GUIAS DE LABORATORIO

SISTEMA DE PENDULO INVERTIDO DE TRAYECTORIA CIRCULAR

IDEASGrupo de Investigacion, Desarrollo y Aplicaciones en Senales

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

ANGELA PAOLA DUQUINO SANCHEZ

Indice

1. Introduccion 1

2. Sistema de Pendulo Invertido 1

3. Caracterizacion del Sistema 43.1. Optimizacion de los parametros del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Controlador Difuso 64.1. Sistema difuso tipo 2 de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2. Sistema difuso tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3. Optimizacion de los parametros del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Controlador por Variables de Estado 9

6. Resultados Esperados 106.1. Caracterizacion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2. Controlador difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2.1. Controlador difuso tipo 2 de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2.2. Controlador difuso tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3. Controlador por realimentacion de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. Introduccion

En este documento se realiza una introduccion al sistema pendulo invertido de trayectoria circular,se modelan las ecuaciones que describen el comportamiento del mismo y de igual manera se indicacomo realizar la caracterizacion de este sistema. Se propone y explica el diseno e implementacion decontroladores difusos y por variables de estado, para que a partir de ello, el usuario pueda realizar supropio controlador para esta planta; y por tanto, se muestran los resultados esperados para cada uno loscontroladores propuestos.

Para un correcto funcionamiento del sistema se han de tener en cuenta las caracterısticas que semuestran en la Tabla 1.

Tabla 1: Caracterısticas del sistema.

Salida Fuentes Voltaje 12 V, 4.2 AComunicacion Planta-PC UART, Puerto mini USB FTDI ChipDriver http://www.ftdichip.com/Documents/InstallGuides.htmVariables Entrada Voltaje MotorRango Voltaje maximo de entrada -12 V a 12VVariables Salida

Angulo penduloVelocidad angular carro

Rango Voltaje Angulo -90 a 90 −→ -9 V a 9 VRango Voltaje Velocidad -10 rad/s a 10 rad/seg −→ -10 V a 10 V

2. Sistema de Pendulo Invertido

El sistema de pendulo invertido se compone basicamente de un brazo articulado en un carro quepuede moverse de forma horizontal. El brazo se mueve libremente alrededor de la articulacion en el carroy el objetivo del control es llevar el brazo a la posicion de equilibrio moviendo el carro en el planohorizontal. Para poder implementar estrategias de control sobre dicho pendulo, es necesario contar conun conjunto de sensores y actuadores que permitan operarlo con precision; a partir de las medicionestomadas, el controlador envıa una senal al actuador para que a su vez este transmita una fuerza al carropara mantener el pendulo en equilibrio [3].

1

θ

l

y

f

lmg

O RH

u

P

M

cosl θV

m f.

R

rN

N

Figura 1: Sistema de pendulo invertido de trayectoria circular.

El diagrama esquematico del Sistema de pendulo invertido se muestra en la Fig. 1 y a partir delanalisis del diagrama de cuerpo libre del sistema y teniendo en cuenta el movimiento rotacional tanto dela barra como del carro en general se determina que las ecuaciones que describen el sistema son:

θ =mgl (M +m) sin θ −mlu cos θ +mlρN cos θ +mlµRϕ cos θ − (M +m) bθ −m2l2θ2 cos θ sin θ

(M +m) (I +ml2)−m2l2 cos2 θ, (1)

ϕ =u(I +ml2

)− ρN

(I +ml2

)−

(I +ml2

)µRϕ−m2l2g cos θ sin θ +mlbθ cos θ +

(I +ml2

)mlθ2 sin θ

R [(M +m) (I +ml2)−m2l2 cos2 θ]. (2)

donde M es la masa del carro, m es la masa de la barra del pendulo, θ es el angulo medido respectoa la vertical, 2l es la longitud de la barra, u es la fuerza de control, µ coeficiente de friccion viscosa, ρcoeficiente de friccion normal, ϕ es el desplazamiento del carro, R es el radio de la circunferencia quedescribe el recorrido del carro, N la fuerza normal equivalente al peso del carro, P el centro de gravedadde la barra (centro geometrico), I es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de masa yb es el coeficiente de friccion rotacional.

Por otro lado, es necesario determinar a que es equivalente la fuerza u que se ejerce sobre el carro,respecto al torque y voltaje de alimentacion del motor que lo mueve. Se sabe que la fuerza que se aplicaal sistema causa un efecto en las llantas del carro, la cual corresponde a

u =τ

r, (3)

donde τ es el torque que se genera en las llantas debido al motor y r el radio de la llanta.

Figura 2: Circuito equivalente para un motor DC.

2

A partir del analisis de un motor DC, el cual corresponde a un circuito de la forma del que se muestraen la Fig. 2, se tiene que

τ = KT Ia, (4)

V = RaIa + E, (5)

E = Kiω, (6)

ω = ϕ, (7)

donde KT es la constante de torque, Ia es la corriente de armadura, V es el voltaje aplicado al motor,Ra es la resistencia de armadura, Ki es la constante de inducido, E es el voltaje inducido y ω es lavelocidad angular del motor. Si despejamos Ia de (5), tenemos

Ia =V − E

Ra. (8)

Por lo que, remplazando la expresion para Ia en (4), tenemos para el torque

τ = KT Ia =KT V −KT E

Ra,

y para la fuerza ejercida por el motor, reemplanado la expresion para el torque en (3)

u =τ

r=

KT V −KT E

rRa.

Finalmente, reemplazando la expresion para E en (6), considerando ω = ϕ

u =KT

rRaV − KTKi

rRaϕ. (9)

De esta forma, las variables de estado del sistema [5], se seleccionan ası:

x1 = θ, (10)

x2 = θ, (11)

x3 = ϕ, (12)

x4 = ϕ. (13)

Teniendo en cuenta que la entrada del sistema corresponde al voltaje V en el motor y tomandoα = (M +m), β =

(I +ml2

), λ = KT

rRay σ = KTKi

rRa, se tiene que las ecuaciones de estado del sistema, a

partir de las definiciones y de (1) y (2), corresponden a

x1 = x2,

x2 =mglα sin x1−mlλV cos x1+mlρN cos x1+mlx4 cos x1(µR+σ)−αbx2−m2l2x2

2 cos x1 sin x1

αβ−m2l2 cos2 x1,

x3 = x4,

x4 =βλV−βρN−βx4(µR+σ)−m2l2g cos x1 sin x1+mlbx2 cos x1+βmlx2

2 sin x1

R(αβ−m2l2 cos2 x1).

(14)

Finalmente, mediante un proceso de linealizacion por Jacobiano [3] se obtiene que los puntos deequilibrio del sistema corresponden a:

x01 = 0,

x02 = 0,

x03 = 0,

x04 = 0,

V 0 = 0.

(15)

Y, finalmente, se tiene que las ecuaciones que modelan el comportamiento del sistema correspondena:

z = A∗z +B∗v,yy = C z.

(16)

3

Nosete que, en general, el resultado del proceso de linealizacion nos genera un modelo lineal en variablesde estado incrementales. Es decir, las variables de estado lineales son equivalentes al incremento quesufrirıan las variables de estado no lineales con respecto al punto de equilibrio. Sin embargo, dado queel punto de equilibrio es (xe, Ve) = (04, 0). Por lo que, para este caso en particular, las variables linealesincrementales z = x y V = v y el modelo del sistema lineal puede escribirse como

x = A∗x+B∗V,y = C x.

(17)

Lo anterior describe el comportamiento del pendulo invertido en tiempo continuo, por tanto, se dicre-tiza el sistema por medio de MatLabr, a traves del metodo del retenedor de orden cero (ZOH, de sussiglas en inges, Zero Order Hold) con un tiempo de muestreo de 30 ms.

donde:

A∗ =

0 1 0 0∂x2

∂x1

∣∣∣∣(x0,V 0)

−αb+ 2m2l2x02 cosx

01 sinx

01

αβ −m2l2 cos2 x01

0ml cosx0

1 (µR+ σ)

αβ −m2l2 cos2 x01

0 0 0 1∂x4

∂x1

∣∣∣∣(x0,V 0)

mlb cosx01 + 2βmlx0

2 sinx01

R (αβ −m2l2 cos2 x01)

0 − β (µR+ σ)

R (αβ −m2l2 cos2 x01)

, (18)

B∗ =

0

− mlλ cosx01

αβ −m2l2 cos2 x01

0βλ

R (αβ −m2l2 cos2 x01)

, (19)

C =

[1 0 0 00 0 0 1

], (20)

con:

∂x2

∂x1=

ml

(αβ −m2l2 cos2 x1)2

gα(αβ −m2l2 −m2l2 sin2 x1

)cosx1

+(λV − ρN − x4 (µR+ σ))(αβ +m2l2 cos2 x1

)sinx1

+mlx22

(αβ + cos2 x1(m2l2 − 2αβ)

)+ αbmlx2 sin 2x1

, (21)

∂x4

∂x1=

ml

R (αβ −m2l2 cos2 x1)2

βx22

(αβ −m2l2 −m2l2 sin2 x1

)cosx1

−bx2

(αβ +m2l2 cos2 x1

)sinx1 +mgl

(αβ + cos2 x1(m2l2 − 2αβ)

)−βml (λV − ρN − x4 (µR+ σ)) sin 2x1

. (22)

3. Caracterizacion del Sistema

Para identificar y determinar los parametros que modelan el comportamiento del sistema, se sabe quealgunos de ellos vienen previamente definidos o son medibles, como las masas, longitudes, entre otros.Para el caso del momento de inercia [13] y los coeficientes de friccion viscosa [14] y normal [15] se sabeque:

La inercia de la barra puede ser claculada como Ibarra = 13ml2.

El coeficiente de friccion viscosa se puede calcular como µ =ηaireAsupcarro

hcarro, donde la viscosidad del

aire ηaire = 1,8× 10−5 Ns/m2, el area superficial de carro Asupcarro = 8,2× 10−3 m2, la altura delcarro hcarro = 0,04 m.

El coeficiente de friccion viscosa se puede calcular como ρ =√

z2r , con el hundimiento de la llanta

debido al peso z = 0,8 mm.

4

Para las constantes de torque e inducido y la resistencia de armadura en el motor, teniendo encuenta el voltaje en el motor Vm = 12 V , su velocidad de 200 RPM , por tanto una velocidad angularωm = 20,944 rad/s y su torque stall de τs = 2Kgf − cm = 0,19612 Nm, a partir de [16] y [17] se sabeque:

Ki =Vm

ωm

[V s

m

], (23)

KT = Ki

[Nm

A

], (24)

Ra =KTVm

τs. (25)

Sin embargo, al aplicar una senal seno a la entrada del sistema, se tienen las respuestas simuladay real que se muestran en la Fig. 3, donde se observa que el sistema simulado es inestable y no tieneun comportamiento similar al real; esto quiere decir que los parametros anteriormente determinadosno corresponden a los parametros reales del sistema; por tanto se plantea y cuestiona, de que maneraobtener los parametros del sistema de pendulo invertido, de tal forma que el sistema simulado tenga uncomportamiento aproximado al sistema implementado a determinadas condiciones, teniendo en cuentalos parametros anteriormente calculados.

Tiempo [s]0 2 4 6 8 10 12

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema Real

Simulado

Figura 3: Respuestas del sistema simulado y real a una entrada seno con los parametros iniciales.

Por tal motivo, se decide que la optimizacion es el proceso mas adecuado para hallar los parametrosdel sistema, dado que a partir de condiciones iniciales y la comparacion de senales, simulada y real, sepuede minimizar el error entre estas dos y lograr obtener un comportamiento similar entre ellas, y de estamanera, obtener los parametros que se ajusten al sistema en cuestion; por ende, se procede a optimizarel sistema teniendo en cuenta el comportamiento de la planta real a una entrada seno. Cabe aclarar queen las pruebas realizadas se pudo observar que el parametro ρ no tiene influencia en el comportamientodel sistema, dado que al linealizarlo este parametro se cancela, razon por la cual este parametro no setiene en cuenta.

3.1. Optimizacion de los parametros del sistema

La optimizacion del sistema se hace off-line a traves deMatLabr teniendo en cuenta el error cuadrati-co integral ISE, el cual viene definido por:

J =1

Ts

∞∑n=0

e2[n], (26)

donde e[n] = −x1[n] y Ts = 30 ms. La optimizacion se puede realiza por medio de la funcion fmincon,la cual, a partir de las condiciones iniciales y las restricciones de los parametros, determina para quevalores de estos, el criterio ISE es mınimo:

5

[parametros,fval]= fmincon(@funoptpara,parametros0,[],[],[],[],lb,ub)

donde parametros son los parametros optimizados, fval es el valor mınimo encontrado para el criterioISE, @funoptpara corresponde al sistema a optimizar a partir del criterio anterior, el vector parametros0=[0.57335.06 9e-04 3.69e-06 0] corresponde a los valores iniciales de los parametros y los vectores lb y ub co-rresponden a las restricciones del sistema para lb ≤ opt ≤ ub, las cuales son:

0,001 ≤ KT = Ki ≤ 1, 0,06 ≤ Ra ≤ 5,0,0009 ≤ I ≤ 0,01, 0 ≤ µ ≤ 0,01,

0 ≤ b ≤ 0,01,(27)

y se definieron inicialmente todos en un rango definido entre [0, 10] para no limitar en gran medidala optimizacion, y poco a poco con cada resultado se fue optimizando y restringiendo mas los parametrosdel sistema; sin embargo, las restricciones mas acertadas (mostradas en (27)) se eligieron teniendo encuenta el valor de estos parametros en otros sistemas de pendulo invertido [18], [19], [20], [21], [22], [23],[24], [25], [26], [27].

Es importante aclarar que la caracterizacion puede llevarse a cabo teniendo en cuenta el comporta-miento de la planta real para un controlador difuso, el cual no requiere de dicha caracterizacion previa,lo cual es importante para tener un punto de comparacion frente a distintas entradas y diferentes com-portamientos en la planta.

Por tanto, para el conjunto de parametros a optimizar Ω = KT = Ki, Ra, I, µ, b, cuyos valoresiniciales son:

KT = Ki = 0,573, Ra = 35,057,I = 9× 10−4, µ = 3,69× 10−6,b = 0,

(28)

el problema de optimizacion a realizar es el siguiente:mınΩ

J =1

Ts

Ts∑n=0

e2[n]

sujeto a (17),(28),(27),

(29)

4. Controlador Difuso

4.1. Sistema difuso tipo 2 de intervalo

Se propone disenar e implementar un controlador difuso tipo 2 de intervalo por medio de un Concresorde Relaciones Booleanas y a partir de la logica de Kleen; por tanto, se han de tener en cuenta lascaracterısticas de las entradas y salidas del controlador, las cuales deben componerse de dos funcionespara modelar los comportamientos de cada variable, es decir, por pares de funciones, dado que al tenerun sistema difuso tipo 2 de intervalo, las funciones de pertenencia deben ser tales que constituyan unintervalo o rango de pertenencia mas no un valor fijo de pertenencia como el caso de los sistemas difusostipo 1.

Diseno y desarrollo de la propuesta de un sistema difuso tipo 2 de intervalo

Para el diseno del controlador se tienen en cuenta dos entradas y una unica salida; las entradascorresponden al error y derivada del error, las cuales teniendo en cuenta el sistema real, se definierondentro de un Universo comprendido como [−15o, 15o] para el error y [−300o/s, 300o/s] para la derivadadel error. La unica salida del sistema corresponde al voltaje sobre el motor, el cual, de acuerdo a lascaracterısticas del mismo, se define dentro del Universo [−12 V, 12 V ].

Las funciones de pertenencia se definen a criterio propio; por tanto, se definen funciones trapezoidalesy gaussianas para la entrada y salida respectivamente, tal y como se observa en la Fig. 4, se toman dosfunciones de pertenencia de intervalo para cada entrada y cuatro funciones de pertenencia superiores ycuatro inferiores para la salida.

Dadas las condiciones del controlador, este puede analizarse por medio de logica de Kleen; por tanto,a partir de esta logica se desarrolla la tabla de verdad que se muestra en la Tabla 2 y a partir de la formanormal conjuntiva se obtienen las salidas del sistema, como se muestra en (30).

6

Error [°]-15 -10 -5 0 5 10 15

0

0.5

1Funciones de Pertenencia Error

E1

E2

Derivada del Error [°/s]-300 -200 -100 0 100 200 3000

0.5

1Funciones de Pertenencia Derivada del Error

DE1

DE2

(a) Conjuntos difusos de intervalo de entrada.

Voltaje [V]-10 -5 0 5 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funciones de Pertenencia de Salida

VANVBNVBPVAP

(b) Conjuntos difusos Tipo 2 de salida.

Figura 4: Funciones de pertenencia de entrada y salida del controlador.

Tabla 2: Tabla de verdad por logica de Kleen.

E1 E2 DE1 DE2 V AN V BN V BP V AP0 0 0 0 0 0 0 1u 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 u 01 u 0 0 0 u 0 01 1 0 0 1 0 0 00 0 u 0 0 0 0 1u 0 u 0 0 0 u 01 0 u 0 0 0 u 01 u u 0 0 u 0 01 1 u 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1u 0 1 0 0 0 u 01 0 1 0 0 1 1 01 u 1 0 0 u 0 01 1 1 0 1 0 0 00 0 1 u 0 0 0 1u 0 1 u 0 0 u 01 0 1 u 0 u 0 01 u 1 u 0 u 0 01 1 1 u 1 0 0 00 0 1 1 0 0 0 1u 0 1 1 0 0 u 01 0 1 1 0 u 0 01 u 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0

V AN = E1E2[1−DE1 +DE2(DE1DE2)],

V BN = E1(1− E2)[E2(1−DE1)(1−DE2)(1−DE1) +DE1],

V BP = E1(1− E2)[(1− E1)DE1DE2(DE2) + (1−DE2)],

V AP = (1− E1)(1− E2)[(1−DE2)(1−DE1DE2) +DE1DE2].

(30)

Finalmente dado que se tiene un sistema difuso tipo 2, se obtienen dos funciones para el CBR unainferior y una superior, y a partir de un reductor de tipo Nie-Tan, la funcion de salida final para el CBRes:

CBRs =V alV ANs · V AN + V alV BNs · V BN + V alV BPs · V BP + V alV APs · V AP,

CBRi =V alV ANi · V AN + V alV BNi · V BN + V alV BPi · V BP + V alV APi · V AP,

CBR =CBRs + CBRi

2,

(31)

7

donde las coeficientes de orden cero del CBR (V al) corresponden a:

V alV ANs = V alV ANi = −10,

V alV BNs = V alV BNi = −3,

V alV BPs = V alV BPi = 3,

V alV APs = V alV APi = 10,

(32)

y los anchos de las funciones de pertenencia de entrada son CEE = 5 para el error y CDEE = 50 parala derivada del error. Un paso adicional que se puede llevar a cabo es la optimizacion estos parametrosdel controlador, de tal forma que este sea mas efectivo, por tanto, se sugiere optimizar los anchos de lasfunciones de pertenencia de entrada y los coeficientes de orden cero del CBR.

4.2. Sistema difuso tipo 1

Se propone disenar e implementar un controlador difuso tipo 1 por medio de un Concresor de Rela-ciones Booleanas y a partir de la logica de Kleen; por tanto, se han de tener en cuenta las caracterısticasde las entradas y salidas del controlador, las cuales pueden definirse a criterio propio.

Diseno y desarrollo de la propuesta de un sistema difuso tipo 1

Para el desarrollo del sistema difuso tipo 1, se toman las funciones de pertenencia de entrada E1 parael error y DE1 para la derivada del error; de igual forma para las funciones de pertenencia de salida setomaron unicamente las funciones superiores mostradas en la Fig. 4, a continuacion se realiza la tabla deverdad por logica de Kleen (similar a la Tabla 2) y por medio de la forma normal conjuntiva se obtienenlas salidas del sistema en (34):

V AN = E1DE1,V BN = (1− E1)DE1,V BP = E1(1−DE1),V AP = (1− E1)(1−DE1).

(33)

Finalmente se obtiene la salida del CBR:

CBR =V alV AN · V AN + V alV BN · V BN + V alV BP · V BP + V alV AP · V AP. (34)

donde las coeficientes de orden cero del CBR (V al) corresponden a:

V alV AN = −10,

V alV BN = −3,

V alV BP = 3,

V alV AP = 10,

(35)

y los anchos de las funciones de pertenencia de entrada son CEE = 5 para el error y CDEE = 50para la derivada del error. Para este controlador es importante realizar la optimizacion que se sugirio parael sistema difuso tipo 2, dado que para este controlador el sistema no se estabiliza; por tanto, se sugiereoptimizar el ancho de las funciones de pertenencia de entrada y los coeficientes de orden cero del CBR.

4.3. Optimizacion de los parametros del controlador

La optimizacion del sistema controlado se hace off-line teniendo en cuenta el error cuadratico integralISE definido en (26) y de igual forma que en la Seccion 3 a traves de MatLabr, por medio de la funcionfmincon:

[opt,fval]= fmincon(@DifusoTipo#,opt0,[],[],[],[],lb,ub)

donde opt son los parametros optimizados, fval es el valor mınimo encontrado para el criterio ISE,@DifusoTipo# corresponde al sistema a optimizar a partir del criterio anterior, el vector opt0 correspondea los valores iniciales de los parametros y los vectores lb y ub corresponden a las restricciones del sistemapara lb ≤ opt ≤ ub, las cuales para el caso del difuso tipo 2 y analogamente para el difuso tipo 1 son:

8

0 ≤ CEE ≤ 15, 0 ≤ CDEE ≤ 300,−12 ≤ V alV ANs ≤ −7, −12 ≤ V alV ANi ≤ −7,−7 ≤ V alV BNs ≤ 0, −7 ≤ V alV BNi ≤ 0,0 ≤ V alV BPs ≤ 7, 0 ≤ V alV BPs ≤ 7,7 ≤ V alV APs ≤ 12, 7 ≤ V alV APi ≤ 12,

(36)

las cuales se definieron, teniendo en cuenta los universos de las funciones en cuestion, y adicionalmente,para las constantes del CBR, teniendo en cuenta la respuesta del motor con respecto a cada voltaje.

Por tanto, para el conjunto de parametros a optimizar Ω = CEE, CDEE, V alV ANs, V alV ANi,V alV BNs, V alV BNi, V alV BPs, V alV BPi, V alV APs, V alV APi, el problema de optimizacion a

realizar es el siguiente:

mınΩ

J =1

Ts

Ts∑n=0

e2[n]

sujeto a (50),(32)− (35),(31)− (34),(36),

(37)

5. Controlador por Variables de Estado

Se propone disenar e implementar un controlador de ganancias K, a partir del sistema definido en(16) discretizado.

Diseno y desarrollo de la propuesta de un controlador de ganancias K en tiempo discreto[3]

En primer lugar se debe observar si el sistema es controlable; la matriz de controlabilidad correspondea la que se muestra a continuacion:

U =[B AB A2B A3B

]. (38)

Dado que el sistema es SIMO (unica entrada multiples salidas), el sistema es controlable si∣∣UUT

∣∣ = 0.Si el sistema es controlable, se inicia con el diseno del Vector de Ganancias K, teniendo en cuenta que lanueva entrada del sistema corresponde a:

u[n] = r[n]−Kx[n], (39)

por lo que las ecuaciones de estado se convierten en:

x[n] = (A−BK)x[n] +Br[n]. (40)

Ahora, el proceso que se lleva a cabo para determinar el vector de ganancias de tamano (1× 4), parael caso, es el siguiente:

1. Definir el polinomio deseado que corresponde a los valores propios o eigenvalores λi = 4 o polos:

∆(z) = (z − λ1)(z − λ2)(z − λ3)(z − λ4) = z4 + a1z3 + a2z

2 + a3z + a4. (41)

2. Determinar el polinomio caracterıstico de la matriz A:

∆(z) = |zI −A| = z4 + a1z3 + a2z

2 + a3z + a4. (42)

3. Encontrar el vector de ganancias de realimentacion:

K ′ =[a1 − a1 a2 − a2 a3 − a3 a4 − a4

]. (43)

9

4. Se realiza la transformacion equivalente:

S = P−1 = U

a3 a2 a1 1a2 a1 1 0a1 1 0 01 0 0 0

. (44)

5. Finalmente, se determina el vector de ganancias de realimentacion de estados:

K = K ′P = K ′S−1. (45)

Los polos deseados se pueden seleccionar a criterio propio, a partir de las siguientes ecuaciones yseleccionando inicialmente, los parametros adecuados para que el sistema controlado tenga el comporta-miento deseado, es decir, un tiempo de establecimiento, sobre paso maximo, factor de amortiguamiento,frecuencia de oscilacion, entre otros. Para el caso de polos discretos se seleccionan teniendo en cuenta:

ξ =ln |Mp/100%|√

π2 + (ln |Mp/100%|)2, (46)

ts(2%) =4

ξωn, 0 < ξ < 0,69. (47)

Y finalmente que los polos corresponden a:

λ = e−ξωnTs ± j2πωnTs

√1− ξ2. (48)

6. Resultados Esperados

6.1. Caracterizacion del sistema

Finalmente despues de una laboriosa busqueda de estos parametros se obtienen las respuestas simuladay real que se muestran en la Fig. 5, para:

parametros = [0,0167 0,7842 0,0019 0,0001 0,0443]. (49)

Tiempo [s]0 2 4 6 8 10 12

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema

RealSimulado

Figura 5: Respuestas del sistema simulado y real a una entrada seno con los parametros optimizados en (49).

En la Tabla 3, se pueden observar los parametros que componen el sistema con cada uno de sus valoresiniciales y optimizados, y a partir de ellos las ecuaciones de estado que modelan el sistema:

10

x1[n+ 1] = 1,0059x1[n] + 0,0234x2[n] + 0,000013x4[n]− 0,0008u[n],x2[n+ 1] = 0,3638x1[n] + 0,5968x2[n] + 0,0008x4[n]− 0,048u[n],x3[n+ 1] = −0,0002x1[n] + 0,0002x2[n] + x3[n] + 0,03x4[n] + 0,0026u[n],x4[n+ 1] = −0,0111x1[n] + 0,0121x2[n] + 0,9971x4[n] + 0,1761u[n],y1[n] = x1[n],y2[n] = x4[n].

(50)

Tabla 3: Parametros del sistema de pendulo invertido implementado.

Sımbolo Termino Valor Inicial Valor Optimizado Unidad SI

2l Longitud del Pendulo 0,3 mm Masa del Pendulo 0,03 KgM Masa del Carro 0,59 KgR Radio de la trayectoria circular del carro 0,22 mr Radio llanta 0,027 mg Gravedad 9,8 m/s2

I Momento de Inercia 9 × 10−4 0,0019 Kgm2

µ Coeficiente de Friccion Viscosa 3,69 × 10−6 0,0001 Ns/mρ Coeficiente de Friccion Normal 0,121379b Coeficiente de Friccion angular del Pendulo 0 0,03 NmsKT Constante de Torque 0,573 0,0167 Nm/AKi Constante Inducido 0.573 0,0167 V s/radRa Resistencia de Armadura 35,057 0,7842 Ω

6.2. Controlador difuso

6.2.1. Controlador difuso tipo 2 de intervalo

En la Fig. 8 (a), se pueden observar los comportamientos tanto para el sistema controlado simuladocomo el implementado, por medio del controlador difuso tipo 2 de intervalo propuesto en la Seccion 4.1y de igual forma en la Fig. 8 (b), sin embargo, en este caso se realizo la optimizacion de los parametrossugeridos en dicha seccion y se obtiene una respuesta mas rapida y efectiva en el sistema controlado, conlos parametros:

CEE = 4,8255, CDEE = 162,8273,V alV ANs = −9,0708, V alV ANi = −9,0228,V alV BNs = −3,6146, V alV BNi = −2,6273,V alV BPs = 4,7316, V alV BPi = 3,4572,V alV APs = 8,999, V alV APi = 8,9777.

(51)

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema

SimuladoReal

(a) Sistema inicial.

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema

SimuladoReal

(b) Sistema optimizado en (51).

Figura 6: Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador difuso tipo 2 de intervalo.

11

6.2.2. Controlador difuso tipo 1

En la Fig. 7, se pueden observar los comportamientos tanto para el sistema controlado simulado comoel implementado, por medio del controlador difuso tipo 1 optimizado a partir del propuesto en la Seccion4.2, con los parametros:

CEE = 3,8853, CDEE = 258,3485,V alV AN = −9,1855, V alV BN = −0,0216,V alV BP = 0,0056, V alV AP = 9,3574.

(52)

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema

SimuladoReal

Figura 7: Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador difuso tipo 1 optimizado en (52).

6.3. Controlador por realimentacion de estados

Para el controlador de ganancias K, los polos se determinan teniendo encuenta que el tiempo demuestreo Ts = 30 ms, seleccionando a criterio el tiempo de establecimiento como ts = 300 ms y el sobrepaso maximo Mp = 20%, por tanto, a partir de (46) y (47) se tiene que ωn = 29,24 y de (48) que lospolos deseados son:

λ1,2 = 0,67± j0,7807,λ3,4 = 1,

(53)

finalmente, se determina que el vector de ganancias corresponde a:

K = [−83,2051 −4,119 0 −0,0167]. (54)

En la Fig. 8, se pueden observar los comportamientos tanto para el sistema controlado simulado comoimplementado, por medio del controlador por realimentacion de estados, propuesto en la Seccion 5.

6.4. Conclusion

Los valores obtenidos para el criterio ISE en cada uno de los experimentos realizados con cada con-trolador implementado y simulado se muestran en la Tabla 4 y sus comportamientos se pueden observaren la Fig. 9.

12

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

X1 [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Posición Péndulo

SimuladoReal

(a) Posicion Pendulo.

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

X4 [r

ad/s

]

-6

-4

-2

0

2

4

6Velocidad Carro

SimuladoReal

(b) Velocidad Carro.

Figura 8: Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador por realimentacion de estados mostrado en(54).

Tabla 4: Valor del criterio ISE para cada controlador.

Controlador Sistema ISEDifuso Sin Simulado 64.7709Tipo-2 Optimizacion Real 171.72Difuso Optimizado Simulado 62.9624Tipo-2 con (51) Reaal 67.86Difuso Sin Simulado 4692.1Tipo-1 Optimizacion Real 4444.9Difuso Optimizado Simulado 134.1448Tipo-1 con (52) Real 102.12

De Ganancias Con K Simulado 59.5073K (54) Real 59.34

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error Sistema Simulado

CBR Tipo-2CBR Optimizado Tipo-2CBR Optimizado Tipo-1Vector K

Tiempo [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error Sistema Real

CBR Tipo-2CBR Optimizado Tipo-2CBR Optimizado Tipo-1Vector K

Figura 9: Respuestas del sistema controlado simulado y real, para cada uno de los controladores desarrollados.

13

NOTA

A la hora de simular el sistema es importante tener en cuenta:

El sistema simulado entrega el valor de la posicion del pendulo en radianes, por lo que si se deseacomparar con el real, es necesario convertirlo a grados.

El ruido presente en el sistema real, puede ser ruido gaussiano o aleatorio de 2o.

Las saturaciones y limitantes presentes en el sistema real, tales como:

1. Rango angulo: [−12o, 12o].

2. Rango velocidad carro: [−6 rad/s, 6 rad/s].

3. Rango voltaje: [−10 V, 10 V ].

Zona muerta del motor ([−2 V, 2 V ]) y ajuste de esta zona.

A tener en cuenta: Los archivos correspondientes a las simulaciones e implementaciones de laplanta y sus controladores a traves de MatLabr se encuentra en el CD-ROM adjunto, cuyos archivoscorrespondientes son:

((funoptpara)): Sistema de pendulo invertido lazo abierto, para caracterizacion con entrada seno.

((funoptspi )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 2, para caracterizacion.

((DifusoTipo1 )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 1, Simulacion.

((DifusoTipo1Serial )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 1, Implementacion.

((DifusoTipo2 )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 2, Simulacion.

((DifusoTipo2Serial )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 2, Implementacion.

((ControlK )): Sistema de pendulo invertido controlado con un vector de ganancias K, Simulacion.

((ControlKSerial )): Sistema de pendulo invertido controlado con un con un vector de ganancias K,Implementacion.

((S#)): Pruebas del sistema real para realizar las respectivas comparaciones para la caracterizaciondel sistema con entradas seno.

((C#)): Pruebas del sistema real para realizar las respectivas comparaciones para la caracterizaciondel sistema controlado con un difuso tipo 2.

((CSPI.m)): Funcion creada para interactuar con el usuario.

14

Referencias

[1] Angela Paola Duquino Sanchez, Diseno e Implementacion de un Sistema de Pendulo Invertido parala ensenanza de conceptos de control en ingenierıa, a traves del metodo de Variables de Estado. Uni-versidad Distrital Francisco Jose de Caldas, Facultad de Ingenierıa, Proyecto Curricular de IngenierıaElectronica. Bogota, 2015.

[2] Angela P. Duquino S., Christian F. Rojas V., Jose J. Soriano M. and Diana M. Ovalle M., Designand Implementation of a CBR Interval Type-2 Fuzzy Controller for Stabilizing an Inverted Pendulum.2nd Workshop on Engineering Applications - International Congress on Engineering (WEA - 2015).

[3] K. Ogata,Ingenierıa de Control Moderna. Prentice Hall. 1998.

[4] K. Ogata, Discrete Time Control Systems. Prentice Hall. Tercera Edicion, 1995.

[5] B. Kuo, Sistemas de Control Automatico. Prentice Hall. 1996.

[6] C. Phillips and H. Nagle, Digital Control System Analysis and Design. Prentice Hall. 1995.

[7] Chen, Analog and Digital Control System Design. Saunders College Publishing.

[8] Masao Mukaidono, Yeung Yam and Vladik Kreinovich, Intervals is All We Need: An Argument.

[9] Mai Gehrke, Carol L. Walker and Elber A. Walker, Normal forms and truth tables for fuzzy logic, 17July 2002.

[10] Jerry M. Mendel, Uncertain. Rule-Based Fuzzy Logic Systems. Introducction and new directions,1rd ed. USA: Los Angeles, CA, 2011.

[11] Julian Barreiro Gomez y Miguel Eduardo Hernandez Figueredo, Diseno y estudio comparativo deldesempeno de controladores difusos con y sin simplificacion de formulas a partir de la aplicacion deun pendulo invertido. Colombia: Bogota, 2011.

[12] Espitia, H.E., Chamorro, H.R. y Soriano, J.J., Fuzzy controller design using concretion based onboolean relations (CBR), Computational Intelligence (UKCI), 2012 12th UK, Workshop on.

[13] HyperPhysics, Momento de Inercia: Varilla [online]. Atlanta, Georgia: Carl R. Nave, Departa-ment of Physics and Astronomy, Georgia State University. Disponible en: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mi2.html#irod

[14] Walter Dıaz, Fluidos Viscosos [online]. Argentina: Universidad Nacional de Tucuman. Disponibleen: http://www.docencia.unt.edu.ar/bioquimicafisica/Teorias/6%20-%20Viscosidad.pdf

[15] Laplace, Fuerzas de Rozamiento (GIE) [online]. Espana: Departamento de Fısica Aplicada III, Uni-versidad de Sevilla. Disponible en: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerzas de rozamiento (GIE)

[16] Marvin or Bonnie Stone, DC Motors [online]. Estados Unidos: Shielded Pair. Disponible en:http://shieldedpair.net/BAE5413/DC%20Motors.pdf

[17] Manuel Guillermo Quijano Ortega y Carlos Gerardo Hernandez Capacho, Obtencion de los parame-tros del motor que se utilizara en el sistema de locomocion de una esfera rodante, Universidad PontificiaBolivariana, Escuela de Ingenierıa y Administracion, Facultad de Ingenierıa Electronica, 2009.

[18] Ali Poorhossein and Ali Vahidian-Kamyad, Design and implementation of Sugeno controller forInverted Pendulum on a Cart system, Ferdowsi University of Mashhad, Engineering and mathematicalschool, September 2010.

[19] Duckgee Park, Dongkyoung Chwa and Suk-Kyo Hong An Estimation and Compensation of the Fric-tion in an Inverted Pendulum, Department of Electrical and Computer Engineering, Ajou University.Korea, October 2006.

[20] Abdelkader Merakeb, Farida Achemine and Frederic Messine, Optimal Time Control to Swing-Upthe Inverted Pendulum-Cart in Open-Loop Form, Departement de Mathematiques, Universite Mouloud.France, 2013.

[21] Arindam Chakraborty and Jayati Dey, Real-time Study of Robustness Aspects of Periodic Controllerfor Cart-Inverted Pendulum System, Department of Electrical Engineering. India, 2013.

15

[22] Oscar Danilo Montoya Giraldo Juan Guillermo Valenzuela Hernandez y Didier Giraldo Buitrago,Balanceo y Estabilizacion del Pendulo Invertido Empleando Redes Neuronales Artificiales y un Regu-lador Lineal Optimo con Criterio Cuadratico (LQR), Ingenierıa electrica, Universidad Tecnologica dePereira. Pereira, Colombia, Abril 2015.

[23] Tinoco Romero R.F. y Orces Pareja E.H., Modelado, simulacion y control de un pendulo invertidousando componentes analogos simples, Facultad de Ingenierıa Mecanica, Escuela Superior Politecnicadel Litoral. Guayaquil, Ecuador, Octubre, 2007.

[24] Lyda Vanessa Herrera Sepulveda y Uriel Alberto Melo Pinzon, Control en espacio de estados paraun prototipo real de pendulo invertido, Universidad Industrial de Santander, Facultad de IngenierıasFısico-Mecanicas, Escuela de Ingenierıas Electrica, Electronica y de Telecomunicaciones. Bucaramanga,Colombia, 2013.

[25] Carlos Andres Osorio Zuniga, Diseno, construccion y control de un pendulo invertido rotacionalutilizando tecnicas lineales y no lineales, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingenierıa,Maestrıa en Ingenierıa, Automatizacion Industrial. Bogota, Colombia, 2009.

[26] Nenad Muskinja and Boris Tovornik, Swinging Up and Stabilization of a Real Inverted Pendulum,Faculty of Electrical Engineering and Computer Science, University of Maribor. Maribor, Slovenia,January, 2006.

[27] Oscar Oswaldo Rodrıguez y Helvert Eduardo Cely, Diseno e implementacion de un pendulo invertiosobre un carro aplicando estrategias de control basado en LMI, Universidad Pedagogica y Tecnologicade Colombia. Sogamoso, Colombia, 2012.

16