UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAINGENIERIA AGROINDUSTRIAL

MATEMATICA IIIEL GRADIENTE COMO DIRECCIÓN MAXIMA

OBSERVACIÓN: ∝ es el ángulo entre ∇f(x⃗) y u⃗ entonces: Du⃗ f(x⃗) = ∇f(x⃗).u⃗ = ‖∇ f ( x⃗) .‖.‖u⃗‖.cos∝

Es decir: Du⃗ f(x⃗) = ‖∇ f ( x⃗)‖.cos∝Además sabemos que: -1≤cos∝≤1(I ) multipliquemos por ‖∇ f ( x⃗)‖ a (I)

-‖∇ f ( x⃗)‖.≤ ‖∇ f ( x⃗)‖cos∝≤‖∇ f ( x⃗)‖

Valor minimo valor máximo Por lo tanto en cada punto x⃗ el valor máximo de la derivada direccional es ‖∇ f ( x⃗)‖ y el valor mínimo de la derivada direccional es -‖∇ f ( x⃗)‖.Entre todas las direcciones a lo largo de las cuales la función crece, la dirección del gradiente es la del crecimiento más rápido, mientras que el gradiente cambiado de signo señala la dirección de máxima disminución.

Ejemplo1: Para la función f(x,y) = xx+ y , en el punto: (3, 2). Hallar la mínima

derivada direccional y el vector unitario en esa dirección.Solución:

∇ f(x,y)= (∂ f∂ x,∂ f∂ y ) = (

y

(x+ y )2 , −x

(x+ y )2)

∇ f(3,2) = ( 2

25, −325 ) →‖∇ f (3 ,2)‖= √ 4

625+ 9

625 = √13

25

La derivada direccional mínima se produce cuando el vector unitario u⃗ y el vector

∇f(3,2) tienen sentidos opuestos es decir: u⃗= - ∇ f (3,2)

‖∇ f (3,2)‖

u⃗ = - ∇ f (3,2)

‖∇ f (3,2)‖ = - ( 2

25,−325 )

√1325

= ¿ , 3

√13 )

la derivada direccional mínima es:- ‖∇ f (3,2)‖=- √1325

Ejemplo 2: La temperatura en el punto (x,y,z) esta dada por T(x,y,z) =200e− x2−3 y2−9 z2

, donde T se mide en grados celcius x, y, z se miden en metros.

a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura en el punto P = (2, -1, 2) en la dirección hacia el punto (3, -3, 3).

b) ¿En qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en P? y cuál es la máxima razón de cambio de T en P?

SOLUCIÓN:

a) La razón de cambio de la temperatura en el punto P = (2, -1, 2) en la dirección hacia el punto Q = (3, -3, 3) es la DERIVADA DIRECCIONAL de T en P en la dirección hacia el punto Q = (3, -3, 3) es decir en la dirección

del vector unitario u⃗ = P⃗Q

‖P⃗Q‖, esto es Du⃗T(P)

∙Q(3, -3, 3)

u⃗

u⃗ = Q−P

‖Q−P‖ = (3 ,−3,3 )−(2 ,−1 ,2)

‖(3 ,−3 ,3 )−(2,−1 ,2)‖ = (1 ,−2,1)

‖(1 ,−2,1 )‖ = (1 ,−2 ,1)

√(1)2+(−2)2+(1)2 =

(1 ,−2 ,1)√6

∙ P(2, -1, 2)

Entonces debemos hallar: Du⃗T(P) = ∇T ¿).(1 ,−2 ,1)

√6 : Utilizando el

GRADIENTESi T(x,y,z) =200e− x

2−3 y2−9 z2

∴

∇T=( δTδx,δTδy,δTδz

) = (200e− x2−3 y2−9 z2

.-2x, 200e− x2−3 y2−9 z2

−6 y ,200e−x2−3 y2−9 z2

.-18z)

∇T =200e− x2−3 y2−9 z2

(2x ,−6 y ,−18 z) Luego: ∇T (2 ,−1,2) = 200e−(2 )2−3(−1)2−9 (2 )2¿) ∇T (2 ,−1,2) = 200e−43(-4, 6, -36 )

Luego: Du⃗T(P) = ∇T ¿).(1 ,−2 ,1)

√6 = 200e−43(-4, 6, -36 ).

(1 ,−2 ,1)√6

Du⃗T(P) = 200e−43

√6.(-4-12-36) = 200e−43

√6 (-52) =

−10400

√6e−43

b) La temperatura aumenta más rápidamente en P en la dirección del gradiente ∇T(P), esto es: ∇T(P) = 200e−43(-4, 6, -36 ) = -400e−43(2, -3, 18) LA MAXIMA RAZON DE AUMENTO DE T EN P ES EL MODULO DE DE LA GRADIENTE, ESTO ES: ‖∇T (P)‖ = ‖−400e−43(2 ,−3 ,18)‖ = 400e−43(√4+9+324= 400√337e−43

PROBLEMAS:

1) Un insecto se halla en un ambiente toxico . El nivel de toxicidad, está dado por: T(x, y) = 2x2-4y2. El insecto esta en en (-1, 2)a) ¿En que dirección se deberá moverse el insecto el insecto para que se

aleje lo más rápido posible de la toxicidad? (hallar la gradiente en el punto (-1, 2)

b) En la curva de nivel apropiada, ubique y dibuje el vector gradiente ∇T (−1,2)

c) ¿Cuál es la razón de cambio de la toxicidad del ambiente en el punto (-

1, 2) en la dirección (−1

√5,

2

√5) por

2) La distribución de temperatura de una placa metálica está dada por la función: T(x, y) = xe2 y+y3 ex

a) ¿En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (2, 0)?¿Cuál es el coeficiente de variación?

b) ¿En qué dirección decrece la temperatura más rápidamente en el punto (2, 0)?¿Cuál es el coeficiente de variación?

3) Sea f: R2→R definida por: f(x, y) = ln(1+x2+ y2¿- Arctg(x2¿. En el punto (1, 1), calcular el valor de la derivada direccional máxima de f y encontrar la dirección en la cual este valor es máximo. a) ‖∇ f (1,1)‖b) ∇ f (1,1)

4) Dada la función f(x,y) = xx+ y , hallar la mínima derivada direccional y el

vector unitario en esta dirección, en el punto (3, 2)

5) La temperatura es T grados centígrados en cualquier punto (x,y,z) en el

espacio R3y T = 60

x2+ y2+z2+3 y la distancia se mide en metros.

a) Encontrar la rapidez de cambio (coeficiente de variación)de la temperatura en el punto (3, -2, 2) en la dirección del vector -2i⃗ +3 j⃗ -6k⃗la máxima rapidez de cambio de T en (3, -2, 2) .

b) Encontrar la dirección y la magnitud de Tacna, 10 de enero del 2014

Docente: Ingº Luis Nina Ponce