Guia 2 Sustitucion

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO

Matematicas II (distancia) GUIA No 2

OBJETIVOS

1. Recordar las formulas básicas de integración.

2. Definir el método de integración por sustitución.

3. Establecer la relación entre el método de integración por sustitución con el método de

derivación en cadena.

4. Aplicar las formulas básicas de integración después de realizar la sustitución para

integrar funciones.

INTEGRALES

Dada una función f , si F es una función tal que:

)()(' xfxF

Entonces F se llama la antiderivada de f.

INTEGRAL INDEFINIDA:

La integral indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe dxxf )( y

denota la antiderivada más general de f. Como todas las antiderivadas de f difieren solo

en una constante, si F es cualquier antiderivada de f, entonces:

,)()( CxFdxxf donde C es una constante.

El símbolo se llama símbolo de integración, )(xf es el integrando, C es la constante

de integración. La dx es parte de la notación integral e indica la variable implicada y x es

la variable de integración.

Integrar f significa encontrar dxxf )( .

,)()( CxFdxxf si y solo si )()(' xfxF

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FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION:

1. ,Ckxkdx k es una constante

2. -1n ,1

1

Cn

xdxx

nn

3. ,Cedxe xx

4. kdxxfkdxxfk ,)()( es una constante

5. dxxgdxxfdxxgxf )()( )()(

6. cxdxx

dxx ln11

METODOS DE INTEGRACION

METODO DE SUSTITUCION:

El método de integración por sustitución consiste en hacer cambio de variable para

transformar una integral que no corresponde a las formulas básicas en otra integral más

simple que contenga las formula básicas. Se usa especialmente cuando hay productos o

cocientes indicados que no se pueden reducir, es semejante a la regla de la cadena en la

diferenciación.

Dada la integral indefinida dxxgxgf )(' ) )( ( , sea )(xgu y dxxgdu )(' . Si F es

una antiderivada de f , entonces:

CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(' ) )( (

Regla de la potencia para funciones:

1 ;1

)()(')(

1

rCr

xgdxxgxg

rr



Matematicas II (distancia) GUIA No 2 Regla de la potencia:

Sea )(xgu , donde g es una función derivable. Si r es un número racional y 1r ,

entonces: ;1

1

Cr

uduu

rr

Los pasos de la integración por sustitución son:

1. Sea )(xgu , donde )(xg es la parte del integrando, que por lo general es la

función interior de la función compuesta ))(( xgf

2. Se calcula dxxgdu )('

3. Se usa la sustitución )(xgu y dxxgdu )(' para convertir toda la integral en

una que solo utilice u

4. Se evalúa la integral resultante

5. Se reemplaza u con )(xg para obtener la solución final como función de x .

Ejemplo 1:

Para hallar dxx 11)3( sustituimos x + 3 por u; esto es, hacemos . Entonces

por lo tanto reemplazando obtenemos

11

11

11 12

12

( 3)

( 3)

1

12

1( 3)

12

x dx

x dx

u du u C

x C




Ejemplo 2:

Para hallar dxxx 22/13 )2( por medio del método de sustitución. Hacemos 23 xu ,

entonces dxxdu 23 y se tiene.

3 1/2 2

3 1/2 2

1/2

3/2

3 3/2

3 3/2

( 2)

1( 2) (3 )

3

1( )

3

1 2( )

3 3

1 2( 2)

3 3

2( 2)

9

x x dx

x x dx

u du

u C

x C

x C

Ejemplo 3:

Para hallar dxxx 2213 Hacemos 221 xu , entonces dxxdu 4 y se tiene.

2

2 1/2 2

1/2

3/2

2 3/2

2 3/2

3 1 2

13 (1 2 ) ( 4 )

4

13 ( )

4

3 2( )

4 3

3 2(1 2 )

4 3

1(1 2 )

2

x x dx

x x dx

u du

u C

x C

x C




Ejemplo 4:

Para hallar 32x

dxhaciendo 32 xu , entonces dxdu 2 y se tiene.

2 3

1 2

2 2 3

1

2

1

2

12 3

2

dx

x

dx

x

du

u

Ln u C

Ln x C

Ejemplo 5:

Para hallar ,3 dxe x haciendo xu 3 , entonces dxdu 3 y se tiene.

3

3

3

1(3 )

3

1

3

3

3

x

x

u

u

x

e dx

e dx

e du

eC

eC




Ejemplo 6:

Para hallar ,2 dxa x haciendo xu 2 , entonces dxdu 2 y se tiene.

2

2

2

1(2 )

2

1

2

2

2

x

x

u

u

x

a dx

a dx

a du

aC

Lna

aC

Lna

INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

Si q es una función racional, entonces ,)(

)()(

xg

xfxq donde )(y )( xgxf son polinomios.

Si )(xg es un monomio se descompone el integrando en fracciones dividiendo cada

termino del numerador entre el denominador.

Si el integrando es un cociente de polinomios en donde el grado del numerador es mayor o

igual que el del denominador, y el denominador tiene más de un término, en tal caso, para

integrar efectuamos primero la división hasta que el grado del residuo sea menor que el del

divisor.




ACTIVIDAD

OBJETIVOS:

1. Afianzar el concepto de integración por el método de sustitución resolviendo integrales.

Indefinidas

2. Utilizar la sustitución para calcular integrales que se pueden transformar a las formulas

básicas de integración.

Encontrar las siguientes integrales indefinidas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


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