Guia 6 Polinomios
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT ´ OLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS. DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA . TEMPORADA ACAD ´ EMICA DE VERANO 2012. MAT1012 ALGEBRA Gu´ ıa 7 1. Pruebe que: a ) El polinomio x 4 +3x 3 +3x 2 +3x + 2 es divisible por x + 2. b ) El polinomio x 5 - 3x 4 + x 2 +2x - 3 es divisible por x - 3. 2. Si a = b y p(x) es divisible por x + a y por x + b pruebe que lo es por (x + a)(x + b). 3. Dividir a ) x 7 +3x 6 +2x 3 +3x 2 - x + 1 por x 4 - x + 1. b ) x 5 - 3x 2 +6x - 1 por x 2 + x + 1. c )(x + 1) 7 - x 7 - 1 por (x 2 + x + 1) 2 . 4. Determine el cociente y el resto de dividir a )2x 4 - 6x 3 +7x 2 - 5x por x + 2. b ) -x 4 +7x 3 - 4x 2 por x - 3. c )(n - 1)x n - nx n-1 + 1 por (x - 1) 2 . 5. Calcule los siguientes valores. a ) p(3/4) si p(x) := -3x 3 +6x 2 - x + 1. b ) p(-3) si p(x) := -2x 4 +6x 3 - x 2 +2 6. Determine las ra´ ıces del polinomio 2x 4 - x 3 - 11x 2 + 15x + 9 si se sabe que 1 + √ 2 es una ra´ ız 7. Determine los valores de a, b de modo que 3x 3 - 4x 2 + ax + b sea divisible por x 2 - 1. 8. Si el polinomio ax 4 + bx 3 - 18x 2 + 15x - 5 se divide por 4x - 7 se obtiene por resto el polinomio x 2 - 3x + 2. Pruebe que en este caso se tiene que a =1,b = 4. 1
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMATICA.TEMPORADA ACADEMICA DE VERANO 2012.
MAT1012 ? ALGEBRAGua 7
1. Pruebe que:
a) El polinomio x4 + 3x3 + 3x2 + 3x+ 2 es divisible por x+ 2.
b) El polinomio x5 3x4 + x2 + 2x 3 es divisible por x 3.2. Si a 6= b y p(x) es divisible por x+ a y por x+ b pruebe que lo es por (x+ a)(x+ b).3. Dividir
a) x7 + 3x6 + 2x3 + 3x2 x+ 1 por x4 x+ 1.b) x5 3x2 + 6x 1 por x2 + x+ 1.c) (x+ 1)7 x7 1 por (x2 + x+ 1)2.
4. Determine el cociente y el resto de dividir
a) 2x4 6x3 + 7x2 5x por x+ 2.b) x4 + 7x3 4x2 por x 3.c) (n 1)xn nxn1 + 1 por (x 1)2.
5. Calcule los siguientes valores.
a) p(3/4) si p(x) := 3x3 + 6x2 x+ 1.b) p(3) si p(x) := 2x4 + 6x3 x2 + 2
6. Determine las races del polinomio 2x4 x3 11x2 + 15x+ 9 si se sabe que 1 +2 esuna raz
7. Determine los valores de a, b de modo que 3x3 4x2 + ax+ b sea divisible por x2 1.8. Si el polinomio ax4 + bx3 18x2 + 15x 5 se divide por 4x 7 se obtiene por resto el
polinomio x2 3x+ 2. Pruebe que en este caso se tiene que a = 1, b = 4.
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9. Suponga que (x 1)2 es factor de ax3 + bx2 + cx+ d entonces b = d 2a y c = a 2d10. Dado el polinomio p(x) = anx
2 b(n+1)xn1+ x+2 encontrar a, b de modo que p(x)sea divisible x2 3x+ 2.
11. Si el polinomio x4+p x3+ qx2+18x 12 se divide por (x+1)(x+3) el resto es 2x+3.Determinar p, q.
12. Probar que las races de x2+x+1 satisfacen la ecuacion x6+4x5+3x4+2x3+x+1 = 0.
13. Resolver la ecuacion x3 2(1 + i)x2 (1 2i)x+ 2(1 + 2i) = 0 sabiendo que 1 + 2i esuna raz.
14. Determine todas las races del polinomio p(x) := x4 6x3 + 10x2 2x 15 sabiendoque 2 i es una raz de el.
15. Determine todas las races del polinomio p(x) sabiendo que grad(p(x)) = 4, x3 + x2 esun factor de p(x), p(1) = 2, p(1) = 1.
16. Resolver 2x5 3x4 2x3 + 3x2 4x+ 6 = 0 si se sabe que i es una solucion.17. Determine las races de x4 2x3 + 6x2 + 22x+ 13 si se sabe que 2 + 3i es una raz.18. Determinar las races racionales, si las hay, de los siguientes polinomios.
a) 3x3 6x2 + 34x 12.b) 6x3 x2 + x 2.c) 2x3 x2 + 1.d) 6x4 11x2 x2 4.
19. Determine un polinomio p(x) := x3 + ax2 + bx+ c con a, b, c reales que satisfaga:
p(x) sea divisible por x+ 1.
x = 1/2 es raz.El resto al dividirlo por x 2 es 5.
20. El polinomio p(x) := x3 + ax2 + (3a b)x + a b es tal que, x = 0 es una raz y aldividirlo por x 1 su resto es 4. Determine a, b.
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