GUIA DE ESTUDIOCONTINUIDAD

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

En matemticas y ciencias utilizamos la palabra continuo para describir un proceso que sigue sin cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer que esto es una caracterstica esencial de muchos procesos naturales. Es esta nocin, con respecto a funciones, la que ahora queremos precisar.

En las tres graficas que se muestran en la figura, slo la tercera exhibe continuidad en . En las primeras dos grficas, no existe, o bien existe pero no es igual a . Slo en la tercera grfica

no existe , existe pero

He aqu la definicin formal.Definicin de funcin contina en un punto

Se dice que la funcin es continua en el punto si y slo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:(i) existe(ii) existe(iii) .

Si una o ms de estas tres condiciones no se cumplen en , entonces se dice que la funcin es discontinua en .

Ejemplo: Determinar la continuidad de la funcin en el punto .Solucin(i) , existe(ii) , no existe

As la condicin (i) se satisface, pero la condicin (ii) no se cumple en 10. Por tanto, se concluye que es discontinua en 10.

Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad removible o evitable

Una funcin f tiene una discontinuidad removible o evitable en si

Existe o no existe f(a)

En ambos casos si redefinisemos o definisemos como el valor de , la funcin f resultara continua en a

En este caso diremos que es una extensin continua de .

2. Discontinuidad por salto

Diremos que f(x) tiene una discontinuidad por salto en a si existen

y

Pero son diferentes.

ASINTOTAS DE UNA FUNCINDefinicinConsideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de la curva C: , cuando la distancia entre la recta L y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, entonces a la recta L se denomina asntota de la curva, es decir:

Se pueden aplicar lmites infinitos para determinar las asntotas verticales de una grfica, y los lmites al infinito para determinar las asntotas horizontales y oblicuas.

ASINTOTA VERTICAL

Definicin

Si tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x = c es una asntota vertical de la grfica de f.

Observe la siguiente funcin

es un cociente y la asntota vertical aparece en el nmero que anula el denominador pero no el numerador. El siguiente teorema generaliza esta observacin.

TEOREMA Asntotas Verticales

Sean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contienen a c. Si , , y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que para todo del intervalo, entonces la grfica de la funcin

Posee una asntota vertical en ASINTOTA HORIZONTAL

DefinicinLa recta es una asntota horizontal de la grfica de la funcin si al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera:(i) , (ii) ,

ASINTOTA OBLICUA

Definicin

La grafica de la funcin tiene la recta , como una asntota oblicua si cumple cualquiera de las dos condiciones:(i) y (ii) y

OBSERVACINSe dice que la grfica de una funcin racional (sin factores comunes) tiene una asntota oblicua si el grado del numerador excede en 1 al grado del denominador. Para hallar la asntota oblicua, basta dividir los dos polinomios con el fin de redefinir la funcin como suma de un polinomio de grado 1 y otra funcin racional.1DOCENTE