Guia 2010 Editado

7/23/2019 Guia 2010 Editado

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 0 : Repaso de análisis vectorial

Problema 0.1: Dado los vectores Ar

y Br

, determinar el valor de “Y” para que dichos vectores seanperpendiculares:

k ji Arrrr

++= Y2 k ji Brrrr

224 −−=

Problema 0.2: Con los vectores 1 Rr

, 2 Rr

y 3 Rr

realizar las operaciones indicadas:

k ji Rrrrr

+−= 231 a) 321 532 R R Rrrr

−−

k ji Rrrrr

3422 −−= b) ( ) 321 R R Rrrr

××

k ji Rrrrr

223 ++−= c) ( ) 321 R R Rrrr

⋅⋅

d) ( ) 321 R R Rrrr

⋅×

Problema 0.3: Unidades: Determinar en los Sistemas de Unidades Técnico, MKS, CGS e Inglés,en qué unidades se expresan las siguientes magnitudes: Fuerza, Masa, Aceleración, Trabajo yPotencia. Además encontrar la relación numérica que existe entre los distintos Sistemas de Unidades.

1



GUIA DE PROBLEMAS Nº 1 : Cinemática del Punto

Movimiento del punto: trayectoria, desplazamiento, velocidad y aceleración:

Problema 1.1: El movimiento del punto en el plano Oxy se da por las igualdades: t a x ω cos= ,t a y sen= ; donde a y ω son magnitudes constantes. Hallar la trayectoria del punto y la ley del

movimiento a lo largo de la trayectoria.

Problema 1.2: El movimiento de un punto está dada por : 248 t t x −= ; 236 t t y −= ( x e y en metros y t en segundos). Determinar la trayectoria, velocidad y aceleración del punto, paracualquier t .

Problema 1.3: Una partícula se mueve a lo largo de una curva, cuyas ecuaciones paramétricas son:t e x 23

−

= ; t y 3sen4= ; t z 3cos5= . Encontrar su velocidad y aceleración para cualquier t y luegopara 0=t .

Problema 1.4: La velocidad de un punto material está dada por : ( ) 5010020 2+−= t t t v

donde v está expresada en m/seg. y t en segundos. Representar gráficamente, en función del tiempot , la velocidad v y la aceleración a para los primeros seis segundos de movimiento y calcular lavelocidad cuando a es nula.

Problema 1.5: El desplazamiento de una partícula está dado por ( ) 50100302 23−+−= t t t t s

Donde “ s ”se mide en metros y t en segundo. Representar gráficamente, en función del tiempo el

desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 12 primeros segundos del movimiento.Determinar el instante de velocidad nula.

Problema 1.6: El desplazamiento de una partícula está dado por: ( ) t et t s 5.032)( −

+−= , donde s estáen metros y t en segundos. Representar gráficamente en función del tiempo el desplazamiento, lavelocidad y la aceleración durante los 20 primeros segundos del movimiento. Determinar el instante deaceleración nula.

Problema 1.7: La aceleración de un punto está dada por : 304)( −= t t a ,donde a está en metros porsegundo al cuadrado y t en segundos. Hallar la velocidad y el desplazamiento como funciones deltiempo. El desplazamiento y la velocidad iniciales son so = - 5 m y vo = 3 m/s respectivamente.

Problema 1.8: Una partícula se mueve con una aceleración k t jt iet at

rrrr

sen3cos52)( −+=− . Si en t

= 0 la partícula está en el punto P (1, -3, 2) y tiene una velocidad V 0 dada por:

k jiV rrr

2340 +−= , hallar la velocidad y la posición de la partícula para cualquier instante t .

Problema 1.9: Una partícula oscila entre los puntos x0 = 40 mm y xf = 160 mm con una aceleración

2

a = k (100 − x) , donde k es una constante. Cuando la partícula está en x1 = 100 mm, suvelocidades es V1 = 18 mm/seg. Determinar: a) el valor de k ; b) la Velocidad V2 de la

partícula cuando x2 = 120 mm.



aceleración 498.0 2+= va , donde a y v se expresan en m/seg2 y m/seg respectivamente.

Determinar: a) la posición x1 de la partícula cuando v1 = 24 m/seg. ; b) la velocidad v2 de lapartícula cuando x2 = 40 m.

Problema 1.11: La velocidad del aire que fluye por una rejilla de ventilación está definida por v =0.18 . v0 / x , donde v se expresan en m/seg., x en metros y v0 es la velocidad inicial. Para v0 = 3.6m/seg. , determinar: a) la aceleración del aire en x2 = 2 m.; b) el tiempo requerido para que el airefluya de x1 = 1 m. a x 3 = 3 m.

Movimiento angular de un punto: desplazamiento, velocidad y aceleración :

Problema 1.12: El punto P se mueve a lo largodel tubo OA con velocidad V y a su vez el tubogira en el plano 11 yOx alrededor del centro O con velocidad ω . Determinar la velocidad delpunto P con respecto a los ejes 11 yOx , en función

x

ω

m

P

rO

3

Problema 1.10: Partiendo de x = 0 y sin velocidad inicial, a una partícula se le imprime una

de la distancia r = OP.

Problema 1.13: Determinar la aceleración absoluta de un punto que se mueve en dirección radialsobre un disco circular, que a su vez gira alrededor de un eje con velocidad angular w constante.

Coordenadas normales y tangenciales:

Problema 1.14: Un tanque cilíndrico que contiene agua, gira alrededor de su eje con velocidad angularw de manera que no derrama agua. Demostrar que la superficie del agua es un paraboloide derevolución.

Problema 1.15: Un punto material describe una trayectoria circular de 0.4 m de radio. Calcular el

módulo de su aceleración, si su velocidad es : a) constante y vale 0.6 m/s y b) vale 0.6 m/s peroaumenta a razón de 1.2 m/s cada segundo.

Problema 1.16: Un automovilista transita sobre la sección curva de una autopista, de radio 2500 m, ala velocidad de 80 km/h. El automovilista acciona los frenos haciendo que el automóvil desacelere demanera uniforme. Sabiendo que luego de 8 s la velocidad se ha reducido a 45 km/h, determínense laaceleración del automóvil inmediatamente después de que se aplican los frenos.



Problema 1.18: La pluma OAB gira en torno al puntoO, a la vez que el tramo AB se extiende desde el

interior del tramo OA. Tomando a•••

l yl como las derivadas temporales primera y segunda,respectivamente, de la longitud del tramo l = AB ; hallar la velocidad y aceleración del centro B de lapolea para las condiciones siguientes:

22 / 2.1, / 5.0,2, / º2, / º5,º20 smlsmlmlss ======

••••••

θ θ θ

Problema 1.19: Cuando el cilindro hidráulico rota en tornoa O, la presión del aceite en su interior controla la longitudl al descubierto del vástago. Si la velocidad uniforme de

rotación del cilindro es sgrd / 60=

•

θ y l disminuyeconstantemente a razón de 150 mm/s, calcular los módulosde velocidad v y aceleración a del extremo B cuando l =125 mm.

Problema 1.20: Mientras el brazo ranurado gira en torno al punto O, el cursor P puede desplazarsehacia el interior mediante el cordel S. La posición angular del brazo está dada por ( ) 20 / 8.0 2t t t −=θ donde θ estás en rad. y t en seg. Cuando t = 0, el cursor se halla en r = 1.6 m, instante en el cual esllevado hacia adentro a razón de 0.2 m/s. Hallar el módulo, dirección y sentido de la velocidad delcursor para: t = 4 s, expresado con respecto a un sistema de eje x-y.

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Coordenadas radiales y transversales:

cursor en el instante t = 3s.

distancia a O según r = 0.2 + 0.04.t2, donde r está medido en metros y t en segundos.

Calcular la velocidad y la aceleración del

radianes y t en segundos. Simultáneamente el husillo motorizado acciona el cursor B y controla suProblema 1.17: El giro del brazo radial está regido por θ(t) = 0.2. t + 0.02. t3 , donde θ está en



Problema 1.23: El movimiento curvilíneo de un punto está definido por vx = 50 – 16.t e y = 100

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Problema 1.26:El tornillo motorizado parte del reposo y recibe una velocidad rotacional que aumentauniformemente con el tiempo t según ω = k . t donde k es una constante. Determinar las expresiones de

la velocidad y aceleración del centro de la esfera A cuando el tornillo haya girado una vuelta completa.

El paso del tornillo (avance por vuelta ) es L.

Problema 1.21: La leva es de tal forma que el centro delrodillo A, que sigue su contorno, se mueve sobre la cardioidedefinida por :r = b – c . cos(θ) , donde b > c. Si la leva no gira, determinar la aceleración a de A en función de θ si el brazo ranurado gira con velocidad angular constante ω, en sentido antihorario.

Movimiento curvilíneo del punto.

– 4.t2 donde vx se mide en m/s, y en metros y t en segundos. Se sabe que x = 0 cuando t = 0 .Representar la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración cuando alcanza la posición y = 0

Problema 1.24: Durante un ciertointervalo del movimiento, el pasadorP es obligado a moverse por laranura parabólica fija merced a laguía ranurada vertical, la cual semueve en la dirección x a lavelocidad constante de 20mm/s. Lascantidades están todas en milímetrosy segundos. Calcular los módulos dela velocidad y de la aceleración delpasador cuando x = 60 mm.

Problema 1.25: Las esferas del cojinete salen del canal horizontal a una velocidad de modulo u ycaen, según se muestra por el tubo de 70 mm de diámetro. Calcular entre qué límites puede variar upara que las esferas entren en el mismo. Los casos límites se representan con trazo discontinuo.

Problema 1.22: La posición de un punto está dada por: R(t) = ct i + bt j + at 2 k donde a = 1 b = 2 y

c = 3 son constantes. Hallar su velocidad y aceleración y describir su movimiento.



GUIA DE PROBLEMAS Nº 2: Cinemática del Cuerpo Rígido. Movimientos simples:

traslación; rotación axial y polar.

Problema 2.1: La relación 105.45.1)( 23+−= t t t θ define el movimiento de una leva, donde )(t θ está

expresado en rad. y t en segundos. Determine la coordenada angular, velocidad angular y laaceleración angular de la leva para: a) 0=t , b) st 45= , c) determine el tiempo, la coordenada angulary la aceleración angular, cuando la velocidad angular es cero.

Problema 2.2: La relación )1()( 4 / 0

t et −

−=θ θ define el movimiento de un disco que gira en un baño

de aceite; θ está en radianes y t en segundos. Sabiendo que .40.00 rad =θ determine la coordenada

angular, la velocidad angular y la aceleración angular del disco cuando: a) 0=t , b) st 3= , c) ∞→t .

Problema 2.3: Cuando se arranca un motor eléctrico alcanza su velocidad nominal de 3300 rpm en 6s, y cuando se apaga se detiene en 80 s. Si se supone un movimiento uniformemente acelerado,determine el número de revoluciones que el motor realiza: a) al alcanzar su velocidad nominal, b) algirar libremente hasta que se detiene.

Problema 2.4: La aceleración angular de laplaca circular de la figura, de 600 mm de radio,está definida por la relación t

e−

= 0α α . Si

para 0=t la placa está en reposo y2

0 / 10 srad =α , determine la magnitud de la

aceleración total del punto B cuando: a) 0=t ,b) st 5.0= ,c) ∞→t .

Problema 2.5: La placa circular del problemaanterior, de 250 mm de radio, inicialmente estáen reposo y la relación ) / .cos(.0 T t π α α =

define su aceleración angular. Si sT 5.1= y2

0 / 10 srad =α , determine la magnitud de la aceleración total del punto B cuando: a) 0=t ,

b) st 5.0= , c) st 75.0= .

Problema 2.6: Una banda transportadora que pasa sobreuna polea loca de 12 cm. de radio mueve una serie decomponentes pequeños de una máquina. En el instantemostrado, la velocidad del punto A es de scm / 5.37 hacia

la izquierda, y su aceleración es de 2 / 5.22 scm hacia laderecha. Determine: a) la velocidad angular y laaceleración angular de la polea loca; b) la aceleracióntotal del componente de máquina en B. (Suponer que nohay resbalamiento entre la banda y la polea loca).

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Problema 2.7: La lijadora de banda mostrada en la figura, inicialmente se encuentra en reposo. Si el

tambor propulsor B experimenta una aceleración angular constante de2

/ 120 srad en sentidoantihorario, determine la magnitud de la aceleración de la banda en el punto C cuando: a) st 5.0= , b)

st 2= (Suponer que no hay resbalamiento entre la banda y el Tambor B).

Problema 2.8: Los discos A y B giran alrededor deejes verticales, como se muestra. Sabiendo que lavelocidad angular constante del disco B es

jsrad B

rr

30=ω y que no existe deslizamiento en elpunto de contacto de los discos, determine a) la

velocidad angular del disco A, b) las aceleraciones delos puntos de los discos que están en contacto.RA = 4,8 pulg. y RB = 2,4 pulg.

Problema 2.9:Durante la aceleración, un volante gira según

3).32 / 9( t =ϕ . Determinar la velocidad tangencial y laaceleración total del punto que se encuentra a ladistancia h = 0.8 m del eje de rotación, en el momento

en que la aceleración tangencial, en ese punto, tenga igual módulo que la aceleración normal.

Problema 2.10: Una carga B hace girar el árbol de radio r y el piñón 1 de radio r 1 montado sobre elmismo eje que el árbol. El movimiento de la carga empieza desde el reposo y se efectúa con unaaceleración a constante. Encontrar la ley de rotación del piñón 2 de radio r2 que está engrando conel piñón 1.

v

r1 1

A 2

r . r2

a

B

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Problema 2.11: En el mecanismo del indicador de aguja, el movimiento de la cremallera de la clavijade medición 1 se transmite al piñón 2, sobre cuyo eje esta fijada la rueda dentada 3, engranada con elpiñón 4 que lleva la aguja. Determinar la velocidad angular de la aguja si el movimiento de la clavijaestá dado por la ecuación ).(.)( t k senat x = y los radios de las ruedas dentadas son respectivamenteiguales a r2 , r3 , y r4 .

Problema 2.12: El ensamble mostrado se compone de dosvarillas y una placa rectangular BCDE unidas entre sí. Elmismo gira con respecto al eje AB con velocidad angularconstante de 5 rad/s., en sentido antihorario vista desde B.Determine la velocidad y la aceleración de la esquina E.

Problema 2.13: En el problema anterior, determine lavelocidad y la aceleración de la esquina C, suponiendo que lavelocidad angular es de 7.5 rad/s y disminuye a razón de 30rad/s2.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 3 : Movimiento Plano Paralelo

Problema 3.1: Las correderas A y B, a lascuales está fijada la barra AM del mecanismo,se desplazan por guías perpendiculares entre sí.La distancia AM = b y AB = 1. Determinar la

trayectoria del punto M y la relación entre lasvelocidades de las correderas en función delángulo ϕ .

////////////////////////////////////////////////////////

C v Av

Bv

D C E

B r A

Bv

Av OA

B

Y

Xϕ

M

α

C v

D

K

M

C

9

Problema 3.2: Hallar la velocidad del punto M de

la llanta de una rueda que se desplaza sinrozamiento, si la velocidad del centro C de larueda es igual vc y el ángulo DMK =α

Problema 3.3: Determinar la velocidad del centro C de una polea móvil de radio “r” y su velocidad angular ω ,si la carga A se eleva con velocidad vA y la carga B desciende con velocidad vB Durante el movimiento elhilo no se desliza sobre la polea y sus ramales son verticales.



ω .La longitud de la biela es L AB = .Teniendo el ángulo ϕ dado, determinar:

a) La velocidad de la corredera B ( Bv )

b) La posición del punto M de la biela AB, que tiene la velocidad mínimac) La velocidad angular de la biela.

Av

r A

ω •

ϕ M

O B

v B

/////////

Problema 3.5: En el mecanismo de biela - manivela de la figura, la manivela OA gira con unavelocidad angular A0ω constante. Hallar la aceleración de la corredera B y la aceleración angular de la

biela AB en el instante que el ángulo o90= BOA siendo r OA = y L AB = .

A

Av

A0ω B

O

aB

/////////

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Problema 3.4: En el mecanismo de biela - manivela de la figura, la manivela OA de longitud r giracon velocidad angular 0 A



Problema 3.6: Determinar la velocidad del punto kde un mecanismo de cuatro órganos OA, AB, BO1 en la posición indicada. En ese momento la barraOA, de 20 cm. de longitud, tiene una velocidadangular . / 2 srad =ω El punto k está ubicado en elcentro de la barra BO1.

Problema 3.7: Para la regla ADdel elipsógrafo de la siguiente fig.,las direcciones de las velocidadesde los puntos A y B son conocidas.a) Hallar el centro instantáneo derotación y además obtener unarelación para las velocidades.

b) Calcular la velocidad del puntoM en función de la Bv , y hallar la

velocidad angular respecto alcentro instantáneo de rotación.

Problema 3.8: Una rueda se mueve por un riel rectilíneo de tal modo que la velocidad C v de su centroC es constante. Determine la aceleración del punto M de la llanta de la rueda

Problema 3.9: Durante el desplazamiento libre dela barra AB de longitud 2L, su centro C se desplaza alo largo del eje vertical Ox, según: 2).2 / ( t g xC = . A

su vez, la barra gira con una velocidad angularconstante ω en el plano vertical Oxy alrededor delcentro C, según t .ω ϕ = . Hallar las velocidades

Av y

Bv de los extremos A y B en función del tiempo.

A

C ω

O y

x Bα

Bv

Av OA

B

Y

Xϕ

M

D

A

B

O1 30º 30º

K

O

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Problema 3.10: La varilla AB se mueve sobreuna pequeña rueda en C mientras el extremo Ase desplaza con una velocidad de

sin / 25 .Determine:a) Velocidad angular de la varilla.b) La velocidad del extremo B de la varilla.

Problema 3.11: En el mecanismo mostrado,la manivela AB tiene una velocidad angularconstante en el sentido de las agujas del relojde 2000 r.p.m. Para la posición indicada dela manivela determine:

a) Velocidad angular de la biela BD.b) Velocidad del pistón P.

Problema 3.12: Para el ejercicio anterior determine la aceleración del punto D y la aceleraciónangular de la biela BD.

Problema 3.13: En el instante que se muestra, lavelocidad angular del neumático es de srad / 2 en elsentido del movimiento de las agujas del reloj y su

aceleración angular 2 / 3 srad en el sentido contrario. Siel rodamiento es sin deslizar, determine la ubicación delpunto sobre el neumático con aceleración cero en eseinstante.

A

B

P40º β

AB = 3 in.BD = 8 in.

D

A

C

B

O

AB = 20 inAO = 10 in.OC = 7 in.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 4 : Movimiento general del cuerpo rígido

Problema 4.1: En el dispositivo de la figura el disco girarespecto de la manivela con velocidad angular srad / 7.01 =ω ,la manivela de longitud 0.25 m gira con velocidadangular srad / 3.02 =ω . Determinar a) la velocidad angular deldisco, b) el centro instantáneo de rotación, c) la velocidad delos puntos A y B del disco, d) graficar el campo de velocidadesdel disco.

Problema 4.2: En el problema anterior el disco cambia de sentido de rotación respecto de la manivela.Recalcular.

Problema 4.3: Hallar el movimiento resultante si en la figura correspondiente al ejercicio anteriorsrad / 4.021 =−= ω ω . Cuantificar el movimiento.

Problema 4.4: En la figura, el disco gira respecto del brazoacodado con velocidad angular srad / 52 =ω . a su vez el brazo

gira con una velocidad angular srad / 5.11 =ω . El brazo tiene unalongitud mr 30.0= . Graficar el campo de velocidades del disco

y encontrar el módulo de la velocidad angular resultante.

Problema 4.5: La plataforma de la grúa que se muestraen la figura gira con una velocidad angular constante

1ω de srad / 30.0 .De manera simultánea, se está elevando la pluma con

una velocidad angular constante 2ω de srad / 50.0 relativa a la cabina. Si la longitud de la pluma OP es

ml 12= , determine. a) La velocidad angular de lapluma, b) la aceleración angular de la pluma, c) lavelocidad de la punta de la pluma, d) la aceleración de lapunta de la pluma.

1ω r

2ω r

45º

A B

r

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Problema 4.6: La varilla AB, de in7 de longitud, estaconectada al disco mediante una articulación de rótula,y al collarín B por medio de una horquilla. El discogira en el plano “yz” a una razón constante

srad / 121 =ω , mientras el collarín tiene la libertad dedeslizar a lo largo de la varilla horizontal CD. En laposición 0=θ , determine, a) velocidad del collarín, b)la velocidad angular de la varilla.

Problema 4.7:La bola de boliche que se muestra, rueda sin deslizarse sobre elplano horizontal “xz” con una velocidad angular

k ji z y x

rrrrrr

ω ω ω ω ++= . Si

k sm jsmismv A

rrr

) / 6.3() / 8.4() / 8.4( +−= y

k smismv D

rr

) / 2.7() / 6.9( += , determinar, a) la velocidadangular de la bola de boliche, b) la velocidad de su centro C.

Problema 4.8: El brazo BCD en forma de L gira alrededor deleje “z” con una velocidad angular constante srad / 51 =ω . Side sabe que el disco de in5.7 de radio gira alrededor de BC con

una velocidad angular constante srad / 42 =ω , determine laaceleración angular del disco.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 5 : Movimiento relativo del punto

Problema 5.1: La barra acodada OAB gira alrededor del eje vertical OB.En el instante considerado, su velocidad y aceleración angulares son,respectivamente, srad / 20=ω y 2 / 200 srad =α , ambas en el sentido delas manecillas del reloj cuando se observan desde el eje “Y” positivo. Elcollarín D se mueve a lo largo de la barra, y en el instante considerado

inOD 8= . La velocidad y la aceleración del collarín relativas a la barra

son, respectivamente, sin / 50=ω y 2 / 600 sin=α , ambas hacia arriba.Determine a) la velocidad del collarín, b) la aceleración del collarín.

Problema 5.2: Resolver el problema 4.1 aplicando las ecuaciones delmovimiento relativo.

Problema 5.3: El disco D, de radio R, se monta por mediode un pasador al extremo A del brazo OA de longitud Lubicado en el plano del disco. El brazo gira alrededor de O enun eje vertical a velocidad angular constante 1ω , y el disco

gira alrededor de A con velocidad angular constante 2ω .Determine la velocidad del punto P localizado directamentearriba de A, b) la aceleración de P, c) la velocidad y laaceleración angulares del disco.

Problema 5.4: Un auto se dirige de Santa Fe a Formosa por la Ruta nacional Nº 11 a 110 Km/h.Calcular la aceleración de Coriolis del auto cuando pasa por el paralelo de 28º de latitud sur.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 6: Composición de movimientos y cinemática de los Mecanismos

Problema 6.1: En un esquema identifique:a) Circunferencia primitiva; b) Circunferencia de cabeza; c) Circunferencia. de raízd) Paso; e) Altura de cabeza del diente; f) Altura de pie del diente; g) Altura total del diente.

Problema 6.2: Si dp es el diámetro de la circunferencia primitiva, p el paso y hp la altura de pie deldiente y h la altura total del diente. Determine:a) el número de dientes z ; b) el diámetro de la circunferencia de raízc) la altura de cabeza del diente hC ; d) el diámetro de la circunferencia de cabeza.

Problema 6.3: a) Dibuje un perfil cicloidal con base planab) Dibuje un perfil epicicloidal c) Dibuje un perfil hipocicloidald) Dibuje un perfil pericicloidal e) Dibuje un perfil evolvente

Problema 6.4: Encuentre la relación de transmisión para los trenes de engranajes:

Problema 6.5 : En un mecanismo planetario, el piñón 1 de radio r1 está fijo, y la manivela AB gira

con velocidad angularω

AB. Hallar la velocidad angular del piñón 3 de radio r3.

1ω 1ω 2ω 2ω 1r

1r

1r

2r

2r

2r

3r

ABω C v Bv

2r 1r 3r C BA

1 2

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Problema 6.8: Defina los siguientes términos:

A) Máquina ; B) Par ; C) Órgano ; D) Par Inferior ; E) Par Superior ; F) Par Deslizante ;G) Par Rotante ; H) Par Helicoidal o de Tornillo ; I) Par Abierto ; J) Par Cerrado ; K) CadenaCinemática ; L) Mecanismo ; M) Bancada ; N) Movimiento Desmodrónico.

Respuestas Problema 6. 8

A) Máquina: Es una combinación de piezas resistentes, rígidas o flexibles, vinculadas entre sí conpiezas fijas y móviles, de modo que el movimiento de cualquiera de ellas depende del movimientode las otras.

Para su diseño y cálculo deben considerarse tres puntos de vista:1.- Cinemática de la Máquina: estudia la forma o geometría de los movimientos relativos de cadauna de las partes de la máquina.-2.- Dinámica de la Máquina: Tiene en cuenta el efecto de las fuerzas que actúan en el movimiento yen la transmisión de esas fuerzas.3.- Cálculo de los Elementos de Máquina: Estudia la resistencia del material de las distintas partes.Su cálculo difiere de las estructuras estáticas porque la función de la máquina es provocarmovimiento y transformar energía en trabajo y viceversa.-De acuerdo a la función que van a cumplir, se clasifican en tres grupos:1.- Motoras: Las que generan energía.2.- Transmisoras: Las que transmiten energías mecánicas.

3.- Operadoras: Las que utilizan la energía.B) Par: Es el conjunto de dos partes de una máquina que están en contacto y entre las cuales existeun movimiento relativo. Cada parte se llama Elemento. C) Órgano: Se llama así al elemento que forma parte de dos pares en forma simultánea.Clasificación de los pares:1º) Según el tipo de contacto:D) Par Inferior: Cuando la superficie de contacto entre los elementos es grande.E) Par Superior: Cuando la superficie de contacto es un punto o una línea.2º) Según el movimiento que permitan:F) Par Deslizante

G) Par RotanteH) Par Helicoidal o de Tornillo3º) Si necesitan fuerzas externas para mantenerse en contacto:I) Par Abierto: Necesita fuerzas externas, aunque sea su propio peso, para mantenerse en contacto.J) Par Cerrado: No necesita fuerzas externas.K) Cadena Cinemática: Es el conjunto de órganos que poseen movimiento relativo.L) Mecanismo: Se denomina a la cadena cinemática cuando un órgano está fijo. A diferencia de lamáquina no es necesario que el movimiento de los órganos sea dependientes entre sí.M) Bancada: Es el órgano fijo de un mecanismo. También se llama Zócalo o Bastidor.N) Movimiento Desmodrónico: Es cuando a cada posición de un elemento correspondesimultáneamente, una única posición de todos los demás elementos.

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Problema 6.9: Identifique los distintos tipos de Pares:

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 7: Cinética de partículas

Problema 7.1: Determinar la ley del movimiento de una partícula de masa m cuando actúa sobre éluna fuerza del tipo:

a) 0F F rr

= (Constante) ; b) )(cos 0θ ω −⋅⋅= t AF r

c) vF rr

⋅=α , siendo dt dxv / =r

; Condiciones iniciales 0)0( x x = ; 0)0( vvrr

=

Problema 7.2: Se lanza un proyectil con velocidad inicial 0vr

formando un ángulo α con la

horizontal. Sobre el proyectil actúa una fuerza debida a la resistencia del aire igual a vr

⋅− β , donde β es una constante positiva y v

r

la velocidad instantánea.

Hallar: a) la velocidad para cualquier t y b) la velocidad límite

Problema 7.3: Una partícula de masa m se mueve en el espacio bajo la influencia de un campo de

fuerza F r

. Suponiendo que en los tiempos 1t y 2t las velocidades son 1vr

y 2vr respectivamente,

demostrar que el trabajo dado es igual al cambio de energía cinética.

∫ ⋅−⋅=⋅

2

1

2 / )( 21

22

r

r

vmvmr d F rr

Problema 7.4: Si F r

es la fuerza que actúa sobre la partícula y vr

es la velocidad de la partícula,entonces la potencia aplicada a la partícula es: vF P ⋅=

Problema 7.5: Una partícula de masa m se mueve en el plano x-y de manera que su vector posiciónes:

jt senbit ar rrr

)()(cos ⋅⋅+⋅⋅= ω ω

Con a, b y m constante positivasa ⟩ b y t ⋅=ω θ

a) Encontrar la trayectoria de la partículab) Determinar la fuerza (dirección, sentido y módulo)

c) Hallar el trabajo realizado por la fuerza al moverla partícula de A a B y el trabajo total realizado por elcampo sobre la partícula cuando ésta completa su vuelta.d) Calcule la potencia instantánea aplicada a la partícula por el campo de fuerza.

Aa

r

θ

b

B

19



Problema 7.6: Un paracaidista de 70 kg. de peso salta del avión y abre su paracaídas después de

recorrer 100m. Calcular la tensión de las cuerdas de suspensión si a los 5 seg., después de abrirse elparacaídas, la velocidad del paracaidista es de 4,3 m/s, suponiendo constante la fuerza de resistencia aldescenso cuando se abre el paracaídas.

Problema 7.7: Una carga M de masa “m” está suspendida del punto O por medio de un hilo OM0 delongitud “1” . En el instante inicial el hilo forma un ángulo α con la vertical y está en reposo. Se losuelta y el hilo se encuentra en O1 con un eje perpendicular al plano del movimiento, de diámetrodespreciable, y su posición está dada por b = 001 y β . Determinar el valor mínimo de α para el cual elhilo empezará a enrollarse sobre dicho eje.

/////////////////////////////////////////////

O α

l β b

O1 M0

Problema 7.8: Una vagoneta de peso P desciende por los rieles colocados sobre el camino AB, queluego forman un anillo circular de radio “r” ¿Desde qué altura h debe descender la vagoneta sinvelocidad inicial, para que ésta pueda recorrer toda la circunferencia del anillo sin separarse de él?Determinar la presión N de la vagoneta sobre el anillo en el punto M, definido por el ángulo MOB =ϕ

A

P MO

h ϕ

B

Problema 7.9: Un tren que se desplaza a sm / 12 , corta la fuerza motriz y comienza a frenar m500 antes de llegar a la estación A que está sobre un montículo de m2 de altura. ¿Cuál debe ser laresistencia al frenado, considerando constante, para que el tren pare en dicha estación, si pesa tn1000 y la resistencia de rozamiento es de tn2 ?

20



Problema 7.10: Una fuerza dinF 60=

r

se aplica durante s12 a una masa gr m 10= que tiene unavelocidad scmv / 600 =

r

. En la misma dirección que F r

. Calcular:

a) El trabajo de la fuerza; b) La energía cinética final;c) La Potencia media desarrollada d) La variación de energía cinética

Problema 7.11: Un cuerpo de masa Kgm 5.0= , parte del reposo y resbala una distancia md 3= sobre el plano inclinado a 45º, hasta chocar con el resorte de constante elástica m N K / 400= .Calcular:

a) La máxima deformación del resorte.b) La deformación del resorte cuando el cuerpo está en reposo sobre el mismo.

F r

m

0vr

45º

d

m

K

P

21



GUIA DE PROBLEMAS Nº 8: Cinética de sistemas de partículas

Problema 8.1: Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistema compuesto por tresmasas y distribuidas en el espacio, según:

)6,4,2(31 Kgm = )2,2,2(22 Kgm = )0,2,4(53 −= Kgm

Problema 8.2: Un sistema está formado por tres masas de 3, 2 y Kg5 . La 1m tiene una velocidad

smv y / 61 = . La 2m se mueve en el plano y x − con una velocidad smv / 82 = en la dirección de –

30º con respecto al eje x. Encontrar la velocidad de la masa 3m de modo que el centro de masa

permanezca en reposo.

Problema 8.3: Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistema compuesto por cuatromasas y distribuidas en el espacio, según:

)2,2,1(11 −−= Kgm ; )1,2,3(22 −= Kgm ; )4,2,1(33 −= Kgm ; )2,1,3(44 Kgm =

Problema 8.4: Un sistema está formado por tres masas de 2, 1 y Kg3 y tienen los siguientesvectores posición, determinar: a) La velocidad del centro de masa para cualquier t y para 1=t ; b) LaCantidad de movimiento del sistema para cualquier t y para 1=t

k t jt it Rrrr

21 2)23(5 +−+=

k t t jt it Rrrr

)364()52()32( 22 −++−+−=

k t jt it Rrrr

)23()12(21 −+−+=

Problema 8.5: Un sistema formado por tres masas de 1, 3 y Kg5 . Se mueven bajo la influencia deun campo de fuerzas de manera que sus vectores posición respecto a un sistema fijo están dados por:

k jt it Rrrr

32 21 −+=

k jt it Rrrr

43)1(2 +++=

k t jt it Rrrr

)12(23 −++=

Determinar: a) El momento cinético del sistema; b) El momento de fuerza total aplicado al sistemacon respecto al origen.

22



Problema 8.6: El empleado de una línea aérea coloca en rápida

sucesión dos maletas una de lb30 y otra de lb40 de peso, sobreun carrito de equipaje de lb50 . Si se sabe que el carrito está alprincipio en reposo y que el empleado imparte una velocidadhorizontal de s ft / 9 a la maleta de lb30 y una velocidadhorizontal de s ft / 6 a la maleta de lb40 , determine la velocidadfinal del carrito si la primera maleta que se coloca sobre el es a)la de lb30 , b) la de lb40 .

Problema 8.7: Del ejercicio anterior, las maletas ahora tienen una velocidad horizontal s ft v / 2.7= .a) Si se sabe que la velocidad del carrito es s ft v / 6.3= y que la primera maleta que coloca tiene un

peso de lb30 , determine el peso de la otra maleta. b) ¿Cuál sería la velocidad final del carrito si elempleado invirtiera el orden en el cual coloca las maletas?

Problema 8.8: Se dispara una bala con unavelocidad horizontal de smv / 500= hacia un

bloque A de Kgm A3= ; la bala atraviesa el bloque y

queda incrustada en otro bloque B de Kgm B 5.2= .Si se sabe que los bloques empiezan a moverse convelocidades respectivas de smv A / 3= y

smv B / 5= , determine a) la masa de la bala, b) su

velocidad cuando viaja desde el bloque A al B.

Problema 8.9: La bola B de masa Bm , se suspende de una cuerda de longitud l unida al carro A, de

masa Am , que rueda con libertad sobre una pista horizontal sin fricción. Si a la bola se le da una

velocidad horizontal inicial 0v mientras el carro esta en reposo, determine a) la velocidad de B cuando

ésta alcanza su elevación máxima, b) la distancia vertical máxima h a que se elevará B, (se supone queglv 22

0 ⟨ ).

0v B

A

23



Cinética de sistemas de partículas: Impacto.

Problema 8.10: Sobre la placa metálica degran masa se lanza una esfera de acero a lavelocidad de sm / 16 , con un ángulo de 30º.Siendo 0.5 el coeficiente de restituciónefectivo entre la placa y la bola, calcular lavelocidad ,v y el ángulo de rebote.

Problema 8.11: Las pelotas de tenis suelen rechazarse si noconsiguen rebotar hasta el nivel de la cintura cuando se las deja caerdesde el nivel de los hombros. Si una de ellas pasa exactamente laprueba tal como se indica en la figura, hallar el coeficiente derestitución e y el porcentaje n de la energía original perdida en elchoque.

Problema 8.12: Si la pelota de tenis del Problema anterior tiene un coeficiente de restitución 8.0=e al chocar con el piso de la cancha, hallar la velocidad v0 con la que debe lanzarse hacia abajo desde laaltura de mm1600 correspondiente al nivel de los hombros, para que regrese hasta la misma altura

)1100( mm tras rebotar una vez en la superficie de la cancha.

Problema 8.13: Calcular las velocidades ,1v

y ,2v después del choque de los dos cilindros

que se deslizan a lo largo de la barra lisahorizontal. El coeficiente de restitución es

6.0=e .

Problema 8.14: Una pelota, de masa Kgm 5.1= está suspendida del techo por una cuerda elástica dem1 de longitud y constante elástica m N K / 800= . Se alarga la cuerda verticalmente hacia abajo una

longitud m x 250.0= y se la suelta, efectuando un impacto central contra el techo. Determinar cuantose alarga la cuerda después que la pelota rebota en el techo, sabiendo que el coeficiente de restitución

8.0=e .

sm / 16

,v

η

,θ º30

Kgm 21 = Kgm 32 =

smv / 71 = smv / 52 =

24



Problema 8.15: La esfera de masa 1m se

mueve con una velocidad inicial 1v hacia laderecha como se indica y golpea a la esferaen reposo de masa 2m . Para un coeficiente derestitución e , hallar para quérelación: 21 / mm , 1m se queda inmóvil después del choque.

Problema 8.16: El mazo de un martinete de hincar pilotes tiene unamasa de Kg800 y se suelta, a partir del reposo, desde m2 porencima de la cabeza del pilote de Kg2400 . Si se observa que elmazo rebota hasta una altura de m1.0 tras su impacto sobre el pilote,

calcular (a) la velocidad , pv del pilote inmediatamente tras el

impacto, (b) el coeficiente de restitución aplicable y (c) la pérdidaporcentual de energía debida al impacto.

Problema 8.17: Un cuerpo A de masa Kgm A2= se suelta

desde la posición º90=α y en º0=α choca con uncuerpo B de masa Kgm B 20= . Si el coeficiente derestitución entre los cuerpos es 3.0=e determinar lasvelocidades de los mismos después del choque.

Problema 8.18: Dos esferas de masasKgm 11 = y Kgm 22 = chocan con

velocidades iniciales 1v y 2v , según lafigura. Si el coeficiente derestitución 75.0=e determinar lavelocidad final de cada esfera y lapérdida de energía (en % ) debida alchoque.

m2

m1.0

Bm

Am

m L 1=

α

smv / 32 =

smv / 11 =

º45= β

º30=α

1m 2m

1v

25



Problema 8.19: El automóvil B está detenido y recibe

el golpe del automóvil A, de masa Am que lleva unavelocidad hKmv A / 72= Si la masa del automóvil B

es A B m pm .= , (p es una constante positiva), y si el

coeficiente de restitución es 2.0=e , expresar lasvelocidades ,

Av y , Bv de los dos automóviles después

del choque en función de p. Evaluar los casos para21 = p y 2.02 = p .

Problema 8.20: Tres cilindros de acero iguales

pueden deslizarse libremente por el árbolhorizontal fijo. Los cilindros 2 y 3 están enreposo y a ellos se aproxima el cilindro 1 conuna velocidad 1v . Encontrar la velocidad final

,3v del cilindro 3.

Kgm 21 = ; Kgm 42 = ; Kgm 13 = ;

smv / 51 = ; 02 =v ; 03 =v ; 4.012 =e ; 2.023 =e

v

1 2 3

26



GUIA DE PROBLEMAS Nº 9: Cinética de cuerpos rígidos

Problema 9.1: Encontrar el centro de masa de una región semicircular de radio “a” con densidadsuperficial cte=σ .

Problema 9.2: Encontrar el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio “a” con unadensidad volumétrica cte= ρ .

Problema 9.3: Calcular el centro de masa de la varilla de longitud L, cuya densidad es proporcional ala distancia a unos de sus extremos: xK .=λ .

Problema 9.4: Dos discos, con momentos de inercia 1 I e 2 I con respecto al eje x, están montadossobre un mismo árbol, al que se le comunica un ligero movimiento de rotación y luego se loabandona. Determinar la relación que existe entre las velocidades angulares y los ángulos de rotaciónde los discos durantes sus vibraciones rotacionales.

Problema 9.5: Calcular la energía cinética de una rueda maciza cilíndrica de masa m que rueda sinrozamiento, sabiendo que la velocidad de su centro de masa es

C v .

Problema 9.6: Un yo-yo está compuesto por dos discos uniformes de radio b unidos por un pequeñoeje de radio r y su masa total es M. Unido al eje está una cuerda, cuyo diámetro se desprecia,enrollada varias veces y se lo suelta verticalmente. Determinar la velocidad del eje, cuando el yo-yoha descendido una altura h.

Problema 9.7: Una placa rectangular de masam suspendida de dos alambres en A y B se golpea en Den una dirección perpendicular a la placa. Denotando

por t F ∆r

el impulso aplicado en D, determineinmediatamente después del impacto a) la velocidad

del centro de masa G, b) la velocidad angular de laplaca.

27



Problema 9.8: Un disco homogéneo de radio r ymasa m se monta sobre una flecha OG de longitud L y masa despreciable. El eje se articula en elpunto fijo O, y el disco esta restringido a rodarsobre el piso horizontal. Si el disco gira en sentidocontrario a las manecillas del reloj a la velocidad

1ω alrededor de la flecha OG, determine a)velocidad angular del disco, b) su cantidad demovimiento angular alrededor de O, c) su energíacinética, d) el vector y el par en G equivalente a lascantidades de movimiento de las partículas deldisco.

Problema 9.9: Una barra ligera AB de longitud ft L 8= y pesolbW 40= se conecta por medio de un pasador en A a un eje

vertical DE que gira con una velocidad angular constantesrad / 15=ω . La barra mantiene su posición mediante un alambre

horizontal BC conectado al eje y el extremo B de la barra.Determine la tensión en el alambre y la reacción en A.

Problema 9.10: Dos barras Ay B demm100 , cada una de g300 de masa, se

sueldan a la flecha CD que esta soportadamediante cojinetes en C y D. Si se aplica a laflecha un par M de magnitud igual a m N ⋅6 ,determine las componentes de la reaccionesdinámicas en C y D en el instante en que eleje ha alcanzado una velocidad angular de

...1200 m pr . Ignore el momento de inercia dela flecha.

28

Problema 9.11: Si disco del problema 9.8 gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a la

velocidad constante 1ω alrededor del eje, determine a) la fuerza (que se supone vertical) que ejerce el

piso sobre el disco, b) la reacción en el pivote O.



GUIA DE PROBLEMAS Nº 10: Movimiento vibratorio

Problema 10.1: Una partícula de gr m 12= se mueve a lo largo del eje x atraída hacia el punto 0 poruna fuerza (en dinas) igual a 60 veces su distancia instantánea x (cm). Si parte del reposo en 10= x ,encontrar: a) La amplitud, b) El período del movimiento.

Problema 10.2: Si la partícula del problema anterior inicia su movimiento en 10= x con unavelocidad hacia 0 de scm / 20 , determinar: a) su amplitud y período, b) el tiempo en que la partículallega al punto 0 por primera vez.

Problema 10.3: Si una partícula se mueve con M.A.S a lo largo del eje x probar que en la trayectoria:

a) la aceleración es máxima en los extremos; b) la velocidad es máxima en el punto medio; c) laaceleración es cero en la mitad; d) la velocidad es cero en los extremos; e) Grafique )(t x , )(t v , )(t a ycompare.

Problema 10.4: Una partícula se mueve con M.A.S en línea recta. Su máxima velocidad es sm / 20 y

su máxima aceleración de 2 / 80 sm . Encontrar el período y la frecuencia.

Problema 10.5: A un cuerpo de gr m 2= , sujeto a un resorte de constante cmdinK / 32= , se lo apartade su posición de equilibrio cm3 y se lo suelta. Encontrar la posición del cuerpo en función de t , si lafuerza amortiguadora es 16 veces la velocidad instantánea.

Problema 10.6: Resuelva el prob. 5 si la fuerza amortiguadora es 8 veces la velocidad instantánea.

Problema 10.7: Resuelva el Prob.5 si la fuerza amortiguadora es 20 veces la velocidad instantánea

Problema 10.8: Un resorte vertical tiene una constante elástica igual a mKg / 3 . En el instante 0=t ,

se le aplica una fuerza en dirección vertical t sent F 4.12)( =r

(expresada en kg.), para 0≥t . Delextremo del resorte cuelga un cuerpo de masa 3 UTM. Desprecie el amortiguamiento, encontrar laposición del cuerpo para cualquier tiempo t posterior. Considerar que el peso del cuerpo solo sirve paraseparar las espiras del resorte.

Problema 10.9: Resolver el problema anterior si t t F 6cos.30)( =r

para 0≥t .

Problema 10.10: Un resorte vertical de constante elástica igual a feet bl / 17r

, tiene suspendido un

peso de blr

32 y se le aplica una fuerza en dirección vertical t sent F 4.65)( =r

(expresada en blr

),

para 0≥t . Además actúa una fuerza de amortiguamiento (expresada en blr

) igual a 2 veces lavelocidad instantánea del cuerpo en s feet / ( 2 / 32 s feet g = ). Si el cuerpo está en reposo y en laposición de equilibrio: a) Determinar la posición del cuerpo en función de t ; b) Encontrar la amplitud,período y frecuencia de la solución permanente.

29



GUIA DE PROBLEMAS Nº 11: Relatividad

Problema 11.1:

Un observador situado en la tierra (suponiendo que es un sistema de referencia inercial) ve una naveespacial “O” que se aleja de él a razón de smv / 102 8

⋅= , y alcanza a una nave espacial “Q” que se

retira a razón de smv / 105.1 8⋅= . Encontrar la velocidad relativa de: a) la nave espacial Q vista por

O; b) la nave espacial O vista por Q. Úsese smc / 103 8⋅= .

Problema Nº 11.2:

Un haz de partículas alfa, cada una de las cuales tiene una masa de kgm 271065.6 −⋅= tiene una

velocidad de smv / 1045.2 7⋅= . Calcule la masa que determinaría un observador estacionario.

Problema Nº 11.3:

El protón, núcleo del átomo de hidrógeno, tiene una masa de kgm 271067.1 −⋅= en reposo. Calcule

su energía total; a) en reposo; b) cuando se mueve a una velocidad smv / 105.2 8⋅=

Problema Nº 11.4:

Un electrón tiene una energía en reposo de MeV E 511.00 = y se mueve con una velocidad decu 8.0=

Determinar a) su energía total, b) su energía cinética c) el módulo de su momento lineal.

Problema Nº 11.5:

Los astronautas de una nave espacial que se aleja de la tierra a cv 6.0= interrumpen su conexióncon el control espacial diciendo que van a dormir una siesta de una hora y que luego volverán allamar. ¿Cual es la duración de su siesta según se mide en la tierra?

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 12: Principios elementales de Mecánica Analítica.

Problema Nº 1:

Con los siguientes datos ..,., ctegctelctem === obtener la Lagrangiana y determinar la

expresión del movimiento de la partícula M.

Problema Nº2:Para la máquina de Atwood, conociendo 21 M y M y teniendo en cuenta que la polea se suponesin masa ni rozamiento, encontrar la Lagrangiana y determinar la expresión del movimiento delsistema..

θ l

M

y

x

M1

M2

(l – x)x

Problema Nº3:

Una cuenta se desliza por un anillo circular, mientras este gira con velocidad angular constante

alrededor del eje z. Encontrar la Lagrangiana y la expresión del movimiento.

zg

y

x m

Rθ

φ

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