Gronwall
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Seminario de Investigación I - N71065 Ricardo Fuentes Apolaya Lema de Gronwall Demostración Otra versión del Lema de Gronwall Para Cuadrados (Gronwall) Seminario de Investigación I - N71065 Ricardo Fuentes Apolaya [email protected] Maestría en Matemática Aplicada Lima, 2015
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Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Seminario de Investigación I - N71065
Ricardo Fuentes Apolaya
Maestría en Matemática Aplicada
Lima, 2015
Seminario deInvestigación I
- N71065
RicardoFuentesApolaya
Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Índice
1 Lema de Gronwall
2 Demostración
3 Otra versión del Lema de Gronwall
4 Para Cuadrados (Gronwall)
Seminario deInvestigación I
- N71065
RicardoFuentesApolaya
Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Índice
1 Lema de Gronwall
2 Demostración
3 Otra versión del Lema de Gronwall
4 Para Cuadrados (Gronwall)
Seminario deInvestigación I
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RicardoFuentesApolaya
Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Índice
1 Lema de Gronwall
2 Demostración
3 Otra versión del Lema de Gronwall
4 Para Cuadrados (Gronwall)
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Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Índice
1 Lema de Gronwall
2 Demostración
3 Otra versión del Lema de Gronwall
4 Para Cuadrados (Gronwall)
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Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Lema de Gronwall
Lema
Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Lema de Gronwall
Lema
Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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ParaCuadrados(Gronwall)
Lema de Gronwall
Lema
Si f es una función continua tal que
f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Lema de Gronwall
Lema
Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ]
ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Lema
Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.
Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Lema
Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Lema
Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt ,
∀t ∈ [0,T ]
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Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Si f es una función continua tal que f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] ya ≥ 0,b > 0 son constantes.Si
f (t) ≤ a + b∫ t
0f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces, se tiene
f (t) ≤ a · ebt , ∀t ∈ [0,T ]
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds
⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos que
ϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,
ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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Denotamos
ϕ(t) =∫ t
0f (s) ds ⇒ ϕ′(t) = f (t)
Tenemos queϕ′(t) ≤ a + bϕ(t)
Equivale,ϕ′(t)− bϕ(t) ≤ a
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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(ϕ(t).e−bt)′ ≤ a.e−bt
Integrando de 0 a t,
ϕ(t).e−bt ≤ ϕ(0).e−b.0 + a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ a.∫ t
0e−bs ds
ϕ(t).e−bt ≤ −ab(e−bt − 1)
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1) = a · ebt
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1) = a · ebt
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1) = a · ebt
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1) = a · ebt
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1)
= a + a(ebt − 1) = a · ebt
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1)
= a · ebt
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ϕ(t) ≤ ab(ebt − 1)
Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1) = a · ebt
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Por lo tanto,
f (t) ≤ a + bab(ebt − 1) = a + a(ebt − 1) = a · ebt
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Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], z(t) ≥ 0, z ∈ L1(0,T ) ya ≥ 0, una constante.Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], z(t) ≥ 0, z ∈ L1(0,T ) ya ≥ 0, una constante.Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ],
z(t) ≥ 0, z ∈ L1(0,T ) ya ≥ 0, una constante.Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], z(t) ≥ 0, z ∈ L1(0,T )
ya ≥ 0, una constante.Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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f (t) ≤ a +
∫ t
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entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], z(t) ≥ 0, z ∈ L1(0,T ) ya ≥ 0, una constante.Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
,
∀t ∈ [0,T ]
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f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
Seminario deInvestigación I
- N71065
RicardoFuentesApolaya
Lema deGronwall
Demostración
Otra versióndel Lema deGronwall
ParaCuadrados(Gronwall)
Gronwall
Lema
Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], z(t) ≥ 0, z ∈ L1(0,T ) ya ≥ 0, una constante.Si
f (t) ≤ a +
∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ a · e
∫ t
0z(s) ds
, ∀t ∈ [0,T ]
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Lema
Sean z ∈ L1(0,T ), z(t) ≥ 0 c.s. en (0,T ) y a ≥ 0, unaconstante. Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], verificando
12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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Sean z ∈ L1(0,T ), z(t) ≥ 0 c.s. en (0,T ) y a ≥ 0, unaconstante. Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], verificando
12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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Sean z ∈ L1(0,T ), z(t) ≥ 0 c.s. en (0,T ) y a ≥ 0, unaconstante.
Si f ∈ L∞(0,T ), f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ], verificando
12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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verificando
12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
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12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
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12
f (t)2 ≤ 2a2 + 2∫ t
0z(s)f (s) ds, ∀t ∈ [0,T ]
entonces,
f (t) ≤ 2b + 2∫ t
0z(s) ds
