7.2 SERIES GRADIENTES UNIFORMES ARITMÉTICAS

7.2.1 Crecientes:

7.2.1.1 Forma general y conceptos básicos:

P: Valor presente de la serie. Pago único presente equivalente a la serie gradiente de N cuotas que se incrementan en un valor G en pesos entre pagos sucesivos.

N: Numero de pagos o cuotas que amortizan el valor presente.

A1: Valor de la primera cuota y se encuentra al final del primer intervalo de pago, un periodo después de ocurrir el valor de P.

Ak: Valor de cualquier cuota entre la primera y la ultima.

AN: Valor de la ultima cuota que cancela totalmente el préstamo de valor P.

G: Valor del gradiente lineal, es una suma de dinero expresada en pesos y corresponde a la diferencia entre dos cuotas sucesivas. F: Valor futuro de la serie. Pago único futuro equivalente a la serie gradiente y se encuentra exactamente donde ocurre el último pago.

7.2.1.2. Valor futuro de la serie gradiente aritmética creciente:

El valor futuro F de esta serie, esta constituido por un pago único futuro que se encuentra en N, donde ocurre el último pago y es equivalente a la serie gradiente que ascienden en un valor expresados en pesos de valor G, entre las cuotas sucesivas. Expresemos la serie gradiente, como la sucesión de series uniformes de la siguiente forma:

Para establecer el valor futuro, elaboramos una ecuación de valor con fecha focal en N. Esta ecuación corresponde a la suma de los valores futuros de las series uniformes:

NOTA: [1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+...+ (1+i)N-1] = Suma de los términos de una progresión geométrica, en donde a (primer término) = 1, r (razón) = (1+i) y de N términos.

SUMA = [(1+i)N-1]÷i = Factor de valor futuro serie uniforme.

7.2.1.3. Valor presente de la serie gradiente aritmética creciente:

En las series gradientes, como en todos los sistemas de amortización equivalentes, debe existir la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro la cual se denota así: F= P?(1+i)N. Anteriormente encontramos el valor futuro, por lo tanto para encontrar el pago único presente equivalente al valor futuro, multiplicamos ambos lados de la ecuación del valor futuro por el binomio: (1+i)-N.

7.2.1.4. Ilustración de la serie gradiente aritmética uniforme creciente:

Cuando mencionamos la serie uniforme ordinaria, ilustramos este concepto con un ejercicio. Ahora, retomaremos el mismo ejercicio para estudiar el comportamiento de la serie gradiente que estamos analizando.

Recordemos el enunciado: un crédito para vivienda contratado a 15 años y a una tasa del 24% nominal anual, mes vencido. Calcular el valor de las cuotas por cada millón de préstamo.

* 1. Hallar el valor de las cuotas mensuales si el gradiente es igual a cero. En este caso, nos estamos refiriendo a la serie uniforme y en consecuencia el valor de la cuota mensual es de R = $20.582.74.

* 2. Hallar el valor de las cuotas mensuales, si el valor del gradiente aritmético es de G= $200 mensual.

Podríamos haber estimado el valor del gradiente, según nuestra conveniencia. Lo relevante, para la claridad conceptual que deseamos alcanzar, es tener suficientemente comprendido algunas ideas básicas y fundamentales: Independientemente del valor del gradiente, el sistema de amortización es equivalente. Mientras el valor del gradiente sea mayor, la pendiente de la función es mayor y las primeras cuotas son menores y ascenderán hasta que las ultimas se vuelvan más grandes. El monto de los intereses pagados son mas altos, si la pendiente o el valor del gradiente es mayor y viceversa. En resumen, reiteramos que los sistemas son equivalentes y nuestra preocupación debe ser superada, independientemente del rumbo que tome el saldo de la deuda.

Si deseamos encontrar el valor de las cuotas, reemplazamos de la ecuación de valor presente de la serie gradiente y despejamos el valor del primer pago. Para hallar el valor de las cuotas adicionales agregamos el valor del gradiente a la sucesión de ellas.

P=1.000.000, i=2%, N=180, G=200.

A1=11.631.66.

A2=A1+G=11.631.66+200=11.831.66.

A3=A1+2G=12031.66.

………

AK=A1+(K-1)G

A100=11.631.66+99*200=31.431.66. ……….

AN=A1+(N-1)G.

A180=11.631.66+179*200=47.431.66.

* 3. Diseñar la tabla de amortización de la serie gradiente:

Lo habíamos tratado de insinuar, pensamos que al observar el saldo adeudado de la tabla se siente preocupación. Pero racionalmente no debe haber motivo(aunque emocionalmente surge un gradiente muy pendiente), tenemos que tener la absoluta convicción que este plan es equivalente a cualquiera que diseñemos( si no se quiere que el saldo adeudado aumente, definitivamente se debe cancelar con cuotas que inicien relativamente de valor alto).

Siempre que establezcamos un plan de pagos en serie gradiente lineal creciente, la primera cuota es inferior a la cuota en serie uniforme y la última superior a la cuota en esta serie. Si deseamos que el saldo empiece a disminuir, debemos de fijar un valor del gradiente, que permita que la primera cuota supere la suma de $20.000, la cual corresponde al monto de los intereses sobre el valor del préstamo inicial.

A continuación, presentamos el gráfico correspondiente aproximadamente al ejercicio, resaltando varios detalles: El saldo adeudado inicialmente se incrementa porque el valor de los intereses es superior al valor de la cuota, pero llegará un momento en el que la cuota será superior al monto de estos intereses y por lo tanto el saldo iniciara su declinación. Nos debe parecer interesante encontrar el saldo adeudado máximo y en que periodo se presenta, con este propósito la primera derivada de la función de la ecuación del valor presente con respecto a N (L’opital) nos daría la solución. Más práctico y elemental, lo generaría la tabla elaborada en una hoja electrónica y visualmente lo determinaríamos. Nos demoraremos muchos periodos para volver a deber el préstamo inicial, pero necesariamente cuando se cancele la ultima cuota, el saldo adeudado es igual a cero.

* 4. Encontrar el contenido de interés y amortización a capital comprendidos en el plan de pagos. Demostrar la equivalencia de la serie gradiente:

La sucesión de las cuotas de la serie gradiente, conforma una progresión aritmética de la siguiente forma: a, (a + r), (a + 2r), ( a +3r),.....,u. En donde a = primer termino, r = la razón de la progresión, u = ultimo termino y contiene n términos.

La suma de los términos de la progresión aritmética, se pude simplificar:

∑=(( a + u )÷2)*n.

Por definición la suma de capital de las N cuotas tiene que ser P= 1.000.000 y el monto de los intereses la diferencia entre el valor total de las de las cuotas pagadas y la cantidad destinada a capital.

∑Capital(1..180)=P=1.000.000.

∑Intereses(1..180)=((A1+A180)÷2)*180-∑Capital(1..180).

∑Intereses(1..180)=((11.631.66+47.431.66)÷2)*180-1.000.000.

∑Intereses(1..180)=4.315.698.80.

Como era de esperarse, la suma de los intereses en serie gradiente supera el monto de los intereses pagados en serie uniforme ($2.704.887) por todas las razones expuestas, pero solamente desarrollamos un sistema de amortización, en el cual nos hemos demorado en empezar la amortización a capital, pero totalmente equivalente.

Comprobemos la equivalencia entre las series tanto uniforme como gradiente, hallando el valor futuro de la serie gradiente y confirmando que este valor coincide con la frontera superior de F=35.320.831

De la ecuación de valor futuro, de la serie gradiente aritmética uniforme:

F = 35.320.831

* 5. Determinar el saldo adeudado inmediatamente después de pagar la cuota número 100. Nuestro deseo fundamental es poder determinar este saldo con la intención de conocer si todavía seguimos ascendiendo en el valor adeudado o por el contrario ya estamos descendiendo en el saldo. Para determinar este valor aun adeudado, se establece la ecuación de valor con fecha focal al final del periodo 100, denominemos este valor como Pk. Para

encontrar el valor de Pk, se determina el valor presente de las cuotas que todavía se deben. Como ya se cancelaron K cuotas, las que faltan por pagar son N-K, pero teniendo presente que las que se pagaron son las primeras K cuotas y faltan por pagar las N-K cuotas empezando en la próxima que se debe pagar que es la K+1 cuota.

A101 = A1 + 100G = 11.631.66 + 100 x 200 = 31.631.66

P100 = 1.490.542.29

El préstamo inicial de $1.000.000, ya asciende a $1.490.542.29. se ha pagado más del 50% del total de cuotas y se adeuda el 150% del préstamo inicial. Motivo de preocupación?, definitivamente No!. Si queremos que esto no suceda diseñe su plan con cuotas más altas, por lo menos superiores a $20.000 y calcule el gradiente de la ecuación de valor presente.

* 6. Hallar el contenido de interés y amortización a capital comprendido entre las cuotas 70 y 120.

Análogamente como lo efectuamos en la serie uniforme:

Estamos interesados en calcular la ? intereses y ? capital entre las cuotas 70 y 120. La tabla, trata de indicar que de la suma total de estas cuotas, parte corresponde a interés y otra parte a capital.

∑capital (70... 120) = P69 – P120

La ∑ capital se calcula a través de la diferencia entre los saldos después de pagar la cuota 69 y la 120.

∑ intereses (70...120) = [(A70 + A120) x 51]/2 – ∑ capital (70 – 120)

La ∑ intereses los hallamos entre las diferencias de las sumas de todas las cuotas y lo destinado a capital.

∑ capital = 1.451.684.60 – 1.403.327.60 = 48.357

∑ intereses = 1.543.344.66 – 48.357 = 1.494.987.66