GUIA DE CONJUNTOS

Preparado por Mara Cristina Arias

Repaso de Teora de Conjuntos

Definiciones:

1.- Conjunto: es una lista, clase o coleccin de objetos bien definidos, objetos que, pueden

ser cualesquiera: nmeros, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o

miembros del conjunto.

Ejemplos: {1, 3, 7, 10}

{xx2 -3x 2= 0}

{Inglaterra, Francia, Dinamarca}

2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es tambin de B.

Notacin: AB x A xB

Ejemplo:

El conjunto C = {1, 3,5} es un subconjunto del D = {5, 4, 3, 2,1} ya que todo

elemento de C pertenece al conjunto D.

3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto

de otro conjunto, excepto de s mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto

del Conjunto Universal.

Notacin: U

Ejemplo: A = {1,3,5} B = {2,4,6,8} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos

los subconjuntos del conjunto A. S el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia

de A tendr 2n elementos.

Notacin: Ejemplo: A = {3, 4,5} P(A)= 23 = 8, lo que significa que pueden

formarse 8 subconjunto de A.

P(A)= {{3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3, 4,5}, }.

5.- Conjunto Vaco: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Notacin: = {x / x x} Ejemplo: B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vaco. 6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de Venn permiten visualizar grficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante crculos inscritos en un rectngulo. Los crculos corresponden a los conjuntos dados y el rectngulo al conjunto universal.

Ejemplo:

A B 7.-Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos sern finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar. Ejemplo: M= {a, e, i, o, u}, M es finito. N= {1, 3, 5,7...}, N es infinito. 8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes. Grficamente: Ejemplo: A= {1, 3,8}, B= {2, 4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS 1.-Unin de conjuntos: La unin de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos

pertenecen a A o a B. Notacin: AB= {x/xA xB}

Grficamente:

Ejemplo A={3,4,5,8,9} B={5,7,8,9,10}, entonces AB={3,4,5,7,8,9,10}

2.- Interseccin de conjuntos: La interseccin de dos conjuntos A y B, es unos conjuntos

cuyos elementos son comunes A y B.

Notacin: A B= {x / x A x B}

Grficamente:

Ejemplo: A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14}

A B= {9, 11}

A

U

U

A B

U U U

A b A B B

A

U U U A

B A B

A

B

A

B

)

)

3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no

estn en el conjunto A y que estn en el universo. Notacin: Ac = {x / x U x A}

Ac = U - A

Grficamente:

Ejemplo: U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7} Ac= {1,2,5,8,9,10}

4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos

elementos son aquellos que estn en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notacin: A - B = {x / x A x B}

Grficamente:

Ejemplo: C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q} C - D = {x, y, u}

5.- Diferencia Simtrica: La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que estn en A, pero no en B, unidos con aquellos que estn en B, pero no en A.

Notacin: A B= {x / x A x } {x / x x }

A B= (A - B) (B -A) Grficamente: Ejemplo: A= {1,3,4,5,6,7,20,30} B={2,6,20,40,50}

AB= {1, 3, 4, 5, 7,30} {2, 40,50}

A= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 30, 40,50} 6.-Producto cartesiano: El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como segundo componente un elemento de B.

Notacin: A x B = {(a, b) / a b } Ejemplo: A= {1,2} B= {3, 4,5} A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)} Observaciones:

1.- n() = n n() s n(A x B) = n s

2.-Si A = x B =

3.- A x B x A siempre que se cumpla que A

Ac U

A

U U U

A B A B A

B

A B U U

A

A A B )

)

)

7.- Cardinalidad: n(A = n(A) + n(B) n (A

n(A(C)) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A - n(C) n(BC) + n(A(C))

LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO 1.- Asociatividad: C C) (AC = AC) 2.- Conmutatividad: AB = BA

3.- Distributividad: ACC) AC) = (C)

4.- Absorcin: A AA

5.- Idempotencia: A B

6.- Identidad: U A AUU A =

7.-Complemento: AcU Ac = (Ac)c = A U= , = U

8.- Ley de Morgan: (AB)c = Acc (Ac = Acc A B = Ac

EJERCICIOS

1. En una encuesta aplicada a 100 estudiantes de un Instituto, se registr que: 35 estaban inscritos en lgebra, 52 en Ingles y 18 en ambos cursos. Cuntos de los encuestados no estaban inscritos en estos cursos?

2. En una tienda hay 28 trabajadores, entre vendedores y cajeros. La cantidad de cajeros son 15 y los vendedores son 20, pero hay algunos de ellos que cumplen ambas funciones. Cuntos son los trabajadores que cumplen ambas funciones?

3. De un total de 35 analistas programadores entrevistados para un trabajo, 25 conocan JAVA, 28 conocan C# y dos no conocan estos dos lenguajes. a) Cuntos programadores conocan ambos lenguajes? b) Cuntos programadores conocan slo JAVA? c) Cuntos programadores conocan slo C#?

4. Se hace una encuesta a 913 personas acerca del consumo de tres productos A, B, C, de la cual se obtuvo la siguiente informacin: 401 personas consumen A, 303 personas consumen B, 493 personas consumen C, 71 personas consumen A y B, 131 personas consumen A y C, 113 personas consumen B y C. Adems, se sabe que todas las personas consumen a lo menos uno de los productos.

a. Cuntas personas consumen los tres productos? b. Cuntas personas consumen slo B? c. Cuntas personas consumen B y C, pero no A?

5. Ana, Profesora de Psicologa de una escuela, planeo realizar un estudio sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las pelculas A, B y C. Despus de encuestar su clase de 55 estudiantes, determin la siguiente informacin: 17 han visto A. 17 han visto B. 23 han visto C. 6 han visto A y B. 8 han visto A y C. 10 han visto B y C. 2 han visto las tres pelculas.

a. Cuntos estudiantes han visto exactamente dos de estas pelculas? b. Cuntos estudiantes han visto exactamente una de estas pelculas? c. Cuntos estudiantes no han visto estas pelculas? d. Cuntos estudiantes han visto A, pero ninguna de las otras?

6. Un total de 60 clientes potenciales visitaron una tienda de artculos de computadores. De stos: 20 compraron papel. 36 compraron disquetes. 12 compraron tinta. 6 compraron papel y disquetes. 9 compraron disquetes y tinta. 5 compraron papel y tinta. 52 compraron algn artculo, de los mencionados anteriormente.

a. Cuntos compraron los tres artculos? b. Cuntos compraron papel y disquetes pero no tinta? c. Cuntos compraron slo papel? d. Cuntos compraron papel o disquetes?

7. Una encuesta realizada a 100 alumnos de IAP U de Chile, arrojo la siguiente informacin: 32 alumnos estn cursando Matemticas para la Gestin I, 20 alumnos estn cursando Ingles, 45 alumnos estn cursando Historia, 15 alumnos estn cursando Matemticas para la Gestin I e Historia. 7 alumnos estn cursando Ingles y Matemticas para la Gestin I 10 alumnos estn cursando Ingles e Historia 30 alumnos no cursan las asignaturas mencionadas

a. Cuntos alumnos cursan las tres asignaturas? b. Cuntos alumnos cursan slo una de las asignaturas?

c. Cuntos alumnos cursan slo dos de las asignaturas? d. Cuntos alumnos cursan slo Matemticas para la Gestin I?

8. Se hace una encuesta a 80 personas acerca del consumo de tres productos A, B, C, de la cual se obtuvo la siguiente informacin: 35 personas consumen A 27 personas consumen B 7 personas consumen A y B 10 personas consumen A y C 9 personas consumen B y C 54 personas consumen A o C 13 personas no consumen los productos A, B y C

a. Cuntas personas consumen A y B pero no C? b. Cuntas personas consumen al menos dos de estos productos? c. Cuntas personas no consumen B?

9. En una encuesta realizada a 100 deportistas se obtuvo la siguiente informacin: 43 practican Tenis 32 practican Atletismo 8 practican Tenis y Atletismo 10 practican Tenis y Ciclismo 7 practican Atletismo y Ciclismo 60 practican Tenis o Ciclismo 5 practican Tenis, Atletismo y Ciclismo

a. Cuntos deportistas no practican los deportes mencionados b. Cuntos deportistas practican al menos dos de los deportes mencionados? c. Cuntos deportistas no practican atletismo?

RESPUESTAS

1. 31 estudiantes 2. 7 3. a) 20 b) 5 c) 8 4. a) 31 b) 150 c) 82 5. a) 18 b) 15 c) 20 d) 5 6. a) 4 b) 2 c) 13 d) 50 7. a) 5 b) 48 c) 17 d) 15 8. a) 5 b) 22 c) 53 9. a) 18 b) 15 c) 68