LOGICA MATEMATICA TRABAJO COLABORATIVA N-2

PRESENTADO POR: ANDRES FELIPE RIOS LOSADACOD: 1075297470

PRESENTADO A: Yeimy Julieth Moreno

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA A DISTANCIA 07/MAYO/2016

INTRODUCCION

Se realiza el proceso según la guía de actividades la cual está dividida en tareas que se deben realizar con el grupo colaborativo, el compromiso es realizar de la mejor formar las actividades que se nos presentan, y teniendo en cuenta las recomendaciones del tutor, la idea es demostrar conceptos y temas de lógica matemática.

La participación de los integrantes es importante para demostrar y comparar los conocimientos adquiridos sobre la actividad, se profundiza en conceptos como las tablas de verdad, leyes de inferencia y la demostración de validez de argumentos y enunciados.

OBJETIVOS

Realizar el trabajo de acuerdo con la guía interpretando e investigando conceptos y teorías de a lógica matemática.

Comprender los conceptos de las leyes de inferencia y las formas de demostrar la validez de argumentos y enunciados.

Poner en práctica los conocimientos obtenidos referente a los trabajos realizados anteriormente, dando habilidad en el concepto y el completo entendimiento del mismo.

Tarea 1: aplicación de las leyes de inferencia

Simplificación

Regla que se aplica a proposiciones unidas con "&”. Como ambas premisas son ciertas por tanto la conclusión también lo será es por ello que esta regla nos permite pasar de una conjunción a cada una de las proposiciones.

S Λ C “Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma de vida y la cultura es su forma de vida”.

S: “Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma de vida”C: “la cultura es su forma de vida”.

P Λ Q “juan es cocinero y pedro es policía”

P “juan es cocinero”

Q “pedro es policía”

Ley de la Adición

Es la ley que expresa que si se tiene una proposición que es cierta, entonces la disyunción de aquella proposición y otra cualquiera también es cierta.

A “he comprado manzanas”

A V B “he comprado manzanas o he comprado peras”

Q “este libro es azul”

Q V B “este libro es azul o es viejo”

Silogismo Disyuntivo

Es aquel cuya premisa mayor establece una disyunción exclusiva, de manera que los dos miembros no pueden ser simultáneamente verdaderos, ni simultáneamente falsos.

Existen dos modos formalmente válidos de concluir: la premisa menor afirma uno de los dos predicados, y la conclusión niega el otro (modo ponendo-tollens); o la menor niega uno de los predicados, y la conclusión afirma el otro (modo tollendo-ponens: al negar se afirma). 

Ejemplos:

O es de día o es de noche;es de día;luego no es de noche.

O es de día o es de noche;es de noche;luego no es de día.

O es de día o es de noche;no es de día;luego es de noche.

O es de día o es de noche;no es de noche;luego es de día.

Nombre de la ley de inferencia

Concepto Ejemplo

Simplificación Regla que se aplica a proposiciones unidas con "&”. Como ambas premisas son ciertas por tanto la conclusión también lo será es por ello que esta regla nos permite pasar de una conjunción a cada una de las proposiciones.

P Λ Q “juan es cocinero y pedro es policía”

P “juan es cocinero”

Q “pedro es policía”

Ley de Adición Es la ley que expresa que si se tiene una proposición que es cierta, entonces la disyunción de aquella proposición y otra cualquiera también es cierta.

Q “este libro es azul”

Q V B “este libro es azul o es viejo”

Silogismo Disyuntivo Es aquel cuya premisa O es de día o es de noche;

mayor establece una disyunción exclusiva, de manera que los dos miembros no pueden ser simultáneamente verdaderos, ni simultáneamente falsos.

no es de día;luego es de noche.

O es de día o es de noche;no es de noche;luego es de día.

Tarea 2: Problemas de aplicación I parte. Solucionar los siguientes enunciados y demostrar la validez o no validez del argumento dado a través de: Uso de las tablas de verdad. Uso de las leyes de Inferencia.

a. Estudiar en la modalidad a Distancia en la UNAD es una metodología educativa que realmente forma profesionales competentes, pues se debe ser muy disciplinado con los hábitos de estudio adquiridos para cumplir con las actividades académicas, pero con la ventaja de que al usar las tecnologías facilita la comunicación entre los diferentes protagonistas del proceso de formación académico. Carolina se ha esforzado por mantener un sólido hábito de estudio, pero hay momentos en que el cansancio la vence, el siguiente relato es algo que le ocurrió un día: “Si me mandas la guía de actividades por mensajería interna del curso, entonces terminaré de realizar las demostraciones. Si no me mandas la guía de actividades por mensajería interna, me iré a la cama temprano. Y si me voy a la cama temprano, me levantaré descansada. Por lo tanto, si no acabo de realizar las demostraciones, me levantaré descansada”. (Gómez, 2015)

P: si me mandas la guía de actividades por mensajería interna del curso,Q: terminare de realizar las demostraciones R: me iré a la cama temprano S: me levantare descansada

TABLA DE VERDAD

( P → Q ) ∧ ( ¬ P → R ) ∧ ( R → S ) → ( ¬ Q → S )V V V V F V V V V V V V V F V V VV V V V F V V V F V F F V F V V FV V V V F V V F V F V V V F V V VV V V V F V V F V F V F V F V V FV F F F F V V V V V V V V V F V VV F F F F V V V F V F F V V F F FV F F F F V V F V F V V V V F V VV F F F F V V F V F V F V V F F FF V V V V F V V V V V V V F V V VF V V V V F V V F V F F V F V V FF V V F V F F F F F V V V F V V V

F V V F V F F F F F V F V F V V FF V F V V F V V V V V V V V F V VF V F V V F V V F V F F V V F F FF V F F V F F F F F V V V V F V VF V F F V F F F F F V F V V F F F

Es una tautología por ende es un argumento valido

LEY DE INFERENCIA

P1. p → q

P2. ¬p → r

P3. r → s

Conclusión: ¬q → s

P4. ¬q → ¬p contra reciproca en 1

P5. ¬p → s silogismo hipotético en 2 y 3

P6. ¬q → s silogismo hipotético en 4 y 5

En la premisa 6 ya llegamos a la conclusión entonces el argumento es valido

b. Johanna está planteando una situación problemática para su ensayo del curso de Matemáticas financiera de la UNAD, para lo cual hace la siguiente cita bibliográfica: “Si hay una situación de crisis económica, el índice de natalidad disminuye. Si avanza la medicina, las expectativas de vida serán mayores. Si el índice de natalidad disminuye y las expectativas de vida se hacen mayores, entonces la sociedad irá envejeciendo rápidamente. La crisis económica es un hecho y los avances en la medicina son constantes. Luego, la sociedad envejecerá con rapidez. (Gómez, 2015).

P: si hay una situación de crisis económica, el índice de natalidad disminuye Q: el índice de natalidad disminuye R: si avanza la medicinaS: expectativas de vida serán mayores T: la sociedad ira envejeciendo rápidamente

( P → Q ) ∧ ( R → S ) ∧ ( Q ∧ S ) → T ∧ ( P ∧ R ) → TV V V V V V V V V V V V V V V V V V VV V V V V V V F V V V F F F V V V V FV V V F V F F F V F F V V F V V V V VV V V F V F F F V F F V F F V V V V F

V V V V F V V V V V V V V F V F F V VV V V V F V V F V V V F F F V F F V FV V V V F V F V V F F V V F V F F V VV V V V F V F V V F F V F F V F F V FV F F F V V V F F F V V V F V V V V VV F F F V V V F F F V V F F V V V V FV F F F V F F F F F F V V F V V V V VV F F F V F F F F F F V F F V V V V FV F F F F V V F F F V V V F V F F V VV F F F F V V F F F V V F F V F F V FV F F F F V F F F F F V V F V F F V VV F F F F V F F F F F V F F V F F V FF V V V V V V V V V V V V F F F V V VF V V V V V V F V V V F F F F F V V FF V V F V F F F V F F V V F F F V V VF V V F V F F F V F F V F F F F V V FF V V V F V V V V V V V V F F F F V VF V V V F V V F V V V F F F F F F V FF V V V F V F V V F F V V F F F F V VF V V V F V F V V F F V F F F F F V FF V F V V V V V F F V V V F F F V V VF V F V V V V V F F V V F F F F V V FF V F F V F F F F F F V V F F F V V VF V F F V F F F F F F V F F F F V V FF V F V F V V V F F V V V F F F F V VF V F V F V V V F F V V F F F F F V FF V F V F V F V F F F V V F F F F V VF V F V F V F V F F F V F F F F F V F

Es una tautología por ende es un argumento valido

LEY DE INFERENCIA

P1. p → q

P2. r → s

P3. (q ∧ s) → t

P4. p ∧ r

Conclusión: t

P5. p simplificación en 4

P6. r simplificación en 4

P7. q ponendo ponens en 1 y 5

P8. s ponendo ponens en 2 y 6

P9. q ∧ s adjunción entre 7 y 8

P10. t ponendo ponens entre 3 y 9

Tarea 3: Problemas de aplicación II parte. Solucionar los enunciados de la tarea 2 y demostrar la validez o no validez del argumento dado a través del: Uso del método de reducción al absurdo. Uso del simulador Truth Table.

a. Estudiar en la modalidad a Distancia en la UNAD es una metodología educativa que realmente forma profesionales competentes, pues se debe ser muy disciplinado con los hábitos de estudio adquiridos para cumplir con las actividades académicas, pero con la ventaja de que al usar las tecnologías facilita la comunicación entre los diferentes protagonistas del proceso de formación académico. Carolina se ha esforzado por mantener un sólido hábito de estudio, pero hay momentos en que el cansancio la vence, el siguiente relato es algo que le ocurrió un día: “Si me mandas la guía de actividades por mensajería interna del curso, entonces terminaré de realizar las demostraciones. Si no me mandas la guía de actividades por mensajería interna, me iré a la cama temprano. Y si me voy a la cama temprano, me levantaré descansada. Por lo tanto, si no acabo de realizar las demostraciones, me levantaré descansada”. (Gómez, 2015)

[[(p>q) & (~p>r)&(r>s)]>(~q>s)]

REDUCCION AL ABSURDO

Por método directo

1. p → q v f2.¬p → r f f3. r → s f fConclusión ¬q → s F v f

Como dice la reducción al absurdo debemos negar la conclusión y que las premisas sean verdaderas, para ello como en la conclusión tenemos una implicación debemos buscar la opción donde la implicación sea falsa y la forma de que esto sea así es cuando de una verdad se llega a una falsedad, seguido de esto vamos a la premisa 3 como en la conclusión

tenemos s y el valor de s es falso entonces en la premisa 3 también es falso y como la premisa es una implicación y esta tiene que ser verdadera entonces también falseamos r y la premisa será verdadera, ahora vamos a la premisa 2 esta también es una implicación entonces tenemos que buscar que esta sea verdadera como en la premisa 3 también tenemos r y su valor de verdad en falso en la premisa 2 también es falsa y para que la implicación sea verdadera entonces tenemos que falsear ¬p y la premisa será verdadera y por último en la primera premisa tenemos p → q y como en la conclusión tenemos ¬q y su valor de verdad es verdadero en la premisa 1 este será falso porque solo tenemos q y en la premisa 2 tenemos ¬p y su valor de verdad es falso en la premisa 1 será verdadero porque tenemos p y como en la implicación cuando se va de una verdad a una falsedad la implicación será falsa, y como la premisa 1 es falsa se comprueba la valides del argumento ya que si una de las premisas es falsa el argumento es válido.

TABLA DE VERDAD

b. Johanna está planteando una situación problemática para su ensayo del curso de Matemáticas financiera de la UNAD, para lo cual hace la siguiente cita bibliográfica: “Si hay una situación de crisis económica, el índice de natalidad disminuye. Si avanza la medicina, las expectativas de vida serán mayores. Si el índice de natalidad disminuye y las expectativas de vida se hacen mayores, entonces la sociedad irá envejeciendo rápidamente. La crisis económica es un hecho y los avances en la medicina son constantes. Luego, la sociedad envejecerá con rapidez. (Gómez, 2015).

[[(p > q) & (r > s) & ((q & s) > t)] & (p & r)] > t

REDUCCION AL ABSURDO

1. p → q V

v v

Paso3: al igual que en la anterior debemos buscar la forma en que esta premisa sea verdadera, como en la premisa 4 ya tenemos el valor de verdad de p entonces ese mismo valor lo usamos en esta premisa entonces el valor de verdad de p es verdadero y para que la premisa completa sea verdadera el valor de verdad de q también será verdadero.

2. r → s V

v v

Paso4: en la premisa 4 tenemos el valor de verdad de q entonces su valor es verdadero y para que la premisa sea verdadera s también será verdadera.

3. (q ∧ s) → t

v v v

Paso5: en las premisas 4 y 2 ya tenemos los valores de verdad de r y s que para ambos son verdaderos y para que una conjunción sea verdadera los dos enunciados deben ser verdadero lo cual se cumple, ahora tenemos una implicación con t la cual su valor de verdad es falso ya que la conclusión nos dice que ¬t es verdadero y como cuando en una implicación se va de un valor de verdad a uno de falsedad la premisa seria falsa.

4. p ∧ r

v v

Paso2: Debemos buscar la menara de que esta premisa sea verdadera lo hacemos de la siguiente manera, como tenemos una conjunción buscamos la opción en la cual esta sea verdadera y la única manera de que esto sea así los dos enunciados deben ser verdaderos.

Conclusión: t

Paso1: como dice la reducción al absurdo negamos la conclusión entonces quedaría ¬t

De acuerdo a lo anterior llegamos a la conclusión de que el argumento es válido ya que todas sus premisas no son verdaderas.

TABLA DE VERDAD

Tarea 4: Creatividad en la proposición de situaciones de la vida cotidiana. En un letrero de la UNAD, se presenta el siguiente argumento en lenguaje simbólico. ((p → q) Λ (¬r → p) Λ (q V s)) → (¬q → s)

El grupo colaborativo debe convertir el anterior argumento en lenguaje natural de tal forma que la información o el mensaje que deseen expresar tenga sentido lógico (Es decir deben hacer lo contrario de la tarea 2 y 3, ya que las anteriores tareas, se presentaban en lenguaje natural y el propósito es convertirlo en lenguaje simbólico). Finalmente, deben demostrar que el anterior argumento es válido a través de: Uso de las tablas de verdad. Uso de las leyes de inferencia. Uso del método de reducción al absurdo. Uso del simulador Truth Table.

TABLA DE VERDAD

SIMULADOR TRUTH TABLE

CONCLUSION

( ( p → q ) ∧ ( ¬ r → p ) ∧ ( q ∨ s ) ) → ( ¬ q → s )V V V V F V V V V V V V V F V V VV V V V F V V V V V V F V F V V FV V V V V F V V V V V V V F V V VV V V V V F V V V V V F V F V V FV F F F F V V V V F V V V V F V VV F F F F V V V F F F F V V F F FV F F F V F V V V F V V V V F V VV F F F V F V V F F F F V V F F FF V V V F V V F V V V V V F V V VF V V V F V V F V V V F V F V V FF V V F V F F F F V V V V F V V VF V V F V F F F F V V F V F V V FF V F V F V V F V F V V V V F V VF V F V F V V F F F F F V V F F FF V F F V F F F F F V V V V F V Vf V F F V F F F F F F F V V F F F

Por medio de las leyes de inferencia se puede demostrar la valides de un argumento o enunciado, ósea si son una contradicción o una tautología, no solo en los ejercicios que nos presentan si no que también en las cosas que nos suceden a diario, con ello podemos realizar conclusiones y deducciones y es importante que profundicemos en cada uno de los temas para poder usar de forma correcta estas leyes.

BIBLIOGRAFIAS

*las.logicas,21/03/2011, laslogicass.blogspot, Recuperado de http://laslogicass.blogspot.com.co/2011/03/modus-ponendo-ponens-pp-p-q-p-q-modus.html

*Silogismos compuestos (II): silogismo disyuntivo, s.f, recursostic.educacion, Recuperado de http://recursostic.educacion.es/bachillerato/proyectofilosofia/web/A3-4g.htm

*Lógica Matemática, s.f, logicaepn.blogspot, Recuperado de http://lgicaepn.blogspot.com.co/2011/12/reglas-de-inferencia.html