PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAPrimer Semestre 2011

MAT1012 - Ejercicios de Complejos y Polinomios

1. Graque, complete cuadrados y determine el maximo o mnimo de:

a) 2x2 x+ 5.b) 4x2 + 3x+ 1.c)

p12x2 x 1.

2. Determine dos numeros reales tal que su producto sea maximo y su suma sea 8.

3. Determine dos numeros reales tales que la suma de sus cuadrados sea mnima y la suma deellos sea 20.

4. Demuestre que 8 z ; w 2 C:jz + wj2 + jz wj2 = 2jzj2 + 2jwj2

5. Determine k 2 R de modo que el cuociente: 3 + k ik + i

a) sea real.

b) sea imaginario puro.

c) la parte real sea el doble de la parte imaginaria.

6. Calcule el cuocientei7 i6ip2

.

7. Determine k de modo que:

a) si z =k + i

2 i , entonces jzj =p10.

b) si z =k + i

2 i , sea un imaginario puro.

8. Determine todos los z 2 C tales que z3 = 1

9. Determine Sn =4nXk=1

k ik1. Indicacion: Desarrolle la suma y agrupe las distintas potencias de

i de acuerdo al resto de la division del exponente por 4.

1

10. Determine la parte real y la parte imaginaria de los complejos z =pi y z =

1pi.

Nota: Recuerde que existen dos races cuadradas de cada complejo.

11. Determine en cada caso el lugar geometrico del complejo z tal que:

a) jzj = 6b) jzj = 1

zc) jz 3j = jz + 2jd) j Im(z)j 2e) jz 2j jzjf ) 1 jzj 4

12. Pruebe que:

a) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x+ 2 es divisible por x+ 2.

b) x5 3x4 + x2 + 2x 3 es divisible por x 3.

13. Si a 6= b y p(x) es divisible por (x a) y por (x b) pruebe que p(x) es divisible por(x a)(x b).

14. Divida:

a) x7 + 3x6 + 2x2 + 3x2 x+ 1 por x4 x+ 1

b) x5 3x2 + 6x 1 por x2 + x+ 1

c) (x+ 1)7 x7 1 por (x2 + x+ 1)2

15. Encuentre el cuociente y el resto al dividir:

a) 2x4 6x3 + 7x2 5x por x+ 2

b) x4 + 7x3 4x2 por x 3

c) (n 1)xn nxn1 + 1 por (x 1)2

16. Calcule:

a) P (3=4) si P (x) = 3x3 + 6x2 x+ 1

2

b) P (3) si P (x) = 2x4 + 6x3 x2 + 2

17. Encuentre los valores de a y b, de manera que 3x3 4x2 + ax+ b sea divisible por x2 1.

18. El resto cuando x2 3x+ 2 divide a: a x4 + bx3 18x2 + 15x 5 es 4x 7 . Demuestre quea = 1 y b = 4.

19. Demuestre que, si ax3 + bx2 + cx + d tiene a (x 1)2 como factor, entonces b = d 2a yc = a 2d.

20. Si el polinomio x4+px3+qx218x12 se divide por (x+1)(x+3) el resto es 2x+3. Determinep y q.

21. Pruebe que las races de x2 + x+ 1 satisfacen la ecuacion x6 + 4x5 + 3x4 + 2x3 + x+ 1 = 0.

22. Determine todas las races del polinomio p(x) = x4 6x3+10x2+2x 15 sabiendo que 2 ies una raz de p(x).

23. Determine todas las races del polinomio p (x), sabiendo que gradp (x) = 4, que x3 + x2 es unfactor de p (x), que p (1) = 2 y que p (1) = 1.

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