Guía 4 Cálculo i Soluciones

Vicerrectora Acadmica Direccin de Servicios Acadmicos

Subdireccin de Servicios a Escuelas

SOLUCIONES GUA N 4 DE CLCULO I

Ejercicio N1

a)

() ()

Tiempo Deuda -Tasa de crecimiento de la deuda

-Razn de cambio de la deuda

Aos Millones

dlares

-

-Millones dlares por ao

b) = [0,20]

c) La deuda de estados unidos al inicio de 1990 es de 3.247,7 millones de dlares

d) Derivada : 85,27182,5777,1044,0 23 ttt

dt

df

Valor: 65,330)10( dt

df

Transcurrido 10 aos la tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU

corresponde a 330,65 millones de dlares por ao (o 330.650.000 dlares

por ao)

Ejercicio N2

a)

() ()

Tiempo Poblacin -Tasa de crecimiento de la poblacin

-Razn de cambio de la poblacin

Aos Miles

habitantes

-

-Miles de habitantes por ao

b) = [0,12]

c) Dentro de 5 aos se estima que la poblacin sea de 322.521 habitantes

Derivada :

te

dt

dp 75,075,0

Valor: 544,640)9( dt

dp

La tasa de crecimiento de la poblacin trascurrido nueve aos ser de 640.544

personas por ao (o 640,544 miles de habitantes por ao)



Ejercicio N3

a) () ()

Tiempo Impuesto

Predial

-Tasa de crecimiento del impuesto

-Razn de cambio del impuesto

Aos Miles de

pesos

-

-Miles de peso por ao

b) Derivada : xx exexxI )50(2 2

Valor: 02176,39536)6( I

Posibles interpretaciones:

- La tasa de crecimiento del impuesto predial a inicios del ao 2011

corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos

por ao)

- La razn de cambio del impuesto predial a inicios del ao 2011

corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos

por ao)

Ejercicio N4

Derivada : t

etV8,0

10)(

Valor: 9815,545)5( V

La tasa de crecimiento de las ventas trascurrido 5 meses corresponde a 545.982

pesos por mes. (o 545,982 miles de pesos por mes)



Ejercicio N5

a) () () ()

Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea

Minutos km -

-Kilmetros por minutos

- 2

-Kilmetros por minutos2

b)

Derivada : tts 04,0)( 04,0)( ts

Valor: 23)30( s 2,1)30( s 04,0)30( s

Interpretacin:

- A los 30 minutos de su partida el ciclista se encuentra en el kilmetro 23

-La rapidez instantnea a los 30 minutos de su partida corresponde a 1,2

km/min

-La aceleracin instantnea a los 30 minutos corresponde a 0,04 km/min2

Ejercicio N6

Derivada : 53523)( xx exextd

535266)( xxex exexxetd

Valor: 31,7)3( d 69,67)4( d

La rapidez instantnea del automvil a las 3 horas es de 7,3 km/h y su aceleracin

instantnea a las 4 horas corresponde a 67,7 km/h2.

Ejercicio N7

a) () () ()

Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea

minutos cm -

-centmetros por minuto

- 2

-centmetros por minutos2



b) = [0,3]

c) Inicia su recorrido a los 45 cm del punto de partida

c) Derivada : 1823)(

2 ttxf 26)( txf

Valor: 26)2( f 10)2( f

La rapidez instantnea que lleva el carro a los 2 minutos corresponde a 26

cm/min y la aceleracin instantnea es de 10 cm/min2 .

Ejercicio N8

a)

() ()

Tiempo Volumen -Razn de cambio del volumen

-Taza de decrecimiento del volumen

minutos galones -

-Galones por minutos

b) () = 100.000 2 1

60 (1

60) () =

10.000

3 (1

60)

c) Valor: 66,1666)30( V


-La rapidez instantnea a los 30 minutos, con la que el agua sale del

depsito corresponde a 1.667 galones por minuto.

-A los 30 minutos, el agua sale del depsito a una razn de 1.667 galones por

minuto

Ejercicio N9

Derivada :

222

81,0

215,081,015,0)(

t

tttxc Valor: 0207,0)2( c


-A las dos horas la concentracin de medicamento est disminuyendo en 0,0207

ml/hr.

-La rapidez con la que disminuye la concentracin de medicamento a las dos horas

de su aplicacin es de 0,0207 ml/hr



Ejercicio N10

Derivada :

222

1

21024124)(

t

ttttp

Valor: 6804733,5)5,1( p

Posibles interpretaciones

-La rapidez instantnea a las 1,5 horas con la que disminuye la poblacin, es de

5.680 bacterias por hora.

-la tasa de decrecimiento de la poblacin a las 1,5 horas es de 5.680 bacterias

por hora.

Ejercicio N11

a) Variables Significado Unidad de Medida

Cantidad de fertilizante Kilos

() Ingreso pesos

()

-Ingreso marginal

-Tasa de crecimiento de los ingresos

-Razn de cambio de los ingresos

-

-Pesos por kilo

() costos pesos

()

-Costo marginal

-Tasa de crecimiento de los costos

-Razn de cambio de los costos

-

-Pesos por kilo



b) Derivada : xxI 418000)(

c) Valor: 200.538)30( I

- Al vender 30 kilos de fertilizante, el ingreso ser de 538.200 pesos

Valor: 880.17)30( I


- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del

ingreso ser de 17.880 pesos por kilgramo

- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el ingreso marginal ser de

17.880 pesos por kilgramo

d) Derivada : xxC 21000)(

e) Valor: 900.30)30( C

- El costo de 30 kilos de fertilizante ser de 30.900 pesos

Valor: 1060)30`( C


- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del costo

ser de 1.060 pesos por kilgramo

- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el costo marginal ser de

1.060 pesos por kilgramo



Ejercicio N12

a)

Variables Significado Unidad de Medida

Cantidad de productos unidades

() Ingreso dlares

() =

-Ingreso marginal

-Tasa de crecimiento de los ingresos

-Razn de cambio de los ingresos

-

-dlares por unidad

() costos pesos

()

=

-Costo marginal

-Tasa de crecimiento de los costos

-Razn de cambio de los costos

-

-dlares por unidad

b) Derivada : 50)( xIM y 01,0)( xCM Valor: 50)700( IM y 01,0)700( CM

- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de decrecimiento del costo ser

en 0,01 dlares por unidad

O Si la produccin es de 700 unidades, el costo marginal ser de -0,01

dlares por unidad

- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser

de 50 dlares por unidad

O Si la produccin es de 700 unidades, el ingreso marginal ser de 50

dlares por unidad

Ejercicio N13

Derivada : 40)( xc xxi 02,0100)( Valor: 40)24( c 82,98)59( i

- Si la produccin es de 24 litros, la tasa de crecimiento del costo ser en 40

dlares por litro.

O Si la produccin es de 24 litros, el costo marginal ser de 40 dlares por litro

- Si la produccin es de 59 litros, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 98,9

dlares por litro

O Si la produccin es de 59 litros, el ingreso marginal ser de 98,9 dlares por

litro



Ejercicio N14

Derivada : 25,0

5,0

101

5)(

t

t

e

etp

Valor: 123,0)5( p

Posibles interpretaciones

-La rapidez instantnea de esparcimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un

12,3% de la poblacin por hora

-la tasa de crecimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un 12,3% de la

poblacin por hora

Ejercicio N15

Derivada : 22

10

12,0)(

tt

etetC

Valor: 0223,0)3(0)2(06,0)1( CCC

-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de una hora es de

0,06% por hora, es decir, el % de alcohol est aumentando en la sangre a 0,06%

por hora.

-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de dos hora es de

0,0% por hora, es decir, el % de alcohol no est aumentando en la sangre.

-la tasa de decrecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de tres horas es de

0,02% por hora, es decir, el % de alcohol est disminuyendo en la sangre a 0,02%

por hora.

Ejercicio N16

Derivada : 22

2

16

80050

t

ttp Valor: 56,03 p ; 39,07 p

- A los 3 das del primer caso reportado la rapidez con que aumenta del % de

estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,56% por da. En otras palabras a los 3

das la tasa de crecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de

0,56% por da

- A los 7 das del primer caso reportado la rapidez con que disminuye % de

estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,39% por da. En otras palabras a los 7

das la tasa de decrecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de

0,39% por da



Ejercicio N17

Derivada : () = 32 4 + 6 Valor: (0,5) = 4,75

La corriente que pasa a los 0,5 minutos por el alambre corresponde a 4,75 amperes

(coulombs/seg.).

Ejercicio N18

Derivada : 512 xtp Valor: 12510 p Transcurridas 10 semanas la tasa de crecimiento de la poblacin corresponde a 125

personas por semana.

Ejercicio N19

Derivada : xextp 04,05020 Valor: 11,39115 p - A los 15 das la poblacin crecer a una razn de 391 conejos por da

- La tasa de crecimiento a los 15 das ser de 391 conejos por da

Ejercicio N20

Derivada : 50)( xc 100)( xi Valor: 100)60( i 50)50( c

- Si la produccin es de 50 unidades, la tasa de crecimiento del costo ser en 50

dlares por unidad

- Si la produccin es de 60 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 100

dlares por unidad

Ejercicio N21

Derivada : 3618)(

55369)( 2

ttd

tttd Valor:

63)5,1(

163)2(

d

d

La rapidez instantnea del carrito a los 2 minutos es de segcm163

La aceleracin instantnea del carrito a los 1,5 minutos es de 263 segcm

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