Modulo matematicas7HENRY PIERCEGUIAMATEMATICASGRADO 7Unidad 2.Nmeros enteroslogica1. Nmeros relativos.2. Nmeros enteros.3. Valor absoluto.4. Orden en los enteros.5. Ampliacin del productocartesiano.Unidad 3.Operaciones con enteros1. Adicin de enteros.2. Sustraccin de enteros.3. Propiedades de la adiciny de la sustraccin.4. Cadenas de operaciones.5. Ecuaciones aditivas.6. Multiplicacin de enteros.7. Divisin de enteros.8. Propiedades de las operaciones.9. Potenciacin.10. Radicacin.LOGROS1.Traducir diversos enunciados a las operaciones correspondientes entre nmeros enteros,explicando el uso y las propiedades en la resolucin de problemas de la vida cotidiana,permitindole trabajar en equipo solidariamente e individualmente de forma autnoma2.Identificarlas propiedades y reglas para operar en la adicin, sustraccin, multiplicacin,divisin, potenciacin, radicacin y ecuaciones de los nmeros enteros.3.Modelary solucionarsituaciones problema a partir de su contexto y propone posiblessoluciones a las mismas utilizando las propiedades de los nmeros enteros.Modulo matematicas7HENRY PIERCECONCEPTO DE LA LOGICALa lgica es una relacin entre las premisas y la conclusin expresada a travs de una serie desmbolos matemticos y/o auxiliares llamados enunciados.Parasuestudio,sedivideenlgicaformal,lgicaaplicadaylgicasimblica. Lgicaformal: eslapartedelafilosofaqueestudialasformasyleyesgeneralesdelpensamientotendiente al conocimiento de la verdad y el error.Lgica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptndoseal objeto de estudio de las distintas ciencias.Lgicasimblica: eslaqueestudiasistemticamentelasproposiciones,losrazonamientosylasdemostracionesparalocualutilizaunlenguajeconstituidoporsmbolosconvencionalesquerepresentanestructuras.Lalgicasimblicaesaquellaqueserefierealasproposiciones y que tambin se conoce con el nombre de Calculo Propocional.CONECTIVOS LOGICOSLosconectivoslgicossonaquellosquesirvenparaformarproposicionescompuestas.Simblicamente los conectivos se representan del modo siguiente:ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOSUnenunciado: esunconjuntodesmbolospormediodeloscualesexpresamoslopensado en un juicio, ya sea en formal oral o escrita. Enunciados Abiertos o simples: son aquellosquetieneunnicovalordeverdad.Eselquenotieneotroenunciadocomopartecomponente.Ejemplo: Las rosas son rojas.EnunciadosCerradosocompuestos: unenunciadocompuestocontieneotroenunciadocomo componente. Ejemplo: Las rosas son rojas y las violetas son azules.CONCEPTO DE PROPOSICIONESUna proposicin es una oracin declarativa de la cual podemos asegurar que es verdaderao que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONESProposiciones simples o atmicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.Proposicionescompuestasomoleculares: sonlasqueconstandedosomsproposicionessimplesentrelazadasporciertasparticularidadeslgicasllamadasconectivoslgicos.CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTASModulo matematicas7HENRY PIERCELaNegacin: laconectivanoeslaque seanteponeaunaproposicin paracambiarsuvalor de verdad y se representa por el siguiente smbolo ~.LaConjuncin: esunaproposicincompuestaqueseobtienealunirdosproposicionessimples unidas o entrelazadas mediante el conectivo y, y se representa con el siguiente smbolo:.LaDisyuncinInclusiva: esunaproposicincompuestadedosproposicionessimplesunidas por el conectivo lgica o, que se representa de la manera siguiente: V.LaDisyuncinExclusiva: esunaproposicincompuestapordosproposicionessimplesentrelazas por el conectivo oo y se representa as: V.LaCondicionaloImplicacin: eslacombinacindedosproposicionesunidasporlaconectivasientonces, que se representa de la forma siguiente: . La proposicin que aparece entrelas palabrasSi y Entonces, se denomina antecedente o hiptesis y la que aparece despus dela palabra Entonces, se le llama consecuente o conclusin.La Bicondicional o Doble Implicacin: es una proposicin que se obtiene al unir dos proposicionessimples mediante el conectivo si y solo si y se representa as: TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTASNegacin:Conjuncin:p q p V V VV F FConectivo Nombre Lgico SmboloNo Negacin ~Y Conjuncin O Disyuncin Inclusiva VOO Disyuncin Exclusiva VSi Entonces Implicacin o Condicional Si Solo Si Doble Implicacin o Bicondicional p ~pV FF VModulo matematicas7HENRY PIERCEF V FF F FDisyuncin Inclusiva:p q p v qV V VV F VF V VF F FDisyuncin Exclusiva:p q p v qV V FV F VF V VF F FCondicional o Implicacin:p q p qV V VV F FF V VF F VBicondicional o Doble Implicacin:p q pqV V VV F FF V FF F VCONCEPTO DE TAUTOLOGIAUna proposicin compuesta es lgicamente verdadera o tautolgica cuando es verdaderasiempre,independientementedelosvaloresdeverdaddelasproposicionessimplesquelaforman. Ejemplo:p q p v q p(p v q)V V V VV F V VF V V VF F F VModulo matematicas7HENRY PIERCECONEXIN CON LAS MATEMATICASNmeros enterosCiudades espaolas y coordenadas cartesianasImagina que queremos situar de forma precisa dnde se encuentran algunas ciudades espaolasutilizandoel mtodo de representar puntos mediante nmeros enteros. Podemos dibujar una cuadrculadonde aparezcan los ejes cartesianos que se cortan en el punto O, y superponer el mapa deEspaa, haciendo coincidir Madridcon el origen de coordenadas.Observa que se forman cuatro cuadrantes y que algunas ciudades aparecen situadas en puntosde esacuadrcula (las localizaciones son aproximadas). As, las coordenadas de Barcelona vienen dadasporel par (14, 2), es decir, si contamos 14 unidades en el eje X y 2 en el eje Y, encontramos dichaciudad en esepunto de la cuadrcula. De igual manera, las coordenadas de Salamanca vienen dadas por el par(5, 2).REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.a) Indica las coordenadas de Zaragoza, Palencia, Sevilla y Murcia.b) De las ciudades sealadas en el mapa, cules tienen la misma abscisa? Y la mismaordenada?c) Puede haber dos ciudades que tengan las mismas coordenadas?Modulo matematicas7HENRY PIERCENUMEROS ENTEROSLos nmeros enteros pueden considerarse como la unin de los nmeros naturasles y los nmerosnegativos que son lo opuesto de los naturales. Los enteros se representan grficamente en la recta denmeros enteros como puntos a un mismo espacio entre s desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,...hasta ms infinito: los nmeros enteros no tienen principio ni fin.Los nmeros negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representacin de deudas,profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo deaplicacin fue la contabilidad donde los nmeros negativos significaban deudas y los positivos haberes oactivos posedos. El hecho de que un nmero sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemosque disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre trespersonas. Es claro que esta operacin puede realizarse convenientemente si a cada persona le toca una partede las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) quequeremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un baln para que a cadapersona le toque la misma cantidad de balines, as que a cada uno le deben tocar dos balines. Los balinesilustran as, por analoga, los nmeros enteros: nmeros que no pueden dividirse, a menos que la divisin seaexacta, por decir:8/4 s es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en consecuencia, un nmeroentero.HistoriaLos nmeros histricos encontraron por primera vez una aplicacin en los balances contables. A vecescuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseda o activo, se deca que el banqueroestaba en "nmeros rojos". Esta expresin vena del hecho que lo que hoy llamamos nmeros negativos serepresentaban escritos en tinta roja as: "30" poda representar un balance positivo de 30 sueldos, mientrasque "3" escrito con tinta roja poda representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos. El nombrede enteros se justifica porque estos nmeros ya positivos o negativos, siempre representaban idealmente unacantidad de unidades no divididas (debidas o posedas pero siempre cantidades indivisibles).Tal vez por el hecho de que los nmeros negativos podan ser representados como naturales, aunque escritoscon tinta de color diferente, histricamente fueron rechazados como entidades "no existentes" realmente,sino slo como artificios contables. No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptacin en trabajoscientficos europeos, aunque matemticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesenya advertido en sus trabajos acerca de solucin de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de lossignos ya era conocida previamente por los matemticos de la IndiaModulo matematicas7HENRY PIERCEINTRODUCION A LOS NMEROS ENTEROSHayciertassituacionesquenosepuedenexpresarmatemticamenteutilizandolosnmerosnaturales. A partir de ahora utilizaremos un nuevo conjunto nmeros para resolver este problema:los nmeros enteros.Observacin: Los nmeros enteros no tienen parte decimal.Los nmerosenteros estnformadosporlos enterospositivos,los enteros negativos yelcero. El 0 no se considera ni positivo ni negativo.Lectura y escritura de nmeros enterosPara diferenciar los enteros positivos de los enteros negativos utilizamos los siguientes smbolos:+ (para los positivos) y (para los negativos).Modulo matematicas7HENRY PIERCEPara escribir un nmero entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.+ 200 Se lee: "ms doscientos".Para escribir un nmero entero negativo se coloca delante de la cantidad expresada.100 Se lee: "menos cien".Escritura sencilla:Los nmeros positivos se escriben sin signo.Los nmeros negativos se escriben siempre con signo y entre parntesis cuando seanecesario.Por ejemplo:3 + 5 + (2) + (4) + 1 = 3. (Se entiende que 3, 5 y 1 son positivos).Actividad 1 Enlasiguientetablasemuestranalgunassituacionesdescritasconnmerosenteros. Asigna el nmero entero correspondiente a aquellas situaciones que no lo tengan.Situacin N EnteroLa temperatura ambiente es de 2 bajo cero2 La temperatura ambiente es de 2 sobre cero2 +Laciudadseencuentraa800msobreelniveldel mar m 800 +El buzo est nadando a 20 m de profundidadm 20 Estamos justo al nivel del mar 0 mJulin tiene un deuda de $5.000 $5.000 El avin est volando a 9.500 metros de alturaElsaldodeudordelalibretadeahorroesde$12.356Modulo matematicas7HENRY PIERCELostermmetrosmarcaronunatemperaturade3 bajo ceroLatitud de la lnea del ecuadorLaalturadelmonteAconcaguaesde7.010metrosLaprofundidaddela fosamarinaesde10.882metrosMaritza debe $11.650Andrstiene$3.580Elsubmarinoesta35metrosbajoelniveldelmar.1 INTRODUCCINNmero entero, cualquier elemento del conjunto formado por los nmeros naturales y sus opuestos. Elconjunto de los nmeros enteros se designa por Z:Z = {, -11, -10,, -2, -1, -0, 1, 2,, 10, 11,}Modulo matematicas7HENRY PIERCELos nmeros negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar porencima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo).Se llama valor absoluto de un nmero entero a, a un nmero natural que se designa |a| y que es igual alpropio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir: si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.El valor absoluto de un nmero es, pues, siempre positivo.Las operaciones suma, resta y multiplicacin de nmeros enteros son operaciones internas porque suresultado es tambin un nmero entero. Sin embargo, dos nmeros enteros slo se pueden dividir si eldividendo es mltiplo del divisor.Situacin NmeroenteroAvanc 12 metros.El ascensor est en el 0piso.Debo $21.000El submarino est a 44 metros deprofundidad.La temperatura en la Antrtica es de 2grados bajo cero.Modulo matematicas7HENRY PIERCESUMA DE NMEROS ENTEROSPara sumar dos nmeros enteros se procede del siguiente modo:Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone elsigno que tenan los sumandos: 7 + 11 = 18 -7 - 11 = -18Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, serestan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 14 + (-14) = 0La suma de nmeros enteros tiene las propiedades siguientes:Asociativa:(a + b) + c = a + (b + c)Conmutativa:a + b = b + aElemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,a + 0 = aElemento opuesto: todo nmero entero a, tiene un opuesto a,a + (-a) = 0OPERACIONES CON NMEROS NEGATIVOS.a) SumaI. Reglas de signos.1. Cuando 2 nmeros tengan el mismo signo se suman y se conserva el signo.2. Cuando 2 nmeros tengan signos diferentes se restan y se conserva el signo delmayor.1er. Regla(+5)+(2) = +17 Suman a la derecha positivos| |01 2 3456+78 910 11El ascensor est en el primersubterrneo.Ahorr $14.000Gir de mi libreta de ahorros $5.000Retroced 5 pasos.Modulo matematicas7HENRY PIERCE(-6)+(-3) = -9Negativos se suman a la izquierda-3 -6| | | | | | ||| |-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -102da regla.(+7 )+ (-4) = +3-4+7|| || ||| | | |1 2 3 4 56 7 89 10(-5 )+ (+2 ) = -3| | | | | | ||| |-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10Ejercicio : resuelve las siguientes sumas y representa a la recta numrica.A ) (-10 ) + (-3 ) =-13| | | || | ||| || | ||| |-15 -14 -13 -12 - 11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10b) (+8) + (-5) =+3|| | || |||| || | |||0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 1213 14C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s1. Pedro deba 60 bolvares y recibi 320. Expresar su estado econmico.S o l u c i n :Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo,hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de lacantidad de mayor valor absoluto.Respuesta: el estado econmico de Pedro es de + 260 bolvares.2. Un hombre que tena 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado econmico.S o l u c i n :Modulo matematicas7HENRY PIERCENota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo,hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de lacantidad de mayor valor absoluto.Respuesta: el estado econmico del hombre es de - 345 sucres.3. Tena $200. Cobre $56 y pagu deudas por $189. Cunto tengo?S o l u c i n :Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de lacantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.Respuesta: Ud. tiene + $67.RESTA DE NMEROS ENTEROSPara restar dos nmeros enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:a - b = a + (-b)Por ejemplo:5 - (-3) = 5 + 3 = 8-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7La laveanderiaA.C.J. Ltda. tiene dos sucursales dentro de la ciudadModulo matematicas7HENRY PIERCEUno de los empleados de la lavandera tiene que desplazarse en sentidooeste-este o este-oeste, desde la sucursal 2 hasta la sucursal l. La distancia de la oficina principal a la sucursal2 es de 24 kilmetros y la distancia de la oficina principal a la sucursal 1 es 9 kilmetros. Cul es ladistancia que separa la sucursal 2 de la sucursal 1? En otras palabras, lo que se est buscando es ladistanciaque le hace falta a la sucursal 1 para estar ubicada en la sucursal 2, luego aqu se encuentra la diferencia delas distancias entre la sucursal 2 y la sucursal 1, la cual se escribe 24-9=15; es decir, que 15 kilmetrosseparan a la sucursal 2 de la sucursal l. La sustraccin entre dos nmeros enteros, se puede ver como unaadicin del primer nmero entero con el opuesto del segundo nmero entero.Para obtener la diferencia entre dos nmeros enteros debemos encontrar un nmero entero quesumado con el sustraendo nos d el minuendo. Adems, toda sustraccin puede expresarse comouna adicin: f - g = f + (-g); f y g son nmeros enteros. Sustraer un nmero es lo mismo queadicionar su opuesto.C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s1. A las 9 a.m. el termmetro marca + 12 y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15. Expresar la temperaturaa las 8 p.m.S o l u c i n :Como la temperatura ha bajado 15, se debe restar 15 de +12 :+12 - 15 = - 3.Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3.OPERACIONES COMBINADAS CON PARNTESISEn las expresin con parntesis, primero se realizan las operaciones que hay dentrodel parntesis.EjemploModulo matematicas7HENRY PIERCEMULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROSPara multiplicar dos nmeros enteros se multiplican sus valores absolutos y elresultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se lepone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento paraobtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina reglade los signos y se sintetiza del siguiente modo:+ + = ++ - = -- + = -- - = +La multiplicacin de nmeros enteros tiene las propiedades siguientes:Asociativa:(a b) c = a (b c)Conmutativa:a b = b aElemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicacin,a 1 = aDistributiva de la multiplicacin respecto de la suma:a (b + c) = a b + a c-5 -3 = -15-5 3 = -155*3 = 155*-3 = -15DIVISIONDE NMEROS ENTEROSDIVISIN DE NMEROS ENTEROS. REGLA DE LOS SIGNOSPara hallar el cociente exacto de dos nmeros enteros se dividen sus valoresabsolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo,y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.Para dividir nmeros enteros se procede de forma normal como una divisin denmeros naturalesy aplicando la ley de los signos. La misma que se aplica en lamultiplicacin:Modulo matematicas7HENRY PIERCEHayquetener en cuenta que la divisin no es conmutativa ni asociativaY no siempre da un resultado enteroEjemplosEjemplos:(+12) : (+3) = +4(+12) : ( -3) = - 4(-12) : (-3) = +4(-12) : (+3) = -4155 = 3-155 = -315-5 = -3-155 = -3propiedadesModulo matematicas7HENRY PIERCEOPERACIONES COMBINADAS CON CORCHETESEn las expresin con corchetes [ ] , primero se resalizan las operaciones que haydentro del parntesis; despus se realizan las operaciones que hay dentro delcorchete.Modulo matematicas7HENRY PIERCE [(425 + 680 - 142 ) x 12 ] : 107 [(286 + 729 - 215 ) x 45 ] : 120 [(549 + 286) x 15] - [ (925 + 275) : 150]3) Si delante de un parntesis , corchete o llave no hay nadaentonces hay un signo positivo queno se escribe.EJEMPLO:HAYUNSIGNOPOSITIVOa) un SIGNO NEGATIVO, se saca el parntesis, corchete o llaveyse CAMBIAN todoslos signos de los nmeros que estn adentro.EJEMPLO: - (4 - 3) = - 4+ 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOSb) un SIGNO POSITIVO, se saca el parntesis, corchete o llaveyse NOSE CAMBIANlos signos de los nmeros que estn adentro.EJEMPLO:(4 - 3) = 4 - 3 NOSE CAMBIAN LOS SIGNOSRESUMIENDO:1) Si tengo varios nmeros a sumar algunos positivos, otros negativos:-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 11erPASO:Sumo los positivos( 4 + 8 + 1 ) = 132doPASO:Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al parntesis- ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 173erPASO:Me quedaModulo matematicas7HENRY PIERCE( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 )13 - 17Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor13 - 17= - 4La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, elresultado me da negativo.EJERCICIO TIPOa) Eliminando parntesis:b)Resolviendo lo que hay dentro de los parntesis corchetes y llaves:Modulo matematicas7HENRY PIERCEPROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Cuando una serie de nmeros se estn sumandoyestn todossiendo multiplicados por otro nmero puedo proceder de dos maneras diferentes:a) Por propiedad distributiva: b)Resolviendo primero la suma:1)Multiplico signos .2)Multipliconmeros.EJEMPLO: EJEMPLO:Modulo matematicas7HENRY PIERCESEPARACION DE TERMINOS:Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicacin o divisin, debo primeroseparar en trminos.Los signos que separan trminos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que est encada trmino. Por ejemplo:Si el ejercicio combinado tiene parntesis, corchetes y/o llaves, se procede as:ejerciciosresolver los siguiente ejercicioscon signos de agrupacionModulo matematicas7HENRY PIERCEModulo matematicas7HENRY PIERCEPOTENCIA Y RAIZPOTENCIADEEXPONENTENATURALUna potencia es un producto de factores iguales. Est formada por la base y el exponente.Exponente Se puede leer:tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta3 . 3 . 3 . 3 = 34BaseEl factor que se repite se llama base. El nmero de veces que se repite el factor, o sea la base, sellama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 26(dos elevado a seis o a la sexta), labase ser 2 y el exponente 6, lo cual dar como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo6 veces (2 2 2 2 2 2 = 64).Ejemplos:25= 2 2 2 2 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicarpor s misma cinco veces.32= 3 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar pors misma dos veces.54= 5 5 5 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar pors misma cuatro veces.Una potencia puede representarse en forma general como:an= a a a ........Donde: a = base n = exponente n factores igualesFinalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposicin factorial deun nmero.Potencia de base entera y exponente naturalSi la base a pertenece al conjunto de los Nmeros Enteros ( a Z ) (lase a pertenece a zeta)significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto delos Nmeros Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).Potencia de base entera positiva:Modulo matematicas7HENRY PIERCESi la base a es positiva, la potencia siempre ser un entero positivo, independiente de los valoresque tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.(+a)n=+anEjemplos:(+4)3= 43= 4 4 4 = 64 =+64 Exponente impar(+3)4= 34= 3 3 3 3 = 81 =+81 Exponente parPotencia de base entera negativa:Si la base a es negativa el signo de la potencia depender de si el exponente es par o impar.a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.(_a)n (par)=+anEjemplos:(_5)2=_5 _5 =+25 = 25__= +(_2)8=_2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 =+256 = 256b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.(_a)n (impar)=_anEjemplos:(_2)3=_2 _2 _2 =_8(_3)3=_3 _3 _3 =_27En resumen:Base Exponente PotenciaPositiva Par PositivaPositiva Impar PositivaNegativa Par PositivaNegativa Impar NegativaMultiplicacin de potencias de igual basePara multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.am- an= am+nModulo matematicas7HENRY PIERCEEjemplos:1) 2322= 23 + 2= 252) 34 36= 34 + 6 = 3 103) (-4)1(-4)2= (-4)1+2= (-4)3Multiplicacin de potencias de distinta base y distinto exponentePara hacerlo, se multiplican las bases entre s y se suman los exponentes.Divisin de potencias de igual basePara dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.am: an= am nEjemplos:1)2)3)Divisin de potencias de distinta base y distinto exponentePara hacerlo, se dividen las bases y se restan los exponentes.Potencia elevada a potenciaSe eleva la base al producto (multiplicacin) de los exponentes; o sea, se conserva la base y semultiplican los exponentes.(am)n= am *nEjemplos:1) ( 23)2= 23 2= 262) ( 32)2= 32 2= 34Potencia de base racional y exponente entero:Modulo matematicas7HENRY PIERCERAIZENESIMADefinicin:Sean a nmero real, n nmero natural mayor que1 y b un nmero no necesariamentereal, entonces:a bn= bes raz ensima deaObservacin: Cada nmero real no nulo tiene nracesensimas. El 0 tiene solamente una.Ejemplo: ( ) 64 2 6= 2es una de las seis races sextas de64.RAIZENESIMAPRINCIPAL( OARITMETICA )Definicin:i )Si a > 0 y n es par,entonces b es su raz ensima principal siyslosi:a bn= y b > 0Ejemplo: 81 34=3es la raz cuarta principal de81.ii )Si a es un nmero real y n es impar,entonces b es su raz ensima principal siyslosi:a bn= y bes un nmero realEjemplo: ( ) 125 5 3= 5es la raz cbica principal de 125.Simbologa:Si b es raz ensima principal de a,esto se simboliza de la siguiente forma:na b =Ejemplos:481 3 =3125 5 =Observacin: Si a 0Ejemplo: 0 2 1287> =3 )nimpar na < 0Ejemplo: 0 9 729 3< =4 ) a an n=Ejemplo: 8 85 5=5 )nimpar ( ) a a n n=Ejemplo: ( ) 4 4 7 7=6 )npar ( ) a a n n=Ejemplo: ( ) 5 5 5 444 4= =Observacin:a e R2a = | a |7 )n n nb a b a = Ejemplos: 4 64 32 23 3 3= = 2 7 2 49 2 49 98 = = =8 )nnnbaba=Ejemplos: 10 100022000220003 333= = =14151961519615= =9 )n m m n n ma a a = =Ejemplo: 2 8 83 3= =Modulo matematicas7HENRY PIERCE10 ) ( )pn n pa a =Ejemplo: ( ) 8 2 16 16334 43= = =11 )n m p m n pa a =Ejemplo: 4 64 8 83 3 2 6 4= = =CONEXIN CON LAS MATEMATICASEl oro y las fraccionesEl oro es uno de los metales ms antiguos conocidos por el hombre. Se han encontradoornamentos de oro en tumbas egipcias, y su uso como medio de intercambiomonetario se conoce desde los tiempos bblicos. Es este un metal muy escaso y se sueleencontrar en yacimientos o filones, y tambin en pequeas cantidades; por ejemplo, laspepitas en la grava de los ros. Los principales yacimientos estn en frica, California,Alaska, Canad y Sudamrica El oro, entre otras propiedades muy apreciadas, es dctily maleable, es decir, con l podemos formar hilos muy finos y lminasextraordinariamente delgadas, por lo cual ha sido utilizado a lo largo de la historia parahacer joyas y, en la actualidad, se usa en diversos aparatos electrnicos,como los ordenadores. En la prctica, para trabajar con el oro se le aaden unaserie de metales, con objeto de darle mayor consistencia y poder utilizarlo msadecuadamente, creando una mezcla o aleacin. Segn las aleaciones, la cantidad deoro presente ser distinta. Para indicar la proporcin de oro que hay en una aleacin,llamada ley de la aleacin, se utiliz durante mucho tiempo una unidad: el quilate.As, una joya de oro de 18 quilates quiere decir que los As, una joya de oro de 18 quilatesquiere decir que los de esa joya son de oro, siendo el resto de otro metal.De igual forma, una joya de 24 quilates sera una joya compuesta totalmente de oro, los= 1 seran de ese metal Por tanto, una moneda de oro de 16 quilates y 3 gramosde peso, contendr: 3 = =2 gramos de oro puro.Modulo matematicas7HENRY PIERCERESUELVE ESTAS ACTIVIDADES (suponemos oro de 18 quilates).a) Cuntos gramos de plata hay en un collar de oro blanco que pesa 10 gramos en total?b) Cuntos gramos de oro hay en unos pendientes de oro rojo si tienen 3 gramos de cobre?c) En cul de estas dos pulseras hay ms cantidad de oro? Justifica tu respuesta. Una pulsera de oro rojo con 2 gramos de cobre. Una pulsera de oro blanco con 1 gramo de plata.NUMEROS RACIONALESLlamamos nmeros racionales al conjunto formado por todos los nmeros enteros y todos losfraccionarios se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de losnmeros racionalesUn nmero racional es el que se puede expresar como cociente de dos nmeros enteros,esdecir,enformadefraccin.Losnmerosenterossonracionales,puessepuedenexpresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a=a/1.Losnmerosracionalesnoenterossellamanfraccionarios.Elconjuntodetodoslosnmeros racionales se designa por Q.Ascomoenelconjunto Z delosnmerosenteroscadanmerotieneunsiguiente(elsiguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, puesentre cada dos nmeros racionales existen infinitos nmeros.Q= { m/n ,mZ,nZ, n =0 }Los nmeros racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado esun nmero racional.Los nmeros racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad consu unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un nmero racional, noModulo matematicas7HENRY PIERCEentero, en forma decimal se obtiene un nmero decimal exacto o bien un nmero decimalperidico.Silafraccinesirreducibleyenladescomposicinfactorialdeldenominadorsloseencuentran los factores 2 y 5, entonces la fraccin es igual a un nmero decimal exacto,perosieneldenominadorhayalgnfactordistintode2o5laexpresindecimalesperidica; por ejemplo:Toda fraccin est formada por dos nmeros naturales separados por una raya horizontal, llamada lneade fraccin. El nmero colocado bajo la lnea de fraccin indica en cuntas partes ha sido dividida la unidad.ste recibe el nombre de DENOMINADOR. El nmero que se encuentra sobre la lnea de fraccin indica las partes que se estnseleccionando de las que ya se dividieron. A este nmero se le da el nombre de NUMERADOR.En la siguiente fraccin el:*Numerador es 1 y el*Denominador es el 8Una fraccin representa siempre una divisin; por tanto,18 = 1/8FRACCIONES EQUIVALENTESDefinicinModulo matematicas7HENRY PIERCEUn nmero fraccionario es equivalente a otro cuando el producto del numerador del primero por eldenominador del segundo es igual al producto del denominador del primero por el numerador del segundo.En cambio, si no se cumple esta condicin, las fracciones son desiguales.Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fraccin por un mismo nmero, se obtieneuna fraccin equivalente: Dividir ambos por un mismo nmero permite simplificar la fraccin. Multiplicar ambos por un mismo nmero permite reducir las fracciones a un mnimo comndenominador.Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes, y se escribe a/b =c/d , si al multiplicarsus trminos en cruz se obtiene el mismo resultado a d = b c.Ejemplos:1/6 es equivalente a2/12 porque 1 12 = 2 6.3/6 no es equivalente a 5/18 porque 3 18 = 6 5.FRACCIN IRREDUCIBLE Una fraccin es irreducible si el nico divisor comn del numerador y delModulo matematicas7HENRY PIERCEdenominador es 1. Para obtener la fraccin irreducible de una fraccin, se dividen el numerador y eldenominador de la fraccin dada por el mximo comn divisor de ambos trminos.La fraccin resultante es la fraccin irreducible de la fraccin dada.Ejemplo: 75/3075 = 3 x 5230 = 2 x 3 x 5 m.c.d. (75, 30) = 3 x 5 = 15Fracion fraccin ireductibleREDUCCIN DE FRACCIONES A COMN DENOMINADORPOR EL MTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOSPara reducir fracciones a comn denominador por el mtodo de los productoscruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fraccinpor el producto de los denominadores de las dems.EjemploVamos a reducir a comn denominador las fracciones:Las fracciones buscadas son:REDUCCIN DE FRACCIONES A COMN DENOMlNADORPOR EL MTODO DEL MNIMO COMN MLTIPLOPara reducir fracciones a comn denominador por el mtodo del mnimo comnmltiplo se procede as:1.Se calcula el mnimo comn mltiplo de los denominadores, y ese valor es eldenominador comn de todas las fracciones.2.Se divide el mnimo comn mltiplo por el denominador de cada fraccin y elcociente obtenido se multiplica por el numerador.Ejemplo: Vamos a reducir a comn denominador las fracciones :Modulo matematicas7HENRY PIERCEm.c.m. (4, 5, 8) = 40Las fracciones buscadas son:COMPARACI NTodafraccinpositivaesmayorquecualquierfraccinnegativa.Silasfraccionestienenigualdenominadorsermayoraquellacuyonumeradorseamayor.Sitienendistintodenominadorsecomparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.9.- Ilustracin de Fracciones (reaachurada)Recta NumricaModulo matematicas7HENRY PIERCEPara realizar una serie de nmeros en la recta numrica, es necesario que todostengan un denominador comn; de no ser as, se aplicar el procedimiento defracciones equivalentes:2/5 20/20 6/4 40/20|05/2010/2015/20 125/2030/20 35/202Orden:Creciente 2/5, 1/2, 6/4Decreciente 6/4, 1/2, 2/5ab d010/40 20/4030/40 150/4060/40 70/40 2Orden:Creciente bc,a,dDecreciente d.a.bc4040502025)402453)4024106)402585)=====MCMdcba2020304620852201021== ==MCMModulo matematicas7HENRY PIERCEOPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOSLa definicin de fraccionario y toda la parte terica te la dejamos a ti. Mira cmose opera entre ellosSUMA Y RESTAEste tema lo podemos clasificar en dos:Suma y resta de homogneos o de igual denominadorSon las fracciones con igual denominador, son ls ms fciles de sumar, simplemente se suman losreales de los numeradores y se deja el mismo denominador:Modulo matematicas7HENRY PIERCESuma y resta de heterogneos:Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogneas es encontrar el comn denominador, elcual es el mnimo comn mltiplo de todos los denominadores presentes. Mira estos ejemplos:En el ejemplo anterior se obtuvo el comn denominador multiplicando losdenominadores. Como comn denominador tambin hubiese servido 30, 45, 60,etc. Pero la idea es escoger el mltiplo mnimo, en este caso 15.Adems nota que la operacin es muy sencilla: Se encuentra el mnimo comn mltiplo y se coloca como denominadorcomn se divide el comn denominador entre el primer denominador y el resultadose multiplica por el numerador153= 5 luego 5 * -2 =-10 Se repite la operacin para cada uno de las fracciones Se suman los resultados obtenidos y listoVeamos otro ejemplo:Esta vez no se multiplicaron entre s los denominadores porque no es necesario, 8es mltiplo comn tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que sit escogieras por ejemplo 16, 24, 32 o cualquier otro mltiplo ms grande estaramal. No! Slo sera un mltiplo innecesariamente grande y por lo tanto lasmultiplicaciones por los numeradores se creceran igualmente. Haz la prueba!.Algunas veces obtener el comn denominador mentalmente no es fcil,entonces debes recurrir a la reglita para hallar el mnimo comn mltiplo. Ej:Sumar:Modulo matematicas7HENRY PIERCECul debe ser el comn denominador?. Si lo logras obtenermentalmente...bravo!, si no, entonces mira este procedimiento: Descompones los denominadores es sus factores primos12=2*2*316=2*2*2*218=2*3*3 Luego halas el mnimo comn mltiplo. Cmo? Entonces: escoges todos losnmeros que haya y los multiplicas con su mayor exponenteEn el ejemplo:24*32=2*2*2*2*3*3=144por lo tanto el comn denominador ser 144Ntese que se escogi los mayores exponentes de la descomposicin en factoresprimos, no se sumaron!.MULTIPLICACIN DE FRACCIONARIOSPara este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de lamultiplicacin de signos y en lo posible saber simplificar fraccionarios.La multiplicacin se realiza numerador con numerador y denominador condenominadorAs:Ejemplo:Qu sucedi? Sucedi que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el9 del denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 deldenominador. Adems la expresin qued negativa por la multiplicacin designos.Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre s, al igual que losdenominadores y luego simplificar, pero eso sera tonto porque de todos modos toca simplificar yterminara dando 1Ejemplo:Modulo matematicas7HENRY PIERCEPara llegar al ltimo resultado se simplific, indaga cmo.DIVISIN DE FRACCIONARIOSse puede realizar de dos formas:- En cruz:Extremos / Medios:Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son tiles en uno u otromomento. Igualmente que en multiplicacin de fracciones, cuando la divisin ya est expresada comouna multiplicacin puedes emplear la simplificacin para facilitar tu labor. Ej. :3. Nmeros racionales. Fracciones.1. Cul es el menor nmero de 4 cifras que es a la vez divisible por 5 y por 7?Observa el directorio de unos grandes almacenes.-3 Aparcamiento-2 Aparcamiento-1 Supermercado / LimpiezaCada planta tieneunasuperficiede1.320 metroscuadrados.Modulo matematicas7HENRY PIERCE0 Complementos /Perfumera+1 Seoras+2 Caballeros+3 Nios+4 Hogar / Ferretera+5 Libros- Msica/Bar -Restaurante+6 Oficinasa) Cul es la superficie total de los grandes almacenes?b) Qu superficie est dedicada a aparcamientos?c) Qu parte de la superficie total ocupan los aparcamientos?d)Elsupermercadoocupalosdosterciosdelprimerstano.Qusuperficieocupa?e)Elrestauranteyelbarocupandosquintaspartesdelaquintaplanta.Elresto de dicha planta est ocupado en partes iguales por los departamentos delibros y msica qu superficie tiene la seccin de libros?f)Laferreteraocupaunterciodelasdosquintaspartesdelacuartaplanta.Expresamedianteunafraccinloqueocupalaferretera.Qusuperficieocupa la ferretera?2. Qu parte de la figura est coloreada?3. Representa 1/3 en la siguiente figura.4. Calcula:52de 35172 de 14053de 601312de 5855. Qu fraccin hay que aplicarle a 63 para obtener 27?6. A que nmero hay que aplicarle53para obtener 56?Modulo matematicas7HENRY PIERCE7. Simplifica lassiguientes fracciones.a)200 . 4440 . 1b)264003 . 3c)024 . 11288. Son equivalentes los siguientes pares de fracciones?a)712y4984b)2315y303 . 2505 . 1c)33125y431359. Completa la siguiente tabla:Fracciones ReducidasacomndenominadorOrdenadas2 ,65,53,74 152,426,34,72247,1523,124710. Representa en la recta real las siguientes fracciones:58,58,88,35,53 10. Halla el resultado simplificado de las siguientes expresiones.Modulo matematicas7HENRY PIERCEa) = +37544323e)= + 169254. 372b) =51.76.25f) = + +4361. 274:5251c) =54:72g) =+ +54135642d) = +72565432h)=+++412111111. En un peridico se recogen los puntos conseguidos por cada jugador delequipo de la seleccin espaola de baloncesto en un determinado partido:ESPAA 75 PuntosJugador Puntos Canastas de2 p.Canastas de3 p.TiroslibresRebotesLasa 6 0/2 2/3 0/2 0Herreros 5 0/1 1/1 2/4 1Smith 15 6/12 0/2 3/4 15Orenga 10 5/7 0/0 0/0 1FerrnMartnez8 3/6 0/0 2/2 2Reyes 11 5/7 0/0 1/1 9X.Fernndez8 2/4 1/2 1/1 2Galilea 5 0/1 1/4 2/2 0A. Martn 7 3/5 0/1 2Modulo matematicas7HENRY PIERCEa) Qufraccindelospuntostotalesrepresentalospuntosconseguidospor cada jugador?b) SisumastodasesasfraccionesCulhadeserelresultado?Comprubalo realizando la suma.c) Qu fraccin representa los puntos conseguidos mediante canasta de 2puntos?d) Qu fraccin representa los puntos conseguidos mediante canasta de 3puntos?e) Qu fraccin representa los tiros libres conseguidos?f) Suma las fracciones correspondientes a los tiros de 2 puntos, a los tirosde 3 puntos y a los tiros libres. Cul es el resultado?g) Cuntosrebotessehanconseguido?Siestosrebotessonlos54delosrebotes totales Cuntps rebotes logr el equipo contrario?12. Enunaencuestarealizadaalalumnadodeuncentroescolarsobresuspreferencias en deportes se obtuvieron los siguientes resultados que indicala tabla:Preferencias Nmerodealumnos/asFtbol75del totalBaloncesto 267Otros deportes142del totala) Cuntos alumnos realizaron la encuesta?b) Cuntos prefieren ftbol?c) Cuntos prefieren otros deportes?13. La familia de Pedro est formada por 5 miembros.14. Borja gast el sbado la mitad del dinero que le dio su padre para toda lasemana. El domingo gast la tercera parte de lo que le quedaba. Y ya slo lequedalojustoparaelautobsquetienequecogerlosrestantesdasdelasemana para ir al instituto ( 130 pts. billete de ida y vuelta). Cunto dinero ledio esta semana su padre?Toms(abuelo)Andrs(padre)Ana (madre)Pedro Rosa (hija) La edad de cad miembro es lamitad del que le precede. Los padres tiene la misma edad. La edad de Rosa es83de la deAna. Rosa tiene 15 aos.Calcula la edad de cada uno.Modulo matematicas7HENRY PIERCEPotenciacin de fraccionesLa potencia de una fraccin es el cociente de la potencia de cada uno de sus trminos. Es decir,Por ej.emplo,POTENCICION DE NUMEROS RACIONALESSi a, b, e, d, m, n E N, entonces, la potenciacin de fracciones cumple con las siguientes propiedades:2.5. Radicacin de fraccionesLa raz n-sima de una fraccin es el cociente de las races n-simas de cada uno de sus trminos. Es decir,Modulo matematicas7HENRY PIERCEPor ej.emplo,CONEXIN CON LAS MATEMATICASNmeros decimalesLa empresa Exportaciones Intercontinentales tiene un contrato para exportar frutas y hortalizas ala compaaFruits Import, con sede en Londres. Un camin se encuentra listo para partir. El conductory el encargado de los envos van a pesar la mercanca. Suben el vehculo a una bscula deplataforma gigante. El peso total del camin cargado es de 44,604 toneladas. El peso del camin vaco es de15,015 toneladas. El precio por usar la bscula es de 6,50 por tonelada de peso en vaco. El remolque del camin mide 12,70 m de largo, 2,40 m de ancho y 2,75 m de alto. Una caja de fruta mide 0,60 m de largo, 0,35 m de ancho y 0,30 m de alto. El conductor planea parar 1 hora cada 300 km y llevar una velocidad media de 80 km/h. Adems, a 500 km del punto de partida, tiene queTras descansar el conductor sigue su trayecto y, a los 890 km del punto de partida, el camin seavera. Elconductor llama a la empresa y le ofrecen cambiar su camin por otro de dimensiones 11,30 m delargo,2,39 m de ancho y 2,65 m de alto, o avisar a un mecnico para que lo arregle. Ninguna de lasopciones le parece conveniente, pues el nuevo camin tiene que recorrer de nuevo 890 km y elmecnico tardar aproximadamente 8 horas en llegar.A partir de ese punto, el conductor se dirige a Londres. Adems de conducir por la izquierda, seencuentracon seales en ingls y se da cuenta de que aparecen unidades de medida distintas a las quesuele utilizar.Modulo matematicas7HENRY PIERCEPara interpretarlas mira en unas tablas que tiene en el camin, que marcan:1 milla terrestre (mi) = 1,609 km1 pie (ft) = 0,3048 m1 pulgada (in) = 2,54 cmEn el camino se encuentra con varias seales de trfico: Una de ellas seala que la velocidad mxima permitida es de 55 millas por hora. Otra indica que la altura mxima permitida en un puente es de 16 pies. Una tercera seala que la gasolinera ms prxima est a 3 millas de distanciaFinalmente, el conductor llega a la compaa donde ha de descargar la mercanca. En la casetade vigilancia,una persona le indica que acomode el triler sobre la bscula y, una vez realizada la maniobra,anota en librasel peso del vehculo: 98.463 lb (libras). Enseguida, el conductor lleva el triler a la zona dedescarga y,poco tiempo despus, lo coloca nuevamente sobre la bscula, pero ahora totalmente vaco:33.146 lb.Expresin decimal de los nmeros racionalesDecimales exactos y peridicosComo recordars la expresin decimal de una fraccin se obtiene dividiendo el numeradorentre el denominador. Consideremos la fraccin 34/8:Es decir,4'25 es la expresin decimal de 34/8 y de cualquier fraccin equivalente a ella. A su vez, 34/8 ocualquier fraccin equivalente se llama fraccin generatriz de 4'25.Diremos que 4'25 es un nmero decimal exacto porque tiene un nmero finito de cifras decimales.No ocurre siempre as. Si calculamos el desarrollo decimal de la fraccin 40/33, obtenemos:Los restos se repiten y en consecuencia nunca termina la divisin; 40/33=1'21212121.......Modulo matematicas7HENRY PIERCEAl grupo de decimales que se repiten lo llamaremos periodo y lo indicaremos mediante un arco quelos abarca:Diremos que es un decimal peridico puro porque el periodo comienza inmediatamente despus dela coma decimal.Del mismo modo, si calculamos el desarrollo decimal de 23/12 obtenemos:En este caso el periodo no comienza despus de la coma, diremos que 23/12 es peridico mixto yse escribir comoEn resumen, los decimales peridicos pueden ser:- Decimales peridicos puros, si el perodo comienza inmediatamente despus de la coma.- Decimales peridicos mixtos, si el perodo no comienza inmediatamente despus de la coma.Actividades1. Indica la naturaleza decimal de las fracciones 2/15, 6/25 y 163/3.2. Busca la expresin decimal de 10/9, 11/9, 12/9 ,... 18/9. Observas algo especial?Al dividir dos nmeros los restos obtenidos siempre son menores que el divisor. Observaesta dos divisiones:Hasta ahora has obtenido los restos: 1, 3, 2, 6, 4 y 5. En el siguiente paso el resto ser 0 oalguno de ellos se repetir forzosamente y en consecuencia volvern a aparecer las mismascifras en el divisor.Modulo matematicas7HENRY PIERCENo es necesario que aparezcan todos los restos posibles. En el momento que uno de ellos serepita, vuelven a aparecer las mismas cifras en el cociente y de nuevo los mismos restos.De lo que hemos comentado se deduce que todo nmero racional tiene una expresindecimal exacta o peridica.Clculo de fracciones generatricesFraccin generatrizSe darn los procesospara calcular la fraccin generatriz:Todo nmero decimal peridico se puede escribir en forma fraccionaria siguiendo estosPasos:1. Decimal exacto:Convertir1.75x = 1, 75.Se multiplica por 100: 100x = 175,(se multiplica por 10ndonde n es el numero decifras decimales )se despeja x y se Simplifica:Convertir 0.5X= 0.510 x = 5X = =Convertir 8.224X = 8.2241000x = 8224X = =Modulo matematicas7HENRY PIERCE2. Numero decimal peridico puro:Convertir2.3636x = 2, 3636. .Se multiplica por 100 : 100x = 236, 3636. .se deja el numero x como esta x = 2, 3636Se restan ambas igualdades100x = 236, 3636.x = 2, 3636. ._______________99x = 234Luego se despejaX = se simplifica si es posibleConvertir0.33X = 0.33310X = 3.333X = 0.333___________9x = 3X = =3. Numero decimal peridico mixto:Convertir 1.7555 7x = 1, 7555..Se multiplica por 100: 100x = 175. 555 . .tambin se multiplica por 10: 10x = 17. 555 . . ..Se restan ambas igualdades:Modulo matematicas7HENRY PIERCE100x = 175. 55510x = 17. 555_____________90X = 158Se despejaX = = x = 1, 7555 . . .Convertir 0.1666x = 0.12666Se multiplica por 1000:1000x = 126. 666. .tambin se multiplica por 100 :100x = 12.666 . ..Se restan ambas igualdades:1000x = 126. 666..100x = 12. 666_____________900X = 114Se despeja X = =Existen decimales no exactos, ni peridicos?Si un nmero decimal no es exacto, necesariamente ha de tener infinitas cifras decimales. Siadems es no peridico, stas no pueden guardar ninguna secuencia repetitiva. Por ejemplo:5'1234567891011121314...............2'01001000100001.................... Escribe otros nmeros irracionales.Representacin de nmeros decimalesActividades Si dividimos una unidad arbitraria en diez partes iguales, obtenemos la escala decimal. Enella se podrn representar de forma precisa decimales exactos con una nica cifra decimal.Modulo matematicas7HENRY PIERCELa flecha A seala el nmero 3'3. Qu nmeros indican las otras flechas? A su vez, cada dcima puede ser dividida en diez partes iguales En esta actividad la escalasuperior divide la unidad en dcimas y la inferior en centsimas: podremos representar decimalesexactos con dos cifras decimales.La flecha A indica 0'26. Qu marcan B , C, D y E? Observa que 0'20 es igual que 0'2 y 0'30 que 0'3. Observa tambin que 0'26 est entre 0'2 y 0'3,pero ms prximo a 0'3.Completa: 0'17 est entre ... y .... , pero ms prximo a ...... Sin mirar la escala escribe el nmero que est en la mitad entre 0'2 y 0'3. Haz lo mismo con losnmeros 0'8 y 0'9; 0 y 0'1 y entre 0'9 y 1. Ordena de menor a mayor los nmeros: 0'8, 0'15, 0'3, 0'08, 0'71 y 0'9. Tambin podemos dividir la unidad en mitades , tercios, cuartos, quintos, etc ..... Indica losnmeros que se corresponden con A, B, C y D:Modulo matematicas7HENRY PIERCE Completa cada fila con los nmeros de la naturaleza indicada, de menor a mayor:Actividades de operaciones con nmeros decimalesa. Decimales exactos Realiza las siguientes operaciones con nmeros decimales exactos.Suma y resta de nmeros decimales3'45 + 0'126=9'5-2'36=Multiplicacin4'3 . 0'25=0'032 . 7'05=Se multiplican como si fueran enteros y se toman tantos decimales como sumen en total.Multiplicacin por 10, 100, 1000, etc.0'35 . 10 = 3'50'35 . 100 = 350'35 . 1000 = 350Modulo matematicas7HENRY PIERCESe desplaza la coma hacia la derecha tantas veces como ceros tenga.Divisin entre decimales34'25 : 6'352 = .........Si multiplicamos el dividendo y el divisor por la misma cantidad, el resultado de la divisin novara. Basndonos en esta propiedad podremos dividir decimales exactos:34'25:6'352 = 34'25.1000:6'352.1000 = 34250:6352 = .....2'25:11'34 = 2'25.100:11'34.100 = 225:1134 = ............Para quitar la coma decimal multiplicamos dividendo y divisor por un uno seguido de tantos ceroscomo el mayor nmero de decimales de ambos.b. Decimales peridicosAnteriormente hemos operado con decimales exactos. Si consideramos decimales peridicos se nospresentan problemas: Cmo multiplicar por ?La nica solucin ser expresarlos como fraccin y operar con ellas: = 11/3.14/11 = 14/3 = .Actividades Efecta las siguientes operaciones:a) + 2'3 b) + c) d) e) :0'2 f) :g)Modulo matematicas7HENRY PIERCETanto por ciento.Concepto.- es el numero de partes que se tomaron de un entero que sedividi en 100 partes.% smbolo 30% representan = 30/100 = 0.30Forma fraccionaria Forma decimal.3.2% 3.2/1000 = 0.0320.42% .42/100 = 42/10000 = 0.0042EJEMPLOConvierte o expresa en forma decimal y fraccionaria.Fraccin Decimala) 5.2% 52/1000 0.052b) 62.8% 628/1000 0.628Conversin de decimal a tanto por ciento.0.75 75/100 = 75%0.32 32/1000 = 3.2/100 = 3.2%Conversin de fraccin a tanto por ciento.En este caso se obtiene una fraccin equivalente3/5 = x/100x=(100)(3)/5x= 60 3/5 = 60/100 = 60%Modulo matematicas7HENRY PIERCETanto por ciento de una cantidad.Para obtener el % de una cantidad esta se multiplicara por la formadecimal del tanto por ciento para obtener el porcentaje.60% de 900 900(.60) = 546 porcentajeQu tanto por ciento es un porcentaje de una cantidad?Se establece una razn (fraccin) y se obtiene el por ciento (%).20es 25?% 80100802520= =Cul es la cantidad original sabiendo el porcentaje y que tanto por ciento?Se realiza a travs de una regla de tres directa.36 es el 35% de 36 35% x= 10235) 36 )( 100 (=x 100%Ejercicios resueltosObtn el por ciento de las siguientes cantidades.a)20% de 45 =9b)4% de 125= 5Calcula el porcentaje es uno de otro.a) 387 de 1548=25%1548 1001548) 387 )( 100 (=25387 xTallerModulo matematicas7HENRY PIERCECONEXIN CON LAS MATEMATICASLEONARD DAVINCI Y LAS PROPORCIONESLeonardo era un bromista empedernido, cosa por otro lado muypropia de la gente del Renacimiento. Uno de sus innumerableschistes: Le preguntaron a un pintor por qu, siendo tan buenassus pinturas, que eran cosa muerta, haca los hijos tan feos; a locual replic que las pinturas las haca de da y los hijos de noche.El Hombre de Vitrubio es uno de los dibujos de los libros deapuntes de Leonardo da Vinci. En cualquier persona la longitud deuna estructura (brazos) vara en relacin con la de cualquier otraestructura (la altura total del cuerpo) en las diferentes etapas deldesarrollo. Los brazos de un beb son ms cortos en relacin conla altura del cuerpo que los brazos de un hombre. Si en lasdimensiones de una persona particular, y = f(t), designa la longitudde los brazos y x = g(t) la altura de la misma, en funcin del tiempo,el cociente f(t)/g(t) = y/x se aproxima hacia 1.Modulo matematicas7HENRY PIERCEEn las primeras etapas del crecimiento esta relacin es aproximadamente 1,2. Esteresultado es una caracterstica de la anatoma humana ampliamente reconocida desdeque Leonardo da Vinci la representa en su famoso Hombre de Vitrubio.PROPORCIONALIDADRazones y ProporcionesPara comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar porcomprender el concepto de razn.RAZN Y PROPORCIN NUMRICARazn entre dos nmerosSiempre que hablemos de Razn entre dos nmeros nos estaremos refiriendo al cociente (elresultado de dividirlos) entre ellos.Entonces:Razn entre dos nmeros a y b es el cocienteentrePor ejemplo, la razn entre 10 y 2 es 5, yaqueY la razn entre los nmeros 0,15 y 0,3 esProporcin numricaAhora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre s, para ver como secomportan entre ellas, estaremos hablando de una proporcin numricaModulo matematicas7HENRY PIERCEEntonces:Los nmeros a, b, c y d forman una proporcin si la razn entre a y b es la misma queentre c y d.Es decirSe lee a es a b como c es a dLos nmeros 2, 5 y 8, 20 forman una proporcin, ya que la razn entre 2 y 5 es la misma que larazn entre 8 y 20.Es decirEn laproporcinhay cuatro trminos; a y d se llaman extremos, c y b se llamanmedios.La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporcin, el producto de losextremos es igual al de los medios.As, en la proporcin anteriorse cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5x 8 = 40En generala=c==a . d = b .cb dTambin tememosquea = antecedenteb consecuenteTALLERRAZONESLee atentamente las siguientes informaciones y completa:Modulo matematicas7HENRY PIERCE1. En el curso de Juan la razn entre las damas y los varones del curso es de 7 es a 9, lo que significa quepor cada ......... damas hay ......... varones en el curso.2. En la limonada que prepar Francisca la razn entre el jugo y el agua que le puso es de 2 es a 3 (2:3), loque significa que por cada.......... vasos de jugo le puso ........... vasos de agua.3.En un canasto de fruta la razn entre las manzanas y naranjas es de 5 es a 4 (5:4) lo que significa que porcada ........ manzanas hay ......... naranjas.4.El motor de una motocicleta no funciona con bencina pura, sino con una mezcla de bencina y aceite, quedeben estar en la razn 10 : 0,5; lo que significa que por....... litro de bencina hay que echarle ....... litrosde aceite.En cada una de las siguientes situaciones escribe la razn entre el nmero de nias y de nios.5) A un paseo asistieron 35 nias y 45 nios.6) En una competencia de gimnasia participaron 15 nios y 20 nias.7) En un curso de computacin se matricularon 12 nias y 8 nios.8) Un rectngulo mide 12 cm de ancho y 18 cm de largo. Cul es la razn entre su largo y su ancho?8. Escribe la razn simplificada entre los siguientes pares de nmeros.a) 60 y 40 c)21y 8 e)32y43b) 1,2 y 3 d) 3,9 y 1,3 f)53y 1,5Resuelve los siguientes problemas:5.La razn entre los segmentos PQ y RS es de 9 : 7Cul es el segmento ms corto?6.Escribe dos razones cuyo valor sea 4.7.El valor de una razn es 3. El menor de los nmeros tiene 10 unidades menos que el mayor. Cules sonlos trminos de la razn?8.Cul es el antecedente?a)Si el consecuente es 6 y el valor de la razn es 0,5.b)Si el consecuente es 2,5 y el valor de la razn es 1,5.c)Si el consecuente es 153y el valor de razn es 1879.Cul es el consecuente?a)Si el antecedente es 24 y el valor de la razn es 3.b)Si el antecedente es 15 y el valor de la razn es 1,5.c)Si el antecedente es32y el valor de la razn es8710. En qu caso el valor de razn entre dos nmeros es igual a la unidad?11. Dibuja dos segmentos que estn en la razn 2 es a 5.12. La razn entre dos nmeros es 2 y el mayor de los nmeros supera al menor en 7 unidades. Cules sonlosnmeros?13. Una prueba de matemtica tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de estas preguntas yomite una. Escribe la razn entre:a) el nmero de preguntas correctas y el nmero total de preguntas,b) el nmero de preguntas incorrectas y el nmero de preguntas correctas.c) el nmero de preguntas omitidas y el nmero total de preguntas.14. En un curso de 50 alumnos, 10 fueron reprobados.Cul es la razn entre el nmero de reprobados y elnmero de alumnos del curso?Modulo matematicas7HENRY PIERCE15. En una casa, el rea construida es de 120 m2y el rea libre es de 80 m2Cul es la razn entre el reaconstruida y el rea del terreno total?16.Losladosdedosterrenoscuadradosmiden,respectivamente,10my20mEnquraznestnsusreas?17. Las aristas de dos cubos miden, respectivamente, 2cm y 4cm En qu razn estn sus volmenes?18. La escala de un diseo es la razn entre en el dibujo y la correspondiente longitud real, expresadas ambasenlamismaunidad.Culfuelaescalautilizadaeneldiseodeunacasa,siunalongitudde6mfuerepresentada por una longitud de 3 cm?Magnitudes ProporcionalesLas magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:Magnitudes Directamente Proporcionales:Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un nmero, la otra tambin debe ser multiplicada por elmismo nmero; o dividiendo a una de ellas por un nmero, la otra tambin debe ser dividida por el mismo nmero.Por ejemplo si tenemos: 74Se quiere formar una proporcin, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo nmero tanto a 7 como a 4:7 ~> x4 ~> 284 ~> x4 ~> 16Hemos formado: 7 = 28 Ntese que en este caso ambas cantidades aumentan416Son magnitudes directamente proporcionales:- El tiempo y las unidades de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo realizado)- La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio)- El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio)- El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo)- El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad)- El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo)Magnitudes Inversamente Proporcionales:Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un nmero, la otra queda dividida por el mismo nmero; odividiendo a una de ellas por un nmero, la otra debe ser multiplicada por el mismo nmero.Por ejemplo si tenemos: 47Queremos formar una proporcin (empleando el criterio de magnitudes inversamente proporcionales:4 ~> 4 ~> 1 Ntese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye7 ~> x4 ~> 28Son magnitudes inversamente proporcionales:- El nmero de obreros y el tiempo para realizar una obra (mas obreros, menos tiempo)Modulo matematicas7HENRY PIERCE- Las horas de trabajo y los das que se trabaja (mas horas, menos das)- La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una distancia)Proporcionalidad directa y Proporcionalidad inversaResumen:Dos variables y y x son proporcionales si se cumplen una y slo una de las siguientes relaciones: Surazn y/x esconstante.Enestecasosedicequelasvariables x e y sondirectamenteproporcionales. Suproductoy xesconstante.Enestecasosedicequelasvariables x e y soninversamenteproporcionales.Ejemplos:Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos.Con estos datos tenemos siguiente tabla:Cantidadde latas(X)Costoendinero(Y)1 3502 7003 10504 14005 17506 21007 24508 28009 315010 3500Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas losvalores aumentan y a cada valor le corresponde un valor y slo uno en la otra.El grfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:Modulo matematicas7HENRY PIERCEConsideremos un auto que parte con una velocidad inicial de Vo de 25 m/s y desacelera de maneraquebajasuvelocidad en3m/sen cadasegundo,entoncessigraficamoslavelocidaddel autoporsegundo transcurrido obtenemos:Tiempo Velocidad V- Vo (V-Vo)/TTranscurrido del auto1 22 3 32 19 6 33 16 9 34 13 12 35 10 15 5Entonces observamos que la disminucin de velocidad (V-Vo) es proporcional al tiempotranscurrido T y en este caso la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo 3.En resumen tenemos: Dos variables una disminuye mientras la otra aumenta, adems A partir de la tabla verificamos que la constante de proporcionalidad es negativa y0510152025300 2 4 6Serie1Modulo matematicas7HENRY PIERCE El grfico de la velocidad del auto versus el tiempo transcurrido es una recta descendenteRevisemos otro caso:Ests invitado a un cumpleaos y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. Ala fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le correspondeuna (1) parte de diez a cada uno, es decir, una dcima parte de la torta o tambin el 10 % del total.Vemoslo ilustrado:Ahora, en caso de 10 invitados sabemos cuanta torta te correspondera. Si antes de partir la torta seretiraron 2 invitados, el trozo que te tocara sera ms grande o ms pequeo? Si llegan 5 invitadosms antes de repartir la torta el pedazo que te correspondera es ms grande o ms pequeo?Las ilustraciones correspondientes son:15 invitados 8 invitadosLa tabla siguiente describe la distribucin de torta por cantidad de invitados, los trozos de torta loexpresaremos en porcentajes, los invitados en nmero de personas.Invitados(personas)Trozosde torta(%)1 100,002 50,003 33,334 25,005 20,006 16,667 14,288 12,509 11,1110 10,0011 9,0912 8,33Modulo matematicas7HENRY PIERCEVeamos el grfico que describe la tabla anterior:Igual que en el caso anterior, calcula la constante de proporcionalidadInvitados(x)Porcin de torta(y)Productox x y =c1 100,00 1002 50,00 1003 33,33 1004 25,00 1005 20,00 1006 16,66 1007 14,28 1008 12,50 1009 11,11 10010 10,00 10011 9,09 10012 8,33 100El producto de la cantidad de invitados x por la porcin de torta y es constante e igual a 100.En resumen: Hay dos variables que se relacionan. La relacin se establece en condiciones que al aumentarlos valores de una variable disminuye los valores de la otra, y adems El grfico de y versus x es una curva, llamada rama de hiprbola y. El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante.Por lo tanto la porcin de torta es inversamente proporcional al nmero de invitados.Ir al principioModulo matematicas7HENRY PIERCERegla de Tres SimpleLa regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:a) Regla de Tres Simple Directa:Esta se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 soles, queremos saber cuanto costaran 15 librosSupuesto 5 libros ~> S/. 26Pregunta 15 libros ~> xPara hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado los datos que si tenemos:Supuesto 5 libros ~> S/. 26Pregunta 15 libros ~> x 15 x 26 = 390Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el nmero que an no habamos empleado:Supuesto 5 libros ~> S/. 26Pregunta 15 libros ~> x 390 5 = 78Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 soles.b) Regla de Tres Simple Inversa:Esta se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequea construccin en 12 das, cuntos das demoraran 6 obreros?Supuesto 4 obreros ~> 12 dasPregunta 6 obreros ~> xPara hallar el valor de x, empezamos a multiplicar directamente los datos que si tenemos:Supuesto 4 obreros ~> 12 dasPregunta 6 obreros ~> x 4 x 12 = 48Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el nmero que an no habamos empleado:Supuesto 4 obreros ~> 12 dasPregunta 6 obreros ~> x 48 6 = 8Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 das.Ir al principioModulo matematicas7HENRY PIERCERegla de Tres CompuestaEs una aplicacin sucesiva de la regla de tres simple. Debemos tener mucho cuidado al ver si estamos trabajando conregla de tres simple o regla de tres compuesta, por ello es recomendable hacerlo por partes.Veamos un ejemplo:Si 3 hombres avanzan 80 metros de una obra en 15 das, cuantos das necesitaran 5 hombres para avanzar 60 metrosde la misma obra?Distinguimos en nuestro ejemplo:Supuesto 3 hombres ~> 80 metros ~> 15 dasPregunta 5 hombres ~> 60 metros ~> xPodemos decir que la relacin entre cantidad de hombres y das trabajados esta formando una regla de tres simpleinversa (a mayor cantidad de hombres menos das), entonces podramos decir:3 x 155Adems sabemos que la cantidad de hombres y la cantidad de trabajo avanzada forman una regla de tres simple directa(a mayor cantidad de hombres, mas trabajo se puede realizar, entonces:3 x 15 x 60 = 2700 = 6,755 x 80 400Para averiguar cuntos kilmetros recorra mi auto con un litro de nafta, antes de viajar aSanta Fe por la autopista, llen el tanque. Al llegar a la capital de la provincia volv a llenar eltanque de nafta. Para hacerlo tuve que cargar quince litros de nafta. Sabiendo que la distanciaentre Rosario y Santa Fe es de 160 km, cuntos kilmetros recorri mi auto por cada litro decombustible consumido? SolucinCuando las legiones del ejrcito romano deban desplazarse hacia algn punto del Imperio para imponer el orden o defender las fronterasrecorran unos 35 km por da. Hay que teneren cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. Cuntos das lestomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km.?En las aerosillas del Cerro Catedral, a unos pocos kilmetros de la Ciudad de San Carlos deBariloche, trasladar a un contingente de 100 personas desde la base del Cerro hasta el fin delltimo de sus tres tramos insume unos 60 minutos. Teniendo en cuenta que a un pasajero esetraslado le toma 40 minutos, cunto tiempo demor en llegar hasta arriba un grupo de 40personas?Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $480 por mes. El dueo de lafbrica le ha comunicado que la empresa aumentar su horario de trabajo en 2 horas diarias.Cul ser a partir de ahora su sueldo?Modulo matematicas7HENRY PIERCEGUIA DE PROPORCIONES DIRECTA E INVERSAI.- Acontinuacintepresentamosdiversassituacionesenlasqueintervienenproporcionales. Decidesisetratademagnitudesdirectaoinversamenteproporcionales;colocaenelespacioindicadounaD(directamente) o una I (inversamente) segn sea el caso.1) Cantidad de manzanas y su peso ____2) Nmero de bebidas y sus consumidores ____3) Nmero de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo ____4) Cantidad de litros de bencina y el precio respectivo ____5) Nmero de baldosas para cubrir una determinada superficie y su tamao ____6) Nmero de horas trabajadas y el sueldo ganado ____7) Nmero de ejercicios de matemticas y el tiempo empleado en solucionarlos ____8) Cantidad de forraje (alimento) y nmero de animales a alimentar ____9) Peso de las remolachas y peso del azcar elaborada con ellas ____10) Das que alcanzan las provisiones y nmero de personas a alimentar ____II.- Resuelve los siguientes problemas:1.12,5m.dealambrecuestan$32.025.Cuntocuestan8m?Yculeselpreciode50cm.delmismoalambre?2. Una persona camin 10,8 km. en 3 horas 36 minutos. Cunto caminara en443hrs sin variar su tranco?3. A una velocidad promedio de 75 km/hr. un vehculo demora 9 horas en ir de una ciudad a otra. Cuntashoras tardara si aumentara el promedio de su velocidad en 15 km./hr?4. Diez toneles iguales contienen 800 litros de vino Cuntos toneles son necesarios para almacenar 36.000litros de vino?5. Trabajando 8 horas diarias dos carpinteros y, dos ayudantes han hecho una obra en 14 das Cuntos dashubieran demorado si hubieran trabajado 10horas diarias?6.Parafabricar30kg.dechocolatesenecesitan10kg.decacao.Cuntoskg.dechocolatessepodrn fabricar con 64 kg. de cacao?7. Un estanque lleno de agua permite mantener durante 32 das a 18 personas. Cuntas personas se podranmantener durante 24 das?8.En un curso los165de ldebendarexamendematemticas.Los22alumnos restantes ya se sientende vacaciones. Cuntos alumnos tiene el curso?9. Una persona621km. en 90 minutos Cuntos kilmetros camina en las mismas condiciones en43de lahora?10. Un camin de 3 toneladas tiene que hacer 15 viajes para retirar los escombrosde una obra.Despus de 5 viajes el camin queda fuera de servicio y essustituido por otro de 5 toneladas. Cuntos viajes hace el camin de 5toneladas para terminar de retirar los escombros?11. En una bodega hay comida para 50 personas durante un mes. Cuntos das podran comer 80 personas?12. Se compran 5.840 lpices con la condicin de recibir 4 ms por cada ciento. Cuntos lpices se reciben?EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REPASO1. Damos una tabla de valores de dos magnitudes directamente proporcionales.) Copia y completa:En recorrer 10 km un auto gasta1 litro de bencina.20 km ___ litros25 km ___ litros35 km ___ litros50 km ___ litros5km ___ litrosModulo matematicas7HENRY PIERCEb) Explica por qu podemos decir que estas dos magnitudes son directamente proporcionales.c) Escribe tres razones con cantidades de la primera magnitud.d) Escribe las tres razones entre las cantidades correspondientes de la segunda magnitud.e) Comprueba que cada razn es igual con su correspondiente.2. Dada esta tabla de Valores de una relacin entre dos magnitudes:"Unbussedemora8h enrecorrerladistanciadeTalca aValdivia,aunarapidezmediade75kilmetros por hora".x y8 horas 75km/h10 6012 5015 4020 3030 20a) Indica cules son las magnitudes que se relacionanb) Reconoce si estas dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales. Por qu?c) Escribe tres razones de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud.d) Escribe la inversa de las razones de las cantidades correspondientes de la segunda magnitud.e) Comprueba en cada caso si son o no iguales y escribe la igualdad en aquellos casos en que seacierta.Resuelve los siguientes problemas.3. Un obrero gana $ 1.140 en 3 das. Cunto ganar en 20 das?4. Un ciclista se demora 4 horas 20 minutos en recorrer una etapa a una rapidez de 36 km/h Cuntose habr demorado otro ciclista que iba a 32 km/h ?5. En un establo hay vacas que consumen 35 fardos de pasto en 40 das. En cuntos dasconsumirn 28 fardos?6.Uncajnquepesa9,6kgcontiene1.152clavos.Cuntosclavos,delmismotamaodelosanteriores, habr en un cajn que pesa 17 kg ?7.Enunpaseoquehicieron24alumnosconsumieron16bebidas.Sialpaseohubieranido 39alumnos cuntas bebidas habran consumido?8. El pavimento de un tramo de la carretera lo hacen 6 obreros en 12 das. Cunto se demoraran 9obreros, trabajando en igualdad de condiciones?9. Un poste de 1metros proyecta una sombra de 120 cm Cunto mide la sombra de otro poste(en ese mismo momento) si su altura es 1,60 m ?10.Enunplano apareceunpotreroconunlargode7 cmyunanchode 4,8 cmEseterrenoenlarealidad mide 105 metros de largo. Cul es el ancho del potrero si los datos en el plano y en elterreno son proporcionales?11. Una persona camina 421km en 60 minutos, cuntos km caminar en65h?12. Conungrifoqueda 75litrosporminutosellenaunapiscinaen3horas42minutos. Cuntotiempo tardar en llenarse la piscina si adems abrimos otro grifo que da 25 litros por minuto?Modulo matematicas7HENRY PIERCE13.Mrecorre3kmenunminutoyNrecorre1kmen3minutos.Cuntasvecesmayoreslavelocidad de M que la de N.?14. Si 8 naranjas producen 3 vasos de jugo y 2 vasos hacen un cuarto de litro. Cuntas naranjas sedeberan exprimir para obtener 3 litros de jugo? (Resp. 64)15.Ignaciotiene12aos,Gonzalo18ySebastin6aos.Repartenciertasumadedineroenproporcin directa a sus edades.Gonzalo recibi $ 1.500 qu cantidad de dinero se reparti?16.ElmaestroLuishaceunainstalacinsanitariaen10das.SuhijoClaudiopodrahacerelmismo trabajo en 15 das. Cuntos das se demoraran en hacer la misma instalacin trabajandojuntos? (Resp. 6)Desarrolla los problemas planteados en tu libro de 8 bsico.Bibliografa Extra:- Texto Santillana de 8 bsico, edicin antigua y nueva.- Aritmtica deA. Baldor.- Texto de 1 medio Mece ao 2000.Inters Simple1. Problemas de Inters SimpleFormulas de Inters SimpleI = C * t * iVF =C (1 + i * t)C =VF (1 + i * t)-1VF = C + II = inters; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.Calcular el inters simple comercial de:a. $2.500 durante 8 meses al 8%.C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08I = 2.500 * 8* 0.08 =$133,33 Respuesta12b. $60.000 durante 63 das al 9%.I =$60.000 t =63 das i =0,09I =60.000 *63 * 0.09=$ 945 Respuesta360c. $12.000 durante 3 meses al 8 %.C =12.000 t =3 meses i =0,085I =12.000 *3 * 0.085= $ 255 Respuesta12d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismoao.C =$15.000 i =0,10 t =167 dasI =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 RespuestaModulo matematicas7HENRY PIERCE360Calcular el inters simple comercial de:a. $5.000 durante 3 aos 2 meses 20 das al 0,75% mensual.C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses33aos *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses1 ao30 dasI =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 RespuestaNota: Fjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempotambin a mesesb. $8.000 durante 7 meses 15 das al 1,5% mensual.C = $8000 t =7,5 i = 0,0157 meses+ 15 das * 1 mes =7,5 meses30 dasI = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta1.2 Un seor pago $2.500,20 por un pagar de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2%de inters. En qu fecha lo pag?VF = 2.500,20C =2.400i = 0.045t =?VF = C (1 + i * t)2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)0,04175=0,045 tt = 0,9277 aos Respuesta 10 de marzo de 1997Un inversionista recibi un pagar por valor de $120.000 a un inters del 8% el 15 de julio con vencimientoa 150 das. El 200de octubre del mismo mao lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%.Cunto recibe por el pagar el primer inversionista?VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000360124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 Respuesta360Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de inters. Si el pagar tiene como clusulapenal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado qu cantidad pagael deudor, 70 das despus del vencimiento?VF = 14.000(1 + 0,08 *3) = 14.280 Valor de vencimiento12VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta - valor de mora.360Una persona descuenta el 15 de mayo un pagar de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto yrecibe & 19.559,90. A qu tasa de descuento racional o matemtico se le descont el pagar?VF =VP (1+ i * t)20.000=19.559,90 (1 + i * 90)360i =0, 09 9%RespuestaModulo matematicas7HENRY PIERCEngulos y rectasIdentificacin de distintos tipos de lneas en aeronavesEl primer vuelo con xito fue precedido de siglos de sueos, estudio, especulacin y experimentacin. Muchossabios de la antigedad crean que para volar sera necesario imitar el movimiento de las alas de lospjaros. Finalmente, la Fsica y las Matemticas fueron los pilares en los que se apoyaron los progresos de laaviacin.Siglo V. Se disea el primer aparato volador: la cometa o papalote.Siglo XIII. El monje ingls Roger Bacon, tras aos de estudio, lleg a la conclusin de que el aire podra soportarun ingenio volador de la misma manera que el agua soporta un barco.Siglo XV. El famoso cientfico e inventor italiano Leonardo da Vinci analiz el vuelo de los pjaros, e ideunas alas con las que crea que el hombre podra volar.La experiencia demostr que eso no era posible.Siglo XVIII. Los hermanos Montgolfier construyeron un globo que, al llenarlo de aire caliente, se elevabasoportando una cesta con los pasajeros.Siglo XIX. Los globos se perfeccionan y evolucionan en los dirigibles.Siglo XX. El da 17 de diciembre de 1903, cerca de Kitty Hawk, en el estado de Carolina del Norte, los hermanosestadounidenses Wilbur y Orville Wright realizaron el primer vuelo pilotado de una aeronave ms pesada que elaire y propulsada por motor.CONEXIN CON LAS MATEMATICASModulo matematicas7HENRY PIERCEPermetros y reasTeselacin del planoSeguro que muchas veces has visto enlosado el suelo con baldosas de distintas formas. Todas ellas encajansin dejar ningn hueco entre s. Teselar el plano viene a ser algo similar.As, teselar el plano es recubrirlo con copias de una misma figura plana, de manera que no se superpongany no dejen huecos entre ellas.En la fotografa se ve un conjunto de celdillas hexagonales fabricadas por las abejas. Este conjunto de hexgonoses un ejemplo de una teselacin o enlosetado del plano.Teselacin con hexgonos regularesAcabamos de ver que las abejas fabrican celdas hexagonales que recubren el plano. Esto significa que conhexgonos regulares iguales podemos llenar o recubrir un plano, lo cual es posible porque, al reunir treshexgonos como indica la figura, la suma de los tres ngulos que concurren en un punto,como el punto A, es 360. Date cuenta de que el ngulo interior de los hexgonos vale 120y en el puntoA concurren tres de ellos, 3 120= 360. De esta forma se va cubriendo el plano. La figura que se repite, en estecaso el hexgono, se llama figura base de la teselacin.Cuadrados y tringulos equilteros para teselar el planoComo acabamos de ver, para que se pueda teselar el plano con un polgono regular es necesario que, alunir varios polgonos por los vrtices, los ngulos que concurren sumen 360.a) Cuntos ngulos concurren en el vrtice A?b) Cul es la amplitud de cada uno?c) Cunto suman en total?d) Podemos teselar el plano con cuadrados?Unidades de longitudEQUIVALENCIA ENTRE LAS DISTINTAS UNIDADES DE LONGITUDModulo matematicas7HENRY PIERCELa principal unidad de longitud es el metro. Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que launidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior.PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO Una cantidad est escrita en forma incompleja cuando se expresa en una solaunidad y est escrita en forma compleja cuando se expresa en distintas unidades.Ejemplo:Forma incompleja 125 mForma compleja 1 hm2 dam 5 mEjemplo: 0,4 km = 0,4 x 1.000 = 400 m2 hm = 2 x 100 = 200 m6 dam = 6 x 10 = 60 m660 mForma compleja 0,4 km2 hm6 dam660 m Forma incomplejaPASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJOPara pasar de incomplejo a complejo, basta colocar la cantidad dada en forma incompleja en elcuadro de unidades.Ejemplo 1: 234 mForma incompleja 234 m2 hm3 dam4 m Forma complejaEjemplo 2: 12,42 damModulo matematicas7HENRY PIERCEForma incompleja 12,42 dam1 hm2 dam 4 m2 dm Forma complejaREA Y PERMETRO DE FIGURAS GEOMTRICAS BSICASLa siguiente tabla resume los permetros y las reas de cuatro figuras geomtricas bsicas:FIGURA PERMETRO REAcuadrado de lado x 4xx2rectngulo conbase b y altura h2b + 2h bhtringulo conbase b y altura hsumar las longitudes de lostres lados(1/2)bhcrculo de radio r 2 r (el permetro de uncrculo se llamacircunferencia) r21 - Comencemospor los rectngulos:Toma el papel cuadriculado y dibuja rectngulos de distinta forma y dimensiones. Considera uno deellos, llmalo ABCD, llama u al lado del cuadrito, u2 es nuestro cuadrado unidad.Modulo matematicas7HENRY PIERCECul es el rea de ABCD? Cul es el permetro de ABCD?b) Permetro ABCD = 2 (6 + 4) (u)= 2 x 10 (u)= 20 (u)EJEMPLO:Encontrar el rea total (unidades cuadradas) y el permetro exterior (unidades lineales) de lasiguiente figura. La parte superior es un semicrculo.Figuras planas. Permetros y ngulosPolgonoSegmentoEditar objetoModulo matematicas7HENRY PIERCEngulosSi construimos un polgono con la herramienta Polgono podemos mediate las propiedadesconocer/visualizar su rea. Sin embargo no conocemos las medidas de los lados. Por ello, paraconstruir un polgono, lo mejor es hacerlo meidante Segmento y posteriormente, si necesitamos surea o necesitamos colorearlo, usamos Polgono sobre los mismos vrtices.En el ejemplo anterior, adems de las herramientas que aparecen ms arriba, tambin se ha usado laherramienta Ocultar objeto para esconer los vrtices.Observa cmo en los ngulos rectos no se usa la medida 90, sino un cuadradito.Permetro (primeras frmulas)Usaremos las herramientas:Frmulapara obtener el Permetro (suma de los lados). De paso obtenemos tambin la suma de los ngulos:Hemos usado la herramienta frmula completando los campos Explicacin y Expresin AritmticaModulo matematicas7HENRY PIERCEUnidades de superficieEQUIVALENCIA ENTRE LAS DISTINTAS UNIDADES DE SUPERFICIELa principal unidad de superficie es el metro cuadrado. Cada unidad de superficie es 100 vecesmayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior.UNIDADES AGRARIASPara medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie,llamadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el rea (a), la hectrea (ha)y la centirea (ca). Sus equivalencias son:Modulo matematicas7HENRY PIERCEreasQu es el rea de un polgono?Por tanto, Laura lleva ms pared cubierta.Para calcular el rea de una superficie debemos compararla con otra que elegimos como unidadde superficie, y averiguar el nmero de unidades que contiene.readel rectnguloTeniendo en cuenta la definicin que hemos visto para el rea de una figura, podemos aplicarla afigurassencillasyobtenerexpresionesgeneralesparacadaunadeellas.Observa cmo se deduce cul es el rea de un rectngulo:El nmero de unidades es = 5 2 10 =es decirrea del Rectngulo = 5 2 10 = u.a.En general:hbrea del Rectngulo = b h LaurayJavierestnponiendolosazulejosdesucocina.Quinhacubiertomspared?Lasdossuperficiescubiertastienenformasdiferentes.Parasaberculdelasdosesmayorutilizamos un cuadrado como unidad de medida;por ejemplo, un azulejo.Modulo matematicas7HENRY PIERCErea del CuadradoEl nmero de unidades es = 5 5 25 =es decirrea del Cuadrado = 5 5 25 = u.a.En general:area del Cuadrado =2a a a =areas de figuras planasREA DEL TRINGULOEl rea del tringulo es igual al semiproducto de la base por su altura.Ejemplo:Modulo matematicas7HENRY PIERCE1Calcula el rea de los siguientes tringulos.Modulo matematicas7HENRY PIERCE2 Calcula el rea de los siguientes tringulos rectngulos issceles.1Calcula el rea de los siguientes polgonos.1 Calcula el nmero de baldosas cuadradas que hay en un salon rectangular de 6 mde largo y 4,5 m de ancho, si cada baldosa mide 30 cm de lado.2 Calcula cul es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el m2 de tela cuesta1.200 pesetas.3Calcula el rea del cuadrado A, de los rectngulos B y C y el tringulo D de la figura.Modulo matematicas7HENRY PIERCE4 Calcula el nmero de rboles que se pueden plantar en un campo como elde la figura, de 32 m de largo y 30 m de ancho, si cada rbol necesita para desarrollarse 4m2.a) La longitud de las diagonales de un rombo inscrito en un rectngulo de 210 cm2 derea y 30 cm de largo.6 Calcula lo que costar sembrar csped en un jardn como el de la figura, si 1 m2de csped plantado cuesta 800 pesetas.Modulo matematicas7HENRY PIERCE7 Una piscina tiene 210 m2 de rea y est formada por un rectngulo para los adultos y untrapecio para los nios. Observa el dibujo y calcula:8 Luca est hacindose una bufanda de rayas trasversales de muchos colores.La bufanda mide 120 cm de largo y 30 cm de ancho y cada franja mide 8 cmde ancho.6 Las casillas cuadradas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado.Calcula:Modulo matematicas7HENRY PIERCE.a) El rea de los siguientes hexgonos regularesTEOREMA DE PITGORASEn un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.De esta frmula se obtienen las siguientes:Modulo matematicas7HENRY PIERCEProbabilidadCaractersticas de los sondeos de opininLos sondeos de opinin tienen su origen en Estados Unidos. Con ellos se pretenda, antes de las elecciones,y con muestras reducidas de la poblacin, realizar una prediccin acertada sobre la intencin de votode los ciudadanos estadounidenses.Ficha tcnica de un sondeo de opininVamos a analizar un ejemplo de ficha tcnica. Pertenecea un sondeo de opinin, el Barmetro, elaborado porel CIS mensualmente y que mide el estado de la opininpblica espaola respecto a la situacin del pas.En la ficha tcnica se especifican las caractersticas delsondeo y el tipo de tcnicas utilizadas en su elaboracin.La ficha tcnica del Barmetro de julio de 2005 es: mbito: Nacional. Se excluyen Ceuta y Melilla. Universo: Poblacin espaola de ambos sexos de 18 aos y ms. Tamao de la muestra: Diseadas 2.500 entrevistas y realizadas 2.493. Afijacin: Proporcional. Puntos de muestreo: 167 municipios y 47 provincias. Procedimiento de muestreo: Polietpico, estratificado por conglomerados. Los estratos se han formadopor cruce de las 17 Comunidades Autnomas con el tamao de hbitat dividido en 7 categoras.Modulo matematicas7HENRY PIERCEEn Espaa, el Centro de Investigaciones Sociolgicas (CIS) es el organismo oficial encargado de real izar lossondeos de opinin. Las encuestas y sondeos de opinin se realizan sobre una muestra representativa de lapoblacin y pueden estudiar cualquier fenmeno social, porque: Se hacen de manera que se puedan estudiar los valores y creencias de las personas. Las tcnicas de encuesta se adaptan a toda clase de informacin y se pueden realizar en cualquier tipode poblacin. Permiten recuperar informacin sobre sucesos acontecidos a los entrevistados. Facilitan estandarizar los datos para un anlisis posterior, obteniendo gran cantidad de datos a unbajo precio y en un perodo de tiempo corto.CMO PRODUCIR DATOS?Paraempezaresnecesariolaconvenienciadequeapoyestusdecisioneseninformacincuantitativa,esdecir, en datos.La informacin completa es en general imposible o toma un tiempo y costos excesivos. Por otro lado, todoslosinstrumentosdemedicintienenunaprecisinlimitada.Elmuestreopermiteobtenerconclusionesbasadas en una informacin limitada.Poblacin. Se denomina poblacin al conjunto total de objetos o individuos de inters en estudio.A cada elemento de la poblacin se le llama individuo o unidad. El tamaode la poblacin es el nmero deunidades que la conforman.El nmero de objetos o individuos que componen la poblacin se denota por N.En general si el tamao Nde la poblacin es muy grande, el tiempo y el costo de observar cada uno de loselementosesmuyalto.Estasrazones,entreotras,nosobliganarestringirnosaobservarunsubconjunto(una parte) de la poblacin.Se denomina muestra a un subconjunto de unidades seleccionadas de la poblacin de inters.El nmero de objetos o individuos que componen la muestra es denominadotamao muestray usualmente se denota por n.Cambia todo cambia: Por qu eres tan variable?Siobservasatuscompaerosnotarsqueellostienendistintoscolordepelo,distintotipodecabello,distinto peso, altura y obtienen distintos promedios en matemtica. A algunos la actividad que ms les gustaeshacerdeportes,aotrosiralcine,bailar,estudiar,etc.Enfin,lascaractersticasorasgosdetuscompaeros varan. Las opiniones de la personas sobre una teleserie o alguna reforma del gobierno varan.Las personas opinan y votan de manera diferente.MuestraPoblacinUnidadModulo matematicas7HENRY PIERCEEstas caractersticas que varan de individuo a individuo se denominan variables. Sellamavariableestadsticaosimplementevariableacualquiercaractersticaasociadaaunacoleccin de objetos o individuos bajo estudio susceptible de medicin u observacin. Un dato es un valor de la variable asociada a un elemento de una poblacin o muestra.Los datos u observaciones es el conjunto de valores que toma esta variable en cada individuo u objetoobservado (encuestado).ACTIVIDAD: Responder la siguiente encuesta. Identifica los nombres de las variables.Modulo matematicas7HENRY PIERCEENCUESTAEl siguiente cuestionario busca recabar informacin general sobre los alumnos de esta clase.Nombre:___________________Edad (en aos cumplidos):_________________Sexo: (M) (F):_______Estatura (en centmetros.):_______ Peso (en Kilogramos):_________Pololeas? SI:_____ NO:_______ Otro:________________Nmero de hermanos:________Lugar de nacimiento (Regin y ciudad):______________Nmero de horas promedio que dedica al estudio:_______Asignatura que ms le agrada:_______________________Pulso antes del ejercicio fsico:____________Pulso despus del ejercicio fsico:___________Bsicamente hay dos clase de variables: variables que obtiene informacin cualitativa yvariables queobtienen informacin cuantitativa. Dentro de las variables cualitativas distinguimos dos tipos. Variablescualitativasnominales:sonaquellascuyosposiblesvaloressonclasesocategoras,queclasificanloselementosobservados,peronoloordenan.Ejemplo:sexo,estados civil, nombre, equipo favorito,...Ejercicio: Identifica dos variables cualitativas nominales que proporcioneninformacin sobre lapersonalidad de tus compaeros. Variablescualitativasordinales:sonaquellascuyosvaloressoncategoraso clasesqueclasificanyordenanloselementosobservados.Ejemplo:estratosocial,gradosmilitares,niveleducacional (educacin bsica, media, superior), etc.Ejercicio:Identificadosvariablescualitativasordinalesqueproporcioneninformacinsobre losclientes de un banco.De manera similar, las variables cuantitativas pueden clasificarse en: Variablescuantitativasdiscretas:sonaquellascuyosvaloresformanunconjuntonumerabledenmeros,quesurgenfrecuentementedeunconteo,comoporejemplonmero de hermanos. Variablescuantitativascontinuas:sonaquellascuyosposiblesvaloresformanunintervalodenmerosrealesyqueresultannormalmentedeunamedicin,comoporejemploestaturaopesodeunindividuo.Noobstantemuchasvariables continuassondiscretizadas en su uso diario. Por ejemplo, habitualmente medimos edad en aos, peso enkilos, etc.Ejercicio:Mencionadosvariablesqueproporcioneninformacinsobrelosclientesdeunatienda de ropa.Ejercicio: Determina si las siguientes variables son cualitativas o cuantitativas.a. El peso de las cartas en el correo.b. Medio de transporte utilizado para ir al trabajoc. El nmero de canciones de un disco compactod. El nmero de das que llueve en un mes del ao.e. La temperatura al amanecer en Punta Arenasf. El color de un edificioModulo matematicas7HENRY PIERCEg. La cantidad de lluvia cada en una estacin del ao en la Reginh. Puntaje obtenidoen la PSUi. La religin de cada personaj. El largo de una faldak. La edad mnima para poder votarl. El tiempo de msica en un disca compactoPiensa en lo siguiente: Los encargados de pesar las encomiendas que salen del terminal de buses deConcepcin en cierto da registraron los siguientes valores: 9kg., 5kg., 4kg., 3kg., 12kg., etc.Todos los valores son nmeros enteros, implica esto que la variable es discreta? Lavariablepesoescontinua.Sehamedidoelpeso,seredondeaelvalorobtenido. Una encomienda donde se registro un valor de 9kg., podra realmente pesar 9.3kg. o 8,995, ocualquier valor en el intervalo que va desde 8.5 a 9.5. Punto clave: La apariencia de los datos despus que ellos han sido registrados,puede llevar a confusin respecto al tipo de variable que ha sido observada. Consideranuevamentelavariablepeso.Supnquelasencomiendasquepesan 5 kilos o menos son clasificadas como livianas, las que pesan 20 kilos o ms como pesadas y lasmsde5ymenosde20kiloscomomoderadas.Ahoralosencargadosregistranlosvalores:liviano,moderado y pesado, implica esto que la variable es cualitativa? Puntoclave:Eltipo devariabledependeprincipalmentedelprocesodemedicin, no de la propiedad que es observada.Es importante hacer muchas preguntas sobre el origen de los datos y como fueron obtenidos. Qu seest midiendo?Cmo se esta midiendo?Quin efecta las mediciones?Cundo fueron realizadas lasobservaciones?Noimportacualsealavariablerespuesta;silaherramientademedicinessuficientementeexactahabr variabilidad en lo datos. Uno de los objetivos primordiales del anlisis estadstico es la medicindelavariabilidad.Porejemplo,enelestudiodecontroldecalidad,lamedicindelavariabilidadesabsolutamenteindispensable.Controlar(oreducir),lavariabilidadenunprocesodemanufacturaestodo un campo por s mismo.UNIDAD: ESTADISTICALa estadstica se ocupa de recopilar datos, organizarlos en tablas y grficos y analizarlos con undeterminado objetivo.La estadstica puede ser descriptiva o inferencial. La estadstica descriptiva tabula, representa ydescribe una serie de datos que pueden ser cuantitativos o cualitativos, sin sacar conclusiones. Laestadsticainferencial infierepropiedadesdegrannmerodedatosrecogidosdeunamuestratomada de la poblacin.Nosotrossloestudiaremosla estadsticadescriptiva.Enelladebemostenerencuentalassiguientes etapas:a) Recoleccin de datosb) Organizacin de datos(1) Tabulacin(2) Graficacinc) Anlisis y medicin de datosModulo matematicas7HENRY PIERCEa) Recoleccin de datosPara esta etapa tomaremos los siguientes con