ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE

CHIMBORAZO

FACULTA DE MECÁNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ANÁLISIS Π

Objetivos secundarios.

Aplicar las integrales definidas en el cálculo de fuerza y presión hidrostática

Conocer cómo se aplica las integrales en otras ramas de la ciencia en este caso en la presión hidrostática.

Desarrollar el conocimiento sobre las integrales definidas y aplicarlo en el desarrollo de problemas que se pueden presentar en la vida cotidiana

INVESTIGACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS APLICADAS A LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA

Objetivo.

Usar la integración en aplicaciones físicas, en especial en la determinación de la fuerza ejercida por un líquido sobre un cuerpo sumergido en el

La presión media.

o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.

FUNDAMENTO TEORICOTIPOS DE PRESIONES

La presión hidrostática.

Es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este.

La presión hidrodinámica.

Es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, y el estado de movimiento del mismo.

¿Por qué un buzo o un submarino están sometidos a mayor presión mientras mayor sea la profundidad a que se encuentren? La presión que ejerce un líquido en el fondo del recipiente que lo contiene ¿depende o no de la forma de este? ¿De qué factores depende?Para responder a estas preguntas consideremos un líquido de densidad D (no necesariamente agua) que se halla en un recipiente cilíndrico alcanzando una altura h según se indica en la figura.

LA PRESIÓN EN LÍQUIDOS

La fuerza que aplica el líquido en el fondo del recipiente debe ser su peso; es decir, F = mg. Según [1] su masa debe ser: m = DV y su volumen V = Sh, en que S es el área del fondo del recipiente. Remplazando en [2] encontramos:

Esta importante relación nos dice que la presión que ejerce el líquido en el fondo del recipiente depende solamente de su densidad D, de la altura h de la columna de líquido y de la aceleración de gravedad g del lugar donde se encuentre; es decir, no depende de la forma del recipiente, ni de la superficie del fondo, ni del volumen de líquido.

la presión hidrostática es la fuerza por unidad de área que ejerce un liquido en reposo sobre las paredes del recipiente que lo contiene y sobre cualquier cuerpo que se encuentre sumergido, como esta presión se debe al peso del liquido, esta presión depende de la densidad(p), la gravedad(g) y la profundidad(h) del el lugar donde medimos la presión (P) P=p*g*h

Presión Hidrostática

 Donde, usando unidades del SI,•P es la presión hidrostática (en pascales)•ρ es la densidad del líquido (en kilogramos sobre metro cúbico•g es la aceleración de la gravedad (en metros  sobre segundo al cuadrado•h es la altura del fluido (en metros). Un liquido en equilibrio ejerce fuerzas perpendiculares sobre cualquier superficie sumergida en su interior.

P =

F=PxA

EJEMPLOS

( 4 )

(3 )

(2 )

(2,5 )(1,5 )

( 4,2,5 )(0,2,5 )

( 4,1 )

(2,0 )

(2,5 − 𝑦 )

Tenemos un piscina llena de agua con la siguiente geometría calcular la fuerza y presión ejercida por el agua sobre el lado señalado de la piscina.

𝐹=𝜌 h𝑔 𝐴

𝐹=𝜌 h𝑔 𝐴

𝑑𝐹=𝜌𝑔 (2,5 − 𝑦 ) 4𝑑𝑦

𝑑𝐹=4 𝜌𝑔∫1

2,5

(2,5 −𝑦 )𝑑𝑦  

𝑑𝐹=4 𝜌𝑔 [2,5 𝑦−𝑦2

2 ]2 ,51

𝑑𝐹=4 𝜌𝑔 [ (6,25 −3,125 ) −(2,5 −12 ) ]

𝑑𝐹=4 𝜌𝑔 [ 3,125 − 2 ]𝑑𝐹=4,5𝜌 𝑔

𝐹=𝜌 h𝑔 𝐴

𝑑𝐹=𝜌𝑔 (2,5 − 𝑦 )𝑥𝑑𝑦𝑑𝐹=2 𝜌𝑔∫

0

1

(2,5 − 𝑦 ) (𝑦+1 )𝑑𝑦  

𝑑𝐹=2 𝜌𝑔 [ 1,5 𝑦 2

2−𝑦3

3+2,5 𝑦 ]10

𝑑𝐹=2 𝜌𝑔 [(0,75 −13+2,5)− (0 )]

𝑑𝐹=5,83 𝜌𝑔

𝑑𝐹=2 𝜌𝑔∫0

1

(1,5 𝑦− 𝑦2+2,5 )𝑑𝑦  ( 4,2,5 )(0,2,5 )

( 4,1 )

(2,0 )

(2,5 − 𝑦 )

𝑦− 𝑦 1=𝑦 2− 𝑦1𝑋 2−𝑋 1

( 𝑋−𝑋 1 ) 𝑦−1=0 − 12− 4

( 𝑋 − 4 ) 𝑋=2 𝑦+2 𝑋=2 ( 𝑦+1   )

( 4,2:5 )(0,2,5 )

( 4,1 )(2,5 − 𝑦 )

𝐴= h𝑏𝑥

𝐴=4 𝑥1,5

𝐴=6

𝐴=12

(𝑏𝑀+𝑏𝑚) h

𝐴=12

( 4+2 ) (1 )

𝐴=3

4

1,5

4

1

2

𝐴𝑇=𝐴1+𝐴 2

𝐴=9

FT

=

=10,33 N𝑃=

𝐹𝐴

𝑃=10,33

9

𝑃=1,147𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑃=𝐹𝐴

(0,4 )

(0,2 )

( , 2.0 )(−2.0 )

y

Tenemos un tanque lleno de agua tal y como lo muestra la imagen, de altura de 4m, en la cual sumergimos verticalmente una placa la cual tiene una forma de triangulo isósceles de base 4m y altura 2m. Calcular la presión ejercida sobre la placa.

𝐹=𝜌 h𝑔 𝐴

𝐹=𝜌 h𝑔 𝐴

𝑑𝐹=𝜌𝑔 ( 4− 𝑦 ) 2𝑥𝑑𝑦

𝑑𝐹=2 𝜌𝑔∫0

2

( 𝑦2− 6 𝑦+8 )𝑑𝑦   𝑑𝐹=4 𝜌𝑔 [ 𝑦 3

3−

6 𝑦 2

2+8 𝑦 ]2.

0

𝑑𝐹=403𝜌𝑔

𝑑𝐹=2 𝜌𝑔∫0

2

( 4 − 𝑦 ) (2− 𝑦 )𝑑𝑦  

𝑑𝐹=4 𝜌𝑔 [ 23

3−

6.22

2+8.2]− [ 0 ] 𝑑𝐹=4 𝜌𝑔 [ 8

3−12+16 ]

𝑑𝐹=2 𝜌𝑔( 203 )

𝑋𝑎

+𝑦𝑏

=1 𝑋2

+𝑦2

=1 X X X

(0,4 )

(0,2 )

( , 2.0 )(−2.0 )

y

𝐴=h𝑏𝑥

2

𝐴=4 𝑥2

2

𝐴=4𝑃=

𝐹𝐴

𝑃=

403𝜌𝑔  

4𝑃=

103𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑃=𝐹𝐴

conclusiones

Mediante el cálculo de la integral definida no solo podemos aplicar en el cálculo diferencial sino en otras ramas como la mecánica, física entre otras.

Mediante la integral definida podemos calcular la presión que ejerce un liquido sobre un cuerpo el cual esta sumergido en cualquier liquido.