Universidad de TarapacáDepartamento de MatemáticaIngenierías- Guía 4 de Cálculo 3

REGLA DE LA CADENA

30. Dada z = x2y � y2 donde x =sen t e y = et, hallardz

dtcuando t = 0;

a) Aplicando la Regla de la Cadenab) Por sustitución directa.

31. Determinedz

dt, utilizando la regla de la cadena, si

a)

8<:z = x2 + y2

donde,x = et ; y = e�t

b)

8<:z = x2 + y2

donde,x = et ; y = e�t

c)

8<:z = x2 + y2

donde,x = et ; y = e�t

d)

8<:z = x2 + y2

donde,x = et ; y = e�t

32. Dada z = 2xy donde x = s2 + t2 e y =s

t, hallar

@z

@sy@z

@t,

a) Aplicando la Regla de la Cadenab) Por sustitución directa.

33. Hallar@w

@ry@w

@tcuando r = 1 y t = 2� si w = xy+ yz+ xz donde,

x = r cos t e y = r sen t:

34. Describa la Regla de la Cadena si f es una función de tres variables lasque a su vez son funciones de cuatro variables.¿Que ocurre si f es funciónde cuatro variables las que a su vez son funciones de tres variables ?. Escribalas expresiones de las derivadas que se obtienen para cada caso.

35. Hallar las expresiones para las derivadas parciales de las funciones:

a) F (x; y) = f (g (x) + h (y) ; g (x)h (y)) b) F (x; y) = f (g (x) ; g (x)h (y) ; h (y))

c) F (x; y; z) = f (g (x+ y) ; h (x+ z)) d) F (x; y; z) = f (x2y2; y2z2; x2z2)

1

36. Si w = x3f�yx;z

x

�, demuestre que x

@w

@x+ y

@w

@y+ z

@w

@z= 3w

37. Si u = f�y � xxy

;z � xzx

�, demostrar que x2

@u

@x+ y2

@u

@y+ z2

@u

@z= 0

38. Demostrar que z = f(x+ay)+g(x�ay) satisface la ecuación zyy = a2zyy

39. Sea f(u; v:w) una función con derivadas parciales continuas de orden 1y 2, y sea g(x; y) = f(x + y; x � y; y). Calcule gxx + gyy en términos dederivadasde f(u; v; w).

40. Encontrar la transformada de la expresión x4y00(x) + 2x3y0(x) + y(x) si

se hace el cambio x =1

t

TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

41. Diga que entiende por función implícita y determine las condicionesbajo las cuales la ecuación F (x; y) = 0 de�ne una función implícita únicay = f (x) :

42. Calculardy

dxsi y3 + y2 � 5y � x2 + 4 = 0

43. Para cada una de las funciones F , demostrar que la ecuación F (x; y) = 0de�ne una función implícita y = f (x) en el punto (xo; yo) dado y determinarf 0 (x) :

a) F (x; y) = x2 � xy + y2 � 3 en (1; 2) b) F (x; y) = x cosxy en�1;�

2

�c) F (x; y) = 2ex+y � x+ y en (1;�1)

44. Determine las condiciones bajo las cuales la ecuación F (x; y; z) = 0

pueda resolverse para z y determine las expresiones para@z

@xy@z

@y:

45. Sea F (x; y; z) = x3 � 2y2 + z2. Demostrar que F (x; y; z) = 0 de�ne

2

implícitamente x = f (y; z) en el punto (1; 1; 1) y determine@x

@yy@x

@zen

(1; 1; 1) :

46. Calcular@z

@xy@z

@ysi 3x2z � x2y2 + 2z3 + 3yz � 5 = 0

47. Dada F (x; y; z; u) = xy2 � ux2 + 3zu2 + 2yz2 � 2xyzu, si u = f (x; y; z)

determinar@u

@x,@u

@yy@u

@z:

48. Probar que la ecuación y2x � x2y + xsin(z) = 2 de�ne una funciónimplícita z = z(x; y) en un entorno del punto (1;�1; 0). Hallar el planotangente a la super�cie z = z(x; y) en el punto (1;�1; 0).

49. Demuestre que la ecuación del plano tangente a la super�cie S dada porF (x; y; z) = 0 en el punto P0 = (a; b; c) es rF (P0) � (P � P0) = 0, o

(x� a) @F@x

(P0) + (y � b)@F

@y(P0) + (z � c)

@F

@z(P0) = 0

VALORES EXTREMOS

50. ¿Qué entiende por valor extremo de una función f : � Rn ! R ?

51- Señale la diferencia entre "valor extremo local" y "valor extremo abso-luto".

52. De�na "punto crítico" o "punto estacionario" para f : � Rn ! Ry señale la condición necesaria ( pero no su�ciente) para la existencia de unvalor estremo local.

53. Determine los puntos críticos para cada una de las siguientes funciones:

a) f (x; y) = x2 � 2xy + 2y2 � 2x+ 2y + 4 b) f (x; y) =senxy

c) f (x; y) = x3 � y3 � 3xy + 4 d) f (x; y) = ex2+y2

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54. Enuncie las condiciones su�cientes que permiten determinar la naturalezadel valor extremo local.

55. Como ha podido apreciar en su respuesta anterior, la naturaleza del valorextremo tiene que ver con el Hessiano. Determine la matriz Hessiana ( matrizcuyo determinante es el Hessiano) de las funciones del ejercico 4 anterior, enlos puntos críticos encontrados.

56. Para las siguientes funciones, determine, si existen, valores extremos lo-cales:

a) f (x; y) = x3 + y3 � 3x� 12y + 20

b) f (x; y) = (x2 � 2x+ 4y2 � 8y)2

c) f (x; y; z) = x2 + y2 + z2 � 6xy + 8xz � 10yz

d) f (x; y) = x2y2 � 5x2 � 8xy � 5y2

e) f (x; y; z) = 4x+ xy � x2 � y2 � z2 � yz

f) f (x; y) =sen (x+ y)+senx+sen y

g) f (x; y) = (x2 + y2) e�(x2+y2)

h) f (x; y) =1

x+ xy � 8

y

57. Determine los extremos (locales y absolutos) de cada una de las funcionesen las regiores dadas:

a) f (x; y) = x+y en la región = f(x; y) 2 R2 = � 1 � x � 1 ; �1 � y � 1g

b) f (x; y; z) = x+ y + z en la región donde x2 + y2 + z2 < 1

c) f (x; y) = 144x3y2 (1� x� y) en la región donde x; y � 0

58. Hallar los extremos de las funciones z = f(x; y) dadas en la formaimplícita

a) x2 + y2 + z2 � 2x+ 4y � 6z � 11 = 0

b) x3 � y2 � 3x+ 4y + z2 + z � 8 = 0

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