Pewarnaan Titik(simpul)

TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Rukmono Budi Utomo30115301

March 7, 2016

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Pewarnaan Graf

1 Pewarnaan Titik(simpul)

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Definisi 1Pewarnaan Titik

Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.

Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda

Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Definisi 1Pewarnaan Titik

Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.

Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda

Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Definisi 1Pewarnaan Titik

Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.

Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda

Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yangdiperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?

Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai denganhanya 2 warna berbeda saja

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yangdiperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?

Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai denganhanya 2 warna berbeda saja

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Bilangan Kromatik

Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titikpada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dandinotasikan dengan χ(G )

Contoh 1

Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Bilangan Kromatik

Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titikpada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dandinotasikan dengan χ(G )

Contoh 1

Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 2

Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema1

Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k

Bukti

Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna

Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema1

Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k

Bukti

Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna

Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema1

Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k

Bukti

Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna

Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 3

Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k

Contoh 4

Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 3

Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k

Contoh 4

Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 3

Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k

Contoh 4

Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 2

Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )

Bukti

Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )

Contoh 5

Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 2

Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )

Bukti

Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )

Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )

Contoh 5

Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 2

Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )

Bukti

Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )

Contoh 5

Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 2

Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )

Bukti

Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )

Contoh 5

Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 6

Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan χ(H) = χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 3

Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka

χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Bukti

Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G

karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t

Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 3

Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka

χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Bukti

Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G

karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t

Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 3

Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka

χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Bukti

Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G

karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t

Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 3

Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka

χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Bukti

Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G

karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t

Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 3

Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka

χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Bukti

Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G

karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t

Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 7

Figure: Graf G dengan komponen-komponennya G1,G2 dan G3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 4

Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n

BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.contoh 8

Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 4

Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n

BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.

contoh 8

Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 4

Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n

BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.contoh 8

Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 5

Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1

BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.Contoh9

Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 5

Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1

BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.

Contoh9

Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 5

Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1

BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.Contoh9

Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 6

Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2

Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2

karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2

Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 6

Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2

Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2

karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2

Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 6

Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2

Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2

karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2

Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 6

Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2

Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2

karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2

Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 6

Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2

Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2

karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2

Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 6

Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2

Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2

karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2

Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 10

Figure: Graf bipartisi G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi

Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .

Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y

Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi

Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .

Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y

Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi

Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .

Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y

Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 11

Figure: Suatu graf dengan bilangan kromatik χ(G ) = 2 dan graf tersebutbipartisi

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 7

Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka

χ (Cn) =

{2, n = genap3, n = ganjil

Bukti

Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.

Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 7

Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka

χ (Cn) =

{2, n = genap3, n = ganjil

Bukti

Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.

Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 7

Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka

χ (Cn) =

{2, n = genap3, n = ganjil

Bukti

Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.

Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 7

Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka

χ (Cn) =

{2, n = genap3, n = ganjil

Bukti

Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.

Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 7

Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka

χ (Cn) =

{2, n = genap3, n = ganjil

Bukti

Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.

Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.

Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3

Terbukti

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.

Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3

Terbukti

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.

Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3

Terbukti

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.

Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3

Terbukti

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.

Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3

Terbukti

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Contoh 12

Figure: graf C6 memiliki χ(C6) = 2 dan graf C5 memiliki χ(C5) = 3

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 8

Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi

Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n

Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1

Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n

Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 8

Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi

Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n

Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1

Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n

Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 8

Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi

Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n

Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1

Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n

Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 8

Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi

Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n

Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1

Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n

Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

Teorema 8

Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi

Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n

Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1

Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n

Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )

Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :

1 ∆(G − v) = ∆(G )

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )

Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :

1 ∆(G − v) = ∆(G )

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )

Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :

1 ∆(G − v) = ∆(G )

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )

Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :

1 ∆(G − v) = ∆(G )

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )

Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :

1 ∆(G − v) = ∆(G )

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )

Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :

1 ∆(G − v) = ∆(G )

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

1 ∆(G − v) < ∆(G )

Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v

Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

1 ∆(G − v) < ∆(G )

Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v

Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

1 ∆(G − v) < ∆(G )

Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v

Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Titik(simpul)

lanjutan

Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1

1 ∆(G − v) < ∆(G )

Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1

Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v

Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .

Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1

Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF