GUÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL PARA LOS GRUPOS V-01 y V-02 · 2020. 1. 2. · GUÍA DE CÁLCULO...
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GUÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL PARA LOS GRUPOS
V-01 y V-02
BLOQUE No. 1 “LÍMITES”
NOTA 1: Es muy importante que antes de resolver los ejercicios,
cheques los links que se te proporcionan para que despejes tus dudas
con respecto al tema.
NOTA 2: Recuerda que en los límites indeterminados debes de utilizar
los diferentes casos de factorización (incluyendo la división sintética)
o bien el método del binomio conjugado
https://youtu.be/o2UTk8bsLS0 definición de límites
https://youtu.be/nTaiyaoyJhw limite en un punto
https://youtu.be/kRaL0widcCY limites indeterminados
https://youtu.be/mFFOqukc-wU introducción a límites al infinito
https://youtu.be/YijB5BhcFw8 límites al infinito
https://youtu.be/7c4wBd2Iko8 limite por el método del binomio conjugado
Ejercicio Resultado
1) lim𝑥→4
(5𝑥2 − 2𝑥 + 3) 75
2) lim𝑡→−2
(𝑡 + 1)9 (𝑡2 − 1) −3
3) lim𝑥→4
√16 − 𝑥2 0
4) lim𝑥→−1
√𝑥3 + 2𝑥 + 7 2
5) lim𝑥→−3
(𝑥2 + 7𝑥 + 12)
𝑥 + 3 1
6) lim𝑥→2
(𝑥4 − 16)
𝑥 − 2 32
7) lim𝑥→
32
4𝑥2 − 9
2𝑥 − 3 6
8 ) lim𝑥→
13
(3𝑥 − 1)
9𝑥2 − 1 1
2
9) lim𝑥→4
(3𝑥2 − 8𝑥 − 16)
2𝑥2 − 9𝑥 + 4
16
7
10) lim𝑥→4
(3𝑥2 − 17𝑥 + 20)
4𝑥2 − 25𝑥 + 36 1
11) lim𝑦→−2
𝑦3 + 8
𝑦 + 2 12
1 2) lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1 3
13) lim𝑥→−3
√ 𝑥2 − 9
2𝑥2 + 7𝑥 + 3 √
6
5
14) lim𝑥→
32
√ 8𝑥3 − 27
4𝑥2 − 9
27
6
15) lim𝑥→1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
1
2
16) lim𝑥→−1
√𝑥 + 5 − 2
𝑥 + 1
1
4
17) lim𝑥→−1
2𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥3 + 2𝑥2 + 6𝑥 + 5 −1
18) lim𝑥→−2
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10
𝑥2 + 3𝑥 + 2 15
19) lim𝑥→ 9
𝑥 − 9
√𝑥 − 3 6
20) lim 𝑥→5
3𝑥2 − 13𝑥 − 10
2𝑥2 − 7𝑥 − 15
17
13
21) lim 𝑥→−1
𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6
𝑥3 + 4𝑥2 − 19𝑥 + 14 −
𝟐
𝟑
22) lim𝑥→ 2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2 4
23) lim 𝑥→3
2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥 − 3 19
24) lim 𝑥→1
𝑥2 − 𝑥
2𝑥2 + 5𝑥 − 7
1
9
25) lim 𝑥→−3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 + 7𝑥 + 12 −4
26) lim𝑥→ 25
√𝑥 − 5
𝑥 − 25
1
10
27) lim𝑘→ 4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2 32
28) limℎ→ 0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ 2𝑥
29) limℎ→ −2
ℎ3 + 8
ℎ + 2 12
30) limℎ→ 2
ℎ3 − 8
ℎ2 − 4 3
151423
273
3lim)31
+−
−
→ aa
a
a
4
27
41524
162
4lim)32
−+
−
−→ yy
y
y
17
8
201123
1253
5lim)33
−−
−
→ xx
x
x
19
75
31027
12
1lim)34
+−
−
→ yy
y
y
2
1
61325
92
3lim)35
−+
−
−→ aa
a
a
17
6
472
3
3lim)36
−+
−
→x
x
x
3
4
3623
12
1lim)37
−+
−
−→x
x
x 2
25223
13
1lim)38
+−+
−
→ xxx
x
x
2
3
122
4
4lim)39
−+
+
−→ xx
x
x
7
1−
4
643
4lim)40
−
−
→ x
x
x 48
3
2142
3lim)41
−
−+
→ t
tt
t 10
2
2
23
143lim)42
xx
xx
x −+
−+−
→ 3
933
352lim)43
3
4
−+−
−+−
→ xx
xx
x −
5
2
39
2lim)44
x
xx
x +
+−
→ 0
( )
( )
h
xfhx
f
h
calcularxxxx
fSi
−+
→
−++−=
0lim
:13223)45
3423 ++− xx
( )
( )
h
xfhx
f
h
calcularxx
fSi
−+
→
+
−=
0lim
:34
3)46
( )234
12
+x
( )
( )
h
xfhx
f
h
calcularx
xfSi
−+
→
−=
0lim
:322
5)47
2322
20
−
−
x
x
BLOQUE No. 2 “DERIVADAS”
https://youtu.be/uK4-s0ojHFg?list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__ DEFINICIÓN DE LA
DERIVADA
https://youtu.be/MDUx3XZfR70 REGLA DE LOS 4 PASOS PARA UNA FUNCION POLINOMIAL
https://youtu.be/Oq1WOsECH3s REGLA DE 4 PASOS PARA UNA FUNCION RACIONAL
https://youtu.be/wkIrQRhoCqA REGLA DE 4 PASOS PARA UNA FUNCION CON RAIZ
Usando la regla de los 4 pasos, determina la derivada de las siguientes
funciones:
( ) xxxx
f 52233)1 −+−= ( ) 549 21 −+−= xxf x
( ) 23
4)2
−=
xxf ( )
( )2
1
23
12
−
−=
xf x
( )125
3)3
+=
x
xx
f ( )( )( )22
21
15
513
+
−=
x
xf x
( )225
34)4
−
−=
x
xx
f ( )
( )22
21
25
64015
−
+−=
x
xxf x
( ) 423)5 −= xx
f ( )
43
3
2
1
−=
x
xf x
DERIVADAS ALGEBRAICAS DIRECTAS
https://youtu.be/T42-57sojsA DERIVADA DE UNA CONSTANTE
https://youtu.be/-PjdQi5Foio DERIVADA DE UNA POTENCIA
https://youtu.be/xr0_7dPW-Iw DERIVADA DE UNA RAIZ
https://youtu.be/m_5-WS9Nd68 DERIVADA USANDO LA REGLA DE LA CADENA
https://youtu.be/_Hrx6MM9Qo4 DERIVADA DE UN COCIENTE
https://youtu.be/9EDK7NDs3lk DERIVADA DE UN COCIENTE EJERCICIO 2
https://youtu.be/oGdsyhlitkM DERIVADA DE UN PRODUCTO
https://youtu.be/RtGeFkxzxfs DERIVADA DE UN PRODUCTO EJERCICIO 2
Ejercicio Resultado
1) 𝑦 = 2𝑥 + 5 𝑦 , = 2
2) 𝑦 = 5 0, =y
3) 𝑦 = 3𝑐 0, =y
4) 𝑦 = −3
5 0, =y
5) 𝑦 = √6 0, =y
6) 𝑦 = 5𝑥 5, =y
7) 𝑦 =5
2𝑥
2
5, =y
8) 𝑦 = 2 +𝑥
2
2
1, =y
9) 𝑦 =1
5𝑥
5
1, =y
10) 𝑦 = −2
7𝑥 + 1
7
2, −=y
11) 𝑦 = 3𝑥2 − 𝑥 + 5 16, −= xy
12) 𝑦 = 𝑘𝑥 − 𝑐 ky =,
13) 𝑦 =3𝑥
7− 𝑐2
7
3, =y
14) 𝑦 =4
3𝑥
3
4, =y
15) 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3 52, −= xy
16) 𝑦 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 5 84, −= xy
17) 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 123, −= xy
18) 𝑦 = (4 − 𝑥)(3 + 𝑥) 12, +−= xy
19) 𝑦 = (3 − 𝑥)(2 − 𝑥)(5 − 𝑥) 312023, −+−= xxy
20) 𝑦 = 9(𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) 936, += xy
21) 𝑦 =𝑥 − 2
5
5
1, =y
22) 𝑦 = 3𝑥5 415, xy =
23) 𝑦 = 𝑎𝑥4 34, axy =
24) 𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 66, −= xy
25) 𝑦 = 2𝑥3 − 7 26, xy =
26) 𝑦 =3
𝑥+
2
√𝑥23 3 23
4
2
3,
xxxy −−=
27) 𝑦 =5𝑥3
4
4
215, xy =
28) 𝑦 =𝑎𝑥5
𝑏
b
axy
45, =
29) 𝑦 =𝑥𝑛
𝑑
d
nnxy
1,
−=
30) 𝑦 =
45
𝑥2+
23
𝑥3− 3 4
2
35
8,
xxy −−=
31) 𝑦 = √𝑥 x
y2
1, =
32) 𝑦 = √𝑥23 33
2,
xy =
33) 𝑦 =3
5 𝑥5 43, xy =
34) 𝑦 = √𝑥35 5 25
3,
x
y =
35) 𝑦 =5
𝑥4 5
20,
xy −=
36)𝑦 = 𝑥8 78, xy =
37) 𝑦 = 𝑥−25 5 25
2,
xx
y −=
38) 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 1004 102, −= xy
39)𝑉(𝑟) =4
3𝜋𝑟3 24, rv =
40) 𝑓(𝑥) = √𝑥3
3 23
1,
x
y =
41) y =1
𝑥2 3
2,
xy −=
42)𝑠(𝑡) = 𝑡8 + 6𝑡7 − 18𝑡2 + 2𝑡 23664278, +−+= ttts
43) 𝑚(𝑡) = 6𝑡−9 10
54,
tm −=
44) 𝑦 = (𝑥2 + 2)(𝑥3 + 1) 𝑦 , = 5𝑥4 + 6𝑥2 + 2𝑥
45) 𝑦 = (𝑥4 − 1)(𝑥2 + 1) 𝑦 , = 6𝑥5 + 4𝑥3 − 2𝑥
46)𝑦 = (𝑥2 + 17)(𝑥3 − 3𝑥 + 1) 𝑦 , = 5𝑥4 + 42𝑥2 + 2𝑥 − 51
47) 𝑦 = 𝑥5 + 5𝑥4 − 10𝑥2 + 6 𝑦 , = 5𝑥4 + 20𝑥3 − 20𝑥
48)𝑦 = 3𝑥13 − 𝑥
23 + 2𝑥−
12 𝑦 , =
1
√𝑥23 −2
3√𝑥3 −
1
𝑥√𝑥
49) 𝑦 =1
2𝑥3+
4
√𝑥 𝑦 , = −
3
2𝑥4−
2
𝑥√𝑥
50) 𝑦 =2
√𝑡+
6
√𝑡3 𝑦 , = −
1
𝑡√𝑡−
2
𝑡 √𝑡3
51) 𝑦 = (2𝑥2 + 2)2 𝑦 , = 16𝑥3 + 16𝑥
52) 𝑦 = (𝑥3 + 1)3 𝑦 , = 9𝑥8 + 18𝑥5 + 9𝑥2
( ) 3527
)53−+
=xx
xf ( )( )235
31,
−
−=
xxf
( ) 294)54
x
xxf
−= ( )
2294
294,
−
+=
x
xxf
( ) 22 )1(
4)55
+=
x
xxf
( )3
12
)231(4,
+
−=
x
xxf
( ) 42
22)56
+=
x
xxf
( )2
42
16,
+
=
x
xxf
( ) 22
22)57
xa
xaxf
−
+=
( )2
22
24,
−
=
xa
xaxf
183
)58+−
=
tt
tf ( )
( )21
82332,
+
++=
t
ttxf
( )1
)59+
=x
xxf ( )
( ) 112
2,
++
+=
xx
xxf
( )241
)60
x
xxf
−
= ( )
−−
=241241
1,
xx
xf
( )294
)61
x
xxf
−
= ( )
−−
=294294
4,
xx
xf
( )92
2)62
−
=
x
xxf ( )
−−
−=
9292
18,
xx
xf
( )x
xxf
−=
1)63 ( )
( ) 212
1,
xxx
xf
−−
=
( ) 21
21)64
x
xxf
−
+=
( )
−−
=4121
2,
xx
xxf
ECUACION DE LA RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UN PUNTO
https://youtu.be/zaREJCoBR5M Ecuación de la recta tangente y normal a un punto
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal en las
funciones:
( ) 11563)1 23 −=+−+−= xcuandoxxxf x
( ) 222
1
3
1)2 23 −=−−+−= xcuandoxxxf x
( ) 313)3 2 −=++−= xcuandoxxf x
( ) 212)4 23 =+−= xcuandoxxf x
Ejercicio
Resultado
1.- 32 )83()( +−= xxxf
𝑓´(𝑥) = 3(2𝑥 − 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 8)2
Recta tangente: Recta normal:
Recta tangente: Recta normal:
Recta tangente: Recta normal:
Recta tangente: 074 =−− yx Recta normal: 064 =−+ yx
2.- 223 )324()( −−+= xxxxf
𝑓´(𝑥) = 2(12𝑥2 + 4𝑥 − 1)(4𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 3)
3.- 5)78()( −−= xxf
𝑓´(𝑥) = −
40
(8𝑥 − 7)6
4.- 32 )125()( −+−= xxxf
𝑓´(𝑥) = −
30(10𝑥 − 2)
(5𝑥2 − 2𝑥 + 1)4
5.- 42 )1(
)(−
=x
xxf 𝑓´(𝑥) = −
(7𝑥2 + 1)
(𝑥2 − 1)5
6.- 4
24
)32(
13)(
+
+−=
x
xxxf 𝑓´(𝑥) =
2(6𝑥3 + 6𝑥2 − 9𝑥 − 4)
(2𝑥 + 3)5
7.- 3
76
43)(
−
+=
t
ttg 𝑔´(𝑡) = −135
(3𝑡 + 4)2
(6𝑡 − 7)4
8.- ( )( )5
32
54
1)(
−
+=
u
uuk 𝑘´(𝑢) =
2(𝑢2 + 1)2
(4𝑢 − 5)6(2𝑢2 − 15𝑢 − 10)
19.- 322 )47()83()( −− +−= xxxg 𝑔´(𝑥) = −24(7𝑥2 − 14𝑥 + 1)
(3𝑥 − 8)3(7𝑥2 + 4)4
10.- 2
2
2
72
53)(
+
−=
x
xxg 𝑔´(𝑥) =
124𝑥(3𝑥2 − 5)
(2𝑥2 + 7)3
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA FISICA (RAZÓN DE CAMBIO)
(TIRO VERTICAL Y PARABOLICO)
1.- Desde el fondo de un barranco de 35m de profundidad se lanza un proyectil
verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 300Km/h. Calcular:
a) La ecuación del espacio con respecto al tiempo
3583.33t24.905tt
e −+−=
b) La ecuación de la velocidad con respecto al tiempo 83.339.81tt
v +−=
c) La velocidad instantánea a los 5 s, e indicar si va subiendo o bajando
=
34.28m/s
5v
d) Tiempo que tarda en subir s 8.49t=
e) Altura máxima alcanzada ( ) m 318.91maxe =
f) Velocidad instantánea en alcanzar una altura de 45m 73.23m/sv=
g) Tiempo total de vuelo hasta chocar con el fondo del barranco s 16.98t=
h) Velocidad que lleva el proyectil al pasar al nivel del suelo 79.02m/sv=
2.- Desde lo alto de un edificio de 25m de altura se lanza un proyectil con una
velocidad inicial de 200 millas/h con un ángulo de 44° Calcular:
a) La ecuación de la altura con respecto al tiempo
2562.08t24.905tt
Altura ++−=
b) La ecuación del alcance con respecto al tiempo 64.29tt
Alcance =
c) La velocidad instantánea a los 3s 72.10m/s3
v =
d) Altura máxima alcanzada m 221.42maxAltura =
e) Alcance máximo m 838.34maxAlcance =
f) Velocidad instantánea al chocar contra el piso ( ) 92.02m/s13.04
v =
g) A 50 m antes de que el proyectil choque contra el suelo, se encuentra un
edificio de 15 niveles, cada uno de los cuales tiene una altura de 4m; determina si
el proyectil impacta al edificio y si lo hace en que piso lo hace
Lo impacta en el piso 13, a una altura de 48.84m
DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
Nota: Recuerda que en algunos casos debes de utilizar las identidades trigonométricas
para simplificar un resultado o para facilitar la derivada
https://youtu.be/iJEICRUgRok Derivadas de la función seno 1
https://youtu.be/T-rhVzoVhu0 Derivadas de la función seno 2
https://youtu.be/cQuWrhTArgA Derivadas de la función coseno 1
https://youtu.be/3_u1WTd0exY Derivadas de la función coseno 2
https://youtu.be/dD-ncnBiq3g Derivadas de la función tangente 1
https://youtu.be/ki-kHFwU7M0 Derivadas de la función tangente 2
https://youtu.be/WnFgbQREV3I Derivada de la función cotangente
https://youtu.be/MwE1UjZ1z8w Derivada de la funcion secante
https://youtu.be/WxvBMbmh1Ik Derivada de la función cosecante
Ejercicio
Resultado
( )
+
−−=
x
xsenxf
21
212)1 ( )
( )
+
−
+=
x
x
xxf
21
21cos
221
8,
( )
=
2
2cos
3
1)2
xxg ( )
=
2
2
33
4,
xsen
xxg
( )
−
−=4
3tan3)3
xxf ( )
=4
32sec
4
29, xxxf
( )
=
4
5cot
5
2)4
xxh ( )
=
4
52csc5
8,
xxxh
( )
=3
2sec3)5
xxf ( )
=3
2tan
3
2sec2, xx
xxf
( )
−= 35csc5)6 xxf ( )
= 35csc35cot275, xxxxf
( )
+−=
231
222)7
x
xsenxf ( )
++
=123
22cos
2123
8,
x
x
x
xxf
( )
+
−=5
322cos
5
3)8
xxg ( )
+
=5
322
25
12, xsen
xxg
( ) ( )xsenxf 32
4
1)9 −= ( ) ( )xsenxf 6
4
3, −=
( )
−= 22cos
4
3)10 xxg ( )
−= 22
2
3, xsenx
xg
( ) ( ) ( )( )23cos422)11 xxsenxf −= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xsenxxxsenxf 485cos40cos8648, +−+−=
( ) ( ) ( )xxsenxh 4cos47
3)12 −= ( ) ( )xxh 8cos
7
12, −=
( ) ( ) ( )xsenxsenxf 634
1)13 −= ( ) ( ) ( )xsenxsenxf 9
8
93
8
3, −=
( ) ( ) ( )xxsenxh 5cos3)14 = ( ) ( ) ( )xxxh 6cos94cos6, +−=
( ) ( ) ( )xxxg 3cos2cos2)15 −= ( ) ( ) ( )xsenxsenxg 55, +=