1. Grupos en geometrıa

Definicion de grupo. Un grupo es un par de cosas (G, ·), primero un conjunto novacıo G y segundo, una operacion · de multiplicacion entre los elementos del conjuntoG, que formalmente es una funcion

· : G×G → G

que asocia a cada par de elementos de G un tercer elemento de G, y de estas funcionespuede haber muchas, pero para tener una estructura de grupo solo nos interesaran lasque cumplan las siguientes 3 propiedades:

1. El producto es asociativo, es decir, para cualesquiera a, b, c ∈ G se cumple laigualdad

(a · b) · c = a · (b · c)

2. Existe un elemento 1 ∈ G tal que para todo a ∈ G

1 · a = a · 1 = a

3. Para todo a ∈ G existe un elemento a−1 ∈ G tal que

a · a−1 = a−1 · a = 1

1.1. Permutaciones

Sea A un conjunto con n elementos

A = {a1, a2, . . . , an}

Cualquier funcion biyectiva de A en A es una permutacion, y tambien se puede vercomo un cambio de orden en la n-ada ordenada (a1, a2, . . . , an).

El conjunto Sn de las permutaciones de A junto con la operacion de composicionforman un grupo. Si f1 y f2 son permutaciones del conjunto A y ◦ denota la composi-cion entonces

f2 ◦ f1(ai) = f2(f1(ai))

para i = 1, . . . , n. El elemento 1 en este grupo es la permutacion que manda cada ai

en si mismo, y cada permutacion tiene una permutacion inversa, que es la que regresacada elemento a su lugar original o bien que cumple

f−1(f(ai)) = ai

para i = 1, . . . , n.El grupo de las permutaciones de un conjunto de n elementos se denota usualmente

por Sn, y se llama comunmente grupo simetrico de A. Estos grupos son importantesya que se puede demostrar que cualquier grupo finito se comporta basicamente comoun grupo de permutaciones (Teorema de Cayley).

Con la expresion se comporta basicamente quiero decir que existe un isomorfismoentre el grupo G y el grupo Sn para alguna n ∈ N

Definicion de homomorfismo. Dados dos grupos (G1, ·1) y (G2, ·2), un homomorfis-mo de G1 en G2 es una funcion h : G1 → G2 que cumple

h(a ·1 b) = h(a) ·2 h(b)

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lo que se ve bastante feo, por eso en adelante podemos obviar la notacion de puntospara el producto y escribiremos simplemente

h(ab) = h(a)h(b)

para cada a y b en G1. Nadamas no hay que olvidar que dentro de G1 la operacion es·1 y dentro de G2 es ·2.

Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

1.2. Simetrıas de polıgonos regulares

Un polıgono regular es un polıgono con n ≥ 3 lados de igual longitud, en el cuallos angulos interiores formados por dos lados adyacentes son todos iguales.

1.2.1. El triangulo

Para n = 3 el polıgono regular es un triangulo equilatero.

Figura 1: Triangulo equilatero

Sean α, β y γ las reflexiones por las alturas ha, hb y hc desde los vertices A, B yC respectivamente.

Figura 2: Triangulo con alturas

Observese que cualquier simetrıa debe llevar los vertices en los vertices. Si dossimetrıas dan la misma permutacion de los vertices, entonces son la misma simetrıa.

Como hay exactamente 6 permutaciones de un conjunto de 3 elementos, entonceslas simetrıas del triangulo no pueden ser mas de 6.

Ahora podemos ver que resulta de multiplicar algunas de estas simetrıas. Comen-zando por ejemplo por αβ vemos que α fija el vertice A intercambiando los vertices B

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Figura 3: Triangulo con alturas

y C, luego β fija a B e intercambia A por C, y se obtiene una simetrıa que preservala orientacion de los vertices que es de hecho una rotacion . Si ahora se calcula la per-mutacion de los vertices que da σ2 veremos que es exactamente la misma que induceαβ, por lo tanto

αβ = σ2

Figura 4: αβ = σ2

Figura 5: αβ = σ2

Del mismo modo se puede calcular ahora βα y veremos que resulta ser la mismasimetrıa que σ.

Es interesante notar queαβ 6= βα,

ası que las simetrıas del triangulo forman un grupo no conmutativo.

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Figura 6: βα = σ

1.2.2. Cuadrados, pentagonos y todos los que siguen...

Si n ≥ 3 se tienen n rotaciones

{σ, σ2, . . . , σn}

cuyos angulos de rotacion son multiplos de 2π/n y cuyo centro es el centro del polıgono,ademas en todos los casos σn = Id juega el papel del elemento neutro. Estas son todaslas simetrıas que preservan la orientacion.

Ahora dibujando todas las lineas determinadas por el centro y uno de los verticesdel polıgono, obtenemos lineas de reflexion. Si n es impar, estas lineas cortan los ladosopuestos a los vertices por el punto medio, y se tienen en total n reflexiones. Si n espar, las lineas encuentran un vertice opuesto a aquel del que salen, entonces tenemosn/2 reflexiones, pero faltan otras, ya que si se dibujan ahora las lineas que pasan porlos puntos medios de los lados y el centro, obtenemos otras n/2 lineas de reflexion. Entotal tenemos tambien n reflexiones.

Conclusion. Los polıgonos regulares de n lados tienen 2n simetrıas, que se dividenen n rotaciones y n reflexiones. Dibujo de varios polıgonos y sus lineas de reflexion.

Otra cosa interesante que pueden observar de inmediato es que si ρ es cualquierreflexion , entonces ρ2 = Id, y que cualquier rotacion se puede ver como el productode dos reflexiones.

Figura 7: Cuadrado con ejes de reflexion

1.3. Simetrıas de movimiento en poliedros

Para cada poliedro platonico analizaremos las simetrıas que preservan la orientacion(movimientos),y definimos a =aristas, c =caras y v =vertices. El primero que analizare-mos sera el tetraedro que tiene a = 6, c = 4 y v = 4. El tetraedro tiene tenemos lassiguientes simetrıas:

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Figura 8: Pentagono con ejes de simetrıa

Figura 9: Hexagono con ejes de simetrıa

1. Un eje de rotacion determinado por los puntos medios de dos aristas opuestas,esto nos da una rotacion idempotente de 180 grados y genera un subgrupo dedos elementos por cada dos aristas y en total tenemos 3 rotaciones idempotentes+ la identidad.

2. La linea que une un vertice con el punto medio de la cara opuesta a ese verticeda un eje de 2 rotaciones no triviales de 120 grados, como podemos hacer estopara cada vertice tenemos en total 8 rotaciones no triviales.

En total son 12 simetrıas.

Figura 10: Tetraedro

El cubo es dual del octaedro, en este caso a = 12, c = 6 y v = 8. Sus simetrıas son:

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1. Por los puntos medios de dos caras opuestas tenemos un eje que nos da 3 rota-ciones no triviales de 90 grados. En total son 9 rotaciones no triviales y son 3subgrupos de 4 elementos.

2. Por cada dos vertices opuestos tenemos 2 rotaciones no triviales de 120 grados,en total son 8 rotaciones no triviales.

3. Por cada 2 aristas opuestas tenemos una rotacion no trivial de 180 grados, entotal son 6 rotaciones no triviales.

Sumando obtenemos 24 simetriıas contando la identidad.

Figura 11: Cubo

El octaedro es dual del cubo, si se unen con lineas los centros de las caras del cubose obtiene el octaedro, de modo que tiene el mismo numero de simetrıas cambiandocaras por vertices, en este caso a = 12, c = 8 y v = 6.

1. Por cada par de vertices opuestos hay 3 rotaciones no triviales de 90 grados,ası tenemos 9 rotaciones no triviales y 3 subgrupos de simetrıa de 4 rotacionescada uno.

2. Por cada par de aristas opuesas tenemos una rotacion no trivial de 180 grados,en total 6 rotaciones no triviales y 6 subgrupos de 2 elementos.

3. Por cada par de caras opuestas tenemos 2 rotaciones no triviales de 120 gradosen total tenemos 8 rotaciones no triviales y 4 subgrupos de 3 elementos.

En total son 24 simetrıas contando por supuesto la identidad.

Figura 12: Octaedro

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El icosaedro es dual del dodecaedro, ası que tendra el mismo numero de simetrıasque el dodecaedro y el numero de caras y vertices del icosaedro es el numero devertices y caras respectivamente del dodecaedro, en este caso a = 30, c = 20 y v = 12sus simetrıas son¿

1. Por cada par de aristas opuestas tenemos 1 rotacion de 180 grados, en total son15.

2. Por cada par de caras opuestas tenemos dos rotaciones de 120 grados en totalson 20.

3. Por cada par de vertices opuestos tenemos 4 rotaciones no trivlales de 72 gradosen total son 24.

Figura 13: Icosaedro

El dodecaedro es dual del icosaedro en este caso a = 30, c = 12 y v = 20, tenemos

1. Por cada dos caras opuestas tenemos 4 rotaciones no triviales de 72 grados, demodo que son 24 rotaciones no triviales.

2. Por cada dos aristas opuestas hay una rotacion de 180 grados de modo que son15 rotaciones de este estilo.

3. Por cada dos vertices opuestos tenemos 2 rotaciones de 120 grados y la identidad,en total son 20 rotaciones no triviales de este estilo.

Al final obtenemos igual que para el icosaedro 60 simetrıas.

Figura 14: Dodecaedro

Otro dato interesante es que en todos los casos la suma v+c−a = 2, a este numerose le llama caracterıstica de Euler, por haber descubierto este hecho Leonard Euler en el

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siglo XVIII, y este hecho motivo la aparicion de una rama de las matematicas llamadatopologıa algebraica. La caracterıstica de Euler sera siempre 2 para los poliedros quese puedan deformar continuamente en una esfera aunque no sean regulares.

Figura 15: Esfera

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