Guía 102: Racional-Mente
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CH-FyA-0518
Guía 102: Racional-Mente
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Guía
102 Meta 34
GRADO 11
GUÍA DEL ESTUDIANTE
RACIONAL-MENTE
TRIGONOMÉTRICA
3
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 102
Aldair Andres Osorio Rico, I.E.D. Germán Vargas Cantillo
Astrid Maria Mejía Barrios, I.E.D. Germán Vargas Cantillo
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
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GUÍA 102 GRADO
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ACTIVIDAD
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Guía
102 GRADO 11
RACIONAL-MENTE TRIGONOMÉTRICA
GRADO 11 - META 34 - PENSAMIENTO NUMÉRICO - VARIACIONAL
Guía 100
(Duración 13 h)
• Números reales (Representación en
la recta numérica.
• Relación de orden, operaciones entre
números reales.
• Intervalos.
• Inecuaciones (desigualdades)
lineales de una incógnita.
Guía 101
(Duración 13 h)
• Funciones a trozos
• Funciones inversas
• Dominio y rango de una función
inversa
Guía 102
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Funciones racionales.
• Asíntotas de una función.
ACTIVIDAD 2
• Familias de funciones
trigonométricas.
• Funciones trigonométricas
inversas.
• Ecuaciones trigonométricas
sencillas.
• Asíntotas de funciones
trigonométricas
META DE APRENDIZAJE N. 34: Analizo y resuelvo problemas en contextos en los que se estudian ingresos,
utilidades según costo de producción, velocidad media, interés compuesto, crecimiento poblacional, tasa de natalidad
y mortalidad, entre otros. Represento estas situaciones con funciones (polinómicas, racionales, trigonométricas;
funciones a trozos), identifico rangos de variación y procesos de aproximación sucesiva en algunos intervalos, para ver
cómo varía la función cuando la variable se aproxima tanto como se quiera a un punto dado o a infinito. Con gráficas,
tablas numéricas y software o applets de GeoGebra, analizar y visualizo intuitivamente límites de funciones (cuyo valor
es un número o infinito).
PREGUNTAS ESENCIALES:
Actividad 1:
● ¿Cómo es el análisis de situaciones económicas y sociales desde tu conocimiento matemático?
● ¿De qué manera influye la matemática para resolver situaciones de mi entorno?
● ¿Por qué es importante el análisis del mundo que nos rodea desde una perspectiva matemática?
Actividad 2:
● ¿En qué situación de la vida cotidiana podemos evidenciar las funciones trigonométricas? ● ¿Qué relación existe entre el seno y el coseno de un mismo ángulo?
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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Actividad 1:
● Analizo algebraicamente funciones racionales y encuentra su dominio y sus asíntotas.
● Uso tablas para analizar cómo se comporta el valor de una función cerca de un valor de x dado, al acercarme a
él (por izquierda o derecha) y decido si hay una tendencia a infinito (asíntota).
● Analizo una gráfica e identifico visualmente dónde puede tener una asíntota, describo verbalmente los valores
que toma “x” e “y” y luego verifico mis hipótesis con análisis algebraicos.
Actividad 2:
● Gráfico familias de funciones trigonométricas de la forma f(x)=a·sen(bx)+c y f(x)=a·cos(bx)+c para modelar
fenómenos periódicos identificando periodo, frecuencia y amplitud.
● Reconozco y predice el efecto que tiene en las gráficas cambiar estos parámetros en las funciones.
● Gráfico las funciones trigonométricas inversas arcsen, arcocos, arcotan y restringe el dominio para poderlas
definir.
● Soluciono ecuaciones trigonométricas sencillas en un intervalo usando calculadora, software, o el círculo
unitario.
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ACTIVIDAD 1: RACIONAL-MENTE
Aprendamos a reconocer los casos de factorización y cuándo aplicarlos, así mismo, reconoceremos cuando
un número de la forma a/b (racional), con a y b números enteros, se indetermina.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
Los números racionales son aquellos que pueden representarse como cociente de dos números enteros. Es
decir, los podemos representar mediante una fracción a/b, donde a y b son números enteros y además b
es distinto de cero. Por ejemplo:
a) 𝟑/𝟓 = 𝟎. 𝟔 c) 𝟐/𝟑 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔. .. e)𝟖/𝟒 = 𝟐 g) 𝟏/𝟐 = 𝟎. 𝟓
b) 𝟒/𝟗 = 𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. .. d) 𝟑/𝟐 = 𝟏. 𝟓 f) 𝟏/𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. .. h) 𝟗/𝟑 = 𝟑
Así mismo sucede para los polinomios, se pueden establecer fracciones P/Q, donde P y Q son polinomios
de grado n y m respectivamente y además Q es distinto de cero. Por ejemplo:
En este sentido, también será muy importante
recordar el grado de un polinomio de una variable,
este está determinado por el máximo exponente de
la variable, Por ejemplo en el polinomio representado
en la imagen el máximo exponente de la variable x es
5, por ende este polinomio es de grado 5.
Al hablar de polinomios, existe una temática que es
muy importante tener en cuenta “la factorización de
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polinomios”, ya que estas nos será muy útil. a continuación recordaremos que es una factorización y veremos
algunos casos.
Factorización y productos notables:
En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática
en factores (que puede ser un número o una suma). Existen métodos de factorización para algunos casos
especiales, que son:
Ejemplos:
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y por último recordaremos cómo resolver ecuaciones cuadráticas (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐) por fórmula general, que nos sirve para hallar las raíces de la ecuación
(saber que valores de 𝑥 hacen que la ecuación toma el valor de 0):
Por ejemplo: Dada la ecuación 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 encontrar los valores de x donde la ecuación se hace 0,
entonces tenemos que 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = −2,reemplazando estos valores en nuestra ecuación nos queda lo
siguiente:
Por lo tanto la ecuación se hace 0 cuando 𝑥 toma los valores aproximados a 0.387 y -1.720.
Práctica
1. Resuelva las siguientes fracciones:
a) 28/9 = e) 1/4 =
b) 15/0 = f)21/3 =
c) 4/7 = g) 2/0 =
d) 0/15 = h) 0/4 =
3. Determine el grado de los siguientes polinomios:
a) 4𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 − 7 b) 𝑥4 + 3𝑥2 + 2
2. Factorice los siguientes polinomios:
a) 𝑥2 − 16 b) 𝑦2 − 6𝑦 + 9
4. Dados los polinomios P:4𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 − 7 y
Q: 𝑥4 + 3𝑥2 + 2, determinar:
a) P/Q b) Q/P
5. Hallar las raíces de la ecuación −2𝑥2 + 3𝑥 + 1, por medio de la fórmula general de la ecuación
cuadrática.
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Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
B) Conceptos
Exploración: Línea de montaje
En una empresa se hacen montajes en cadena. El
número de montajes realizados por un
trabajador sin experiencia depende de los días
de entrenamiento según la función.
a) ¿Cuántos montajes realiza en el primer día? ¿Y el décimo?
b) Representa la función sabiendo que el periodo de
entrenamiento es de un mes.
c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mucho más largo?
Analizando la situación vemos que la función M(t) está presentada en fracción de polinomios, esto se conoce
como función racional, donde t representa los días de entrenamiento y M(t) el número de montajes que
realiza el trabajador con respecto a t. Luego de analizar la situación vamos a solucionar los ítems
propuestos:
a) Para saber cuantos montajes realiza el primer día debemos reemplazar la variable t por el valor de 1 y
en el decimo dia reemplazamos t por el valor de 10, de la siguiente forma:
Esto quiere decir que en el primer día puede realizar 6 montajes y en el décimo día puede realizar
aproximadamente 21 montajes
b) Para representar una función podemos hacerlo de manera tabular (tabla de valores) y de manera gráfica,
como lo mostramos a continuación:
Como nos piden que representemos la función sabiendo que el periodo de entrenamiento fue de un mes,
o sea 30 días, nuestra tabla abarcara valores arbitrarios desde 0 a 30.
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Y para conocer los valores de M(t) reemplazamos cada uno de los valores de t en la función, de la siguiente
forma:
Analógicamente hallamos los demás valores.
Luego graficamos la función para el intervalo [0,
30].
c) Si consideramos un entrenamiento mucho
más largo debemos dar valores muy grandes
a 𝑡, valores que tiendan al infinito, y
observaremos cómo se comporta la función:
En la anterior tabla vemos que la variable 𝑡 tomo valores desde 10 hasta 10000000 y observamos que
𝑀(𝑡) se acercaba cada vez más a 30, esto significa que por mucho entrenamiento que se realice el número
máximo de montajes que se puede realizar en un día es 30.
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Esto nos está generando, gráficamente, una asíntota horizontal en 𝑀(𝑡) = 30. Lo que en geometría se
define como línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin
llegar nunca a encontrarla.
Esta asíntota también se pudo haber encontrado de otra forma observando el grado de los polinomios
y vemos que el polinomio que se encuentra en el numerador “30t” es de grado 1 y el polinomio que se
encuentra en el denominador “t+4” también es de grado 1, entonces se procede a calcular la división
entre los coeficientes de la variable con mayor exponente (en este caso la variable t
con exponente 1) de la forma que
Lo cual tiene el mismo significado que por mucho entrenamiento que se
realice el número máximo de montajes que se puede realizar en un día es 30.
Responde:
a) ¿Qué significado podemos encontrarle a la asíntota horizontal que nos presenta la situación en su
gráfica?
b) ¿Podremos encontrar otras asíntotas en las gráficas de este tipo de funciones? Si podemos
encontrar más asíntotas ¿De qué forma podríamos encontrarlas?
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c) ¿En qué situaciones de la cotidianidad crees que puedes encontrar el concepto de la asíntota y de
qué otra forma podrías llamarla?
Mini-explicaciones: Funciones Racionales
Funciones
racionales
● (Conceptos)
● (Dominio y
Rango)
● (Gráficas y
Asíntotas)
una función racional, es una función de la forma:
Donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones polinomiales, con 𝑄(𝑥) ≠ 0. Si bien las funciones
racionales están formadas por funciones polinomiales, sus gráficas son muy distintas.
Dominio de una función racional:
Las funciones racionales existen para todo R (números reales), excepto para los
valores que hacen que el denominador sea igual a 0 [𝑄(𝑥) = 0], expresado de la
siguiente forma:
Nota: en algunos casos es indispensable utilizar los casos de factorización para hallar
los valores donde el denominador se hace 0.
Ejemplos:
Calcular el dominio de las siguientes funciones
Soluciones:
a) Para calcular el dominio de la función f(x) debemos encontrar los valores en donde
el denominador de la función es igual a 0, para esto igualamos el denominador a 0 y
despejamos la variable x de la ecuación resultante, de la siguiente forma:
Esto quiere decir que no puede tomar el valor de 2, por lo tanto, su dominio quedaría
establecido así:
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b) Del mismo modo para calcular el dominio de la función g(x) debemos encontrar los
valores en donde el denominador de la función es igual a 0, para esto igualamos el
denominador a 0 y despejamos la variable x de la ecuación resultante, de la siguiente
forma:
Finalmente expresamos el dominio de la siguiente forma:
Rango de una función racional:
Para hallar el rango de la función racional se despeja la variable “x” en
función de “y” y se hace el mismo procedimiento que para hallar el
dominio. Luego f(x) debe ser diferente de 0, o sea, f(x) ≠ 0. para ilustrar
el procedimiento retomamos los ejemplos anteriores:
a)
Lo primero que haremos es colocar la función en términos de 𝑦
Luego despejamos la variable 𝑥
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de igual forma que procedimos con el dominio, buscaremos el valor que hace que el
denominador sea igual a 0, por lo tanto, 𝑦 − 1 = 0, al despejar 𝑦, resulta que 𝑦 = 1 , por
ende, el rango de nuestra función es:
b)
Procedemos de la misma forma que en el ejercicio a), colocamos la ecuación en
términos de 𝑦
Y despejamos la variable 𝑥
Si comparamos con la ecuación cuadrática tenemos que:
Reemplazamos los valores de a, b y c en la ecuación y obtenemos que
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Como nos interesa saber qué valores de 𝑦 hacen que el denominador sea igual a 0,
entonces de forma directa igualamos 2𝑦 = 0, despejamos la variable "𝑦" y obtenemos
que 𝑦 = 0,por lo tanto el rango de esta función es
Asíntotas de una función racional:
Las funciones racionales presentan tres tipos de asíntotas en sus graficas, estan
pueden ser oblicuas, verticales u horizontales, depende de la función.
Asíntotas verticales: Estas asíntotas se pueden calcular de la siguiente forma:
1. Simplificamos 𝑓(𝑥) factorizando 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) y eliminando las raíces comunes.
2. Las raíces del denominador son las asíntotas verticales de 𝑓(𝑥), con lo que las
buscamos haciendo Q(x) = 0.
Asíntotas Horizontales: Para calcular estas asíntotas debemos distinguir entre dos
casos:
Caso 1: Si𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥),entonces 𝑦 = 0 es asíntota horizontal.
Caso 2: Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥),entonces el cociente entre los términos de mayor
grado del numerador y del denominador es la asíntota horizontal.
Caso 3: Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) > 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥), entonces la función no posee asíntota horizontal.
Asíntotas oblicuas: se producen asíntotas oblicuas siempre que grado 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) −
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) = 1. Si es así, realizaremos la división de 𝑃(𝑥) entre 𝑄(𝑥): El cociente de la
misma, en la forma 𝑚𝑥 + 𝑛, es la asíntota oblicua.
Ejemplos: Hallar las asíntotas de los ejemplos a y b y su respectiva gráfica.
a)
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Primero buscamos si tiene asíntotas verticales, para eso simplificamos factorizando,
pero como la expresión ya está simplificada, basta con buscar donde el denominador se
hace 0, este valor ya lo hemos calculado
anteriormente en el dominio de f(x),
entonces el denominador se hace 0 en
x=2, por lo tanto es una asíntota
vertical.
Ahora buscamos si tiene asíntota horizontal, para ello probaremos cual de los dos
casos se cumple comparando los grados de los polinomios del numerador y el
denominador
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Como sus grados son iguales entonces hallamos la asíntota por medio del caso 2,
calculamos el cociente entre los términos de mayor grado del numerador y del
denominador, en este caso el término de mayor exponente tanto en el denominador
como el numerador es 𝑥 y su coeficiente es 1, entonces tenemos que:
por último verificamos si tiene asíntotas oblicuas, restando los grados de los
polinomios, si el resultado es 1, entonces 𝑓(𝑥)posee asíntota oblicua
Finalmente procedemos a graficar nuestra función, dando valores arbitrarios a la
variable x y ordenado los resultados en una tabla de valores:
En esta gráfica observamos que los valores se acercan a las asíntotas, tanto por la
izquierda como por la derecha, pero jamás las tocan. Las asíntotas se trazan en los
valores donde la función se indetermina (IND)
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De la misma forma buscamos las asíntotas del ejemplo b)
Buscamos primero sus asíntotas verticales, encontrando los valores donde su
denominador se hace 0, o sea 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0, como es una ecuación cuadrática posee
dos asíntotas verticales, estos valores ya los obtuvimos cuando hallamos el dominio de
g(x), son 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = 5, por lo tanto
Ahora buscamos las asíntotas horizontales comparando los grados de los polinomios del
denominador y del numerador
vemos que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥),entonces 𝑦 = 0 es asíntota horizontal, visto en el
caso 1, por lo tanto
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Antes de terminar de graficar comprobamos si tiene asíntotas oblicuas, para esto
verificamos que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄(𝑥) = 1, tenemos que 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) = 1y
𝑒𝑙 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄(𝑥) = 2, entonces 1 − 2 ≠ 1, por lo tanto no tiene asíntota oblicua.
Finalmente graficamos nuestra función 𝑔(𝑥)
En la gráfica observamos claramente las asíntotas
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Tú turno: Para esta tarea van a reunirse con un compañero (par 1) para realizar la
actividad propuestas, luego luego uno de los integrantes se intercambia con otro
de otra pareja (Par 2) para revisar y corregir lo que se realizó con la primera
pareja.
Accidente en la industria petrolera
La función:
Representa el porcentaje del petróleo que permanece en el mar, después de ocurrir un derrame en un buque
cisterna transportador de este hidrocarburo y de efectuarse durante 4 meses las tareas de recuperación
y limpieza por parte de la empresa responsable, transcurrido ese tiempo el proceso continúa de manera
natural.
a) ¿Qué tipo de función es 𝑃(𝑥) y qué representa de acuerdo al problema?
b) ¿Qué porcentaje de residuo de petróleo queda al concluir el cuarto mes de limpieza?
c) ¿Al cabo de un año podrá disminuir al 100% los contaminantes?
d) ¿Cuál es el máximo porcentaje de limpieza que se puede obtener de acuerdo con este modelo?
C) Resuelve y practica
1. Determinar los dominios de las siguientes funciones:
2. Una empresa de servicio público quema carbón para generar electricidad. El coste (en
dólares) de quitar en porcentaje de las chimeneas contaminantes es dado por la expresión
Para 𝑥 mayor o igual que cero y menor que 100 (0 ≤ 𝑥 < 100) . Eres un miembro de un estado
considerando una ley que requeriría que esas empresas de servicios públicos eliminasen el 90% de la
contaminación que proviene de sus chimeneas. La ley actual requiere una extracción de un 85% ¿Qué
coste adicional requeriría para la empresa de servicio público la puesta en marcha de la nueva ley?
(Grafique la función usando GeoGebra)
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3. Graficar las siguientes funciones racionales, hallando las asíntotas que se puedan presentar
(Escriba las ecuaciones de las asíntotas), puede usar GeoGebra:
4. Se administra un medicamento a un paciente, y se vigila la
concentración de dicho medicamento en la sangre. En el tiempo 𝑡 ≥ 0 (en horas
desde que se aplicó el medicamento), la concentración (en mg/L), está dada por:
Teniendo
en cuenta el gráfico:
Indicar:
a) ¿Qué ocurre con la concentración después de
muchas horas?
b) ¿Cuánto tarda la concentración en llegar a
2mg/L?
5. A partir de la gráfica hallar las asíntotas que
posee, el dominio y el rango.
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GoConqr
Ingrese al siguiente link y practique con las preguntas que le aparecen, luego debe mostrar la nota que obtuvo a su
profesor
https://www.goconqr.com/es/quiz/7793428/funciones-racionales
(Opcional por parte del docente)
Ingrese al siguiente link y practique con las preguntas que le aparecen, luego debe mostrar la nota que obtuvo a su
profesor
https://quizizz.com/admin/quiz/5e66f1eb10bf64001b1fb134/prueba-corta-funciones-racionales-11mo
(Opcional por parte del docente)
Tema: Funciones Racionales
(Observa los videos propuestos en los siguientes enlaces)
los enlaces que verás a continuación pueden ser de gran ayuda al momento de estudiar la temática de funciones
racionales y desarrollar las actividades y tareas propuestas
https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:rational (Unidad: Funciones racionales)
https://www.youtube.com/watch?v=KnQDII6zSHY (Función racional: ejercicios Resueltos)
https://www.youtube.com/watch?v=KnQDII6zSHY (Función racional - Introducción)
https://www.youtube.com/watch?v=NrLG3AQ7ydk (Función racional - Gráficas)
https://www.youtube.com/watch?v=JkcxHrF5zyg Función racional - Aplicaciones)
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3:D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias ⚫⚪⚪
Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien
pero quiero
más práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien el
tema
1. Analizo algebraicamente funciones racionales y encuentra
su dominio y sus asíntotas.
2. Uso tablas para analizar cómo se comporta el valor de una
función cerca de un valor de x dado, al acercarme a él (por
izquierda o derecha) y decido si hay una tendencia a
infinito (asíntota).
3. Analizo una gráfica e identifica visualmente dónde puede
tener una asíntota, describo verbalmente los valores que
toma “x” e “y” y luego verifico mis hipótesis con análisis
algebraicos.
ii) Preguntas de comprensión
1. El rango de la función
es:
2. Qué tipo de asíntotas se
pueden presentar en las
funciones racionales:
a) Asíntotas verticales
b) Asíntotas oblicuas
c) Asíntotas horizontales
d) Todas las anteriores
3. Considere la función
¿Cuál es el dominio de la función?
4. Una función racional es
aquella en cuya expresión
analítica la variable
independiente aparece debajo
del símbolo de la raíz.
Verdadero [ ] Falso[ ]
5. Si el grado del polinomio que
se encuentra el numerador es
menor que el grado del polinomio
que se encuentra en el
denominador, entonces podemos
encontrar una asíntota
_______________ en su
gráfica.
6. Dada la función
El dominio y rango de f(x) es:
iii) Resuelvo un problema: En una granja hay comida para alimentar 1000 pollos durante 40 días.
Calcule la función que da el número de días en función del número de pollos.
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ACTIVIDAD 2: TRIGONOMÉTRICA - MENTE
Aprendamos a graficar funciones trigonométricas y sus inversas, conociendo sus elementos: dominio, rango,
amplitud, periodo, asíntotas, según la función. También, ecuaciones trigonométricas sencillas.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
1. Las razones trigonométricas de un ángulo a se obtienen a partir del cociente o razón entre las
longitudes de los lados a, b, c de un triángulo rectángulo.
2.
3. Una identidad es una expresión que es cierta para todos los valores reales. Una identidad
trigonométrica es una identidad que involucra las funciones trigonométricas.
EJEMPLOS:
Determine si las siguientes expresiones son identidades:
a) X2 > 0
Observe que, aunque para muchos números esta aseveración es cierta, si x = 0, la expresión no es cierta,
esta expresión no es una identidad.
b) sen (-X) = -sen X
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ACTIVIDAD
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Porque para cualquier ángulo X, se tiene que sen (-x) = -sen (X). Por lo tanto esta expresión es una
identidad (trigonométrica).
c) (-X2) = X2
Esto siempre es cierto. Por lo tanto, es una identidad.
4. Una función es inyectiva cuando cada elemento
del conjunto de llegada (Y), tiene como mucho
un elemento del conjunto de partida (X) al que
corresponde. De manera gráfica, para que una
función sea inyectiva trazamos una recta
horizontal, y si toca a la gráfica en un solo
punto, es inyectiva.
Práctica
1. Encuentra el valor de las razones trigonométricas para el ángulo indicado en cada triángulo:
2. Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del
mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º. Calcular el precio del cable si cada metro
cuesta $1.200
3. Desde un supermercado se observa el ático de un rascacielos de 527 metros de altura bajo un ángulo
de 42°. Calcular la distancia que hay desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos.
4. Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?
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Verifique las siguientes identidades:
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
B) Conceptos
Exploración: temporalidad del empleo.
Un economista dedicado a asesorar a empresas le indica a un gerente que la demanda del empleo es
temporal, y expresando la misma en miles de solicitudes de trabajo por mes en su consultora, la misma se
puede modelizar por la función: f (t) = 4,3 sen (0,8t + 1,5) + 7,3
El jefe pregunta acerca de la temporalidad en la presentación de solicitudes de empleo, a lo que la
economista responde que teniendo en cuenta la gráfica presentada se debe calcular la amplitud sacando el
promedio de la diferencia entre los valores máximos y mínimos. Observemos que el valor máximo
corresponde a 11,8 y el valor mínimo es 3,2. Se procede de la siguiente manera:
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Esto indica que el tiempo en el que se hacen solicitudes de empleo es igual a 4,3.
El desplazamiento vertical (el incremento o disminución de los valores de la función en la
representación tabular) de la función temporalidad en la presentación de solicitudes de
empleo se obtiene del promedio de la suma entre el valor máximo y el valor mínimo, de la
siguiente manera:
Se pretende determinar cuáles son los meses en los que llegan el mayor número de solicitudes de empleos
temporales, para lo cual se hace el siguiente procedimiento. o sea, cada 8 meses
aproximadamente, de enero a agosto, lo que podemos confirmar en la gráfica si observamos la longitud de
cada ciclo, o distancia de un
máximo al siguiente.
2. Graficando con
tabulación.
3. Sobre funciones inversas.
En el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo L?
Lo que sabemos: con respecto al ángulo L, sabemos las longitudes de los lados
opuesto y adyacente, así que podemos escribir:
Pero esto no nos ayuda a determinar la medida del ángulo L. ¡Estamos atorados!
Qué necesitamos: nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas
como este. Nuestros viejos amigos seno, coseno y tangente no dan el ancho. Estos
toman ángulos y regresan razones de lados, pero necesitamos lo opuesto.
¡Necesitamos las funciones trigonométricas inversas!
Ahora miramos un caso de ecuaciones trigonométricas.
Resolvamos la siguiente ecuación trigonométrica
4 sen x - 3cos x = 0
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● Solución:
Sumando 3cos x en ambos lados (lo que indebidamente se dice que el 3 cos x pasa al
otro lado a restar), la ecuación queda en la forma m sen x = n cos x. Haciéndolo:
4 sen x = 3 cos x
En este caso, m = 4 y n = 3. Se obtiene:
Sustituyendo por la tangente, recordemos que tangente es igual a
tan x = 0,75
Aplicando la función inversa:
x = arctan 0,75 también se puede escribir tan–1
= 0,75 Para hallar el inverso de la función tangente se
introduce en la calculadora SHIFT tan 0,75
Recuerda que al utilizar la calculadora en modo "degree (DEG)" el resultado que se obtiene será la medida
del ángulo en el sistema sexagesimal, en cambio en el modo "radián (RAD)" el resultado que se obtiene
será la medida del ángulo medido en el sistema radial.
La cual tiene dos soluciones, una en el primer cuadrante y la otra en el tercero, ya que allí la tangente es
positiva:
Primer cuadrante: 36,87
Tercer cuadrante: 180 + 36,87 = 216,87
MINI-EXPLICACIÓN: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas
(seno, coseno y tangente).
Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para
que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.
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Las funciones trigonométricas inversas son:
Arcoseno
Arcocoseno
Arcotangente
ASÍNTOTA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las asíntotas de una gráfica son las líneas rectas que continuamente se acercan a la gráfica de cierta
función sin que la toque.
Las funciones seno y coseno no tienen asíntotas de ningún tipo. Pero las funciones que se forman a
partir de estas (tangente, cotangente, cosecante y secante) tienen asíntotas verticales cuando se
anula el denominador.
Recuerda que:
f(x)= senx/cosx; f(x) = cscx= 1/senx; f(x)= sec x= 1/cosx;
cot x = cosx /senx
● ¿Qué ángulo/s t verifican que sen t = 0,7?
Para contestar esta pregunta observemos la circunferencia trigonométrica unidad y recordemos la
representación del seno de un ángulo. Debemos encontrar el ángulo cuyo "arco" se corresponde con el
segmento que representa el seno del mismo. En este caso existen dos ángulos t1 y t2 que verifican:
sen t1 = 0,7 y sen t2 = 0,7
¿Son los únicos ángulos?
La respuesta es no, sólo debemos recordar que la función seno es periódica (de período 2p).
Entonces:
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sen (t1 + 2kp) = 0,7 y sen (t2 + 2kp) = 0,7 con k un número entero
¿Cómo encontramos t tal que sen t = 0,7? Necesitamos encontrar una
nueva función
que permita "volver" o invertir lo que realiza la función seno, esto es:
La función que "deshace" o invierte el resultado obtenido por el cálculo del seno y que
permite resolver la igualdad sen-1 (0,7) = t es la función arco seno.
● ¿Qué ángulo t verifican que sen t = 0,7?
Utilizando la calculadora obtenemos:
arc sen 0,7 = 44,42º o bien t = 44º 25’37”
Recordar que al utilizar la calculadora en modo "degree (DEG)" el resultado que se obtiene será la
medida del ángulo en el sistema sexagesimal, en cambio en el modo "radián (RAD)" el resultado que se
obtiene será la medida del ángulo medido en el sistema radial.
En el sistema radial arc sen 0,7 es t = 0,775 rad
MINI-EXPLICACIÓN: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene expresiones trigonométricas y se resuelven
usando técnicas similares a las usadas en ecuaciones algebraicas, por lo que las soluciones
representaran ángulos.
Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones trigonométricas:
2 sen (x) = 1
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8cos (π3 x) =5
tan 2 (2 x − 1) = 0
Si la medida de los grados no está especificada, entonces se trabajará en radianes.
Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas
Resolveremos las ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 2 π ) y también de forma general.
● Ejemplo 1
Encontrar la solución de la ecuación, sen (x) = 1 2
En el intervalo [0, 2π).
En todos los números reales
Solución:
Si sen (x) = 1 2 entonces el ángulo de referencia para x es x = π 6, que se encuentra en el cuadrante I; si consideramos
otra solución de la ecuación vemos que x = π − π 6 = 5 π 6, ubicada en el cuadrante II, es otra solución en el intervalo [0,
2 π), a continuación, se muestra gráficamente.
Paso 1 - Ejemplo: Niveles del agua
La siguiente tabla muestra la variación del nivel del agua en una bahía, en un
periodo de 24 horas. Encontremos un modelo que describa la variación del
nivel del agua en función del número de horas transcurridas desde las 6:00
a.m.
Podemos observar que en la gráfica los puntos se ajustan a una curva que corresponde a la función coseno
transformada.
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Por lo tanto, obtendremos la función correspondiente si partimos de: y = cos(x)
¿qué nos indica que debemos usar la función coseno? Aunque también es válido usar la función seno, la
forma que sigue el trazo a través de los puntos nos induce a inclinarnos a utilizar la función coseno.
¿Cuál es la amplitud?
En la gráfica podemos ver que el valor máximo es 9 y el mínimo -3. Por tanto:
¿Cómo calculamos el periodo?
En la gráfica vemos que un periodo completo de la
función coseno está entre los puntos (2,9) y (14,9).
Por tanto:
periodo = 14 - 2 = 12
En el paso 1 decidimos que partiremos de la función
coseno, pues es la que mejor se ajusta a los datos que
tenemos.
y = cos(x)
● Realizar el cambio de periodo de la función y = cos(x) ⇒ y = cos(x) con periodo 12, tal como
identificamos en el paso 1.
● Realizar el cambio de amplitud de la función y = cos(kx) y = 6 cos(kx) con amplitud 6, la cual
identificamos en el paso 1.
● Efectuar, de ser necesario, la traslación horizontal y la traslación vertical, para que la gráfica del
modelo corresponda a los datos del problema.
En el paso 2 determinamos que el periodo de la función que buscamos es 12.
Si cambiamos la entrada de x a kx, el periodo cambia.
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0 < k x < 2π 0 k < k x k < 2π k 0 < x < 2π k
Conociendo el periodo, podemos encontrar el valor de k,
pues, como sabemos:
2 π k = periodo
En consecuencia:
2 π k = 12
De donde:
k = 2 π 12 = π 6
En el paso 2 determinamos que la amplitud es 6. Entonces la función base debe tener amplitud 6.
cos π6 x ⇒ 6 cos π6 x
Conclusión: Ya tenemos una gráfica con el periodo y la
amplitud correspondientes a nuestros datos. Ahora,
debemos simplemente trasladar la gráfica para que coincida
con los datos.
Paso 2A - Completa este ejemplo: Población
de Especies Depredadoras
Cuando dos especies interactúan en una relación depredador / presa, las poblaciones de ambas especies
tienden a variar en forma sinusoidal. Es un estudio en una localidad habitada por búhos cuyo principal
alimento son ratones de campo, se registró la población promedio anual de búhos durante 13 años como se
muestra en la siguiente tabla:
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a) Grafica e identifica amplitud y periodo.
Partiremos de la función seno, pues es la que mejor se ajusta a los datos que tenemos.
y = sen(x)
b) Realizar el cambio de periodo de la función y = sen(x) ⇒ y = sen(x) con periodo 12.
c) Realizar el cambio de amplitud de la función y = sen(kx) y = 30 sen(kx) con amplitud 23.
d) Efectuar, de ser necesario, la traslación horizontal y la traslación vertical, para que la gráfica
del modelo corresponda a los datos del problema.
Paso 2B - Completa este ejemplo:
Podemos observar que en la gráfica los puntos se ajustan a una curva que corresponde a la función seno
transformada.
Por lo tanto, obtendremos la
función correspondiente si
partimos de:
y = sen(x)
Nota: Aunque también es válido usar la función coseno, la forma
que sigue el trazo a través de los puntos nos induce a
inclinarnos a utilizar la función seno.
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● Amplitud
En la gráfica podemos ver que el valor máximo es 80 y el mínimo 20. Por tanto: amplitud = 1 2 ( 80 - 20 ) =
30
● Periodo
En la gráfica vemos que un periodo completo de la función
seno está entre los puntos (1,50) y (17,50). Por tanto:
periodo = 17 - 1 = 16
b) Determinamos que el periodo de la función que buscamos
es 16.
Si cambiamos la entrada de x a kx, el periodo cambia.
0 < k x < 2π 0 k < kx k < 2π k 0 < x < 2π k
Determinamos que la amplitud es 30. Entonces la función
base debe tener amplitud 30.
sen π6 x ⇒ 30 sen π8 x
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Paso 3 tu turno: Descubriendo leyes trigonométricas.
De las siguientes 4 afirmaciones, 2 son falsas y 2 son verdaderas. Detecta
cuáles son las afirmaciones falsas, y encuentra unas secuencias que sean
evidencia de la falsedad de la afirmación. Después, verifica con tus compañeros
y con tu profesor.
Afirmación #1: Podemos usar algunas de las funciones trigonométricas para
modelar movimientos periódicos como el del péndulo.
Afirmación #2: El rango de la función seno y coseno es distinto, ya que coseno se corre 90 grados.
Afirmación #3: Tan-1 () = ()
Afirmación #4: La solución de la ecuación trigonométrica 10 sen 4x - 5 cos 4x = 0 es
x1 = 3.641 y x2 = 51.641
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C) Resuelve y practica
Exploración: Movimiento armónico simple
Si un cuerpo está vibrando verticalmente, la función f (t) que mide (en cm) la distancia dirigida del cuerpo
desde su posición central, que consideramos el origen, después de t segundos, siempre que el sentido
positivo sea considerado hacia arriba es:
f(t)=8cos((π t)/3)
Determina:
La amplitud y el periodo.
2. Graficar e identificar el periodo de la función y = 2senx
3. Graficar y = 2sec x.
4. Restringe el dominio y grafica la función y =sen(x)
5.Cuando un cuerpo que se encuentra en equilibrio cuelga de tres cuerdas como se muestra en la figura, la
tensión que hace cada una de las cuerdas amarradas al techo viene definida por la
fórmula , donde w representa el peso del cuerpo y θ el ángulo de la
cuerda con el techo.
Encuentra el ángulo con el que se deben colocar las cadenas que van a sostener una
lámpara de 250N de peso, si las cadenas resisten 150N.
6. La noria de una feria es una de las atracciones más concurridas. Nos eleva a una
altura que nos permite ver la ciudad desde arriba.
Una de las norias más grandes del mundo es el London Eye (http://www.londoneye.com/es/), situada en el
centro de la ciudad. Su altura de 135m ofrece una panorámica impresionante.
¿Nos subimos? Vamos a dibujar una gráfica que describe la altura a la que se encuentra nuestra cabina
desde el instante en que comienza nuestro viaje:
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a) Dibuja la gráfica uniendo mediante una curva los puntos rojos. Al hacerlo, ¿has levantado el lápiz del
papel? ¿Qué puedes decir, por tanto, de esta función?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa a nuestra cabina? ¿Cuántas vueltas hay reflejadas en
la gráfica? ¿Podríamos seguir dibujándola?
c) Consulta que es una función periódica ¿Crees que esta lo es? ¿Por qué? ¿Cuál será el periodo?
d) ¿En qué momentos del viaje estamos en lo más alto? ¿Cuántos máximos ves en la función y en qué
puntos? ¿Hay algún mínimo? ¿Son relativos o absolutos? ¿Crees que hay más? Si el viaje se alarga, ¿en
qué instante se alcanzaría el 4º máximo? ¿Y el 4º mínimo?
e) Dibuja ahora sobre los mismos ejes la gráfica que corresponde a la cabina que se encuentra en la parte
más alta en el momento inicial. ¿Qué conclusiones puedes obtener comparando las dos gráficas?
f) Habrás observado que la gráfica sólo aparece en el primer cuadrante* ¿Tendría sentido que apareciera
parte de la curva en el 2º cuadrante? ¿Cómo se explicaría esa situación? ¿Y en el 3º y 4º cuadrantes?
g) Si la noria no parase de girar, ¿cuál sería el dominio de esta función? (Justifica tu respuesta).
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D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo
los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien
pero quiero
más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Grafico familias de
funciones
trigonométricas de
la forma
f(x)=a·sen(bx)+c y
f(x)=a·cos(bx)+c
para modelar
fenómenos
periódicos
identificando
periodo, frecuencia
y amplitud.
Reconozco y
predigo el efecto
que tiene en las
gráficas cambiar
estos parámetros
en las funciones.
Gráfico las
funciones
trigonométricas
inversas arcsen,
arcocos, arcotan y
restringe el dominio
para poderlas
definir.
ii) Preguntas de comprensión
1) A cuál de las siguientes funciones
corresponde la gráfica. Justifica tu
elección.
2) . Resuelve la siguiente ecuación
trigonométrica
5sen x + 11 cos x = 0
3) Restringe el dominio de la función y= tan
(x), luego grafica su inversa.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
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ACTIVIDAD
2
42
Soluciono
ecuaciones
trigonométricas
sencillas en un
intervalo usando
calculadora,
software, o el
círculo unitario.
iii) Resuelvo un problema
Un resorte suspendido en el techo, oscila verticalmente. La siguiente tabla muestra la altura de una
partícula en el resorte, por segundo a partir de iniciado el movimiento:
Halla el periodo, la amplitud y luego, grafica
Realizar el cambio de periodo de la función y = cos(x) ⇒ y = cos(x) con periodo 8,
Realizar el cambio de amplitud de la función y = cos(kx) y = 5 cos(kx) con amplitud 5 ,
Efectuar, de ser necesario, la traslación horizontal y la traslación vertical, para que la gráfica del modelo
corresponda a los datos del problema.