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Gua de trabajos prcticos

Curso: Daro Miras Autor: Pedro Baroni

Material de distribucin gratuita

Esta es una versin preliminar por lo que se agradecen los Comentarios y sugerencias va E-mail a pedrohbaroni@gmail.com.

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La prctica, sin la brjula certera de la teora, navega a la deriva, sin rumbo fijo

Walter F. Carnota

3

ndice

Pag

Repaso Matemtico Punto de interseccin

de dos funciones 6

Derivadas 7

Derivadas parciales 8

Mximos y Mnimos 9

Optimizacin 10

Integrales 13

rea entre dos curvas 14

Anexo - Tabla de derivadas e integrales 16

Ejercicios Adicionales 17

Soluciones 18

Equilibrio de Mercado Cantidades y Precios de

equilibrio 20

Impuestos y Subvenciones 21

Precios Limites 25

Excedentes 28

Perdida de la eficiencia 30

Ejercicios Adicionales 32

Soluciones 33

Teora del Consumidor Demandas

Marshallianas 35

Demandas Hicksianas 39

Construccin de la curva de demanda de Mercado 42

Elasticidad 43

Efectos segn Slutsky 45

Efectos segn Hicks 48

Impuestos 51

Consumo Intertemporal 54

Incertidumbre 58

Ejercicios Adicionales 60

Soluciones 62

Teora del productor Curvas de Costo 64

4

Construccin de la curva de oferta individual 66

Construccin de la curva de oferta de la industria 68

Demanda de factores (Maximizando la produccin) 71

Demanda de factores (Minimizando los costos) 73

Rendimientos a escala 75 Comportamiento de la

empresa maximizadora del beneficio 76

Ejercicios Adicionales 79 Soluciones 80

Mercados Competencia Perfecta 82 Monopolio 84 Monopolio

Discriminador 85 Monopolio

Discriminador Perfecto 87 Duopolio 89 Competencia

Monopolstica 94 Ejercicios Adicionales 96 Soluciones 97

Equilibrio General Produccin 99 Intercambio 103 Ley de Walras 109 Ejercicios Adicionales 110 Soluciones 111

5

Repaso

Matemtico

Puntos de interseccin de dos funciones

Derivadas

Derivadas Parciales

Mximos y Mnimos

Optimizacin

Integrales

rea entre dos curvas

6

Puntos de interseccin de dos funciones

Se pide calcular de forma analtica la interseccin entre las siguientes dos funciones:

Se pueden utilizar diferentes mtodos de resolucin, en adelante, los ms comunes son los de

igualacin y sustitucin.

A travs del mtodo de igualacin:

Se utiliza en este caso, una resolucin especifica de una ecuacin cuadrtica:

7

Derivadas

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

Para la resolucin del ejercicio propuesto, y para los prximos, es de utilidad recordar la tabla

de derivacin, la cual se adjunta en el anexo de esta seccin. Los ejercicios propuestos son de

resolucin directa.

Teniendo en cuenta en funcin de que variable se encuentra cada ejercicio, se resuelven de la

siguiente forma:

Todos los elementos de las funciones que no sean la variable analizada, se consideran como

constantes.

8

Derivadas parciales

Calcular las derivadas parciales para cada una de las siguientes funciones:

En matemtica, una derivada parcial de una funcin de diversas variables, es su derivada

respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes.

La representacin de la derivada de la funcin F, respecto de la variable X, se expone de la

siguiente forma:

Volviendo al clculo, se resuelve de la siguiente manera:

9

Mximos y Mnimos

A partir de las siguientes funciones:

Calcular mximos y mnimos relativos, y conjunto de crecimiento y decrecimiento

Una funcin posee un mximo en , si se dan las siguientes condiciones:

Y para que posea un mnimo en ese punto, las condiciones serian:

Por tanto, para el clculo de mximos y mnimos, corresponder derivar cada funcin e

igualarla a cero:

En cada caso, se debe calcular la segunda derivada y reemplazar los valores obtenidos para

cada funcin.

Para el clculo de los conjuntos de crecimiento y decrecimiento se procede a calcular las

pendientes de los segmentos de las curvas comprendidos entre los mximos y mnimos. El

clculo de la pendiente se realiza reemplazando un nmero del conjunto dentro de la funcin

derivada:

0

Segmento Decreciente Mnimo Creciente

-2 2

10 =0 =10

Segmento Creciente Mximo Decreciente Mnimo Creciente

10

Optimizacin

Se poseen las siguientes funciones, donde A, B, H, W y Z, son constantes:

Se pide buscar la optimizacin, a traves del mtodo de los multiplicadores de Lagrange.

Calcular los valores de X e Y, si:

En los problemas de optimizacin, el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, llamados as

en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los mximos y mnimos

de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este mtodo reduce el problema

restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al nmero

de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas ms fcilmente. A modo de ejemplo, y

para ms adelante en el curso, se utilizaran funciones con dos variables y una restriccin.

Suponiendo la existencia de dos ecuaciones, ambas de dos variables, donde una de ellas est

sujeta a una restriccin (En este caso sera g, igualada a una constante C)

La funcin restringida, es igualada a cero, convirtindose en una resta entre la funcin con su

resultado. Lo obtenido en el paso anterior se colocara multiplicado por una nueva variable, en

este caso, La funcin sin restriccin se mantiene de igual forma, colocndose en suma del

producto recin explicado. De esta forma, la ecuacin de Lagrange se expone de la siguiente

forma:

Se reconocen tres variables diferentes: , x e y.

A continuacin se debe buscar maximizar la ecuacin respecto a cada una de las variables:

11

Luego el problema se resume a resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, por

el mtodo que se prefiera utilizar (Igualacin, sustitucin, Cramer, etc.), hasta obtener los

valores de x e y.

Volviendo al ejercicio, en el primer paso, se colocan las funciones dentro de la ecuacin de

Lagrange, segn posea o no restriccin:

Se aplica propiedad distributiva para facilitar ms tarde la resolucin:

Se calcula en cada caso la derivada respecto a cada variable:

Ahora, para resolver por el mtodo de igualacin, en las primeras dos ecuaciones se despejan

la variable :

Igualando ambos resultados puede obtenerse el valor correspondiente a cada variable inicial

en funcin de la otra:

Si se reemplaza lo recin obtenido dentro de la tercera ecuacin, se pueden calcular los valores

correspondientes a cada variable:

12

Como A, B, H, W y Z son constantes, se podra calcular el valor correspondiente de cada

variable. Utilizando los valores propuestos en el enunciado se obtiene lo siguiente:

13

Integrales

Calcular las siguientes integrales inmediatas:

a)

b)

c)

Teniendo en cuenta la tabla de integracin adjunta como anexo de esta seccin, se procede a

resolver los ejercicios propuestos:

a)

b) Para este caso, es posible separar la integral en los trminos que la conforman:

c) Primero es recomendable la aplicacin de propiedad distributiva entre sus elementos,

para luego resolver de forma inmediata:

14

rea entre dos curvas

Calcular la superficie comprendida entre las siguientes curvas:

Para poder iniciar la resolucin de este problema, es necesario calcular las intersecciones entre

ambas curvas, es decir, los puntos entre los que estar definida el rea a averiguar.

El siguiente paso, ser definir cul ser la funcin que se encontrara por encima de la otra, es

decir, lo que se podra denominar la funcin techo y la funcin piso. Para definir cada una,

sin realizar un grfico representativo, es til el siguiente procedimiento:

1. Seleccionar un valor entre los puntos de interseccin de las curvas (1 y -4), por ejemplo

el cero.

2. Reemplazar dicho valor en ambas funciones, de la que resulte un valor ms alto ser la

que pase por arriba de la otra.

Para continuar en la resolucin, se debe calcular la integral de la diferencia entre la funcin

techo con la funcin piso, definida entre los puntos en los que se interceptan.

15

Luego se procede a reemplazar los valores de las intersecciones, para obtener la superficie

definida entre ambas curvas:

Visto en un grfico representativo, seria:

16

Anexo - Tabla de Derivadas e Integrales

*(Se recuerda que a cada resultado de una integral se le debe sumar una constante)

17

Ejercicios Adicionales

1) Calcular las intersecciones de las siguientes curvas:

2) Calcular las siguientes derivadas:

3) Calcular las siguientes derivadas parciales:

4) Calcular mximos y mnimos relativos de la siguiente funcin:

5) Buscar la optimizacin, a traves del mtodo de los multiplicadores de Lagrange, a partir

de las siguientes funciones:

6) Calcular las siguientes integrales inmediatas:

a)

b) dx

7) Calcular el rea comprendida entre las siguientes curvas:

18

Soluciones

1) X=2

2)

3)

4)

5) X=20

Y=12

6) a)

b)

7) 10,66

Funcin Derivada segn x Derivada segn y

F

g

19

Equilibrio

De Mercado

Cantidades y precios de equilibrio

Impuestos y Subvenciones

Precios Limites

Excedentes

Perdida de la eficiencia

20

Cantidades y Precios de equilibrio

Calcular el equilibrio de mercado frente a las siguientes curvas de oferta y demanda:

Demanda:

Oferta:

El equilibrio de mercado es el punto donde la cantidad demandada y la cantidad ofertada son

iguales, es decir, donde las curvas de oferta y demanda son iguales. Tenindose en cuenta esto,

se procede a resolver igualando ambas curvas:

Primero se despeja la variable precio:

Luego, se procede a igualar ambas funciones:

Como no existen cantidades negativas en la realidad, se descarta -4, obteniendo como

equilibrio de mercado la cantidad 1 y el precio:

21

Impuestos y subvenciones

En un mercado con las siguientes funciones de demanda y oferta de un determinado bien:

Demanda

Oferta

1. Calcular cantidad y precio de equilibrio.

2. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusin de un impuesto de suma fija al

productor por $1.

3. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusin de una subvencin de suma fija al

productor por $2.

4. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusin de una subvencin a la cantidad al

consumidor por $0,20 por unidad.

5. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusin de un impuesto ad valorem del %10.

1. Se procede a Igualar las funciones de demanda y oferta para encontrar la cantidad y precio

de equilibrio:

2. Se calcula la nueva funcin de oferta teniendo en cuenta el impuesto de suma fija, ya que

el mismo aumenta los costos fijos del productor, movilizando la ordenada al origen de su

curva de oferta.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Demanda Oferta

22

Ahora se debe averiguar el nuevo equilibrio igualando esta nueva oferta con la funcin de demanda.

Con la inclusin del impuesto se redujo la cantidad y aumento el precio de equilibrio. Ahora el consumidor obtiene menos cantidad a un precio ms alto. Por otro lado, el productor vende a $3,60 mientras que solo le corresponde $2,60, ya que en el precio se encuentra aadido el valor del impuesto. Por tanto, el productor vende menos cantidad y gana menos que antes de la aparicin del impuesto.

3. Se calcula la nueva funcin de oferta, considerando que los costos del productor se reducen

con esta subvencin, as mismo lo har su funcin representativa:

Ahora se procede a buscar el nuevo equilibrio:

23

Con la inclusin de la subvencin crece la cantidad y se reduce el precio de equilibrio. Ahora los

consumidores obtienen mayor cantidad a un precio ms bajo. Por otro lado, el productor

vende a $1,80 mientras que le corresponde, gracias a la subvencin, $3,80 ya que adems del

precio, se le debe sumar los $2 del subsidio. Por tanto, el productor vende y gana ms que

antes de la aparicin de la subvencin.

4. En el caso de una subvencin a la cantidad, el estado da al consumidor una cantidad de

dinero que depende de la cantidad que compre del bien. Por tanto, se modificara la funcin

de demanda de dicho bien:

Se procede a buscar el nuevo equilibrio igualando con la funcin de oferta original y se obtiene:

Con la aparicin de la subvencin los consumidores obtienen mayor cantidad del bien y lo pagan a $3,50, pero cabe considerar la subvencin total que obtienen por esa cantidad:

( = 1,25) Los consumidores siguen pagando el mismo precio correspondiente a esa cantidad, pero permitiendo un mayor consumo que beneficia al productor. Este ltimo puede vender ms cantidad y a un precio mayor que con el que lo haca antes.

5. Un impuesto ad valorem afecta directamente al valor que percibe el consumidor, por tanto

modificara la funcin de oferta del productor:

24

Ahora se busca la cantidad y el precio de equilibrio igualando la nueva oferta con la demanda original:

En el equilibrio se reduce la cantidad a la que puede acceder el consumidor y la misma se ofrece a un precio ms alto que originalmente. Por otro lado, el productor no solo vende menos sino que el precio al que vende posee el valor del impuesto. Lo que realmente recibe el productor es igual al precio de mercado dividido 1+t.

El productor termina recibiendo menos que lo que obtena antes de la aparicin del impuesto.

25

Precios Lmites

Segn las siguientes funciones de demanda y oferta:

Calcular los nuevos equilibrios, si se aplica:

1. Un precio mximo de $20.

2. Un precio mnimo de $28.

Determinar los efectos causados para cada caso.

Como primer paso, se procede a calcular el equilibrio de mercado:

Visto grficamente:

La fijacin de un precio mximo en un mercado no permite a ningn vendedor fijar un precio

por encima de este, en consecuencia, si este precio es inferior al de equilibrio, la cantidad

demandada superara a la cantidad ofrecida.

26

El nuevo equilibrio de mercado se lograra donde la oferta se iguale con el precio limite. Visto

grficamente:

Como se puede observar, frente a ese precio las cantidades ofrecidas son inferiores a las

demandadas. Frente a la cantidad de equilibrio, en este caso de 8 unidades, los demandantes

estn dispuestos a pagar ms que el precio fijado:

La imposicin de un precio mnimo, por el contrario, garantiza que el precio no descienda por

debajo de cierto nivel. Al fijarse un lmite mnimo al precio por encima del nivel de equilibrio, se

generara un exceso de oferta.

27

Visto grficamente:

La cantidad ofertada supera claramente a la demandada.

28

Excedentes

Calcular el excedente social, del consumidor y del productor, a partir de las siguientes curvas

de demanda y oferta:

Demanda:

Oferta:

Como primer paso, se procede a calcular el equilibrio de mercado:

Se toma solo el valor positivo, obteniendo como cantidad de equilibrio 100 y precio de

equilibrio:

El clculo del excedente del consumidor conlleva averiguar el rea comprendida entre la curva

de demanda y el precio de equilibrio. Esto, se debe a que representan todas las posibles

demandas individuales que exceden la cantidad o precio acordado en el mercado. Se plantea

una integral definida entre cero y la cantidad de equilibrio:

29

El clculo del excedente del productor, trata de averiguar el rea comprendida entre la curva

de oferta y el precio de equilibrio. Se plantea una integral definida entre cero y la cantidad de

equilibrio:

El excedente social es el equivalente a la suma de los dos anteriores:

Visto grficamente:

30

Perdida de la eficiencia

En un mercado donde se presentan las siguientes curvas de oferta y demanda:

Demanda:

Oferta:

Calcular la perdida en los excedentes del consumidor y del productor, provocada por la

inclusin de un impuesto de suma fija de $3 al demandante.

Como primer paso, se procede a calcular el equilibrio de mercado:

Luego, se obtienen los excedentes del consumidor y del productor:

Consumidor

Productor

Ahora, se procede a calcular el nuevo equilibrio de mercado, tenindose en cuenta la

inclusin del impuesto al demandante:

Nueva demanda:

Luego, se obtienen los nuevos excedentes:

Consumidor

Productor

31

Se procede al clculo de las diferencias entre antes y despus de la aplicacin del impuesto:

Excedente Antes del impuesto Despus del impuesto Perdida

Consumidor 2 0,5 1,5

Productor 4 1 3

Social 6 1,5 4,5

32

(En celeste Ex. Cons. Y en rojo Ex. Prod.)

Ejercicios Adicionales

8) Calcular la cantidad y precio de equilibrio a partir de las siguientes curvas de demanda y

oferta:

Demanda:

Oferta:

9) Calcular la nueva curva de demanda, aplicado al consumidor un impuesto de suma fija

de $100 y una subvencin a la cantidad de $1.

Demanda inicial

10) Calcular la nueva curva de oferta, aplicado al productor, un impuesto ad valorem del

10%.

Oferta Inicial

11) Calcular el equilibrio de mercado antes y despus de las aplicaciones de los impuestos y

subvenciones de los tems 2) y 3).

12) Segn las curvas propuestas en el tem 1), calcular la cantidad demandada y la cantidad

ofertada si se plantea un precio mximo de $400.

13) Segn las curvas propuestas en el tem 1), calcular la cantidad demandada y la cantidad

ofertada si se plantea un precio mnimo de $1000.

14) Calcular los excedentes del productor y del consumidor en el equilibrio de mercado

obtenido a partir de las siguientes curvas de oferta y demanda:

15) Calcular la perdida provocada por la inclusin de un impuesto de suma fija de $6 al

consumidor, partiendo de las siguientes curvas de oferta y demanda:

Oferta:

Demanda:

33

Soluciones

1)

2)

3)

4)

5) Cantidad demandada: 12,5

Cantidad ofertada: 5

6) Cantidad demandada: 5

Cantidad ofertada: 35

7) Ex. Consumidor: 112,5

Ex. Productor: 337,5

8) El excedente del consumidor se ve disminuido en 8 y el del productor en 16.

Momento Cantidad Precio

Antes 32,66 173,33

Despus 28,34 144,89

34

Teora del Consumidor

Demandas Marshallianas

Demandas Hicksianas

Construccin de la Curva de Demanda de Mercado

Elasticidad

Efectos segn Slutsky

Efectos segn Hicks

Impuestos

Consumo Intertemporal

Incertidumbre

35

Demandas Marshallianas Un individuo que consume los bienes X e Y, con una funcin de utilidad de:

1 1

2 2( ; )u x y x y ,

Los precios de los productos son $20 y $100 respectivamente y posee una renta de $2000. Se pide calcular: 1. Sendero de expansin de la renta 2. Demandas Marshallianas 3. Canastas Optimas 4. Nivel de utilidad alcanzado Para el calculo de las demandas marshallianas, se busca maximizar el nivel de utilidad respecto de la restriccin presupuestaria que se le presenta al consumidor, es decir, se busca la tangencia de la curva de indiferencia con la recta presupuestaria. Para proceder en dicho clculo, se puede abordar el problema desde dos recursos matemticos: La igualacin de las pendientes de ambas funciones o utilizar el mtodo lagrangiano. Utilizando el primer recurso, se debe identificar las pendientes de cada curva, la Tasa Marginal de Sustitucin para la funcin de utilidad, y el cociente de precios para la recta presupuestaria. La TMS se calcula como el cociente de la funcin derivada respecto un bien, por la derivada respecto al otro. Se recuerda que si se mide la relacin marginal de sustitucin a lo largo de una curva de indiferencia se puede observar que sta va disminuyendo a medida que se incrementa el consumo de un bien, esto es una manifestacin del carcter convexo de las curvas de indiferencia, y razn por la cual, su pendiente posee signo negativo.

Por qu razn se considera el cociente de precios como la pendiente de la recta presupuestaria? Por despeje de la misma, suponiendo la renta y los precios como fijos:

36

Al proceder en el desarrollo, se igualan las ya mencionadas pendientes, obteniendo con esto, los senderos de expansin:

Utilizando el mtodo lagrangiano, por otro lado, se procede configurando la ecuacin de la siguiente manera:

La ecuacin se completa, en primer trmino por la funcin a maximizar, y por otro lado, la funcin limite o respecto a la cual se pretende maximizar a la primera, pero despejando esta ultima una vez igualada a cero:

Una vez reemplazados los datos, se procede a derivar en el primer caso, por el bien x, en segundo caso por el otro bien y en el tercero, por la variable , siempre igualando cada resultado a cero.

El siguiente paso para la resolucin, es el despeje de la variable en los dos primeros casos, para proceder luego, a la igualacin de ambos resultados: Caso 1

Caso 2

37

Igualacin

Como se puede ver, a traves de ambos procesos se obtienen los mismos senderos de expansin. El ltimo paso, para ambos mtodos, seria reemplazar los senderos de expansin dentro de la restriccin presupuestaria, es decir, en el caso de Lagrange, en la tercera ecuacin.

Lo que se acaba de obtener son las funciones de demanda de los respectivos bienes; una vez reemplazados los datos, se pueden obtener las canastas demandadas:

38

Como ltimo paso, se busca calcular cual ser el nivel de utilidad alcanzado al maximizarse la funcin respecto a las condiciones propuestas:

39

Demandas Hicksianas Un individuo que consume los bienes X e Y, con una funcin de utilidad de:

1 1

2 2( ; )u x y x y ,

Los precios de los productos son $40 y $160 respectivamente y se desea mantener un nivel de utilidad de 500. Se pide calcular: 1. Sendero de expansin de la renta 2. Demandas Hicksianas 3. Canastas Optimas 4. Renta necesaria para el nivel de utilidad propuesto Para el clculo de los senderos de expansin, y luego, las funciones de demanda, se debe elegir nuevamente entre los dos mtodos ya antes mencionados. Como el proceso y los resultados son idnticos para la igualacin de pendientes, se procede a resolver dicho problema mediante el mtodo de Lagrange. En este caso, se busca minimizar la recta presupuestaria en funcin de la curva de indiferencia. Como se puede observar, en este tipo de ejercicio, se conoce el nivel de utilidad que se desea mantener, pero el dato a averiguar es la renta necesaria para lograr el propsito anterior.

Se procede a ubicar en primer trmino los componentes de la restriccin presupuestaria, y en segunda parte, la funcin de utilidad igualada a cero.

Siguiendo el proceso de Lagrange:

40

Se procede a despejar en las primeras dos ecuaciones:

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1. .

2

2.

1. . 0

2

1. .

2

2.

x

x

y

y

y

x y p

p

x y

p x y

x y p

p

x y

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1. .

2

2.

1. . 0

2

1. .

2

2.

x

x

y

y

y

x y p

p

x y

p x y

x y p

p

x y

Se igualan los resultados anteriores, obteniendo en el despeje los senderos de expansin de la renta:

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2.2. yx

yx

yx

x

y

y

x

pp

x y x y

pp

y y x x

pp

y x

py x

p

px y

p

Reemplazando en la tercera ecuacin de Lagrange se obtienen las demandas Hicksianas:

1

1 2

2

1

2

1

2

1122

1

2

1

2

0

.

0

.

x

y

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

pU x x

p

pU x

p

pU x

p

pU y y

p

pU y

p

pU y

p

1

1 2

2

1

2

1

2

1122

1

2

1

2

0

.

0

.

x

y

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

pU x x

p

pU x

p

pU x

p

pU y y

p

pU y

p

pU y

p

Al ingresar los datos dados en el enunciado, se pueden calcular las canastas ptimas:

41

La renta necesaria para que el consumidor alcance esa canasta, es igual a la suma de los productos de la cantidad demandada por el precio de cada bien.

Cantidad demandada Precio Subtotal

Bien X 1000 40 40000

Bien Y 250 160 40000

Total 80000

42

Construccin de la Curva de Demanda de Mercado A partir de las siguientes curvas de demanda individuales, construir la curva de demanda del mercado:

La curva de mercado es simplemente la suma horizontal de la curva de demanda de cada individuo. Por tanto, se procede a despejar la variable precio para cada caso y luego a la suma de las mismas:

43

Elasticidad Un individuo que consume los bienes X e Y, con una funcin de demanda del primer bien igual a:

Se pide calcular: 1. Elasticidad precio 2. Elasticidad ingreso 3. Elasticidad cruzada La elasticidad, es un concepto econmico introducido por el economista ingls Alfred Marshall, procedente de la fsica, para cuantificar la variacin experimentada por una variable al cambiar otra. En cada caso, se busca analizar el cociente entre la variacin porcentual en la cantidad demandada, y la variacin porcentual de la variable en estudio. Para cada calculo propuesto, se utiliza el mismo proceso de resolucin: primero obtener la derivada de la funcin de demanda, respecto a la variable a analizar, por el cociente entre esta variable y la funcin recin mencionada. En elasticidad precio, la variable de estudio es el precio del bien. Dado que la cantidad demandada y el precio varan inversamente, un cambio positivo del precio ir acompaado por un cambio negativo de la cantidad demandad. No obstante, para que la elasticidad precio sea positiva se utiliza un signo "menos" en la frmula.

En elasticidad ingreso, la variable de estudio es el ingreso del individuo.

44

En elasticidad cruzada, la variable de estudio es el precio de otro bien que puede influir en la demanda del bien inicial.

En los tres casos, la elasticidad es igual a uno, es decir, que los cambios porcentuales en las variables y la cantidad demandada son iguales.

45

Efectos segn Slutsky Un individuo que consume los bienes X e Y, con una funcin de utilidad de:

1 1

2 2( ; )u x y x y ,

Los precios de los productos son $20 y $100 respectivamente y posee una renta de $2000. Posee las siguientes funciones de demanda:

Las canastas optimas del individuo son x=50 e y=10; el nivel de utilidad alcanzado por el consumidor es de 22,36. Se da una modificacin en el precio del bien Y, pasando a valer este $200. Se debe determinar los efectos sustitucin y renta segn Slutsky. Cuando se produce la modificacin del precio de uno de los dos bienes, la eleccin del consumidor se ver afectada; el efecto total que producir un cambio de las variables en las cantidades demandadas de los bienes, se puede calcular reemplazando los nuevos datos en las funciones de demanda:

200050

2 2.20

20005

2 2.200

50 50 0

5 10 5

f

x

f

y

f

f

mx

p

my

p

x x

y y

El efecto total puede segregarse en dos partes, pues se trata de un proceso en cadena; por un lado se tiene el efecto sustitucin, el cual es producido por un cambio en los precios relativos, al modificarse el precio de uno o ambos bienes, lo cual implica una nueva pendiente para la restriccin presupuestaria, y por tanto, una nueva distribucin del ingreso. Por otro lado, se encuentra el efecto renta, el cual se basa en la reduccin o aumento de la masa de dinero que posee el individuo, lo que solo provocara una modificacin cuantitativa de las demandas de los bienes, sin alterar la proporcin en que los consume. Para calcular el efecto sustitucin, es necesario conocer como seria la demanda de los bienes ante el nuevo precio, suponiendo que el individuo posea una renta que permita este nivel de consumo. Para el clculo del efecto renta, solo basta la inclusin del ingreso real del individuo y as se obtendr las cantidades finales demandadas.

Efectos totales de

cada bien

46

El anlisis pretende obtener primero el nivel de renta necesario para que el individuo reciba la misma cantidad de bienes, con la inclusin de la nueva variable:

2000 20.50 100.10

20.50 200.10

3000

x y

x y

m p x p y

m p x p y

m

m

Si se reemplaza en la funcin de demanda de cada bien la nueva renta y los nuevos precios, se obtendr las cantidades con la aplicacin del efecto sustitucin.

300075

2 2.20

30007,5

2 2.200

75 50 25

7,5 10 2,5

s

x

s

y

s

s

mx

p

my

p

x x

y y

De la resta de estas cantidades con las iniciales se puede calcular el efecto sustitucin:

Efecto Sustitucin

300075

2 2.20

30007,5

2 2.200

75 50 25

7,5 10 2,5

s

x

s

y

s

s

mx

p

my

p

x x

y y

47

El efecto renta, una vez aplicado, llevara al individuo a obtener las cantidades finales, ya calculadas anteriormente, por tanto, este efecto equivale a la diferencia entre las cantidades aplicado el efecto sustitucin y las cantidades obtenidas con el efecto total.

Segn Slutsky

Bien X Bien Y

Efecto Sustitucin 25 -2,5

Efecto Renta -25 -2,5

Efecto Total 0 -5

Efecto Renta

300075

2 2.20

30007,5

2 2.200

50 75 25

5 7,5 2,5

s

x

s

y

f s

f s

mx

p

my

p

x x

y y

48

Efectos segn Hicks Utilizando los mismos datos que en el ejercicio anterior, se pide calcular los efectos sustitucin y renta segn Hicks. En el caso de Hicks, para buscar la nueva renta del efecto sustitucin, no se analizara desde la restriccin presupuestaria sino que se enfocara en la funcin de utilidad. Se desea mantener fijo el nivel de satisfaccin alcanzado anteriormente (22,36) pero con la inclusin de los nuevos precios. El clculo del efecto sustitucin da la necesidad de conocer la renta necesaria para mantener, frente al cambio de precio, la canasta optima anterior; por tanto, se debe igualar el nivel de satisfaccin que se pretende mantener con la funcin de utilidad, reemplazando cada bien por su funcin de demanda correspondiente y manteniendo la renta como incgnita. Para realizar el clculo, dentro de las demandas se reemplazaran los nuevos precios:

1 1

2 2

11

22

1 1 1

2 2 2

1

2

( ; ) 22,36

22,362. 2.

22,36

(2. ) (2. ) 2.( . )

22,36.2.( . )

22,36.2. 20.200 2828,34

x y

x y x y

x y

u x y x y

m m

p p

m m

p p p p

m p p

m

Luego de realizar el despeje, se analizara cules son las cantidades demandadas aplicado el efecto sustitucin:

2828,3470,7

2 2.20

2828,347,07

2 2.200

70,7 50 20,7

7,07 10 2,93

s

x

s

y

s

s

mx

p

my

p

x x

y y

Se procede a calcular el mismo de la siguiente manera:

Efecto Sustitucin

2828,3470,7

2 2.20

2828,347,07

2 2.200

70,7 50 20,7

7,07 10 2,93

s

x

s

y

s

s

mx

p

my

p

x x

y y

49

Como se conoce el efecto total gracias al anlisis previo (segn Slutsky), se puede calcular el efecto renta restando uno con otro, o restando a las cantidades finales las obtenidas en el paso anterior.

Efecto Renta

300075

2 2.20

30007,5

2 2.200

50 70,7 20,7

5 7,07 2,07

s

x

s

y

f s

f s

mx

p

my

p

x x

y y

50

En resumen:

Segn Hicks

Bien X Bien Y

Efecto Sustitucin 20,7 -2,93

Efecto Renta -20,7 -2,07

Efecto Total 0 -5

51

Impuestos Un individuo que consume los bienes X e Y, con las siguientes funciones de demanda:

Donde el precio del bien X es de $20 y el del bien Y $50, y el individuo posee una renta de $900. Se dan 3 situaciones:

a) Se le aplica un impuesto de suma fija de $300 b) Se le aplica un impuesto por unidad a la compra del bien X, de $10 c) Se le aplica un impuesto ad valorem al precio del bien X del 25%

Se pide calcular los efectos de los impuestos en las cantidades demandadas por el individuo. En los casos b) y c) calcular los efectos sustitucin y renta segn Slutsky. En la primera situacin, como se ha visto en ejercicios con aplicacin de impuestos a un demandante, la aparicin de un impuesto de suma fija, se traduce en una reduccin directa de la renta disponible por el mismo para el consumo.

Esto modifica el consumo de ambos bienes, pero al verse solo modificada la variable ingreso, se trata nicamente de un efecto renta:

Comparando estas cantidades con las iniciales del individuo se obtiene:

En la situacin b), un impuesto por unidad representa un aumento por esa cantidad del precio de dicho bien:

Lo que nos lleva a realizar un estudio, como el enunciado propone, segn Slutsky, del cambio de precio que aqu se origina.

Efecto Renta / Total

52

No se calcula el bien Y ya que no sufren ningn cambio las variables que componen su funcin de demanda, lo que supondr un efecto total cero para este bien. En cambio, para el bien X, como se puede observar, la diferencia entre cantidad final y cantidad inicial, es de 5 negativos, lo que representa el efecto total en la demanda de dicho bien. Se procede a calcular el efecto sustitucin:

Se calcula el efecto renta por diferencia con las cantidades finales:

En la situacin c), un impuesto ad valorem representa un aumento proporcional del precio del bien en cuestin:

Se procede a calcular la cantidad final demandada bajo el efecto total de dicho cambio:

El efecto total, calculado por diferencia, es de -3. Luego se calculan los dos efectos que componen la variacin total:

Efecto Sustitucin

Efecto Renta

53

Se calcula el efecto renta por diferencia con las cantidades finales:

Situacin Bien Ef. Sustitucin Ef. Renta Ef. Total

A X - -5 -5

Y - -4 -4

B X -3,34 -1,66 -5

Y 2 -2 0

C X -2 -1 -3

y 1 -1 0

Efecto Sustitucin

Efecto Renta

54

Consumo Intertemporal Un individuo debe decidir cunto consumir de bienes entre dos periodos consecutivos, el momento 1 y el momento 2, para lo cual posee una funcin de utilidad, con las variables consumo 1 y consumo 2, como la siguiente:

La renta destinada al periodo 1 es de $40, y la destinada al 2 es de $125. El precio de los bienes en el primer momento es de $10, pero la inflacin hasta el momento 2 fue del 100%. Se le plantea al individuo una tasa de inters del 25% para el lapso del periodo 1 al 2. Se pide calcular, desde la perspectiva del primer momento, lo siguiente: 1. Sendero de expansin de la renta 2. Demandas Marshallianas 3. Canastas optimas 4. Cantidades de dinero necesarias para cada momento 5. Nivel de utilidad alcanzado Inicialmente es prudente definir las variables que participaran del clculo:

El precio de los bienes en un primer momento es de $10, pero habindose visto afectados por la inflacin, en el momento siguiente ser de $20. El nivel de inflacin para este clculo, ser expresada como el nmero representativo de su porcentaje, por ejemplo, si fuera del 50% sera de 0,5, en este caso 100% equivale a 1.

Segn se vea el problema desde la perspectiva de cada momento, entra en juego una tasa de inters, que recibe el mismo tratamiento que la inflacin para el clculo que se pretende; una tasa del 25% equivale a 0,25.

El consumo intertemporal de un individuo puede analizarse desde una perspectiva actual, es decir, del momento inicial, y desde una perspectiva futura, el siguiente momento. Si se analiza desde el primer momento, los precios y la renta futura debern ser re expresados a dinero del periodo 1, por tanto, suponiendo que fueron afectados por la tasa de inters, se deber convertir dividiendo cada uno de ellos por la suma de la unidad y la tasa de inters.

Por tanto, la restriccin presupuestaria equivaldra a lo siguiente:

En el caso de la perspectiva futura, los que deben ser re expresados son los datos del periodo 1, pero en vez de desagregar el inters, se debe capitalizarlo; para esto, se multiplican la renta y el precio por la suma de la unidad y la tasa de inters.

55

Una vez definida la restriccin presupuestaria, se puede proseguir en el clculo segn la perspectiva del momento 1, como se solicita en el enunciado. Se va a utilizar el mtodo de Lagrange, pero tambin puede resolverse el problema gracias a la igualacin de pendientes.

a) =0

b) =0

c) =0

a) =0

=-

b) =0

Se procede a la igualacin de los resultados de los despejes de las ecuaciones a y b

Del despeje de lo recin planteado se obtienen los senderos de expansin de la renta:

Ahora, se reemplazan los senderos de expansin dentro de la ltima ecuacin de Lagrange, obteniendo las demandas de bienes para cada periodo:

c)

56

Si se reemplazan los datos iniciales dentro de las funciones de demanda se obtienen las canastas ptimas:

La cantidad de dinero necesaria para que puedan darse esas canastas seria la siguiente: Para el momento 1:

57

Para el momento 2:

Se puede constatar que la suma de estas cantidades de dinero es iguales a las sumas de las rentas bajo la perspectiva del momento 1:

Como ltimo paso, se procede a calcular el nivel de utilidad alcanzado

58

Incertidumbre Un individuo posee un patrimonio valuado en $1000, esta persona carga con una probabilidad del 10% de perder toda su riqueza en un robo. Se le presentan al individuo dos aseguradoras, que le proponen:

a) Seguro 1: Ante el caso de producirse el siniestro, el individuo recibir un 80% del total asegurado, deber pagar una pliza correspondiente al 5% del dinero que se le retribuir.

b) Seguro 2: Ante el caso de producirse el siniestro, el individuo recibir el total del dinero asegurado, debiendo pagar una pliza correspondiente al 25% del monto retribuido.

La utilidad del individuo ante el consumo de cada estado de la naturaleza, esta representada por la siguiente funcin:

Suponiendo que desea asegurar la totalidad de su patrimonio, 1. Adoptara algn seguro? En caso positivo, Cul? 2. Se trata de un individuo averso, amante o neutral ante el riesgo? Para los clculos propuestos, se hace necesario definir correspondientemente los datos que ponderan en ellos:

La probabilidad de robo ser denominada p, mientras que el caso contrario q; al ser hechos mutuamente excluyentes, la probabilidad de sucesos debe sumar 1, por tanto se puede calcular la probabilidad q como diferencia de la unidad con la probabilidad p:

Robo No robo

Sin asegurar 1000-1000=0 1000

Seguro 1 1000-1000+800-40=760 1000-40=960

Seguro 2 1000-1000+1000-250=750 1000-250=750

Para decidir cual caso elegir el individuo, se debe calcular la esperanza matemtica de la utilidad que obtendra el mismo en cada situacin: Sin Asegurar: Seguro 1: Seguro 2: Como se puede apreciar, el seguro 1 le brinda una utilidad esperada mayor que los dems casos, por tanto elegir este.

59

Para verificar si el individuo es amante, averso o neutral ante el riesgo, es necesaria la comparacin entre la utilidad esperada del individuo con la utilidad de la esperanza de la riqueza del mismo:

La esperanza matemtica de la riqueza del individuo para cada caso seria:

Sin asegurar 0.0,1+1000.0,9=900

Seguro 1 760.0,1+960.0,9=940

Seguro 2 750.0,1+750.0,9=750

Para el seguro 1, la utilidad de la esperanza de la riqueza seria:

De la comparacin se obtiene:

60

Ejercicios Adicionales 16) Un individuo que consume los bienes X e Y, con las siguiente funcin de utilidad:

Calcular los senderos de expansin de la renta, las demandas marshallianas y las canastas ptimas para cada caso, considerando:

17) Un individuo que consume los bienes X e Y, con las siguiente funcin de utilidad:

Calcular los senderos de expansin de la renta, las demandas hicksianas y las canastas ptimas, considerando:

18) Para las funciones de demanda obtenidas en el ejercicio 1, calcular su elasticidad precio,

elasticidad ingreso y elasticidad cruzada. 19) De cunto ser la elasticidad cruzada para una funcin de demanda la cual no posee

como variable el precio del bien relacionado? 20) Basndose en los datos del ejercicio 1 a), imagine la modificacin del precio del bien Y, el

cual pasa a valer $125. Calcule los efectos segn Slutsky y segn Hicks. 21) Los precios de los bienes X e Y son $40 y $60 respectivamente, calcule los nuevos precios

que deber considerar el consumidor si se aplica:

Un impuesto por unidad de $5 al bien X.

Una subvencin por unidad de $10 al bien Y.

Un impuesto ad valorem del 21% a ambos bienes. 22) Un individuo debe decidir cunto consumir de bienes entre dos periodos consecutivos,

el momento 1 y el momento 2, para lo cual posee la siguiente funcin de utilidad:

El precio de los bienes en el periodo 1 es de $20 y en el periodo 2 es de $100, la renta del primer momento es de $1000 y del segundo $500. La tasa de inters aplicada es del 10%. Se pide calcular, desde la perspectiva del momento 2, las canastas ptimas y el nivel de utilidad alcanzado.

61

23) Se presenta la misma situacin que en la seccin incertidumbre, modificando el enunciado al poseer el individuo una funcin de utilidad como la siguiente:

Calcular la utilidad esperada de todos los casos, y determinar cual ser la opcin que elegir el individuo, como tambin, si se trata de amante, averso o neutral al riesgo.

Ejercicio Integrador Un individuo que consume los bienes X e Y, con la siguiente funcin de utilidad:

Los precios de los bienes son 20 y 100 respectivamente; la renta del consumidor es de 2000. Se pide calcular: 1) Senderos de Expansin de la Renta 2) Demandas Marshallianas 3) Demandas Hicksianas 4) Canastas optimas 5) Nivel de utilidad alcanzado 6) Elasticidades 7) Graficar Frente a la aplicacin de un impuesto ad valorem del 20% para el bien Y, calcular los efectos sustitucin y renta segn Slutsky y segn Hicks.

62

Soluciones 1) Para ambos casos:

SER

Funcin de Demanda

Canasta optima

2)

SER

Funcin de Demanda

Canasta optima

3) Las elasticidades precio e ingreso son unitarias, mientras que la elasticidad cruzada es cero. 4) Siempre ser cero. 5)

Slutsky

Efecto X Y

Sustitucin 6,25 -1

Renta -6,25 -1

Total 0 -2

Hicks

Efecto X Y

Sustitucin 5,9 -1,06

Renta -5,9 -0,94

Total 0 -2

6) Los precios pasan a ser los siguientes:

7)

63

Teora del

Productor

Curvas de Costo

Construccin de la Curva de Oferta individual

Construccin de la Curva de oferta de la

industria

Demanda de factores (Maximizando la

produccin)

Demanda de factores (Minimizando los costos)

Rendimientos a escala

Comportamiento de la empresa maximizadora

del beneficio

64

Curvas de costo

Frente a la siguiente curva de costos totales a corto plazo de una empresa:

Calcular las curvas de:

1. Costos Variables

2. Costos Fijos

3. Costos Totales Medios

4. Costos Variables Medios

5. Costos Fijos Medios

6. Costo Marginal

Los costos totales de una empresa estn conformados por la sumatoria de todos los costos que

afronta la empresa, los cuales, para el anlisis propuesto, pueden ser variables o fijos; La

diferencia entre cada tipo de costo depende de si se ve afectado el monto o no por un

incremento o disminucin de la masa producida, es decir, los costos fijos son constantes pese a

un cambio en las cantidades producidas, mientras que los variables dependen de las mismas.

Segn este criterio, se puede separar claramente los costos variables y los fijos:

Los costos totales medios resultan del cociente entre el costo total afrontado por la empresa y

la cantidad de bienes producidos:

65

De la misma manera se pueden diferenciar los costos variables medios y los costos fijos medios:

El caso de los costos marginales, resultan del costo que debe afrontar la empresa al producir

una unidad mas. El calculo demanda derivar la funcion de costos totales:

66

Construccin de la curva de oferta individual

Una empresa posee la siguiente curva de costos totales a corto plazo:

Se pide calcular la curva de oferta individual de la misma.

La curva de costo marginal de una empresa es a la vez su curva de oferta, restringiendo esta

definicin a dos excepciones: Se excluyen los niveles de produccin donde la pendiente de dicha

curva es negativa; y por otro lado, se excluyen los segmentos de la curva donde los costos

variables medios (en el corto plazo) o los costos totales medios (en el largo plazo) se

encuentran por encima de la curva de costo marginal de la empresa.

Se procede a calcular las curvas de costos a analizar:

Frente a la primer excepcin, se procede a calcular los segmentos donde la curva de costo

marginal posee pendiente positiva, para eso, se calculan los puntos minimos o mximos y luego

las pendientes:

Pendiente Negativa - Positiva

Se concluye que todos los niveles de produccin menores a dos no sern parte de la curva de

oferta.

Frente a la segunda excepcin, se calcula el segmento de la curva de costo marginal que se

encuentre por encima de la de costo variable medio, para eso, se toma en cuenta la propiedad

que relaciona ambas funciones: la curva de costo marginal pasa por el punto minimo de la

curva de costo variable medio y de la curva de costos totales medios.

Se procede a calcular el punto minimo de la curva de costos variables medios:

67

Visto grficamente:

Como puede observarse, los costos marginales se encuentran por debajo de los costos variables

medios hasta darse su punto minimo.

Segn la excepcin primera, el nivel de produccin debe ser mayor a 2, mientras que segn la

segunda, debe ser mayor a 3, por tanto se concluye que la curva de oferta de la empresa es la

siguiente:

P=

P=

68

Construccin de la curva de oferta de la industria

En una industria compuesta por dos empresas, las cuales presentan las siguientes funciones

de costo:

Empresa 1 Empresa 2

Costos Totales 21 4 5

2x x

2 10 3x x

Se pide calcular la oferta de la industria

Se procede a calcular las ofertas individuales primero, como ambas empresas presentan costos

marginales lineales, con pendiente positiva, y costos variables medios menores, las curvas de

oferta sern representadas exactamente por los costos marginales de cada una.

Empresa 1 Empresa 2

Costos Totales 21 4 5

2x x

2 10 3x x

Costos Marginales 4x 2 10x

Costos Variables Medios 14

2x

10x

Curva de Oferta 4p x 2 10p x

Curva de Oferta en funcin

del precio

4x p 15

2x p

69

La curva de oferta de la industria estar representada por la sumatoria de varios segmentos,

cada uno, conformado por la cantidad ofrecida al precio mas bajo posible, es decir, por

ejemplo, el primer segmento estar representado por la suma de las cantidades de las

empresas que puedan ofrecer al precio $1, luego la sumatoria de las cantidades de las

empresas que puedan ofrecer al precio $2, y asi sucesivamente.

En el caso planteado, la empresa 1 puede ofrecer a un precio mas bajo que la empresa 2 hasta

el punto que ambas empiezan a ofrecer y se suman sus cantidades. A continuacin se presenta

un grafico con la cantidad en funcion del precio:

La empresa 2 comienza a ofrecer recin a partir del precio 10, por tanto hasta ese momento la

oferta de la industria estar representada por la oferta de la empresa 1, luego de alcanzar el

precio 10, se suman ambas cantidades. Para colocar esta idea en funcion de la cantidad a

producir, se procede a calcular el nivel de produccin que alcanze el precio 10:

Cuando se dice se suman ambas cantidades, se refiere al calculo de la suma horizontal de las

curvas inversas de oferta, ya que cada una representa la cantidad ofertada por cada empresa.

1( 4) 5

2

39

2

26

3

x p p

x p

p x

70

De los anteriores clculos se puede conformar la oferta total de la industria:

P=

71

Demanda de factores (Maximizando la produccin)

Una empresa posee una tecnologa que le propicia la siguiente funcin de produccin a largo

plazo dependiente de dos factores: W y Z

El precio respectivamente de cada uno de ellos es de $10 y $50. La empresa posee $2000

destinados a la compra de factores. Se pide calcular:

1. Senderos de Expansion.

2. Funciones de demanda de cada factor.

3. Canastas optimas de factores.

4. Nivel de produccin alcanzado.

Para maximizar el beneficio se debe tender a un nivel de produccin donde el valor del

producto marginal de cada factor sea igual al precio del mismo. En el largo plazo, donde todos

los factores son variables, es correcto realizar el mismo calculo para los dos factores.

Similarmente a lo realizado en la seccin de Teoria del Consumidor, las demandas de factores

buscan maximizar la funcion de

produccin respecto a una restriccin

presupuestaria definida:

La resolucin puede abordarse utilizando el mtodo de Lagrange o igualando las pendientes

(La pendiente de las isocuantas es la Tasa Marginal de Sustitucion Tecnica)

O

Utilizando cualquiera de los dos mtodos se puede obtener los senderos de expansin:

72

Una vez obtenidos se puede calcular las funciones de demandas para cada caso:

Una vez reemplazados los datos del enunciado se puede calcular la cantidad demandada en

cada caso:

El nivel de produccin alcanzado gracias a esa cantidad de factores es:

73

Demanda de factores (Minimizando los costos)

Una empresa posee una tecnologa que le propicia la siguiente funcion de produccin a largo

plazo dependiente de dos factores: W y Z

El precio del factor W es de $20 y el del Z $40. Si se desea mantener un nivel de produccion

de 5000, calcular:

1. Senderos de Expansion.

2. Funciones de demanda de cada factor.

3. Canastas optimas de factores.

4. Renta necesaria para lograr dicho nivel de produccion.

La minimizacin del costo respecto de un nivel determinado de produccin puede resolverse de

forma similar a las demandas hicksianas, es decir, obteniendo los senderos de expansin

mediante Lagrange o la igualacin de pendientes, para luego reemplazar los datos en la

funcion de produccin.

Para este caso, se utilizara la igualacin de pendientes, recordando, que la pendiente de las

isocuantas es la tasa marginal de sustitucin tecnica:

74

Senderos de expansin:

Se procede a reemplazar los senderos dentro de la funcion de produccin:

Las canastas optimas se obtienen al reemplazar los datos del enunciado:

La renta necesaria para obtener la anterior canasta optima se obtiene reemplazando en la

restriccin presupuestaria:

75

Rendimientos a escala

A partir de las siguientes funciones de produccin obtenidas de distintas tecnologas,

determinar si poseen rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala:

a)

b)

c)

El trmino rendimientos de escala aparece en el contexto de la funcin de produccin de una

empresa. Hace referencia a los cambios en la produccin que resultan de un cambio

proporcional en todos los factores. Si el producto aumenta en el mismo cambio proporcional

entonces existen rendimientos constantes de escala. Si el producto aumenta en menos que el

cambio proporcional, existen rendimientos decrecientes de escala. Si el producto aumenta en

ms que el cambio proporcional, existen rendimientos crecientes de escala.

Para los tres casos, se duplicaran los factores y se comparara con el nivel de produccin

obtenido (Representado en cada caso por Y):

a)

Si se duplican los factores se genera 16 veces la produccin inicial, esto supera ampliamente el

doble de produccin que se podra esperar, lo que significa un cambio mas que proporcional al

dado en los factores, es decir, se trata de rendimientos crecientes a escala.

b)

Si se duplican los factores se genera el doble de produccin, es decir, los cambios en la

produccin son directamente proporcionales a los dados en los factores, lo que se concluye, se

trata de rendimientos constantes a escala.

c)

Al duplicarse los factores se genera un cambio en la produccin menos que proporcional al

dado en los factores, es decir, se trata de rendimientos decrecientes a escala.

76

Comportamiento de la empresa maximizadora del beneficio

Una empresa poseedora de la siguiente funcion de costos totales:

Se enfrenta a una curva de demanda representada por la siguiente funcion:

Suponiendo que la empresa es maximizadora del beneficio, calcular:

1. Cantidad que producira

2. Precio del producto

3. Ingreso

4. Costos totales

5. Beneficio obtenido

Para el conocer el beneficio obtenido por una empresa se debe calcular la diferencia entre los

ingresos de la misma, y sus costos totales, para el caso planteado se conocen estos ltimos

pero no la funcion que representa el ingreso del ente. El ingreso de una empresa es la cantidad

de producto que se vendio, por el precio al que se realiz dicha accin, en este caso, el precio

puede obtenerse mediante la funcion de demanda:

Si se multiplica esta funcion por la variable de la cantidad se obtiene la funcion ingreso:

A partir de los datos anteriores puede plantearse la funcion de beneficio:

Como el propsito de la empresa es maximizar el beneficio, se utilizara la herramienta

matemtica adecuada para buscar el mximo de dicha funcion, es decir, se derivara la curva de

beneficio y luego se igualara a cero para obtener los mximos de la misma:

Deteniendose un momento en lo recin planteado se puede plantear, que para la bsqueda de

la maximizacin del beneficio seria correcto igualar el ingreso marginal con el costo marginal:

77

Por tanto, del despeje de la ecuacin planteada se obtiene la cantidad que producir la

empresa:

A partir de la cantidad, reemplazando este dato dentro de la funcion de demanda, puede

obtenerse el precio al que ser vendido:

Por tanto el ingreso de la empresa ser de:

Los costos totales se obtiene reemplazando la cantidad dentro de la funcion propuesta en el

enunciado:

El beneficio que obtendr la empresa entonces ser de la diferencia del ingreso total con los

costos totales:

Visto grficamente, el rea comprendida entre el punto de equilibrio y los ejes, determina el

ingreso obtenido por el productor. Para profundizar dentro de la visin grafica, se puede

determinar el rea comprendida por los costos afrontados para ese nivel de produccin, y la

78

superficie que representa los beneficios obtenidos (la suma de ambas partes conforma el

ingreso del productor).

La curva de costos medios, sobre la cantidad optima a producir, determina el punto que divide

esta rea.

79

Ejercicios Adicionales

1. Una empresa posee la siguiente funcin de costo marginal:

Calcular la curva de costo total y la de costo variable medio, sabiendo que:

2. Calcular la curva de oferta para la empresa del tem anterior.

3. A partir de las siguientes curvas de oferta de tres empresas que conforman una

industria, construir la curva de oferta de mercado:

4. Una empresa posee una tecnologa que le brinda una funcin de produccin como la

siguiente:

Si la empresa posee una renta de $3000 destinada a la compra de factores, y, se conoce que

la demanda de cada uno de ellos fue:

Cules fueron los precios de cada uno de los factores?

5. Una empresa posee una tecnologa que le brinda una funcin de produccin como la

siguiente:

Intentando mantener un nivel de produccin de 200, se demando un total de 800 unidades

del factor W. Sabiendo que el precio del factor Z fue de $40, determinar cual fue el precio del

factor W.

6. Determinar si las tecnologas de los tems 4) y 5) son rendimientos constantes, crecientes

o decrecientes a escala.

7. Una empresa posee las siguientes curvas de ingreso marginal y costo marginal:

Si se trata de una empresa maximizadora del beneficio, sabiendo que los costos totales de

una produccin de cero unidades es de $10, determinar el beneficio obtenido por el ente.

80

Soluciones

1.

2.

3. P=

4.

5.

6. En el tem 4) se trata de rendimientos decrecientes a escala

En el tem 5) se trata de rendimientos constantes a escala

7. $530

81

Mercados

Competencia Perfecta

Monopolio

Monopolio Discriminador

Monopolio Discriminador Perfecto

Duopolio

Competencia Monopolstica

82

Competencia Perfecta

En un mercado de competencia perfecta, con las siguientes funciones de oferta y demanda:

Se encuentra una empresa maximizadora del beneficio, la cual posee la siguiente funcin de

costos totales:

Se pide calcular:

1. Precio de mercado.

2. Cantidad que producir la empresa.

3. Beneficio que obtendr la misma.

En competencia perfecta, luego del juego entre oferta y demanda de mercado, se obtiene el

precio al cual se vender y comprara dicho producto, en este caso se calcula de la siguiente

manera:

En un mercado de competencia perfecta, los participantes son precio-aceptantes, es decir, no

pueden ejercer influencia sobre el precio al cual se comercia, por tanto, la empresa

maximizadora del beneficio se encuentra frente al siguiente problema:

El ingreso marginal de una empresa precio-aceptante, es el precio de mercado, por lo cual la

misma debe igualar a este su costo marginal:

83

La cantidad que producir la empresa es de 8 unidades, por tanto, el beneficio que obtendr se

calcula de la siguiente manera:

Visto grficamente, introduciendo tambin la curva de costos medios, se pueden distinguir los

beneficios y costos de la empresa:

La superficie sombreada superior, representa el beneficio obtenido, la inferior los costos

afrontados:

84

Monopolio

Un monopolista posee la siguiente funcin de costos totales:

Se enfrente a una demanda de mercado como la siguiente:

Calcular:

1. Precio y cantidad de unidades que producir el monopolista.

2. Beneficios obtenidos por el mismo.

El monopolista determina la cantidad y el precio del mercado, al ser este el nico ofertante. Al

ser una empresa maximizadora del beneficio, se proceder a igualar los costos marginales con

los ingresos marginales:

Una vez obtenida la cantidad, se procede a calcular el precio:

Con los datos anteriores, el beneficio puede calcularse simplemente:

La curva de costos marginales coincide en este caso con la de costos medios.

85

Monopolista discriminador

Un monopolista discriminador posee dos grupos de consumidores, los cuales poseen las

siguientes curvas de demanda diferenciadas:

Los costos totales del monopolista estn representados por la siguiente funcin:

Se pide calcular los precios y cantidades ofrecidas a cada grupo, y el beneficio total obtenido

por el monopolista.

En los casos donde el monopolista discrimina sus precios, se debe abordar el calculo

suponiendo distintos ingresos dependiendo de la cantidad de grupos, es decir, el beneficio del

monopolista estar conformado por la diferencia entre la sumatoria de ingresos que le brinda

cada grupo de demandantes, y los costos totales de producir la cantidad de unidades que se

reparten entre los grupos.

Para maximizar el beneficio respecto a cada grupo, se iguala el costo marginal total con el

ingreso marginal de cada conjunto:

A partir de las cantidades producidas para cada grupo, se procede a calcular el precio que le

corresponder:

La cantidad total producida es la sumatoria de la asignada a cada conjunto, es decir, 92,5. Los

costos totales de producir esa cantidad se calculan de la siguiente forma:

86

La diferencia entre los ingresos y los costos permite hallar el beneficio que obtendr el

monopolista:

87

Monopolista Discriminador Perfecto

Un monopolista que se enfrenta a dos conjuntos de demandantes, que poseen las mismas

funciones representativas que en el apartado anterior, desea discriminar perfectamente sus

precios para cada combinacin de precio y cantidad bajo esas curvas de demanda. Los costos

totales son iguales tambin al ejercicio anterior.

Para poder considerar todas las combinaciones posibles bajo las curvas de demanda, es

necesario aplicar como herramienta matemtica las integrales, las cual permiten determinar el

rea comprendida entre curvas o rectas.

El beneficio del monopolista estar determinado de la siguiente manera:

Para maximizar dicho beneficio se proceder en el siguiente clculo:

En vez de igualar cada ingreso con los costos marginales, se igualara esta ltima funcin, con

cada uno de los precios:

A partir de estos datos se calcula la cantidad total, 185.

El clculo del beneficio entonces queda limitado a reemplazar los datos en la primera ecuacin

planteada:

88

Visto grficamente:

89

Duopolio

En un mercado oligoplico donde solo participan dos empresas, se dan las siguientes

condiciones:

Curva de demanda del mercado

Funciones de costo de las respectivas empresas:

Se pide comparar las cantidades producidas, el precio de mercados y los beneficios

obtenidos segn se aplique el modelo de Cournot, Stackelberg (Empresa 1 lder), Bertrand y

la Colusin.

Dentro de los anlisis siguientes, se deber calcular para cada modelo el precio de mercado,

obtenindose a partir de la curva de demanda; la misma, se encuentra en funcin de la

cantidad total de bienes en el mercado, es decir, que para proceder en el clculo del precio para

cada modelo, se deber considerar la sumatoria de ambas cantidades producidas.

En los modelos de Cournot y Stackelberg, se considera que una o ambas empresas (depende el

modelo) poseen una curva de reaccin frente al nivel de produccin que presenta su

contrapartida. Para el clculo de esa curva, se debe proceder en el desarrollo usual de como

una empresa maximiza su beneficio, recordando que en este mercado el precio est influido

por las cantidades producidas por ambos competidores, de lo que resulta la posibilidad de

colocar la produccin de cada empresa en funcin de la otra:

Procediendo de la misma manera, se puede calcular la curva de reaccin de la empresa 2:

90

Para Cournot, las empresas deciden independientemente de lo que producir su rival, es decir,

Cada firma toma la cantidad a producir de sus competidores como dada. El clculo de la

cantidad que producir cada empresa se resuelve reemplazando una curva de reaccin dentro

de la otra:

La cantidad total producida por tanto ser de 27,72, lo que conlleva a obtener un precio de

mercado de 22,28.

Los beneficios por tanto son:

El beneficio total que se obtiene en el mercado es de 521,85.

El modelo de Stackelberg se aplica a un mercado donde exista una empresa lder y el resto de

las firmas son seguidoras de esta. La empresa lder conoce las curvas de reaccin de sus

seguidoras, por tanto, las incluye dentro de su anlisis en busca de maximizar sus beneficios:

91

Para obtener la cantidad producida por la empresa seguidora, simplemente se reemplaza la

cantidad de la firma lder en la curva de reaccin:

La cantidad total en este caso sera de 30,24, y el precio de 19,76.

Se procede a calcular los beneficios individuales y totales:

Para el modelo de Bertrand, o tambin llamada solucin cuasi competitiva, ambos

competidores pujan hacia el precio ms bajo, por tanto, el anlisis se enfocara a igualar los

costos marginales de cada una, al precio de mercado:

El precio de mercado por tanto, debe ser de 2.

Una vez calculado el precio, se puede utilizar como dato para la siguiente firma y as luego

obtener la cantidad producida por la primera:

92

Conociendo precio y cantidades se procede a calcular los beneficios:

Para la Colusin, ambos competidores se ponen de acuerdo y maximizan su beneficio como una

sola; el clculo se resuelve igualando el ingreso marginal con los costos marginales

individuales:

Si la cantidad total es de 24, el precio de mercado corresponde a 26. Se procede a reemplazar

el dato de la cantidad total dentro del ingreso marginal, para poder obtener la cantidad

producida por la firma2 y luego as, la cantidad de la firma1:

Sabiendo los precios y las cantidades, se procede a buscar los beneficios:

93

A continuacin se rene en un cuadro comparativo todos los datos obtenidos en los clculos

anteriores:

Cournot Stackelberg Bertrand Colusin

Cantidad Firma1 20,28 23,66 47 23

Cantidad Firma2 7,42 6,58 1 1

Beneficio F1 411,59 420,32 0 552

Beneficio F2 110,26 86,72 1 1

Cantidad Total 27,71 30,24 48 24

Precio 22,28 19,76 2 26

Beneficio Total 521,85 507,04 1 553

Como se puede observar, si las firmas se ponen de acuerdo se obtienen beneficios mayores que

compitiendo, se coloca menor cantidad de producto a la venta y a precios mayores.

94

Competencia Monopolstica

En un mercado de competencia monopolstica, sin restricciones de entrada o salida, en el

largo plazo, una empresa posee la siguiente funcin de costos:

Si la firma se enfrente a una curva de demanda como la siguiente:

Se pide calcular la cantidad a producir, el precio y el beneficio que obtendr.

La competencia monopolstica es un tipo de competencia en la que existe una cantidad

significativa de productores actuando en el mercado sin que exista un control dominante por

parte de ninguno de estos en particular.

Se supone a la firma como maximizadora del beneficio, por tanto, igualara su ingreso marginal

al costo marginal:

Conociendo la cantidad producida se puede establecer cul ser el precio:

Se puede proceder a calcular los beneficios de la empresa:

En el largo plazo, todas las empresas del mercado poseen beneficios nulos, la razn de esto es

la libre entrada y salida de competidores, por lo que, si existen beneficios extraordinarios, otras

firmas decidiran entrar al mercado, provocando que los mismos se reduzcan. Ninguna empresa

en el largo plazo posee beneficios negativos pues decidira salir del mercado. En el equilibrio

del largo plazo, todos los competidores poseen beneficios nulos.

95

Visto grficamente, considerando tambin la curva de costos medios:

Los costos medios en el punto de interseccin del ingreso marginal con el costo marginal, es

igual al precio de mercado, por lo que el beneficio de la empresa es cero.

96

Ejercicios Adicionales

1. En un mercado de competencia perfecta, donde el precio de equilibrio es de 100, una

empresa busca maximizar su beneficio a partir de una funcin de costos como la

siguiente:

Calcular el beneficio que obtendr.

2. Un monopolista busca maximizar sus beneficios a partir de la siguiente curva de

demanda y su funcin de costos totales:

Calcular el beneficio que obtendr.

3. Un monopolista que decide discriminar su oferta respecto a dos grupos de

demandantes, posee la siguiente funcin de costos:

Las demandas de cada grupo son las siguientes:

Calcular el beneficio que obtendr.

4. El monopolista del ejercicio anterior decide discriminar perfectamente su oferta frente

a las curvas de demanda que se le presentan. Calcular el beneficio que obtendr.

5. En un duopolio, las curvas de costo de las empresas son las siguientes:

La curva de demanda del mercado es la siguiente:

Construir un cuadro comparativo de las cantidades producidas, los precios y los beneficios

aplicando los modelos de Cournot, Stackelberg (Lder empresa1), Bertrand y Colusin.

6. En un mercado de competencia monopolstica, en el largo plazo, una empresa busca

maximizar su beneficio, con una funcin de costos como la siguiente:

Se enfrenta a la siguiente funcin de demanda:

Calcular la cantidad a producir, precio, ingreso y costos totales.

97

Soluciones

1. B=1700

2. B=1160

3. B=7900

4. B=16800

5.

Cournot Stackelberg Bertrand Colusin

Cantidad

producida por

empresa 1

43,27 47,6 95 47

Cantidad

producida por

empresa 2

9,45 8,73 1 1

Beneficio Empresa

1

1872,72 1887,81 0 2256

Beneficio Empresa

2

268,19 268,72 2 50

Cantidad Total

producida

52,72 56,33 96 48

Precio de Mercado 47,28 43,66 4 52

Beneficio Total 2140,91 2156,53 2 2306

6. Cantidad a producir=10

Precio=75

Ingreso=750

Costos=750

98

Equilibrio

General

Produccin

Intercambio

Ley de Walras

99

Produccin

En una economa donde se producen 2 tipos de bienes (X e Y) a partir de un nico factor (L),

existen solo dos consumidores los cuales poseen las siguientes funciones de utilidad:

Las funciones de produccin respectivas a cada bien son las siguientes:

La cantidad total del factor L es de 50000 unidades.

Se pide calcular:

1. La frontera de posibilidades de produccin dentro de esta economa

2. Las cantidades producidas en el equilibrio general

3. Las posibles asignaciones optimas en el sentido de Pareto.

Los conjuntos de posibilidades de produccin vistos grficamente, alcanzan su nivel mximo en

la frontera de posibilidades, esta puede calcularse a partir de la restriccin de cantidad de los

factores productivos de la economa:

La cantidad total del factor, 50000, debe ser igual a las cantidades asignadas a producir los

distintos bienes de consumo. Si se toman las funciones de produccin y se despeja la variable

del factor productivo se obtiene lo siguiente:

La frontera de posibilidades de produccin se obtiene al reemplazar cada variable de la

restriccin de cantidad:

100

En el equilibrio general las pendientes de las curvas de utilidad y de la frontera de posibilidades

de produccin son iguales, por tanto, se procede a calcular las TMS correspondientes a cada

consumidor y la Relacin Marginal de Transformacin, la pendiente de la FPP.

Para despejar las variables de la RMT, se proceder a igualarla con la TMS del consumidor b, la

cual permite obtener lo siguiente:

Si se reemplaza este dato dentro de la frontera de posibilidades de produccin se obtiene una

curva en funcin de una nica variable, que al despejarla, se puede calcular la cantidad a

producir por cada una:

101

Visto grficamente:

Por ltimo, es necesario calcular las posibles asignaciones de esta produccin entre los dos

consumidores, de forma que se mantenga un ptimo de Pareto. El trmino ptimo de Pareto

proviene del nombre del economista italiano primero en utilizar este concepto, el cual refiere al

punto donde no se puede mejorar la situacin de un participante sin perjudicar la de otro.

Dentro del contexto de nuestro anlisis, los ptimos se encontraran donde sean tangentes las

curvas de indiferencia de los consumidores, es decir, donde se igualen las pendientes de ambos:

Este resultado es la llamada curva de contrato, se encuentra en funcin del consumo de un solo

participante, dando por sentado que el participante restante obtendr todos los bienes que

resten, es decir, si el consumidor A obtiene 20y y 10x, el consumidor B obtendr 80y (100-20) y

190x (200-10). La curva de contrato representa todos los puntos de tangencia entre las curvas

de indiferencia de los consumidores, cualquier distribucin que no se corresponda a esta curva

no ser un ptimo en el sentido de Pareto.

102

Visto grficamente:

103

Intercambio

En una economa de dos participantes, donde se da la existencia de dos tipos de bienes: X e

Y. Las funciones de utilidad correspondientes a cada individuo son:

Las cantidades totales y distribuciones iniciales son las siguientes:

Bien X Bien Y

Individuo A 80 10

Individuo B 20 40

Total 100 50

Se pide:

1. Obtener curva de contrato

2. Verificar si las asignaciones iniciales son Pareto-Optimas

3. Encontrar precios relativos

4. Suponiendo que el precio del bien y es de $156, calcular el precio del bien x

5. Obtener las cantidades demandadas por cada individuo de cada bien

1. La curva de contrato est formada por todos los puntos donde son tangentes las curvas de

indiferencia de ambos consumidores, por tanto, para obtenerla se debe igualar sus

pendientes (Tasas Marginales de Sustitucin):

Una vez calculadas las TMS por separado, se presenta el problema de tener variables

diferentes, que impiden despejar la igualacin ( ). Para convertir las variables de

104

un individuo en las del otro, se debe plantear las restricciones de cantidad existentes en esta

economa:

Se reemplazan estos datos en las TMS obtenidas anteriormente y se procede a calcular la curva

de contrato:

2. Para saber si las asignaciones iniciales son ptimas en el sentido de Pareto, se pueden

utilizar tres mtodos diferentes:

a) A travs de la curva de contrato: Se reemplazan las asignaciones iniciales

dentro de la ecuacin de la curva de contrato y se verifica si son

correspondientes:

b) A travs de las TMS: Se reemplaza en cada tasa marginales de sustitucin las

asignaciones iniciales y se comparan, si son iguales, se trata de una

distribucin optima:

105

c) A travs de la visin de un grfico: Se procede a construir la caja de Edgeworth

correspondiente a los datos del ejercicio, se traza la curva de contrato y se

verifica si el punto que representa la distribucin inicial coincide con la curva:

3. Para calcular los precios relativos, en primer lugar se deben buscar las demandas de cada

bien por parte de cada individuo. Para variar modos de resolucin, para el individuo A, se

aplicara el mtodo de Lagrange, mientras que para el individuo B se proceder a la

igualacin de la TMS y el cociente de precios.

Se despeja lambda en las dos primeras ecuaciones y luego se procede a obtener los senderos de

expansin utilizando el mtodo de igualacin:

106

Igualacin:

Senderos de Expansin

Se reemplazan estos ltimos dentro de la tercera ecuacin de Lagrange:

Para el individuo B, como se aclar antes, se procede a utilizar la igualacin de las pendientes

(TMS y Cociente de precios). Se recuerda, la TMS del individuo B, ya fue calculada en el tem 1:

Senderos de Expansin

107

Se reemplazan los senderos dentro de la restriccin presupuestaria para obtener las demandas:

La renta de cada individuo es igual a la sumatoria del valor total de los bienes que

posee inicialmente:

Por tanto, se reemplazan las rentas por los resultados recin obtenidos.

Como la suma de las cantidades demandadas por cada individuo debe sumar la cantidad total

existente del bien, se procede a plantear lo siguiente:

Del despeje de lo recin expuesto, se obtienen los precios relativos:

Precios Relativos

108

4. Suponiendo que el precio de bien y es de $156, se reemplaza en la ecuacin obtenida en el

tem anterior y se obtiene:

5. Conociendo los precios y las cantidades iniciales, se puede obtener las rentas de cada uno

de los individuos:

Con los precios y las rentas se procede a calcular las demandas de cada individuo:

Como se puede observar, se respeta la restriccin de cantidad propuesta por el ejercicio (52,68

+ 47,62 = 100). Para calcular las demandas del otro bien, se pueden utilizar las funciones como

en el paso anterior, o se puede aplicar lo siguiente:

Tambin se respeta en este caso la restriccin de cantidad (21,15 + 28,85 = 50).

109

Ley de Walras

Verificar para el ejercicio propuesto en la seccin anterior si se cumple la ley de vaciamiento

de mercado

La ley de Walras expresa que para cualquier sistema econmico la sumatoria de las demandas

netas de cada bien da por resultado cero, es decir, que la cantidad de bien que decide

deshacerse un individuo coincide con la cantidad que requiere otro.

Las demandas netas se obtienen al calcular la diferencia entre las demandas totales y las

asignaciones iniciales de cada individuo.

Como se puede observar, las demandas netas de cada bien correspondiente a un individuo, se

cancelan con las demandas netas del otro participante.

110

Ejercicios Adicionales

1. En una economa con dos consumidores, los cuales poseen las siguientes funcin de

utilidad:

Las funciones de produccin respectivas a cada bien son las siguientes:

La cantidad total del factor L es de 1700 unidades.

Calcular:

a) F.P.P.

b) Cantidades producidas de cada bien

c) Curva de contrato

2. En una economa de intercambio con solo dos participantes, se poseen las siguientes

funciones de utilidad correspondientes a cada uno de ellos:

Las cantidades totales y las distribuciones iniciales son las siguientes:

Se pide:

1. Obtener curva de contrato

2. Verificar si las asignaciones iniciales son Pareto-optimas

3. Encontrar precios relativos

4. Determinar el precio del bien x sabiendo que el precio del bien y es de $232.

5. Obtener las cantidades demandadas de cada bien por cada participante.

6. Verificar la Ley de Walras

Bien x Bien y

Individuo A 20 10

Individuo B 30 2

Total 50 12

111

Soluciones

1. F.P.P.

Cantidades producidas:

x=10 y=40

Curva de contrato:

2. Curva de contrato:

Las asignaciones no son ptimas en el sentido de Pareto

Precios relativos:

Precio de X=32

Demandas de cada bien:

A B

X 27,75 22,25

y 8,93 3,07

Ley de Walras se verifica.

112