w-Deoreu
y n l:uaci<5"
j dnmf ,,/n/
<Ie va
lora
d ,, c . 4) / 1 >
Pd= 48
cd = 0
Il
J
'
0
Pit" = 93.75
' = 28.75
AI final
de
los
dos periodos
es
inmediato
conocer el prccio de la opci6n de
compra
que
vendrj
dado por la
expresion [4 .
15].
Cuando falta un pcriodo al
vencimiento y
estamos situado en un
valor
del
subyace
nte
igual a 7
5€
, tendf('
mos que
C
u
_ .- ..-O [(0.667)(28.75) + (0.333)(0)[ = 17.43
1.1
f c - ~
28.75 - 0
llu = p(lI _
d
=
93 75_6
= 0.8519.
Por otro lado, cuando
P =
48, Cd
'
0 Y
Il
J
'
O. Retrocediendo un pcriodo mjs,
el
valor
de
I
:.
opci6n
de o m p r ~
en
el momento
inicial cs
1
C = - 0.667)(17.43) + (0.333)(0)] = 10.57.
1.10
s
interesante
apuntar que
el pn.'Cio de
la
opci6n de compri se ha i n r m t ~
do con rclaci6n a
su
valor
del
ejemplo 4.4.5
en
el
que
0010 habia un pcriodo has
la el vencimienlo. Esle es un resultado general. Sin
dividendos, cuanto
mayor es
el tiempo
hasla
el
vencimiento, mayor sera el valor de la opci6n ya que
el
titular
tiene mas posibilidades de que el precio del subyacente ascienda. Sc podriil
CUlM
d r e l ~ m e n l e c
precio actual
de
la opcion
de compra
como
1
T
J l ~
+
2 l r : ( 1 - J l ~ ) c
+
1 - J l ~ ) 2 c d d )
l + r )
•
-
-;-;;1
0
; [(0.445)(28.75») =
to.57
.
l . h r
Hemos mencionado la importancia de la volatilidad en la valoraci6n de op
ciones.
s
clave
no
t
ar que
la vola tilidild del subyacente esla implicita en las mag
nitudes de las oonslantl.OS H y d que reflejan In variaci6n en
cI
precio del subyaccnte
en
cada pcriodo. EVidentemente, este modelo supone
que la
volatilidad
del
sub
yacente es constante durante
la
vida de
la
opci6n.
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Adiws m
> w - o . .
b T c ~ y
fa
~ a c w n Juno/anomlal
de
.. /OrllcWn
.. c.
4) I
167
FLUJOS DE
CA
JA
,.0
t=
l enn
o n t r ~ t o
JofWllrd 0 ~
I
Comprar petroloo contado
- p
P,
Prestamo IF
b
F
-F
I
Flujo tota
l
I
b
l
P
I
P T ~
I
En definiliva, la eslrategia
de
c
ar
tera y e[
conlralo
forward
producen
los mis-
mos
flujos
de
caja en
T Por
lanlo,
su
cosle hoy
debe ser
el
mismo pa
ra
evilar
oportunidades
de
arbilraje:
O b l
~ P
p
.... F = T P { l r ).
[4.27]
EI
forward te6rico cs,
por
tanto, igual al valor de
contado
(valor actual)
del
ac-
tivo subyacente mas
la
financiacion al tipo de interes
del
activo libre
de
ricsgo
(una
te
tra del tcsoro al
mismo
plazo que el futuro). Es decif, el precio
del
fonmrd
debe
ser lal que nos resulte indi(erente
comprar
el activo al
contado
hoy que com-
prarlo
en la
feeha
de
vencimiento 0 fecha
de en
trega a
su
valor teorico teniendo
en
cu
enta el
cosle
de
financiaci6n al
tiro de
interes del activo sin riesgo.
Esle
cs
el ejemplo mas sencillo
de
conlr
ato
forward Sin emba rgo,
dcbemos
le-
ner en cuenta que
existen muchos tipos al t
ema
tivos
de
contratos forward;
l
antos
como activos subyacenles
podamos
imaginar.
Nueslro
eje
mplo ha
utilizado co-
mo
activo subyacen te
el
pelr61eo
que
es
un
bien 0
colllmodity
y
que
hemos V3[0-
rado suponiendo
que no exista cosle alguno de almacenamiento.
Cada tipo de contralo
forward liene
su
propia idiosincr
as
ia a
la
hora
de
valo-
rarlo
aunque
na turaimenle,
[a
filosofia general corresponde a la de n
uestro
ejemplo y esla
basada
en [a ausencia
de ar
bitraje.
Si
reconocemos
la
exislencia
de
cosies de a[mace
namien
to,
cl
pn."Cio
forward
debe ser
mayor
que
P Ib
l
jusl
amente por [a magnitud de dkhos
cosies. Si,
por el
conlrario, eslamos valoTando
un
activo
cuyos
costes
de almacenamienlo son
ne-
galivos
como pueden ser
los
dividendos pagados poT una
carleTa
de
acciones 0
los intereses
de una
ca
rlera
de bonos, e[ precio forward sera
menor <jue
P Ib
1
pre-
cisamente
en la
cantidad corrt.'Spondienle a dichos
dividendos
0 intereses.
Un contrato forward
muy
importante en el
<jue puede
apreciarse el impaclo del
pago de
los
dividendos
es el forward sobre
un
indice bursa ti . Este es
uno de
los
conlra tos mas
populares
y de
mayor
liquidez
en
los mercados bursatiles intema-
cionales. s evidente
<jue
las acciones <jue
componen
el indice
bursa
I
iI
pueden
pa
gar dividendos
durante
la vida
de
l contratoforward .
En
este caso,
la
exp
resi6n del
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 46/76
168 EcoNoMr FIN NeIEIl
forward au
nque
es muy similar a la {4.27] debe versc modifieada
para
incorporar
los dividendos que entenderemos
como un
coste de
almacenamiento
negalivo. EI
valor tc6rico del forward sobre
el IBEX-35
seria:
Fonvard trorico valor IBEX-35 hoy finandad6n al tipo de in teTes ibre de
Tiesgo - dividendos
deIIB
EX-35.
Imaginemos, a modo de
ej
emplo, que queremos valorar unfon 1I rd sobre
cl
IBEX-35 a
un mes
suponiendo que en estos
momentos
el lB EX estc a 9.200
pun-
tos, el tipo de interCs anualizado
de
las letras a
un mes es
igual al 3.5% y las ac
dones que componen
el
IB EX-35
pagan
durante dicho mes una cnnt
idad de
dividendos
igual a un valor de 3 puntos
de
IBEX,
donde
cada
punto
vale 10€.
Valor tc6rico del
fonwm
=
9.200 x 10) (92.00) x 0.035 12) - (3 x 10)
=
= 92.240 eufOS.
P
or
tanto, obscrvaremos que cl1BEX-35 ( SIn col
iwndose
a 9.200
puntos
mien
tras que su fu turo trorico seria 9.224 puntos. L"l diferencia se denomina base y es
la
duerencia constante que, en principio, debe existir entre eI
fo
rward y eI contado. s-
ta diferencia, a mcdida
que
nos acercamos a
la
fecha de entrega 0 vencimiento, se
va estrechando hasta hacerse cero
to
l l el
momento de
dicha entrcga. Antt'S del ven
cimiento, sin embargo, la base puede ser n"1;iltiva °positiva. Si el contildo sube
mas que
el
futuro la base d isminuye y dccimos que la base se ha debilitado, mien
tras que si el
fu
t
uro sube
mas, la base
aumenta
y dccimos que se ha refon..ado.
Por simplicidad no estamos distinguiendo entre
contratos
fonv rd y contra
tos
de
futuro. De hccho, no establcceremos ningunn diferencia formal a 10 lar
go de este libro, aunque en
la
practica
son importantes
las
di
ferencias por
moth os
institucionales.
En estc sentido es importante destacar que, tal como hemos descrito los merca
dos fonv rd 0 mcrcados a plnzo, son contratos que se Hrman entre dos partes y que
no implican
grado
alguno de estilndarizaci6n institucional, sino un simple acuef
do
entre dos partes. Este mccanismo haec que, en la pr<lctica, exista una dcscon
fianza
mu
lun entre
ambas partes debido
al posibJe riesgo
de
insolvencia
de
una
de
las
partes
eontratantes.
Los
mercados han
evitado
csta inconvL>fIiencia
mediante
una evidente estandariz."lci6n de los contratos. Dc esta forma surgen los denomi
nados conlra/os de fll/IITOS en lugaf de los contratosforward. La estandariz."lcion arcc
ta al nominal del contrato, a sus fl>chas de entrega y las caractensticas del activo
subyacente,
dotando
a los contratos
de
futufOS
de
unn gr;lllliquidez al n..'Sult
ar
sen
cillo encontrar
la
contrap.."lrtida
de la
posici6n dcseada.
Un
componente
clave de los mercad os insti ludona lizados de futuros
esla
-
mara de comp<'1 5lIci61 Su objetivo es eliminar el riesgo derivado deJ posible in
cumplimiento
de
10
pactado
cn cl contrato por cualquicra
de
las park'S firmantes.
La
camara se inte
rpone entre
las
partes de
forma
que
se
subroga como compra-
dOT
ilnte el vendedor y
como
vendedor ante el comprador. Es la propia
camara
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 47/76
cli_
Arrow
.
Debrt'u '1la
N:ua
ciim j Ullda ,,,,,/a/ de t /Otacw ...
(c. of / 169
la que se compromete a cntregar e[ activo a[
comprador
y cl
dinero
a[ vendedor.
Asi, [a c;imara libera del rit'Sgo de ineumplilllento al conlrato de fuluros
ill
asu-
lllirlo ella lllisma. Para que la camara quede pmtegida
como
instituci6n ante
Jas
partes, exislen dos mceanismos en los mercados de futufOS
que
son los dep6si-
lOS
de garanlia y las liquidacioncs di<lfias de posiciones.
Los dep6sitos de garantia
son unas cantidadcs de dinero
que
lodos
los par ti-
cipantcs en los mercados de futuro deben
depositar
en el momento del cstable-
cimiento del c
on
trato y
quedar
abierta una determinada posici6n. L.6gicamente,
cstos dep6sitos se cancelan en cuanto posici6n se cierra 0
simplemente
vence.
a liquidaci6n diaria cs un procedimiento por
c[
que a[ final de cada sesi6n dia-
ria de ncgociaci6n, la ctimMa procede a cargar 0 a abonar las perdidas y ganancias
realiZiidas
duran
te ese dia a las partes firmilIltes del contrato. Segun se lllueva el
precio de[ futuro dia tras
dia
respecto al prccio
de
entrega pactado,
la
(timara re
querir<i a la parte que Itaya reali:.wdo una perdida que
[a
ingrese en Sll cuenta de
dep6sito y
b o n r ~
el corrl'Spondiente beneficio a la pMte conlraria.
A part
ir
de cslc momento
no
distinguiremos entre forward y futums. De he-
cho, en
1a
prtictica,
cuando
los
tipus
de interes
no SoOn es
tocasticos el pr{.'Cio tOO-
rico
de ambos
activos es el mismo. En 10 que resta
de
s.ccci6n hablaremos siempre
de
fu
turos, aunqlle deberiamos ser conscicntes que, en realidad, nos €Stamos re-
firiendo al mercado a p[azo 0 jonmrd.
a va
loracioll
nelllmi
III riesgo
de
l
os
(onlm/os
de jUllifOS
Sllpongamos que estamos negociando un contrato de futuro sobrc
el
petr6l00 a 90
dias. Mediante csle contrato el inversor
queda ob
li
gado
a
comprar
100.000 barriles
de pctr6leo por 20 euros/barril exactamente dentm de 90 dias. Si el prccio del ba-
rril a los 90 dias aumenta a, por cjemplo, 25 euros/barril, el inversor ganar[a 5
por oorril comprado, ya que pagaria 20 X 100.000 2.000.000 euros al vencimien-
to y los podrin vender en
e
contado por 25 X 100.000 2.500.000 euros. Sin em -
bargo, dicho inversor perderia si e[ pIl'Cio del b.1rril
de
petr61co disminuyc
por
debajo de precio de cntrega 0 prccio futuro que cs igual a 20
euros
/ barril.
Para ser precisos en la valoraci6n del contrato de futuro utilicemos cl concepto
de
prceio
de
entrega. Este cs d prccio
del
futuro
que
haee
que
e[ va
l
or
actual del
con trato sea cero para
ambas
part{.
S
. P
or
tanto. siempre que el valor actual neto
de
cualquier opernci6n
de
futuros es iguaJ a cero
(Ial
como debe se r para evitar arbi-
trajcs)
fCSulta
cquivalente hablar del prccio
de
futuro 0 del prccio
de
entrega.
Denominemos X
al
prccio de
entrega
en
un
contrato de f
utums.
En el
(aso an
-
terior, el precio
de
entrega seria igual a 20 emos / barriL En general, e[ valor
de
la
posici6n del contralo
de
futuros pMa el comprador en la fceha
de
entrega 0 fc-
cha de vencimiento,
T
por
unidad
de activo
entrcgado
es
[4.28
mienlras que el valor de una posici6n corta 0 valor para
e
vendedor
en T seria
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 48/76
170 / EcoNoMfA
[4.29)
Dados eslO5 pag05, utilicem05 la valoraci6n neutral al riesgo para valorar el
conl rato
de
futuros,
If
en cualquier momento de tiempo:
f I P[P - X),
1 + r r
[4.301
N6tese, una vez mas, que el preeio
de
entrega
X
es una constante (no
cambia
a 10 l(lfgo de la vida del contrato). Asi,
1 1
j = E fP
rl - -
X.
\ ,
\ + ,
14.311
Sabem05
que
bajo neutraJidad al riesgo, el preeio de cualquier activo incierlo
creee a una lasa cspcrada igual
al
tipo de in teres
Ubre de
nesgo. P
or
tanto,
E IPr]
=
P(l
+ r .
14.32J
Susti t
uyendo
en
[4.31],
obtenem05 que
el
valor
del
contrato
de futuros
es
1 1 1
j = P I+r) - X = P -
X.
l + r
t r
t + r
14.331
Como en el momento inicial del contrato
eI
valor del mismo, \ j , debe seT
ce·
ro
para ambas
partes, se obliene que
o = p - \ X = X = 1 {l+ r)
1.
y
po
r [4.27]. el precio
de
entrega en el momento inicial
debe
ser
eI
precio del
futuro F
F = P{1 +r).
En dcfinitiva,
hemos
c
omprobado c6mo
la valoraci6n
de
un activo
denvado
en este caso el
futuro
basado en la ausencia
de
arbilraje enlre la cartcra re-
plica y el propio derivado es exactamente igual a la valoraci6n
neut
ral al riesgo
de dicho derivado.
EJEMPLO 4.5 1 Uso de los predos de los futures para obtener probai)ilidade-s
newsies al
~ e s g o
Imaginemos un muodo estatico de un
solo
periodo y dos estados de
la
naturalezs. cIonde eIIBEX·
35
aSIA
actualmeota an un nivel de 9.300 Y al final del periodo puede 10mar uno de
los
dos
sj .
guieotes valores dependieodo de que
al
astado
de
Ia
nalura eza sea
boeno
0 recesivo; p• • 1 695
o
Pd
8.928. EI tip<> de Inte,,\s de l
ac
tivo libre de riesgo as ;guat al 6 1. y no se pagan dividendos
durante Ia vida del cootrsto de futures sobfe e1 ndica. N6tesa qua Ia ,entabilidad brula del
indica
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 49/76
ACI;,1{ S
A,,,,,.,.Deb,,,,, Y
la
....mci6n junrimn. lal de wlomcM
..
(c. 4 I 171
an al astado al aim es u 10.69519.300 z IJ5. mlanlras que eo al aSlado recesiyO as d
6.928J9 .
3OO
0.96.
En aSle marco Ian seneilto pero ilustrativo, al
predo
te6rico
del
futuro >iana
da·
do por F . 1'(1 .. rj . 9.
3OOIU16
. 9.858.
Sabemos que 91 precio teQrico del COO1 rato de tuturo 0 precio de enl r 9B momenta de li .
mar dicOO
conl.ato lIS tal que
el
valor del connato de
Muros
sea igual a celo. de Iorma que ambas
pa.tes e.men en un contrato con valor actual neto
/gual
a cem. Naluralmeme, a 10 targo de
ra \/ida
del futuro,
eI
contralo
tend
;)
un
valor positivo 0 negativo sagun evoIucione
al
subyacente
y po.
con·
sigWante, al precio deltutum con relaci6n al precio de ent '&9B.
Sea F .. X
eI
p.ecio te6tico iobal del contrato de
tLJIuro
y supongamos que
eI
precio
del futuro pue
de convertiroo eo F.o
d
al Iioal del siguien/e pe<iodo, seg(ln
que
eI valor del subyacenta sea p. 0
La
ganancia 0 poIrdida para ..... inversor con una posici6n
larga
en eltuturo se.tI F
_
F 51 al astado
buena OCUffe y d - F 51 el astado negativo se produce. Asi, el valor esperado de los Ilujos provenien
tas del contraiO de Muros al fina l del periodo
bajo
Ia probabltidad neutral alliesgo serla:
~ u t l l as al costa inleial para un inversor
que
eotrase an un contrato de tulutos de estas carac·
te.islices? Sat>emos que
Ie
toma de posiciones an un conlrato de futuros en
eI
momenlO lnicial de
ostablecer
1
comrato es igual a cero ya
que
no hay Intarcamtlio de dinero alguno, tal como
hemos
menciorIado antariorment
a.
Pot tanto, eI valor aclual de dicho connato debe set cero Inida lmenla. de
for
ma que
al aplicar
Ia
valoraci6n neul.al al .ieS(lO landmmos:
(1
..
r
[4.341
Este resu ltedo nos dice qua 81 preckl
tOO.1eo
del Mum es al promedio ponderado
de
sus precios
luiuros, donde dlehes ponderaciones
son
preclsamente las probabilidadllS neutrales al
riesgo
as0-
ciadas a cada astado de la f13turaleza.
Recuerdese un .esultado conceptualmanta simila. que nos decia que. bajo las pmbabilidades
neutraies
al
riasgo, Ia rentabilidad esperada de cualquie r aeliyO incierto as igual a /a rentabilidad del
activo seguro.
Sabemos
que
eI pre60 del futuro al
,eo'OCiOiliento
(lin este cas<> al final del unico pe<iocIo)
coW>ci<jj.
ra con
el
precio d I
activo
subyacent
e.
En nvestm ajemplo,
asto impice
que al vencin1ien1o p
Fu
Y
P F r />of lanto. eI poecio te6rioo d I futum es iguaI al valor esparado, bajo
Ia
probabilidad neutral al
riesgo, de los
valores 0 pagos del activo subyacenta al vencilllMlnto d I contrato
delluluro:
[4.35]
Como
sabemos
al
valor actual del futu.o que es igual a 9.858. podemos
otIrene./a
pmbabifidad
neul.al 91 .iesgo a traves de Ia expresiOn [4.35]:
•
,,; .0.474 •
9.858 - 8.928
10.695 -
8.928
•
· 0.526
1.767
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 50/76
172 / ECONOMIA FlNANCI£RA
La relade .1cntre eI predo te6rico del j utlj
ro
(
jo r
w
fl r
d) y los prcc i
05
de las cal ls y pills
europells
Un conlrato
de
futuros recien firmado, cuyo valor inicial es cero,
de
forma '1ue
el pre<:io tenrico c
oincide con
el precio de entrega, es
e luivalente
a una carte-
ra consist
ente en una po
sicion larga
en una
call y
una
posicion c
or
ta
en una
pul,
donde
ambas opciones se negocian w bre cl mi smo
sub
yacente, Henen la
misma
fc..::ha de vcnc
imien
to '1ue coincide con la f
c ::ha
de en lrega
del
futuro
y i1mbas tienen cl mismo precio de ejercicio '1ue es igua l al precio teorico del
fuluro.
Si estas
dos
(arteras tienen e\ mismo pago futuro, debe ser cierto '1ue el precio
te6rico del futuro debe ser a'luel precio
de
ejercicio '1ue iguale cl precio te6rico
de
la
call
y de la
put .
5i, por ejemplo,
c
<
p,
podriamos constmir Ima estratcgia de arbi
trajc comprando la call, vendicndo la pul y vendiendo el futuro.
Esta
estra tcgia pro
du
ciria una entrada
de
dinero igual a
p
- c)
>
0 y, sin embargo, no \endria
compromiso de pago alguno en el futuro. W siguientc tabla Il'producc cstas ideas
de
forma m
as
compacta.
ESlados de l na
lura
leza fulu COS
Momento
Pr F
P
r
>
F
o m p r
del futuro
0
P F ( 0)
P
r
- F
Compra m
il
;
K
'
F c
0
Pr
- F
Ve
nia
p
i l i
;
K
_ r
P
PT
-F( O)
0
To ta l carlera
I I
,
I
P F
(
0)
I
P
r
- F
Notesc '1ue. para
evitar
posibilid
ades
de
arbi traje, los precios
ho
y deben se r
tales '1ue el cosle
de amba
s carteras sea el
mism
o,
p - c : O ... p :c ,
1
'1ue precisame
nte
ocurre al ser K : F.
U
lilkemos
la relacion
de paridad
pul-
ca
ll para
opciones
e
urope
as
para ana
li
zar la rclaci6n entre los futuros y las opc ioncs . Sabcmos '1ue la rcl aci6n de pari
dad pul -call es
1 1
p+ P ,c +K = c -
p 'P
K
r l r
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http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 51/76
AeI,,,,,, row-Deb,... y Iff ff
UffC
ro ll / ulldffmmlal de w lonlc o ... (c. 4) I 173
Tambicn &lbemos
que F
es aquel valor
del
prccio
de
ejcrcieio pMa el eual
c ' p.
Por tanto,
usando
la relaci6n de parid<ld, tenemos
que
I
O= P - K
P
- F =F = P I + r ,
l + r l
r
que
cs e l valor te6rico del futuro
que obluvimos
previnmente. Asimismo, us.lndo
Ja
relnei6n de parid<ld
puf-cali para
opcioncs
europc
as euando e,astcn dividendos
y haciendo cl mismo razonamiento
pucde dcdu
eirse la exprcsi6n tooriea del
h l t u
f )
cuan
do
el subyacente paga dividendos.
4.6 La valoracion binomial de bono
s
cupon ceTO
Veamos
una
sencilla (lplic
l
ei6n
del moddo
binomial y
de
las probabilidadcs
neu
trales al ricsgo a
l(l
valoraci6n
de
activos de renta fija, asi
como
su
rel<lci6n con
las teorias sobre n cs t
ru
ctura temporal
de
tipos de inleres.
lmngincmos que
hoy
el tipo
de
interes libre
de
ricsgo
l un
noo,
r
ev01uciona
de neuerdo con el siguiente arbol binomial:
15
4
%'
6%
8%
6 '
12% ·
18:0.
Ellipo de inleres
l
clual cs igunl a18% y
dieho
lipo de interes se incrementa 0
di s
minuye un
500/0 con probabilidad
{o
riginal) iT Y 1 - IT respectivamente. Existen
tn
.
os
bon
os eup6n
eero sin riesgo con v<llor
nom
inal
igU<l1
l
10_000€ cada
uno que
denom
i
nam
os C, M,
L
Ycon vencimientos a uno,
dos
y Ires
lOOS
rcspectivamen
teo Se t
f ll l
de c<llcular el
pr
ccio
de
los Ires bonos
eup6n
cero, te
niendo
en
euenia
que n
informaci6n
dispon
ible implica que tenemos
In
sigu i
ente
dinamiea para
los tres bonos:
IS
B.
,sado m un ejernplo OT igi ,,1de Hua He (Univcrsi ty of Catifornia en Berkeley).
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
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174
/ EcoNoM
lA
N C I ~ R
ycon pagos de
10.000 al
vencimiento independientcmcnte del estado de naturaleza.
Consideremos una carte
Ta
re
plica
consistente
en
Alilulos
del
bono
L
y
una
in
versi6n de B euros en el bono C
que gana
un tipo de interoSs rl de forma que
ALu B(l r) ' Mu
ALd B(l rl M
d
,
solucionando
el
sistema obtenemos,
[4.36]
[4.37]
El
predo
de no
arbilraje del
bono a medio
plaza debe coincidir
con el cos
Ie de la carlera replica y, por t
an
to, debe sec igual a M = AL B Asimismo,
multiplicando
]4.36] por
las
probabilidades y
sumando
ambas c<:uaciones te
nemos que
.1tM 1 - ;r M
d
A[;rLu
1
-
;r)L
J
] 1 r
B.
[4.38]
ComoM AL B, la
expresi6n
]4.38] queda
:rMu i - nlM
1
- (1 r)M = A[;rLu (1 - ;rlLd - (1 r L]
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
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Acl;vos Arrow-[kb,...u y acw /u,,,Jallleillal de ooIOrllcklll
(c.
4) 175
que,
usando
[4.37] par'] 6, queda
:rM.
+
i
-
rr Ma
-
1
+
r)M
M Md
rrL.
+
(1 - rr Ld
-
(1
+
r)L
L. - L
,
14.39]
expresi6n que debe ser valida para lodas
las
b ,lOs independientemente de su tiem
po hasta el vencimiento. Denominamos al eociente an ter ior como)., la eual es in
dependiente
del vencimiento que tengan los
bonos
y
debe
ser igual para todos
los
bonos
0 activos que sean dependientes del tiro
de
interes.
Usando).,
las expresiones
de
valoraci6n para los bonos
M
y
L
pucden escri
birse
como
[4.401
rr- AlL
. +
[ -
(rr -
A)IL"
L_ .
I .
Estas son las expresiones
de
valoraci6n
de
los bonos
eup6n eero
a difercntes
vencimientos. N6tcsc que
rr-).)
es 1 1 probabilidad neutral .11 riesgo del modelo
binomial, donde es facil demost rar que
H C C M C - c { I , - - C M ~ ,
M=
I .
14. 4
1)
As , los paTilmetros asociados a las probabilid.1des con las que
evoludona
el
tiro de interes y la prima de riesgo,)., se incorporan al precio del bono L, de ma
nem que su
evoluci6n se
pucde
utiJizar para
valorar
el
bono
M.
Si examinamos la prima
de ricsgo;
observamos que
:rM.
+( l
- rr)M, , - (
l+ r )M = [JlMu
+
( I - r )M dI M-( I+ r )
M -
M,,
(M. - Md1/M
[4.42]
El
lado derccho de esta ecuaci6n es
1a
prima de riesgo esperada dividida por
una mcdida de la magnitud con 1 1 que varia
el
precio del bono. Esta prima debe
ser igual para todos los activos cuyos precios dependan de 1 1 evoluci6n del lipo.de
interes.Si
1 1
hip6tcsis
de
las expectativas se s.llisface, ).
debe ser
igu.1l
a eero y las
probabilidades neutrales al ricsgo son igualcs a las probabilidades originalcs. Por
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 54/76
176/ EcoNoMlA FJNANCIERA
olra pMte, la hip6tesis de la preferencia
por
la liquidez implica que
A
:> 0,
por
10
que el rendimiento de los bonos (libn> ; de riesgo) a mas largo plazo excede
el
tipo
de
inleres libre
de
riesgo a corto plazo.
EJEMPLO
4.6.1
Supongamos que probabiIidad aI alza es "2 y Ii
p1'ima
de
riesgo
a un pe-riodo es ., E 0.2. mientras
que Ii
prima.
de 'i sQo a (los pefiodos os O.
t .
Los
precios
de los
bonos
anaIizados previarnente son:
M
•
,
t
oe
((0.3)(9.615) + (0.7)(8.929)] .. 6.456
'.
•
,
,
((0.4)(9.804) + (0.6)(9.434)] .. 9.213
'.
•
,
[i2
((0.4)(9 .434) + (0.6)(8.475)] • 7.909
,
•
,
, .M
{(0.3)(9.213) + (0.7)(7.909)] • 7.685. •
EJEMPLO 4.6.2 En Ii p,&ctica
Ia
prima de riesgo
debe
eS1imarse a par1, de
Ia
es truc\ura temporal
de los
tipos
de Inter/is observada.
Sopoogamos
que
AI
.. 6.300:
L,,
9.200:
L,,
7.800.
Como
M •
'
..
,
,
00
[(1).5 - ).)(9 .615)
+
(0.5
+
Aj{6.929)I _ }
E
0.449
[
(1).5
- ).J(9.804)
+
(0.5
+
\){9
.4
34}1
_
u
0.138
,
[(0.5 -
) 1 9.434) +
(0.5
+
).J(8.475)1 - ).,, 0.228 . •
1.12
4.7
Va
loraci6n de act ivos finan
cie
ros: rendimientos,
martin
ga las y
probabiJidades neu
lrales
l
riesgo
Consideremos una
economia de
un
s610 perlOOo
en
la que caraclerizamos la in
ce
rtidumbre
a tr<lves de los estados de la naturaleza que pueden ocurrir al final
del
periOOo considerado. Sabcmos
que
1
ecuaci6n
fundamental
de
valoraci6n,
que
no
es
mas
que la condici6n de no arbilrajc, sc represent<l
como
en [4.2),
donde es el valor hoy de
un
a unidad
de
consumo que se pagari<l al final del
unico periOOo de esla economia
si el
eslado s ocurre y nada en caso oontrario. Es
10 que hem os denomin<ldo precio del activo Arrow-Debreu que paga una
unidad
de oonsumo en
el
estado 5.
Debe quedar claro que
un
activo de estas caracteris ticas
pagaria
realmente 1111
e iro en
el
cstado
s;
sin embargo, estamos suponiend o que en nueslra cconomia
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 55/76
Aclioos Arrow Dehrcu y la ,uac ,,, 1
d ,,,,11I1
de oolomdon .. (c. 4) I 177
de
un
solo
periodo
los
individuos consumirian
dicho
euro
por 10 que
los activos
Arrow-Debrcu pagan,
de h ho, IInidades
de
COIISIIIIIO
Por otra parte, (II ser un(l &onom[(I
de un
solo penodo tendriamos dos fechas.
Por
un
l.ldo,
1 1
kcha
(lctu(ll a la
que
nos
podnamos
rdenr
como
momen
to
t
y,
por
olro,
la
fecha fulura a
la que denominariamos momenlo T.
Para
simp
li
ficar nues
tra notaci6n, como hemos venido hacien
do
hasla ahora, tend
crcmos
a
no
utilizar
los subindices t y T enlendi6ndosc que hoy es t y el final del
periodo
en nueslra
economia es T
donde,
a su vez,
pucden
existir s 1, ... S eslados
de
1a naturaleza.
Vamos a
dis
t
inguir
cxplici t
amen
te las
probabilidades uerdllderas
asociadas a los
S
es
t
ados de
la
na
luraleza
de
las
probabilidlldes
lIeulral
es
III riesgo. Para las prime
ras
usarcmos
la nolaci6n
Jr,
pMa
s 1
... S, mien tras
que
para las
segundas usa.
rcmos nueslra notaci6n habitual Jr:.
Asi, Ia ecuaci6n
de
va loraci6n
de no
arbitraje
pucd
e escr ibirsc, bajo las vcr
daderas
probabilidadcs, como
, '( )x
' I i
,X
"" I s
I . ~ 1 . ~ Jr
s
J
1
4.4 3
donde aparece una
nu
eva variable aleatoria
{al
depcnder
de
sJ que
denominarc
moo M. y
que
vicne d
ada por
1 1 expresi6n
[4
.44]
y que inlcrprclamos
como el prccio
del
activo A
rrow-Dcbreu
s-esimo
por unidad
de
probabilidad vcrdad era
del propio estado
s.
Por tanio,
1
4.
4
3J
pucde
escribirsc como
Pi = I / A X
is
'"
EIMX
jJ; j = I
...
N.
..
[4 .45J
Asi,
el
prccio
de
cualq uier activo financiero
j
cs
el
valor
esperado,
bajo la vcr
dadera
probabilidad
Jr de sus pagos
0 nujoo de caja futuros
ponde
r
ados
por una
variable
agrcgada
(igual
que
el prccio
de
los activos Arrow-Deb reu, la variable
M no
depende
de
cada
activo indivi
du
al
j)
. Die/III varillble IIgn'glldll
M
debe
s
Iml-
to ,, f actor de d
esCll
euto
co
mo
uun varillble
que
pO
lld
ere
los flujos gellerados por j, se
glln SCII el eslado de III 1Il1l, raleza
dOlld
e
se
reciWn .
...il
expresi6n [4.45J
no es
mas
que
nuestra conocida &uaci6n fundamen tal
de
valorad6n bajo auscnd.1
de
arbitrajc. Por ta.nto, dcbemos insis
ti
r en que para ob
tcnerla
sOlo
hemoo
supuesto que no
exislen oporlunidadcs
de
arbilraje y
que
los
prccios
de
los aclivos Arrow-Dcbrcu son positivos, asi como las respectivas pro
babilidad
es
asociadas a los cstados
de
la natur.lleza,
de
forma
que
la variable M es
una va.riable positiva. Sin embargo, en much(ls areas
de
la Econom[a
Fin(l)1cicra y,
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 56/76
178 I
EcONOMJA FlNANCJERA
en particular, en los amHisis emplricos sobre los mercados financieros, suele ser ha
bitual cscribir la ecuaci6n hmdamental
de
valoraci6n como 14.45].
Durante nuestro am ilisis hemos presentado las ecuaciones de valoraci6n siem
pre
en
tenninos
de
precios
de
los activos financieros.
Como
iremos
comprobando
a
10 largo dellibro,
la
Economia Financiera suele utilizar tas.1S
de
rendimiento espe
radas en lugar
de
precios para describir las rclacioncs fundamcn talcs existcntcs en
tre
riesgo
y
rcndimiento.
De
hecho, la exprcsi6n [4.45]
puede
fa
dlmente
escribirsc
en tcnninos de lasas de rendimiento. Para verla dividamos cada lado de 14.45] 0
[4.
4
3]
por
el
precio del activo y obtcnemos:
s _ S
1", 'JAR;. ' r
1Tf1
,R;,
=
E[MR,.];
j ' 1 ... N,
...
I·
... I -
14.46]
donde R;. es el rendimiento bruto ob tenido por
el
activo
si
ocurre
el
cstado S.lt-
Esla
eXIl n:'s
i6n dice
fl ue
la expec
t ti
va, bajo la probabil idad
Tler
dade
ra
, de lo
s
I t
ndimielltos cspcrmfos p
cm
derados
de
fodos
/0
acfivos f inancie
ro
s
inciertos
debe ser cOllsl nle e igl/
l
para lodos
elias.
Esta
expresi6n
no dice qlle los rmdimien/os
espt'rodos
de todos los aclilJOS deben ser
igl/ales.
Dice qlle dichos rendinrieulos esperados 50n iglrales IIna
vt Z
ponde
rados
po
r
1a
variable agregadll M.
Dado
que
M refiejll III inrportmICia qlle lielle raibir flujos de caja
err Im o olro estado, y
dado
qlle los aclilJOS finallciaos tenderdll a pil8 r 0 generar dis -
tin/os flujos de
caj
aell diferelltes eslados, la pondemci6rr de los r
Clidi
mientos 0 de los flr/-
jos
de
mja
Sf
cmwia e
ell
la
variable
cla
VI
'lI
re
debemos
err/mda
pilm
co
mp
m
lder,
err
liltimo termllra, III
vtllorllci6u
de
los
aclilJOS.
La
ecuaci6n fundamental de valoraci6n en lI<;nninos de rendimientos cspera
dos, [4.46], jugara
un
papel imporlantfsimo en nuestra presentaci6n. Cual'luiera
de los modelos de valoraci6n de activos lUI prcscntaremos en cstI libro son ver
siones alte
mativas de
ella.
De momento,
s610
hemos
impucsto auscncia
de
arbi
traje y s.1bemos interpretar M como un factor
de
descucnto 3sociado a los precios
de
l
os
activos Arrow-Debreu 0
II
las probabilidades neutrales al ricsgo. Bajo
con
diciones mas exigentes, es lo es, bajo condiciones de e<juiJibrio y,
si
se desea, in
duso
en contextos
intcrtempor
alcs),
3
variable
agregada
M rcprcscnta la las. 0
rd aci6n marginal
de
sustituci6n (intertemporal) del consumo agregado.
Los
su-
pucstos altemativos sobre las preferencias de los agentes nos conduciran a expre
sioncs
di
ferentes pcro prccis.1S de
la
variZlble agregada M 'lue, a su vez, nos
lIevara
de
forma natural a obtener modeJos
de
valoraci6n altcrnZllivos. Por ulti
mo, los analisis y conlrastes empiricos de los modelos de valoraci6n suelcn reali
zarsc con la exprcsi6n [4.46J y una definici6n concreta
de
M. Esta caracterm.ci6n
mas prccisa del contenido y significado de M cs 10 lUI
otorgZl
contenido empiri
co a los modelos
de
valoraci6n
de
activos,
de
mZlnera 'lue
pucdan
ser sometidos
a contrZlst
es
con dat
os de
precios y rendimientos reales.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 57/76
Acti,.,., Arrow-oro,.. , y la f f U ~ C i ( , /u damenlal de ,lo ,ci6n,.,
(c.
4) I 179
Estamos ya en disposici6n de introducir
un
conccpto sobre el que descansa
buena parte de
la discusi6n
sobr
e valoraci6n
seguida
hasta el
momento.
Nos re-
ferimos al concepto de marlingala.
Supongamos que en el
momenta
I los agentes
disponen de un
conjunto de in-
formaci6n relevante para su toma de decisiones que viene resumido por y que
contiene el valor actual y todos los valores
pasados de
la propiil variable aleatoria.
Una variable aleatoria 0, altemativamen te, un proceso estocastico P es
una
mar-
lillgala bajo Hila delerminada
probabilidad, Jr,
si satisface la siguiente condici6n:
0 de forma equivalente, 14.471
EIP'+T- IP P ~ l P I ~ 2 ... ] =
0;
para todo T> O
[maginemos que
P,
representa las ganancias
acumuladas
0 riqueza en una fe-
cha I resultantc
de un delerminado
juego
de
aza.r en e que hem05
participado
en
cada una de las posibles fechas pasadas. Un
iuego
acluariallllenle
lleulro
es un
go para el cual la ganancia esperada
para
el siguicntc periodo es simplcmente
igual a la riqueza. de este periodo, una vez que dicha expcctativa la hemos con-
dicionado a la historia del juego. Alternativamenle,
un
ju
ego
es aclHarialmenle
neulro si
las ganancias incrementales espcradas en cualquier momento son ct ro,
cuando
dicha expccta
ti
va
la
condicionamos
a
la
historia
del
juego.
Si
en lugaf
de pensar en
juegos
de azar pcnsamos en
la inversion
en
activos
financieros podemos hacer el mismo tipo de razonamiento simplemenle tenien-
do
en cuenla que la variable alcaloria
de
inleres es, en esle caso, el precio
de
un
aclivo financicro. Se trata de discutir si los precios de los activos son una mar-
tingala 0 pueden entcnderse como inversiones (juegos) Kluarialmente neutros.
5.1bemos,
segun
(4.45J, que el precio
de no
arbi
tr
aje de
un
activo financiero
j
en cualquier momento I puede expresarse como la expcctativa, bajo la verdade-
ra probabilidad,
de
sus pagos
pondcrados
en cualquicr fecha futura I + 1, y
todo
ello teniendo en cuenta la informaci6n relevantc en I:
14.481
Naluralmente los
pagos
futuros
induyen cl
propio prccio del ac
ti
vo j en di-
cha fecha mas lodas las renlas (d ividcndos 0 in tereses) dislribuidas entre
ambos
momcntos de
liempo. Suponiendo
cero
dichas renlas, para
evitar hablar de
ren-
las acumuladas en ambos lados de la ecuaci6n, podcmos preguntarnos si los pre-
cios de los activos financieros son martingalas.
Es
evidente, dildo 14.48], que los
pmios
de [os aclivos no son mar/iI/galas /lajo Iii verdadcra pro/labilidad.
Sin cmbMgo, los precios de los
activos
sc cOllvier/ell en martingalas bnjo
las
pro/Ja-
bilidad, S nelltfQles
al
riesgo.
Para analizar estc resuilado, escribamos los
predos
de
los aclivos en unidades del bono
CUpOn
cero sin riesgo.
Es
decir, escribamos los
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 58/76
ISO I EC()N(».IIA I N A N C ~ R A
pwcios de los activos
en unidades del
acti
vo seguro
0, 1
que
es
1
mismo, con-
sideremos 10 que
podemos denominar
precios
dt'SConlados
de los activos.
Sabcmos que el precio
de
un bono (btisico) cup6n cero que paga un euro al fi-
nal del periodo es
As , e l prccio
de cualquier
act
ivo
j
puedc
escribirsc como:
Pi
<P,
,
L
LX
. =-P· ,b L
~ b X .
b • • IU } , . 1 .
[4.49)
[4.5OJ
Ahora bien, (que
es <p Ih?
Recuerdese que la
probabilidad
neul ral al riesgo,
]1 ;, es prccisamente el valor
futuro
del prccio del activo Arrow-Debrcu
1
]
: ' (1 + r <p,
'
b <p,.
Por lanto, el precio del activo financicro
j
cs:
P= b
f
, X. = b
f
]I X . =
bP
[X .j = 1 EO[X j
I
b )'
I
' I
O +
r)
J '
[4.5lj
resullado que ya conodamos pero que nos permite comprobar que, efcctivamen-
te, el precio
de
cualquier activo financiero
es una
martingala bajo la probabilidad
neutral al riesgo 0,
10
que es e<juivalente, el prccio descontado de cualquier acti-
vo
0 precio en
unidadcs del bono
cup6n cero sin riesgo es
uni l
martingala.
17
En
definitiva,
haciendo
uso
de
los subindices temporales, el prccio
de
cual
quier activo financiero
j
es:
[4.52)
as
probabilidades neutrak
S
al riesgo que
pennitcn, por
lanlo, que los precios
de los activos finnncieros sean martingalas se conocen tambien
como
medidas equi-
va cll ies de martillga / .
A partir
de
ahora, utilizarcmos indist
intamente
el
nombrc de
prob.1bilidad neutral
al
riesgo 0 medida l'quivalcnte de martingala.
Finalmente, relacionemos la vMinble
agregada M
definida en [4.44J con las
probab ilidadcs
neutrnles
nl ricsgo:
17 Una Mrnostrdci6n
f o r m ~
COO
mu lt ipk.,. period'," aparece
el
aparlndo
21.3
del ultimo ca·
pitulo.
La
primer.,
I tc
de dicho part.do se desorroi i"
en
tiempo disc .. to mooia nte cl modclo
bi
·
nomial
de
manera que
puroe
"'Kuirse a partir de los ("""""pt,,"
de. Ie
capitu
lo.
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Acli
vos
Arrow
-/Xb"''' J
In
« a
cw
,,,,damenlal de
wlom
ciQ ,.,
(c.
4)
/
181
[4.53J
As ,
usando
[4.51], obtenemos, tal como hicimos en [4.45J, el precio
del
activo
j
en funci6n
de
la variab
le
agregada
M:
[4
.54J
En esle contexto,
podemos
comprobar,
lma
vez
mas,
c6mo
las
probabilidades
neutrales
al
riesgo
il ternaiizul
la
prima
por
Til-osgo
de los
activos inciertos.
Usemos las
dos
expresiones
de
valoraci6n claves:
1
p, ' [
.]
I l + r )
}
[4.55A )
[4.55BJ
donde
[4.55A) es
el
precio bajo
probabilidad neu
tral al riesgo
y
[4
.55B]
es
el
mismo
precio bajo
la probabilidad verdadera.
Usando la definici6n
de
covarianza enlre dos variabkos alea lorias, M YXi te-
nemos
que:
i.Que
es
E[MJ?
S 5 4 S 1
E[
M]
'
r
Jrpl.
'
r
Jr,. l
'
r
4'
, =
0- -
-
$_ 1 1_ 1
Jr
,
. _ 1 (I
+ r)
Por tanto, el precio
del
activo
j
es:
p =
E[Xjl
+
I l + r
cov(M,
Xi )
pri
ma
de riesgo
[4.56]
[4.57]
[4.58]
Cuando
las
expectalivas
se
toman
re
speclo
a la
verdadera probabilidad
nc.:esitamos, a diferenda
de
la expresi6n [4.55A], ajustar el
valor actual
(al ti-
po
libre de riesgo)
de
los
pagos futuros
por
una prima
de
riesgo que adcmas
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tiene forma de covarianza
ent
re la variable aleatoria agTegada
y
los pagos del
activo j 18
4.8 Valoracion de
ilctivos
financieros
y
mercaclos cornplel
os
Hemos visto c6mo los
predos
de los activos Arrow-Debreu
son
s
uf
icien tes para
valoTar cualquier activo financiero incierlo bajo ausencia de arbitraje. r em esto
es verdad unicamcnte cuando exislen
suf
icientes activos financieros para que
cl
mercado sea complelo
En
el caso del ejemplo
de
la mina
de
oro tenlamos suficientes activos negocia
bles en el mercado para obtener todos los precios de los activos Arrow-Debreu ne
cesarios. En particular, lenfamos
el
oro y el activo seguro, 10 que nos pcnniti6
cakula r los precios de los dos activos Arrow-Debreu y por tanto, de las dos proba
bilidades neutrales al ricsgo 0
medid
as equivalent
es de
martingala.
Ahor
a bien,
,en
que sentido estos dos activos eran suficientes? n nuestro ejemplo 10 eran, ya que
exislian dos estados de la naturaleza jX>Sibk S en
el
futuro. Por tanio, habia lanlas
contingencias (estados de la naturale7..a) como activos financieros ncgOOables.
DEFINICl6N: Un mercado es complelo si cada es
lru
ctu ra imaginable de
pagos futuros puede replicarse mediante los activos existen tes.
Disculamos con
cuidado
este importantisimo conccpto. Debemos ser conscien
Ics
de
que podcmos hablar
de
mercados complctos desde el
punto
de vista
de
los
activos
Arrow-Debreu 0 desde la pcrspectiva
de
los aclivos negociables. Se trata, en
definitiva, de
poder
oblcner cualquier eslructura de pagos en el futuro (seglin sean
nuestras
paulas
preferidas
de
consumo).
s
dccir, disponer
de
activos que nos pro
duzcan los pagos dcscados en cada estndo de la naturaleza jX>Sible en el futuro.
,C6mo podemos conseguir cslc objetivo? Lo
podremos
oonscguir siempre que
el mercado fmanciero sea
completo
pem len que sentido?
Se
trata de que los agen
tes puedan akanzar cualquier paula
de consumo
imaginable a traves de los activos
financieros exislcntcs. Pensemos en los activos Arrow-Debreu. Supongamos que
existen tantos activos Arrow-Debreu como estados
de
la Il3.turaleza.
&to
es, su
pongamos que exisle un oonjunto complelo de activos Arrow-Debreu. Como cada
uno de el10s paga un euro
si
m detenninado estado ocurre, seria suficien te formar
carleras de activos Arrow-Debn.'U co la
propord6n
deseada para obtcoer el pago
buscado al fmal
del
pcriodo. Mediante combinaciones de estos activos podremos
obtener cualquier eslructura de pagos imaginable,
ya
que existen en numero sufi-
, .
Un. interprctad6n mas p....-ci. . del signifICado que tlene
la
variable puwe vel1iC en I. ,,
ci6n 18.1 donde, en
un
rented sen.cillo de ele«i6n
de
cartera, se relacion. con Ia utilidad marginal
de
los .grotes ocon6mkos. Evidentemente. son esarios unos ronodmienlos mlnimos sobre
prde
renda, y funciones
de
uhlidad
par.
seguir dieha presentoci6n. Asimi.mu,
el
significado
de
dicM
va
riable M en
un
eontexto
de
equilibrio se discute <'Illos apartados 19.J
y
]9.5 del capitulo
19.
Por
uUimo, el capitulo 20 desarrollo ,la, idea. en un entomo din.1mico
de
multiples period ,.
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AcUms Arrow· rbrru
1J fa
~ u a c i n fundamental de wlor.uid , . c. 4) / 183
dentc para (Ubrir los pagosen todos y cada
lUlO
de los estados futuros posibles. Por
tanto,
ef merctldo es wmplelo
si aiste
un wnjUlr/o w mp/eto de IIctivos Arrow Dcbrell.
EI problema es que los activos Arrow-Dcbrcu
no
exislen en
13
praclica
de
los
mercados finanderos. Analicemos la cuesti6n, por Ian to,
desde
el
punto de
vista
de
los ac
ti
vos finanderos negociables. Si erislen tall/os lIe/iues finlllrcieros cuyos p -
gas son lincalmenle indeptmdien/es como estlldos de
I1l1lr1raleza
posibles e/ merclldQes
complelo.
Cabe preglUltamos
que
significa exactamente
pagos
linealmcntc inde
pendientes?
5implemente
que
no podcmos combinar
los activos financieros exis
tentes
y
conseguir replicar los
pagos
de
algun
olro
activo existente. 5i esto fuera
posible, implicaria
que
dicho activo replicable
mediante
carteras
de
los otros,
no
seria
un
activo
diferellie
Serfa
un
act
ivo rcdundante.
P
or
tanto,
de
hecho,
no
ten
drfamos
lantos
activos diferentes
como
en
un
principio
pudicramos
pensar.
Para
que
el
mercado
sea
comp
leto necesi t.lmos
un
merc.ldo financiero
enormemenle
flexible y rico en
1 1
diversi
dad de
activos existenles.
Ya sabemos 1 1
regIa, tantos
como
contingencias 0
es
lados
de
la
naturaleza
posibles.
La creacion
de
multiples activos financieros, y
de buena
parle
de
l.l denomi-
nada
ingenierfa financiera, obcdece a
1.1
necesidad
de enriquecer
los
mercados i
nancieros
de
forma que los .l
gentes yean
compleladas sus posibles pautas
dcsead.lS
de consumo
.
Volviendo a
nueslra
d iscusion conceptual, si tenemos t.lntos ac
ti
vos
finande-
cos linealmente
independienles como estados
podri.lmos, en realidad, crear
sin
h ticam
ente cualquier activo Arrow-Debreu y por tan to, tendriamos un
mercado
comple
to ,
Como
describimos el conceplo
de mercados completos desde un punto de
vista analftico?
Escribamos
la
ecuaci6n
fundamental
de
v.lloraci6n
en no
taci6n malricial:
p.
;o L ~ X; ;
para c
ualquier
j;o
1, ...
N
1 $ ] v
x <P [4.591
donde
Pes
el
vector N-dimensional
de
precios 0 valores
de
los N activos finan
cieros exislen tes en ei
mercado
fmanciero:
p .
P,
P,
y, dado que exislen 5 esl.ldos
de
la n.lturaleza, X es la matriz
de pagos
N X 5
que
viene
dada
por:
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X
ll
Xu XIS
X
21
n X25
donde como ya sabemos, cada fila represen ta 10
que
cada activo individual ge
nera 0 paga en cada uno de los s posibles eslados; s ' 1 . . . , 5 y cada
columna
in
dica
10 que
cada uno de los activos existcn tcs p(lga en un determinado est(ldo
de
Ja n(l i
UT(lJeza
dado.
Finalmenle, es cl vedor S-dimensional de precios 0 valores de los 5 activos
Arrow
-Debreu:
;,
f
Sabemos
que
el mercado es completo cuandoexisle un conjuntocompleto de ac
tivos Arrow-Debreu 10 que, de he.:ho, significa
que
para tener
un
mercado comple
to debemos
ser
capaces
de
obtener los precios
de
los 5 activos Arrow-Debreu. Pues
bien, cuando 0 bajo
que
circlU1Slancias 10
podemos
logcar?
USilndo nuestra notaci6n matricial se trataria de oblener
e[
veclor de precios
'I' de la expresi6n [4.59):
[4.60)
donde X-I es la matriz inverSil de la matriz de pagos X.
Nos
qUeda poT SilbeT
cuando podemos invcrtir a matriz de pagos X?
Precisamenle cuando lenemos tantos activos fmancieros line(llmcntc indepen
dientescomo
numero
de
estados. En otras
p<11abras,
cuando
el
rango
de
la
matriz X
sea juslamente S. POT amilisis matricial 5.1bemos que, en ,-"SIC caso, la matriz X
pu
c
de invertirse. Asi, en un conjunto de 5 activos, no podriamos replicar los pagos dc
ninguno de ellos median tc los 5 - 1 restantes.
Si
en estas circunstancias aftadicra
mos un activo adicional a los ya cxistcntes, estc ultimo podria valorarse medi(lnte
los activos originales.
Cuando
poT
cl contrario, 5 > N, sicndo N el
numcro de
activos linealmente in
dcpendientes, la matriz de pagos es Singular, 10 que significa que su dc tenninante
es igual l cero y no es invertible.
EI
mercado seria inc
ompl
eto.
En
el
cjemplo de la mina de oro tcndriamos
una matriz
de pagos, X, de
orden
2 x 2 ya
que
N ' 2 Y 5 ' 2 Y
un
veclor
de
preci
os de
aclivos financi
ero
s negocia
bles, P, con
dos
filas:
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 63/76
Aclivos Arrom>-Dt'lm,u y In
« new
fimdn 'mlo' df IOT/lCWn
...
(c. 4) I HIS
p_(25il)
- 0.945 .
La ecuaci6n fundamental de valoraci6n bajo auscncia
de
arbitraje es:
(
280
230)( )0 (
50
)
1 1 0,945
.... X- I , .02 - 4.6)
-
0 Q2
5.6
_ ., 0
0.02 -46
)( 25il 0
0.653)
<h - 0.02 5,6 0.945 0.292·
Esta
di
scusi6n basicamenle significa que cuando existen
mas
estados
de
la na-
turaleza que activos financieros no podemos
garan
tizar un (mico precio de los
activos Arrow-Dcbrcu. Sin embargo, siempre que existan dichos precios (positi
vos) Arrow-Dcbreu
0
probabilidadcs
neutralcs
al
riesgo sabcmos
que
no
exislen
oportunidades
de arbitraje. Esto nos conduce al Segundo u'lm:ma Fundamental
de
la Eemlomia
Fjrrmlciera
TEOREMA 4.2 (Srglmdo u'OI Cma
FU11damenlal de
la EC()I1omia Financicra)
Los pn.>cios de los Jctivos Arrow-Dcbreu de
no
arbitraje o. altemativamente, las pro
babilidadcs neutralcs al riesgo son (micas
si
y s610
si
cl mercado es completo.
19
Analiccmos un mercado que admite mas de una probabilidad neutral
al
ricsgo
y que, por tanto, es inmmplcto. Para ello nos basamos en un mooelo trinomial en el
que existcn Ires valores posiblcsdel prccio del activo
al
final del periooo: l IP con pro
Imbilidad
:
/liP con probabilidad
] fm
y
dP
con prob..1bilidad
lrd
y
donde
11 >
II
>
d
Adem.is existe un activo libre de riesb O con tipo
de
interes igual a r.
Sabemos que bajo la valomci6n neutrill ill ri
<
. 5go el precio
de
cllalquier activo
puede escribirse como:
, . En
un
conlcxto de .lJS('nc; de oporlunidad
..
de arbitraj<'. Il,,,,,,sitarnos
. . I a t i z a r que
10. pre
dos
SOIl
aquellos que satisf en
III
( Cua<i6r1
IUrld ment.1
de
v.lor<>ei6f>;
...
o
<:s.
p
..
dos
de
no
ami
·
traj<
. En co tc'los de equilib rio no
...
,,,,,,rio hacer
...
a distioo6n, ya que 1 condiei6r1de arbitr.lj<'
...
twa'saria para I. existcncia de ( Iuilibri .
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186 I
ECONOMfA
flNANC
IERA
Por tanto, para que H ~ , H; iT
d
) sean
probabilidadcs neu tralcs al ricsgo
de-
~ satisfacer (ademiis
de seT posi
tivas) que:
1 +
r
=
I I H ~ + i T ~ + dn,i
1
=
+ H; + n ~ .
[4.61]
Las expresioncs
[4.61] forman un sistema de
ecuacioncs con tres inc6gni t
as
y
dos ecuacioncs, de forma que existinin infinitas soluciones que satisfacen ambas
ecuaciones. Este
resultado
implica que
e isten
infinitas probabilidades neu tralcs
al ricsgo e infinitos precios de activos Arrow-Dcbrcu.
Paril comprobar
queestc
mercado no cs
completo
record
amos que un
activo de
rivado
cualquiera con
pagos Xu Xm
Y
Xd
en los tres cstados respcctivilmcntc puede
rcplicarse
mediante
una carlera
compuesta de
t:
titulos del
subyaccnte
y
Beuros
in-
vertidos en el
bono
sin ri(.'Sgo si y s610 s i t: Y B resuelvCf\ el sistema siguiente:
t:.uP +
B l +
r) =
Xu
t:.mP
B l +
r
= Xm
MP
+
B l
+
r) X
d
.
Fijandonos en las dos primcras ecuaciones de cste sistema es
inmedia
to com-
probar
que c
ualquier soluci6n
al
sistema debe
satisfacer que:
[4.62]
Por
otro
lado, uS<1ndo las dos
ultimas
ccuaciones
debe
ser
tambien
cierto que:
Xm-Xd
A = -:0;'-
P - dP
[4.63]
Es
facil
notar
Xu
=
Xnr
=
1
Y
Xd
= 0
son unos pagos
que
hacen
inconsisl
entes
las soluciones [4.62] y [4.63]. El mercad o cs incompleto.
Por ultimo cabe senalar que, aunque el mercado sea
en
la prtictica incompleto,
e iste la posibilidad de vaIorar activos como si eI mercado fuese de hccho com
pleto. Este rcsul t
ado
sera cspccialmente relevante
para
la valoraci6n
de
aclivos
deTivados
mediante
cstrategias dinamicas, tal
como
se discutira mas
adelanle
en
eI Iibro. As ,
nos enconlramos
con el
denominado Tercer
Teorema Fzmd
ammlal
de
la
Eco/Zomw
Finllllciera.
TEOREM 4.3
(Tercer Teorema
Fzmdamelztal de la
Eco/Zomia Fimmciera)
&jo
ciert
il
S
condiciones
de continuidad,
Ia
capacidad
que
lienen
los
inversores
para
revisor
la composici6n
de
sus carteras a 1 largo
del
liempo puede sustituir
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 65/76
A c ~ Arrow-o..bre . y ill «"acw.. w"domrnlol de ""/ome;';,,,., (c. 4) I
187
o jugar el pape de los acti vos no existen tes y convert;r al mercado en uno ceo-
nomia que sea equivalente 1 mcrcildo completo.
EJEMPLO 4.8.1
Sea un me rcado compl.leSIO exclusivamenle po( ~ activo I,
wyos
pagos
en
eI futuro
t .
I son en
cada uno de los tres IX'sibies estados de a naluraleza los siguiantes:
"
, ,
,
puede repticar cualqu ier estructura de pagos imaginal}te? En Olras palabras tes un mer·
cado compte to? Podrlamos concrete aun mAs
la
pragunla. Sabemos que si el mercado es
com·
plelo podemos obtane cualquia astructu ra
de
pagos c1eseada. Asi. una pregunta equivalenta
ser
ia
lpoOemos oblener cu alQuier eSl ructu ra da pagos? Pensemos IX'r ejempto an el activo
Armw·Debrau
Qua
paga (0: 0:
I)
; lpodrlamos o b t e n e r ~ 0 replicarlo con el unico activo existen·
te? Comprobemas Que no:
2z,
zO
EO
1
}
3z .1 _z . I / 3
_ 00 existe un UnK;o z que salisfaga el ",stema
_ mercado il"oCOfll )let
o_
E810 era evldente
ya Que
S
>
N _ numero de
e.lados
es maYQr que III numero de actillos.
Ahora bien, Lque oculle
si
a ~ a d i m o s un
Il\.IeVO
activo II nuestm mercado? Por ejemplo, a ~ a d a ·
mas un activo segum
Que
paga 1 eum indepeooentemente del e.tado de
Ia
naturaleza:
X/
en . ,
XI
n S:i
X/ n
S:i
ACT. 1
,
, ,
ACT. 2
, ,
,
u><xJemos
obtener aho<a
Ia
estructura de pago8 que equivaldrla a
Ia
existencia del activo A,rrN/·
OOOreu
que paga (0: 0:
I)?
Evidentemente 00 eS IX'sible:
_ no existe un unico {Z z J que salisfaga el sistema y el me,cado as de nu","", incomplet
o_
A continuaci6n afladimos
un
tercer
ac1ivo
. pem
de
tales ca
ra
eleristicas que
Se
puede replicar con
los Olros dos ya exiSlentes comprando O l ac1ivo 1
Y
pidiendo prestado 81 2 (I inanc;;ando Ia compra
de l
mediante un prestamo allilX de interes del activo OO9uro):
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 66/76
X/ en . ,
X/
en
'2
X
/e
n . ,
ACT. 1
, , ,
ACT 2
,
,
,
ACT. 3 0
, ,
Para var sl sa pueden ahota replica r los pagos
del
actl-o Afrow·Debreu que paga 0; 0; I) bus·
camas ' soIucion 31siguienle sistema:
-
1>
exlsle un unioo z,.
Zz
. :J que satisfaga el sistema
y
el mercado es de nuevo incompleto.
Este u imo caso irldica qua no basta con la existencia del mismo numero cIe activos fiflancler
que
estados
cIe
~ n t u r l e ~ L
os
activos e
xi
stenles l ie ,,
que
se r sufidtmtemente diferenles en el
sentido de no poder rnpllcarse medianle Ie constnJCCi6n cIe car teras con el reSlo de los aCli\OOs Esto
es. los pagos
de
los actlvos deben sar linealmente ir.dependientes.
< O
ue
ocurtiria
5
el leree'
ac\1vo
qoo alladimos luviese una eSI,
UClu
ra de pagos
~ u l
a I
0; OJ?
X/
en
.
X/ en 5:1
XJ
n
3
ACT.
1
,
, ,
ACT . 2
,
,
,
ACT. 3
,
0 0
Enlonces la malriz de pagos liene rango a 3. Exislen taniOS aclivos
li
nealmenle iodef>en·
dienles como numero cIe eslados
y
el mercedo as ~ e t o
Mediante
los
Ires aClivos existentas podemos replica ,
Ia
estructura de pages desaada
y
de
he-
ctoJ podemos replicar cualquier estructura de pagos imaginatlle. En palallfas ~ Iormales, los l ,es
actIvos existenies forman una
'base
gene,adora· en 9 1
3
y
po<
tanlo, pu den replicar cuaiquieres·
IrUCtura de pagos con Ires posltMes estados
de Ia
CONCLUStON: Un mercado es complelo 5 exlslen tantos
/fClivoslinealmente
independienle
como eSlados
de la
natura/eza •
EJEMPLO 4.9.2 (Mark Garman. University
01
Ca li
lom
ia en Iktrkeley)
Sabemos, po< el Primfilr Teorema Fundamental de Iii Economia F rnar.ciera,
que
una condici6n ne·
cesa,ia
y
svlicienle
pa
ra que sa garantice Ia ausencia de
arb1tra
je en un mereado linanciero as que
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 67/76
Aclioos Arrow-[)dI . y I « ,,,,d6 ,,
fWI1d
nm ,tnl
de
,lo
rllc iOn
c. 4) / 189
exista un coojUnlO complelo de p,ecios de act ivos Arrow·Debreu que nos permita
valora'
ClJalquie,
activo inandem:
ASi. para cualqui
e,
vector $-dimensional <1>,. o.
3<t>
_
no
aroitraje
no arbitraja ... 3-<t>
.
Veamos diferentes casos de esta imponantlsimo re-su"ado:
A) CASOS DONDE NO ES
POSI8LE
AEALIZAA ESTRATEGIAS DE AR81TRAJE
A.1) Mercado compIelo:
SuP<>f1\)amas que lenemas Ia
mau
iz de pagos dada en al cuad ra 4.7(A) y at vector de p,ecios
de 5 activos linancier
os que
se negocian
en
un delermi
nado
mercado,
Cuadra
4.7(A).
P.ec
i
os
y
pago
a
de aclhlo
s
IInancleraa.
Activo Preclo t 0)
X/
an
"
x/ an S,
X/en
,
0.40
,
I
0
I
0
,
0.'
0
,
0
,
020 0
0
,
•
0.00
, , ,
,
0.60
,
0
- ,
Vemos que existen ues estados de
8
nalura leza y
al
mercado es
romplelo
. ya que lenemas un
conjunlo compIelo de activo ; Arrow-Debreu cvyos
p< 9Cios
hoy
SOIl (0.40: 0.30; 0.20). N6lese que las
tres prime,as fil
as
y ooIumnas de la malriz de pagos )lll1o.man at coojumo compielO. Los 01.08 dos
activo ; -et
aC1ivo
segura y
al
activo I
OO
erl
o- SOIl.
en
este
caso. aclivo ; redundanlas ya que sus
pagos podrian replicarse medianle carteras de ios Ires activos Arrow·Debreu.
Sabemos par at
Prmer Teoroma F
vndamenral de
/a
Economia
Fmnciera que
no hay posOIidades
de ar1lilraje si eI
\/OCIor
<1>:
_
0.40:
~
_ 0.30:
f J E
0.20)) nos P 8 f m ~ e \IlIloou cuaiquief activo
finan..
cie<o.
ESIa es. si sa
cumpIe Ia 9ClIadOO
fundamental de \IlI1oraci6n para IOdos ios ac1ivoIS e>cOslentes:
P _ 0.40 x 1 + 0.30 x 0 + 0.20 x 0 0.40
~
0
.4
0 x 0 + 0.30 x 1 + 0.20 x 0 0.30
P
3
0.40 x 0 + 0.30 x 0 + 0.20 X I " 0.20
P,{",b
t
) - O.40 x 1 + 0.30 x 1 + 0.20 x 1 _ 0.90
P
5
\ Psl a 0.40 X 2 + 0.30 X 0 + 0.20
XI
0.60.
Con
10 que se
comprueba que en este merC ldo no exiSlen oportunidades
de
a,bHraje.
Supongamos
que
, en CUfllquier
caw.
i
nlen
lamos
'e
aliza' un
a<tlilraje comprando 1 mula
691
ac·
livo
' 4, ,ealilaOOo venlas en descublerlO de "2 1iIula del activo ~ 5 . 0.9 l fluios
activo.2
y 1.4511.
tuios
091 actiw 13
. La malriz de
pagos
de esla estrategia
apar_
en
at
CuadfO
4.7 (8):
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 68/76
190 / Ecc>NoMIA F1NANClEIVI
Cuadro
4.7 (6 ).
Malrlz
de
pagos
.
X/ en
5 ,
X/ en X
/e
n
Compra 1 litulo
de
l
,
1 _ ,
,
Xl.
1 1
XI.
1
activoU
Ven ta en ooscubierto
-V
2
x l.-1
- / ~ x O O V
X ( -
1 ) ~ 0 . 5
00 0.5litulos 001.5
Venta en clescublerto
-0 .9XOEO
-0.9 x
1 -
"
-0,9XO _ O,
de
0.9
ti
tulos
de
l
2
Ven a en ooscubieno
-1 .45 X O _ 0
-1 .45 x O.0
1.45 X
1.
- 1,45
de
1.45 titulos dol 3
~
,
0.10 0.05
Esta carlera pmd .lOO
paOOS
00 nega iVOS eo odos los estados do la naturaleza V estriclarT1(ln te
posit""os en algun esta llo. Si la cartera 00 ILNillse hoy coste alguoo tendriamos un artlilraje. Sin em
ba rgo, el
COSle
de III carlera
es
0.90 x , - 0,60 X
2
- 0.30 x 0.9 - 0.20 x 1.45 0,04.
N6tese QUI nos hubiera costado exactamenle 10
mismo
comprar el palr6l'l de
pagos
1u1uros qUI
produce dicha eSl1alegia a traves de los activos Arrow-Debrau. Simplemente comprando 0.10
l i
lulos
del ae1ivo AfT_·Debrau _2V0.05 Iitulos del activo ArfOW·Debreu _3 hubOeramos Iogrado el mismo
patf6r1
de pagos. EI
coste
de
esta ca rtela 00 acl""os MfOW·Oebreu stlria
COSle. 0.10 x 0.30
+
0,05
x
0.20.0.04 ,
que coincide exactamente
con
el
de
la eSlraleg;a . Esto
nos
pe rmite concIuir que tal es ra egia 00 es
de arb< raje
,
va
que
su
coste es el que deberia stir.
A,
'l)
Mercado incompie
to;
Supongamos el siguienle mercado financiero
con tres
actM> ; y Ires estados.
Cuadra
4.8.
Pre<:los V pagos
de ac l l _
f1nancleros.
A
ctivo
Preclo
(I .. 0)
X/ en 5
X/
~
X
jen
..
,
I
1.20
I
, ,
I
,
,
2.
10
, , ,
,
.M
, , ,
Aunque pueda palecer QUI enemos un mercado comp4eto. n61ese que el activo 3 puede repll·
es'se
oomprando 1
ti ulo
001 activo . l y olro del 2 . Tenemos un mercado incompIeto
con
3 eS ados
y unicamen1e 2 ac ivos .nea lmente IndependiilnleS, Siemp<e que e. isle algun vector posilivo
de
P<II-
cios
de
aclivos Arrow-Debreu que permi an valorar l0d0s
los
activo" exislenlas. 00
e>o
sie la posibOli·
dad
de ~ r a j e .
t Ex is te an eSle ejemplo algun vector posffivo 00 forma que nos garantic<lmos la
ausencia 00 arl lnraja? Para ve rkJ.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 69/76
Acli Arn:rn> Debreu y
..",,,,i611
u ' / ~ , e ' ~ 1 de ,lome;';', .. (c.
4)
J 191
, 2 ~ 4 ~
3.30 _ 2 + 34>, + 6"':1
_
0.30 Y
+
~ .
0.
90.
Ex
islen m
ucOOs
veclo<es
de
p,eclos,
induso
igiendo
que sean
posJlivos,
que
satisfacen
eslas
8C1IacOOes.
PO<
ejemplo. {0.30; 0.30; 0.30)
0
[0.30;
0.50
; 0.20}. Este raslittado
es
su ficiente para
sa·
ber
que,
en 8Sle mercado
,
00
exist
en
oporlunidades de
r b ~ r a j e .
B) CASOS DONDE ES POSIBlE REALIZAR ESTRATEGIAS DE ARB ITRAJE
B.
1) Mercado
complete,
no
9) iSle
<N1
COflj<N
tO
de
precios
de
acfi>os Anow-Debreu
qutJ
sirva
pa.
ra valotar lodos
los
acr ls financieros fI6gociabies en eI mercado.
Vearnos ll misma
caso
que diSCll1imos ante normenle,
pe
m
donde
el pfI cio
al que
51
negocia '
activo
intiMo . 5 es igua l a
0.80 .
La n
........
a mal,iz
de
pagos es:
Cuadra
4.
9{
A). Preclos y pago
5 de acllvo5 linancleros.
Activo
Pr
eclo ( I' 0)
X/
en
5,
X/ n Sa
XI en ':l
,
'M
,
, ,
,
,.",
,
,
,
,
,.
, ,
,
•
.00
,
,
,
I
,
,
I
,
I
,
I
-,
I
EI slsl ma de p'BCios de los
ac1io;os
c o n ~ n g e n l e s 0.4; f:1-
0.3;
':I
0.2}
00 as valide>
para
e l
aclivo.5
y que
2
1t,
-
'':1-
0.6 _ 0.8.
Debe
existir una oportunidad
de
arbOlraje.
PO<
ejemplo, a qu i
tenernos una posibI9 esrrateg;a de erbitraje:
Cua-dro
4.9(B).
Mat,ll
de
pago
s
de
Ie est
,
alegla
de
a,bltra)e.
Coste
X/ en 5,
X/
en 5:a XI en ':l
Ven
ta
en
,.,
-,
, ,
descubOerto
de
I
titulo del
ac1ivo
.5
Comprade2
-2XO,4 __
0.8
, , ,
Iitulos
de
l acli
II
Ven
Ia
e n
descubie'lo
,.,
, ,
,
de
I titulo del
ac1ivo 13
I
Total
I
,.,
I
, ,
I
,
I
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 70/76
92 EcONQMIA FINA
NC
IERA
N6tese que se trata de vender el actrvo qlH3 tiene un predo superior (es mas carol qlH3 SU pre
do COfrectO,
que
sat>emos
que es
;gual
II
0.60,
Y
comprar una estrategia
que
replique
los
pagos del
activo que vendemos, Como observamos, esta estrategia nos P'l rmite embolsarnos una cantidad po
sitiva en
I.
0
y
sin
embargo. no
nos
compromete
de
modo alguno en el lUiuro, sea cual sea el es
tado de
Ia
naturaleza, Esta es, po< lanto, una estrategia de arb itraje.
B.2) Mercado completo: exisla un conjunlo
e
ptedos
e
ac1ivos Arrow-Debteu que
si e
para
va/orar lodos los aCliIos financieros negociabies en eI mercado, pero uno e ellos as negali O.
Cuadra
4.10.
Preclo
y pa
gos de
actlvo flnancleros.
Activo Prec lo
I:
0)
X/ en Sr X/ en S z X/ en
,
0.40
,
, ,
, ,
, , ,
,
'
, , ,
EI activo Arrow-Debreu l a, iste, EI activo Arrow-Debreu'2
que
page en el estado
s.
2) pue
(Ie
crearse mediante una caners qua consisle en una pos>ci6n larga (compra) de 1 lltulo en el act
i
vo 13, posici6n corta (venta)
de
1 titulo en al 12 y una pos>ci6n corta (venta) de 2
titulo
en al f l . EI
coste de esta cartera
y,
po< tanto, el preclo de l actrvo Arrow-Debreu '2 es ;gual a 0,6. Fina lmente.
oj activo
Arrow-
-Debrau j/3 (qua paga an el estado
s
3) puede c rearse mediante una ca rtera qua
consiste
en
una posiciOn large (compra) de 2 1I1Ulos en el activo exiSen te '2, posic06n corta (venta )
de
I titulo en el j/3 y una posici6n larga (compra)
de
l1itulo
an el
111,
EI costa
de
asta cartara y,
po<
consigoienta. el procio det active Arrow-·Debreu 13 es ;guat a
- 0,1 .
Pe
ro,
esta estrategla 0,
10
que es
°mismo, oj activo Arrow-Debreu .3 supone recibir una antracla
de
dinero (no una satida, como
es l6gico al realizar una invers><.\n con coste positrvo) en I a 0 Y ademas. recibi r pag<>s nulos en los
<los p<imeros estados y un
pag<>
positivo
1
auro) en at tarcer aSlado. Esto
as
en
sl
mlsmo una
es
t
ra
tegia de arb;traje.
B,3) Mercado inoompleto: SullOJl9amos el mismo mercado inoompt&to que hemos discutkJo an
teriormeme. pero donde et procio det activo financiero 13 es ;guat II 3 Y no como en dicho cas<> qlH3
era igoal a 3,30 :
Cuadro
4,1 1{A). PrecOos y pagos da
activos linancleros,
I
Activo
I
Pretio { I : G)
X
J
n
5,
I
X
J
en
S z
X/ en
S3
I
,
,,'
, ,
,
,
2,10
, ,
•
, ,
,
,
,
Ahora,
et
sistema
cIe
precios
, .
0.3 Y
I>:
+
2
;
0,9 no es vahdo para
et
' '
'3
.
AI
no exisbr un
conjunto p o s ~ i v o de preclos de
los
actives Arrow·Debreu val
Odo
para todos
los
acli..:m debe
5er positJle una estrategia (Ie am;trnje. A modo cIe ejemplo, aqui describimos una:
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 71/76
Act; Arrow·D<breu J 0 e c ~ Q C W f U / d a m ~ de
,,/orari611 , .
« 4) I 193
Cuadro 4.
11
(8) . M
at .
iz
de pagos de
la
est
r
ateg
la
de a.bitrale
.
C
os
te
XI en "
X/ 8ft 50 X en
So
Vema en
,
,
-,
-,
-,
descubie rto de 1
liIulo del act i..:)
Venta en
,.,
-,
-,
-,
deSCUl)ieno de 1
ti
lulo
de l acti...:)'2
Compra del
-,
, , ,
lilulo del acti\lo'3
Total
0. '
0
I
0
I
0
I
Esta
es
t,ategia nos
p e ' m ~ e
tene. una ganancia ne ta positiva en
t ,
0 s in compromiso de pago
futum alguno, Tenemos,
po<
tanto. una estrateg;a
de
a l e
APENDlCE: PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL
DE LA ECONOMIA FINANCIERA
Imaginemos
una
economia
de un
solo periodo
y dos fe<:has, I
=
0 Y I
=
I, en la
que
existen N activos financieros negoc iandose. En I = I, ocurre
uno de
los S
(s'
I, ... S)
posibles
estados de
la
naturaleza.
Sea P
j
el pre<:io
de
cualquiera
de los j ' 1, .. . , N activos financieros incierlos que se negocian en csle merca ·
do y sea Xj< c
pago del activo
i
en
I
=
1 Ycslado de la naluraleza s.
Podemos representar es ta informnci6n median te
un veclor
N-dimensional de
precios P = (/'1' ... PN) Y una matriz N x S de pagos X = Xi ) donde la
h ~ s i m a
fila de X contiene los pagosdc1activo
j
en los difcren tes estados, y In s·esima co
lumna representa los pagos
en
el cslado 5 de los mli ltipk'S activos. EI par
{P,
Xl
forma 0
define
el
mercado
financieTO
en
eslil cconomfa.
En cste conlexlo,
pod
e
mos
representar una
car
teril de activos
median
te
un
veclor N-dimensional, Z =
(z
... ZN )' ZEffiN,
cuyo
j-esi
mo
componenk repre
~ n t a
elnumero
de
tit
ulos del
activo
j
en
dicha
carlera. Esto implica
que
c
coste
de la ca rlera
en
t = 0 es
[4A.l l
y el pago de la
car
l
eTa en
I = 1 Y
es
l
ado
s
viene
dado
poT
[4A.2j
En notaci6n matricia , e coste de csta cartera
I.. S
Z'P Y el vector de
pagos
de la
carlera sera, Z'X, que cs un vector fi la S-d
imcn
sional.
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 72/76
194
I
EcoNoMIA j N A N ] ~ R A
DEFINICI6N DE NO-ARBITRAjE:
Supongamos que queremos enconlrar la carlera de
menor
coste que
produce
pa-
gas no
negativas
en
cada
eslado
de
Ia
naturaleza futuro. Esta problema
puede
re
prescntarsc como
un
problema
de
programaci6n lineal,
N
M=min I z·p
IZI i a 1 } J
N
s.a}: Z/j> 0; Vs = 1, ... S.
J 1
(Cu6les son las soluciones posiblcs de (.'Ste problema?
f4A.3]
• M > 0 es imposible
dado
que
Z
= 0 es admisible (satisface la restricci6n y
puede construirse) y tiene
un
coste igual a cero
• -
<Xl
<
M
<°ambien es imposible.
u p o ~ g a m o s 10
contrario. E S I ~ es, su
pongamos que exisle una cartera 6ptima Z tal que Z P ' M < 0 YZ X '
O
Entonces la carlera 2 Z cria admisible
dado
que 2
Z'X
0 y ademas, costa
ria menos quel
ya
que 2
l P
' 2 M
<
M. Por tanto,Z no
puede
ser6ptima.
P
ar
tanto,
0010
rcstan
dos
po
sibilidadcs. Podria
no
haber
soluci6n;
cs
to cs,
por
cada carlera admisible existiria otTa cartera admisible con
un
coste estrictamen
Ie
menor.
Al
temativamente, la segunda posibilidad es que exisla una soluci6n
6ptima cuyo coste cs M
'
0.
Asi, podemos pasar a dcfiniT formalmente la auscncia de arbitraje:
DE
FI
NICI6N: Un me rcado {P,.
Xl
se caracieriza por no tener
oportu
n idades
de
arbit
raje si y 5610 s i b solu ci6n al
p b m ~ ant
erior exi s te y
es M
' O.
Esta definici6n cs cquivalente a la prescntada en el capitulo que nos dice que
un
mercado
{P,
Xl
no
presenla
oportunidadcs de
arbi traje si y
0010
si:
Z x o_Z 'P o,
f4A.4]
cs
decir, si
una
carleTa cualquiera ti
en
e pagos
no
negativos
en
el fUluro, entonces
cl cos te hoy de dicha carlera debe seT tambicn no negativo.
Disculamos a conlinuaci6n el Primer Teorema Flmdamerllal de la Ecouomfa
Fiuanciera:2
2l)
N6I ..... que en
est.
v ....i6n del
teo .
admitimos que I
p - ,,
ios
de
los
&otiv
os Arrow·
Debreu ..,an nut ,. rara
demost 'r
cl teorema con prodos estrktomcntc posjtivQS. lal rorno
.par<X <l
en
eJ texto del capitulo, se nea.-sita 'pr.,ar el lema
de
Farkas. Vease l'lis {1997).
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 73/76
Act;,.,. Arrow-Orb,.,. y
la adim
fundamental de wlorac;on
.
,
(c. 4)
I
195
ElmeTCado {P,
Xl se
carac fl Ti:w
por no
fm
er oportullidlldes
de
arbi/raje
si y sOlo si
eris
Ie WI veelor <I> E ffi
'
III/ qlle <I> ;a 0 y
P '
X
<1>
donde <I> - ( I 'h, , s) se cm lixe (ademns
de
veclor
de
precios
de los
aclivos Arrow-
Debreu)
(0
111
111edida
lineal
de
wlomci6n.
Prucba:
<= (c
ondidon
nccesaria):
Si
P , X<t>
para
algun
<
>
;a
0,
enlonce;; cada cartera admisible Z Hene
un
coste
no negalivo:
Z'X ' 0
'
Z'X<I> ' 0 = Z'P;o O
La
cartera Z
,
0 es admisible y liene cosle cem.
Por
tanio, el
minima
en el pro
blema ]4A.3] existe
y
es igual
a
cero, de forma
que
el
mercado
{P, X} no prescn
ta
oportunidades de
arbitraje.
=:> (condici6n suficienle):
5upongamos que el
meTC<ldo
{P, Xl
no prcsenta oporlunidades de arbitraje
de forma que exisle
una
so lud6n para el problema 14k3]
_Considercmos
el 5i
guiente lagrangiano:
N N
LN
1
= I
z-P
·-
¢
I
z-X-
· , 11 , .
~ ._1 *
14A.5[
Dado
que
las rcstricciones son lineales y el conjunlo de carteras admisibles es
convexo, ellcol'l 'ma de Khun-Tucker se satisface donde,
adema
s, rccordemos que
lossignos de los multiplicadores de Khun-Tucker no
pueden
ser negativos. En par
licular, de acuerdo con esle lecrcma, exislen unas conslanles
no
negativas
,
¢.;a,O; Vs , l ... SlalquePj= I Xi-; Vj = 1, .,N,
. ,
Sea <t> , (4 -t, ... , ¢s)
ens,
enlonces
<\:>
;o 0 y
P '
Xc\:> Con 10
que
queda
demos
Irada
Ja
sufidencia
del
Primer u
Ore ll1a
FlllldamC11/a/
de
III Ecorwmia
Final/ciera.
Recordemos brcvcmente
cl
lecrcma de Khun-Tucker:
Considel'l'mos el siguicnle problema de opHmi7.aci6n con
desigualdades
cn
las res
lr
icciones:
minflx
sujelo a gs x) .. 0; 5 = I, ... S.
/4A6]
Tecrerna
de Khun
-Tucker:
51 x'
es
la
soluti6n
de
\4A.6[
y
las
denominadas
rcslricciones de cual ificaci6n en x' se sa tisfacen, existe un conjunto de rnultipli
cadores de Khun-Tucker,,;a, 0, para 5 =
1,
.. S tal que:
8/10/2019 gonzalo Rubio Cap. 4.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/gonzalo-rubio-cap-4pdf 74/76
196 EcONOM1A FINANC1ERA
,
Of
(X
)
L
IPgS(X'
),
5 ' I
dondc, Of(X) (. 1, , f )
cs
e l vector
gradiente.
oX oX"
R
efe
r
encia
s
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TERCERA PARTE
SELECCION E CARTERA
Y
VALORACION
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