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Área: Matemáticas Grado: 10° Tema: Geometría analítica-Guía N° 4. Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________

Indicadores de desempeño: Reconoce el concepto de pendiente de una recta y deduce la expresión general que permite

calcularla.

PENDIENTE DE UNA DE RECTA

Copia, analiza y resuelve en tu cuaderno lo siguiente: 1. Cual de las siguientes recta esta mas inclinada sobre la horizontal:

2. Cual de las dos recta forma el menor ángulo con la horizontal:

Lee y analiza lo siguiente: El siguiente grafico representa una etapa en una carrera ciclística.

A través de ella podemos observar el grado de dificultad que deben afrontar los ciclistas.

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Los primeros 125km, se representan en terreno bastante llano, del kilómetro 20 al 85 es un trayecto con leve inclinación con respecto al eje horizontal. Del kilómetro 85 al 92 hay un pequeño declive y entre el kilómetro 92 al 125 la inclinación es cero. La gran inclinación la podemos observar entre el kilómetro 125 y el 145; el ascenso es bastante pronunciado; lo mismo que el declive al bajar al kilómetro 162. Termina la etapa con un ascenso mas tendido en donde la inclinación con respecto a la horizontal es de menor grado.

A través del análisis de este recorrido nos encontramos con un concepto de mucha importancia: la inclinación; nos muestra el declive de un segmento con respecto al eje horizontal. Para medir la inclinación de una recta utilizamos el concepto de pendiente. Veamos cual es la relación entre los dos elementos:

CALCULO DE LA PENDIENTE EN GRADOS

La inclinación: Es el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, formado por una recta y el eje positivo x.

La pendiente (m): Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.

I1: es el ángulo de inclinación de la recta L1. I2: es el ángulo de inclinación de la recta L2. m1 = tan I1. pendiente de L1. m2 = tan I2. pendiente de L2. 0° I 180°.

Si I1: es un ángulo agudo, la pendiente de la recta L1 será positiva. Si I2: es un ángulo obtuso, la pendiente de la recta L2 será negativa.

Si el ángulo de inclinación de I de una recta es de 90°, no esta definida la pendiente ya que tan 90° no existe. Si el ángulo de inclinación I de una recta es 180° su pendiente será cero ya que tan 180° = tan 0° = 0.

CALCULO DE LA PENDIENTE EN EL PLANO CARTESIANO

Sea la recta L; I su ángulo de inclinación, puntos de la recta; tal como se

muestra en la figura.El triangulo es rectángulo en A, entonces:

o

La pendiente de una recta no paralela al eje y es el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia entre las abscisas.

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Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 = (-4,6) y P2 = (6,-2) y determinar si el ángulo de inclinación es agudo o es obtuso.

Solución: Como entonces

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Rectas paralelas: En la siguiente figura observaras dos rectas L1 y L2, cuyos ángulos de inclinación son a1

y a2 respectivamente. Si L1 L2, entonces a1 = a2, por ser correspondientes entre paralelas, tan a1 = tan a2, por lo tanto se tiene que m1 = m2.

Ejemplo: Determinar si la recta L1 que pasa por los puntos P1 = (1,5) y P2 = (-2,1) es paralela a la recta L2 que pasa por P3=(10,7) y P4=(7,3)

Rectas perpendiculares: Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares tales que m1 = tan a1 y m2 = tan a2.En el a2= 90°+ a1. Por que en todo triangulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

Así: o

Ejemplo: Determinar si la recta L1 que pasa por los puntos P1 = (-2,3) y P2 = (3,5) es perpendicular a la recta L2 que pasa por P3=(2,-1) y P4=(-4,14).

Solución:

Como , entonces, las dos rectas son perpendiculares.

Basados en las explicaciones anteriores resuelve en tu cuaderno:1. Halla la pendiente de cada una de las siguientes rectas cuyo ángulo de inclinación es:a) 45° b) 60° c) 30° d) 150° e) 135°2. Determina el ángulo de inclinación para cada una de las siguientes rectas: a) El eje x. b) el eje y. c) una recta paralela al eje x. d) una recta paralela al eje y.3. Observa el grafico y determina en cada segmento de recta, si la pendiente es positiva,

negativa o igual a cero. Contesta las preguntas:

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a) Encuentra la pendiente de los segmentos b) ¿Cual de los segmentos presenta la mayor inclinación?c) ¿Para que segmentos la pendiente es negativa?d) ¿Puedes asegurar que en los ascensos la pendiente es positiva y en los descensos es

negativa?e) ¿Qué puedes afirmar sobre la pendiente de un terreno totalmente plano?

4. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (3, -2) y Q = (7,4).5. El triangulo tiene como vértices los puntos A=(4,2), B=(-3,4) y C=(-2,-3). Encuentra

la medida de la inclinación de cada uno de sus lados, y realiza un esquema tentativo de su forma. Representa el en el plano cartesiano.

6. Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos indicados:a) L1; A=(-2,1) y B=(5,-7) b) L2; C=(2,4) y D=(-3,-2)7. Determinar si el par de rectas son paralelas:

a) L1 que pasa por los puntos P1=(1,4) y P2=(-3,-1); L2 que pasa por: P3=(2,4) y P4=(-2,-5)b) a1: P1=(2,8) y P2=(0,2); y a2: P3=(1,2) y P4=(-2,-7)c) t1: P1=(2,-2) y P2=(6,0); y t2: P3=(2,11) y P4=(6,13)

8. Establece si las parejas de rectas son perpendiculares:a) L1 que pasa por: P1=(0,-3), P2=(2,1) y la recta L2 que pasa por: P3=(2,2) y P4=(-4,1).b) a1: P1=(0,0) y P2=(3,-2); y a2: P3=(2,-2) y P4=(-4,11).

c) b1: P1=(-5,5) y P2=(3,- ); y b2: P3=(-7,34) y P4=(4,-21).