Gráfica de Ecuaciones Polares

Departamento de Ciencias Geometría Analítica: Ciclo 2009-2

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GRÁFICA DE ECUACIONES POLARES

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos con al menos un par de coordenadas

polares que satisfagan dicha ecuación ( ( )r f ).

Intersecciones

a) Con el eje polar:

i) Hacer 0 , para hallar valores reales de r en el eje polar

ii) Hacer , para hallar valores reales de r .

En general, hacer n ,n Z .

b) Con el eje normal.

i) Hacer 2

, para hallar.

ii) Hacer 3

2

, para hallar r. En general hacer 2 1

2n

, donde k es un número

entero

Simetrías:

a) Con relación al origen (Polo):

Al cambiar:

i) por

ii) r por r

Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica

b) Con relación al eje polar:

Al cambiar:

i) por

ii) por y r por r simultáneamente


c) Con relación al eje normal:

La ecuación debe verificar:

i) por

ii) por y r por r simultáneamente


P( r , )

( r , )


2

Tangentes: Cuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer 0r se obtiene ( ) 0f

que es una ecuación trigonométrica que al resolverla para da:

1 2, , ...., n .

Entonces, las rectas 1 2, , ...., n son las rectas tangentes en el origen de la

curva ( )r f

EJEMPLO 1: Construir la gráfica de la ecuación polar 10 3r sen

Solución:

Intersecciones:


0 . Entonces 10 0º 0r sen

. Entonces 10 3 0r sen

El único punto de intersección es el polo.


2

. Entonces 10 3 10

2r sen

3

2

. Entonces

910 10

2r sen

Hay un punto de intersección, dado que los puntos 10,2

y 3

10,2

son los mismos

Simetrías:

a) Con relación al origen (Polo): por

10 3 10 3r sen sen .

Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia

b) Con relación al eje polar: por

10 3 10 3r sen sen .

No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia

c) Con relación al eje normal: por

10 3 10 3r sen sen .

Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia.


3

Tangentes: Hacer 0r , entones:

10 3 0sen

3 0sen ↔ 3 n , n es entero

3

n

Para n=0 0º

Para n=1 60º3

Para n=2 2

120º3

Para n=3 3

180º3

Para n=4 4

240º3

Para n=5 5

300º3

Las tangentes son: 0º , 60º , 120º , 180º , 240º , 300º , 360º

r

0º 0

10 5

15º 5 2

30º 10

40º 5 3

60º 0

90º -10

100º 5 3

120º 0

130º 5

150º 10

180º 0

210º -10

240º 0

270º 10

300º 0

330º -10

360º 0


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EJEMPLO 2: Construir la gráfica de la ecuación polar 1 cosr

Solución:

Intersecciones:


0 . Entonces 1 cos0º 0r

. Entonces 1 cos 2r

Hay dos puntos de intersección, dado que los puntos 0,0 y 2, son distintos.


2

. Entonces 1 cos 1

2r

3

2

. Entonces 1 cos 1

2r

Hay dos puntos de intersección, dado que los puntos 1,2

y 3

1,2

son distintos.

Simetrías:


1 cos 1 ( cos ) 1 cosr .

Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia.


1 cos 1 cosr .

Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia.


1 cos 1 cosr .

No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia.

Tangentes: Hacer 0r , entonces: 1 cos 0

cos 1

↔ 0º , 2

Las tangentes son: 0º , 180º


5

r

0º 0

10º 0.015

30º 0.134

60º3

0.5

90º2

1

2120º

3

31.5

2

150º 1.86

2


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EJEMPLO 3: Construir la gráfica de la ecuación polar 1 2cosr

Solución:

Intersecciones:


0 . Entonces 1 2cos(0º ) 1r

. Entonces 1 2cos 3r

Hay dos puntos de intersección, los cuales son dados por 1,0 y 3,


2

. Entonces 1 2cos 1

2r

3

2

. Entonces 1 2cos 1

2r

Hay dos puntos de intersección, los cuales son dados por 1,2

y 3

1,2

Simetrías:


1 2cos 1 2( cos ) 1 2cosr .

Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia


1 2cos 1 2cosr .

Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia


1 2cos 1 2cosr .

No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia.

Tangentes: Hacer 0r , entones: 1 2cos 0

1

cos2

↔ 60º , 300º


0º 10º 30º 40º 60º3

90º

2

2120º

3

135º 150º 170º

r -1 -0.96 -0.73 -0.53 0 1 2 2.41 2.76 2.96 3


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8

EJEMPLO 4: Construir la gráfica de la ecuación polar 2 9cos2r

Intersecciones:


0 . Entonces 2 9cos2(0º ) 9r

2 9 3r r

. Entonces 2 9cos2( ) 9cos360º 9r

2 9 3r r

Hay dos puntos de intersección, dado que los puntos 3,0 y 3,0 ó

equivalentemente 3, , 3,


2

. Entonces 2 9cos 2 9cos 9

2r

2 9r , no existe

3

2

. Entonces 2 3

9cos 2 9cos3 92

r

2 9r , no existe

No existen puntos de intersección

Simetrías:

La curva es simétrica con respecto al polo y con respecto al eje polar.

Tangentes: Hacer 0r , entones: 9cos2 0

cos2 0

32 , 2

2 2

3

4 4


2 cos2 3 cos2r

0 0 1 3

15 30 0,866 8,2

30 60 0,5 1,2

45 90 0 0


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La gráfica de una ecuación de cualquiera de las formas:

Se denomina limazón (figura en forma de caracol) y su forma depende de las relaciones entre

a y b así:

- Si a b

- Si 0 1a

b , se llama limazón con nudo.

- Si 1 2a

b , se llama cardioide con hendidura.

cosr a b

r a bsen

Con 0, 0a b


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- Si 2a

b , se llama limazón convexo.


Representan curvas en forma de aspa de hélice y se denominan lemniscatas


Representa una rosa de n pétalos, si n es impar

Representa una rosa de 2n pétalos, si n es par

2 2

2 2

cos 2

2

r a

r a sen

cos

r a n

r a sen n


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Identificar y dibujar las siguientes curvas.

a) 20

7 3 sr

co

b) 8

2r

sen

c) 4 2r sen

d) 9

4 5cosr

e) 1 2r sen

f) )2(2 senr

g) 2 6 2r sen

h) 3

2r sen

i) 3

cos2

r

j) 2 4 2r sen

k) 2 2cosr

l) )4cos(2 r

m) )4cos(3 r

n) 2 3cosr

o) 2cos2r

p) 2r sen

q) 2 3r sen


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2. Pasar a coordenadas rectangulares y graficar

a) 22sec2

r

b) cos4

r

c) (1 2cos ) 2r

d) 2 2(4 5 ) 1r sen

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