UNIVERSIDAD JOS CARLOS MARITEGUI

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

GUA DE ESTUDIO:

ANLISIS SSMICO DE EDIFICACIONES

TERCER MDULO:

INGENIERA ANTISSMICA

AYACUCHO - JUNIO

2010

Captulo 1

CARACTERSTICAS DE LOS SISMOS

1.1. Conceptos Bsicos de Sismologa

Las definiciones siguientes corresponden a algunos de los trminos ms utilizados en sismologa:

Sismo, temblor o terremoto: Vibraciones de la corteza terrestre inducidas por el paso de las ondas ssmicas provenientes de un lugar o zona donde han ocurrido movimientos sbitos de la corteza terrestre (disparo ssmico o liberacin de energa).

Sismologa: Es la ciencia y estudio de los sismos, sus causas, efectos y fenmenos asociados.

Sismicidad: Es la frecuencia de ocurrencia de sismos por unidad de rea en una regin dada. A menudo esta definicin es empleada inadecuadamente, por lo que se define en forma ms general como la actividad ssmica de una regin dada, esta ltima definicin implica que la sismicidad se refiere a la cantidad de energa liberada en un rea en particular.

Amenaza Ssmica: Es el valor esperado de futuras acciones ssmicas en el sitio de inters y se cuantifica en trminos de una aceleracin horizontal del terreno esperada, que tiene una probabilidad de excedencia dada en un lapso de tiempo predeterminado.

Microzonificacin ssmica: Divisin de una regin o de un rea urbana en zonas ms pequeas, que presentan un cierto grado de similitud en la forma como se ven afectadas por los movimientos ssmicos, dadas las caractersticas de los estratos de suelo subyacente.

Fallas geolgicas: Ruptura, o zona de ruptura, en la roca de la corteza terrestre cuyos lados han tenido movimientos paralelos al plano de ruptura.

Ondas ssmicas: Son vibraciones que se propagan a travs de la corteza terrestre causadas por la repentina liberacin de energa en el foco.

Acelerograma: Descripcin en el tiempo de las aceleraciones a que estuvo sometido el terreno durante la ocurrencia de un sismo real.

Sismograma: Es un registro del movimiento ssmico y mide la magnitud de los sismos.

Aceleracin pico del suelo: Es la aceleracin mxima de un punto en la superficie alcanzada durante un sismo, expresada como fraccin de la gravedad (g).

Licuacin: Respuesta de los suelos sometidos a vibraciones, en la cual estos se comportan como un fluido denso y no como una masa de suelo hmeda.

Epicentro: Punto que se encuentra en la superficie de la tierra inmediatamente por encima del foco.

Hipocentro: Foco ssmico o fuente, es el punto o grupo de puntos subterrneos desde donde se origina el sismo.

Distancia epicentral: Es la distancia horizontal desde un punto en la superficie al epicentro, ver la Figura 1.1.

Profundidad focal: Es la distancia entre el foco y el epicentro.

Sismo de diseo: Es la caracterizacin de los movimientos ssmicos en un sitio dado que deben utilizarse en la realizacin del diseo sismo resistente.

Figura 1.1 Relacin geomtrica

1.2. Causas de los Sismos

Varios fenmenos son los causantes de que la tierra tiemble, dependiendo de stos actualmente se reconocen tres clases de sismos: los sismos de origen tectnico, los de origen volcnico y los artificialmente producidos por el hombre. Siendo ms devastadores los sismos de origen tectnico, y por ende los de mayor inters dentro la ingeniera.

1.2.1. Tectnica de Placas

El origen de la mayora de los sismos es explicado satisfactoriamente por la teora de la tectnica de placas. La idea bsica es que la corteza terrestre, la litosfera, est compuesta por un mosaico de doce o ms bloques grandes y rgidos llamados placas, que se mueven uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida en seis placas continentales (frica, Amrica, Antrtida, Australia, Europa y la placa del Pacfico), y cerca de catorce placas subcontinentales (placa de Nazca, del Caribe, etc.) como se puede apreciar en la Figura 1.2.

Figura 1.2 Principales zonas tectnicas, lomos ocenicos y zonas de subduccin

La validez de la teora de la tectnica de placas recibi un fuerte apoyo de los datos ssmicos reunidos a travs de los aos mediante la red ssmica mundial, que fue establecida hacia el final de la dcada de 1950. Los datos demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y muy bien definidas, sugiriendo que la mayora de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas en las zonas donde chocan unas contra otras.

Una explicacin plausible para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio trmico de los materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se form por la unin de meteoritos. El incremento en la masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente, el planeta se ha calentado y su ncleo crece a costa de la fusin del manto. La parte superior del manto, que est en contacto con la corteza, se encuentra a una temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que est en contacto con el ncleo a una temperatura mucho ms alta. Es evidente que el material caliente (en las profundidades) posee una densidad menor al material fro (cerca de la corteza), lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la superficie una vez fro tiende a bajar por la accin de la gravedad. Este proceso cclico se denomina conveccin. Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en distintas direcciones.

Estas corrientes tambin hacen que la lava ascienda continuamente en los llamados lomos ocenicos. La roca formada se mueve lentamente por ambos lados del lomo como nuevo piso o base ocenica, desplazando las placas a velocidad constante. Estas zonas son denominadas zonas de expansin.

Las placas se mueven libremente con respecto a la Astensfera subyacente, y tambin pueden moverse una con respecto de la otra de tres formas: a) una placa se desliza pasando frente a la otra a lo largo de su margen, b) dos placas se mueven alejndose mutuamente, c) dos placas se mueven de tal forma que una se desliza por debajo de la otra.

El primero de estos movimientos tiene su expresin en la superficie de la tierra, como sucede en la falla de San Andrs. El segundo tipo de movimiento da origen a los lomos ocenicos. El tercero tiene su accin en las profundas trincheras ocenicas donde el borde de una placa se mueve por debajo de la otra, este proceso se conoce como subduccin. La Figura 1.4 ilustra los conceptos expuestos en los prrafos anteriores.

La formacin de nuevo piso ocenico en los lomos de expansin implica la separacin de los continentes aumentando de esta manera el rea del piso ocenico. Este aumento es equilibrado por la destruccin de la placa por medio de la subduccin cuando la corteza ocenica es transportada al manto, en donde se consume.

Figura 1.3 Movimiento de las placas y generacin de sismos. M ecanismo de Subduccin.

Figura 1.4 Movimiento de las placas, (a) zona de expansin, (b) subduccin

1.2.2. Sismos de Origen Tectnico

Se producen por el desplazamiento sbito de las placas tectnicas a lo largo de las fracturas llamadas fallas. Estos movimientos bruscos liberan el esfuerzo al que estn sometidas las rocas corticales. El esfuerzo se acumula localmente por varias causas hasta que supera la resistencia de las rocas, que es cuando ocurre la ruptura y deslizamiento a lo largo de las fracturas. El choque o disparo ssmico se traduce en una gran liberacin de energa, seguido algunas veces de un rebote elstico, hasta que las placas involucradas alcanzan nuevas posiciones de equilibrio.

Muchos de los centros activos de terremotos actuales se localizan a lo largo de dos fajas situadas en la superficie terrestre: la circumpacfica y la alpna o alpinohimalaya. Tambin ocurren numerosos choques ms pequeos en las zonas de fallas marinas asociadas con los lomos ocenicos.

El sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989 ocurrido en la falla de San Andrs es un ejemplo ilustrativo de esta clase de sismo como se muestra en la Figura 1.5, y la direccin del movimiento de las placas es ilustrada en la Figura 1.6.

De las dos clases de sismos no tectnicos, los del origen volcnico son raramente muy grandes o destructivos. Ellos son de inters principalmente porque anuncian las erupciones volcnicas inminentes. Los temblores se originan a causa de la subida del magma, llenando las cmaras internas del volcn.

El hombre puede inducir sismos mediante una variedad de actividades, tal como el relleno de nuevos depsitos, la detonacin subterrnea de explosivos atmicos, o el bombeo profundo de fluidos en la tierra mediante pozos.

Figura 1.5 Localizacin del sismo de Loma Prieta

Figura 1.6 Movimiento de la falla de San Andrs durante el sismo de Loma Prieta

1.3. Fallas Geolgicas

1.3.1. Definicin

Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros hasta cientos de kilmetros y extenderse desde la superficie a varias decenas de kilmetros de profundidad.

La presencia de fallas en la superficie no necesariamente implica que el rea tiene actividad ssmica, as como la inexistencia de las mismas no implica que el rea sea assmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a aflorar en la superficie.

Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta puede ser representada aproximadamente como un plano, el cual est descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la lnea de interseccin del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su orientacin respecto al Norte y el buzamiento es el ngulo de inclinacin desde el plano horizontal hasta el plano de falla.

1.3.2. Tipos de Falla

Segn su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son propias de las zonas en traccin; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porcin inferior. Las fallas inversas corresponden a zonas de compresin, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porcin inferior. Las fallas por desgarramiento implican grandes desplazamientos laterales entre dos placas en contacto, la falla de San Andrs es un ejemplo ilustrativo de este tipo (Figura 1.8). Y la Figura 1.7 muestra claramente la naturaleza del desplazamiento en cada caso.

Figura 1.7 Tipos de falla geolgica segn su desplazamiento

Figura 1.8 Falla de San Andrs (falla por desgarramiento o cizallamiento)

1.4. Ondas Ssmicas

La repentina liberacin de energa en el foco o hipocentro del sismo, cuando ste ocurre, se propaga en forma de vibraciones elsticas u ondas elsticas de deformacin. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de una onda son elsticas, de esta manera, las velocidades de propagacin son determinadas sobre la base del mdulo elstico y la densidad de los materiales a travs de los cuales viaja la onda. Las ondas ssmicas se clasifican segn su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.

1.4.1. Ondas de Cuerpo

La repentina liberacin de energa en el foco o hipocentro del sismo, cuando ste ocurre, se propaga en forma de vibraciones elsticas u ondas elsticas de deformacin. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de una onda son elsticas, de esta manera, las velocidades de propagacin son determinadas sobre la base del mdulo elstico y la densidad de los materiales a travs de los cuales viaja la onda. Las ondas ssmicas se clasifican segn su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.

Reciben el nombre de ondas de cuerpo porque pueden viajar a travs del cuerpo del material. Un cuerpo elstico puede estar sujeto a dos tipos de deformacin: compresin - dilatacin y cortante, por lo tanto las ondas que se generan son de compresin o de corte, respectivamente.

Las ondas P, llamadas tambin primarias, longitudinales, compresionales o dilatacionales; producen un movimiento de partculas en la misma direccin de la propagacin, alternando compresin y dilatacin del medio.

Las ondas S, llamadas tambin ondas secundarias, transversales o de cortante; producen un movimiento de partculas en sentido perpendicular a la direccin de propagacin, como se puede observar en la Figura 1.9.

Por lo general cuando ocurre un sismo, las ondas P se registran primero, segundos ms tarde llegan las ondas S, con su movimiento de arriba hacia abajo y lado a lado, causando graves daos en las estructuras, como se puede observar en la Figura 1.10. Las ondas P pueden propagarse a travs

de medios slidos y lquidos, en cambio las ondas S se propagan nicamente a travs de medios slidos debido a que los lquidos no presentan rigidez al corte.

Figura 1.9 Deformaciones producidas por las ondas de cuerpo (a) onda P, (b) onda S

Figura 1.10 Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S)

1.4.2. Ondas Superficiales

Este grupo se denomina de esta manera debido a que su movimiento se restringe a las cercanas de la superficie terrestre. Las ondas superficiales pueden subdividirse en dos tipos: las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh (ondas R).

El movimiento de las ondas L, es similar al de las ondas S que no tienen componente vertical ya que mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un plano horizontal y en sentido perpendicular a la direccin de propagacin, como se puede observar en la Figura 1.11.

El movimiento de las partculas en las ondas R es elptico y tiene lugar en planos perpendiculares a la superficie libre.

En general, las ondas Love son ms veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma prctica en algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura 1.11 donde se ha sealado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca del efecto de la topografa y las condiciones del suelo sobre las ondas ssmicas, es decir que las ondas pueden amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagacin.

En general, las ondas Love son ms veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma prctica en algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura 1.12 donde se ha sealado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca del efecto de la topografa y las condiciones del suelo sobre las ondas ssmicas, es decir que las ondas pueden amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagacin.

Figura 1.11 Deformaciones producidas por las ondas superficiales: (a) onda Rayleigh, (b) onda Love

Figura 1.12 Terremoto de Kermadec de 11 de Junio de 1957

1.5. Instrumentos de Medicin y Registros Ssmicos

Las caractersticas de las ondas ssmicas y su propagacin han podido estudiarse gracias a instrumentos que registran las vibraciones ssmicas conocidos como sismgrafos. Dependiendo del tipo de

instrumento utilizado se puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleracin del suelo; lo cual est determinado por el rango til de frecuencias a medir (), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (n).

Los sismgrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un pndulo que oscila libremente dentro de un marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En los sismgrafos modernos, el movimiento del pndulo se convierte en seales electrnicas que se registran en la memoria de una computadora.

1.5.1. Sismmetro

[n

[n>] Registra aceleraciones: Acelerograma.

Los acelermetros, tambin conocidos como sismgrafos de movimiento fuerte, se disean para registrar directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma. Los instrumentos se orientan de tal forma que registren la aceleracin del suelo en funcin del tiempo para tres direcciones o componentes normales. En la Figura 1.13 se muestran los acelerogramas registrados en una estacin durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976.

El anlisis ssmico requiere de la digitalizacin numrica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en una serie de datos de aceleracin - tiempo. Los acelerogramas dan una informacin directa del movimiento ssmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleracin como medida instrumental de la intensidad se ha constituido as en el parmetro base para el anlisis estructural ssmico.

1.6. Medidas de los Sismos

Comnmente existen dos sistemas para cuantificar el tamao y la fuerza de un sismo, los cuales son la magnitud y la intensidad. A pesar de ser parmetros ampliamente utilizados y conocidos, desde el punto de vista de la ingeniera ssmica ninguno de ellos es completamente satisfactorio.

1.6.1. Magnitud

Es una medida cuantitativa de un sismo, independiente del lugar de observacin y est relacionada con la cantidad de energa liberada. Se calcula a partir de la amplitud registrada en sismogramas y se expresa en una escala logartmica en nmeros arbigos y decimales. La escala de magnitudes que ms se usa es la de Richter, que tiene 10 grados de medida y se denota por M.

Es importante notar que en la escala de magnitudes no se menciona nada a cerca de la duracin y frecuencia del movimiento, parmetros que tienen gran influencia en los efectos destructivos de los sismos. Por esta razn an no se tiene una aplicacin prctica en la ingeniera ssmica a los valores de magnitud y es un parmetro propio de los sismlogos.

1.6.2. Intensidad

Es una medida subjetiva de los efectos de un sismo, se refiere al grado de destruccin causada por un sismo en un sitio determinado, que generalmente es mayor en el rea cercana al epicentro. La escala adoptada ms ampliamente es la de Mercalli Modificada y se denota por MM, que tiene doce grados identificados por los nmeros romanos del I al XII. En la Tabla 01 se da una descripcin detallada de esta escala de intensidad.

1.6.3. Relacin entre Escala de Intensidad y Medida

Para llevar a cabo un anlisis realista del comportamiento de estructuras sometidas a temblores, el ingeniero debe conocer suficientes caractersticas dinmicas del movimiento del suelo, que son obtenidas con la ayuda de acelermetros, y la falta de stos, supone la carencia de registros de aceleracin, fundamentales para el anlisis estructural ssmico. Por esta razn y con el afn de deducir valores tiles para diseo, an a partir de intensidades referidas a escalas subjetivas, se han desarrollado diversos estudios que correlacionan los valores de intensidad en diversas escalas, con las caractersticas dinmicas de los sismos como la velocidad y aceleracin del suelo, que tienen la ventaja de ser magnitudes instrumentales.

En la Tabla 01 se expone como Medida de Intensidad la Aceleracin Mxima del suelo y como Escala de Intensidad la Mercalli Modificada, las cuales han sido correlacionadas. Es necesario sealar que las apreciaciones de las aceleraciones estn basadas en la experiencia de quien propuso la correlacin, basndose principalmente en observaciones de eventos ssmicos pasados y ensayos de laboratorio que permitieron correlacionar las roturas producidas en diferentes modelos a escala

construidos sobre mesas vibrantes con las aceleraciones en ellas aplicadas. De este modo se puede hacer una analoga entre los daos de los modelos construidos a escala con el nivel del dao en las estructuras reales, especificados en grados de intensidad segn sea la escala utilizada y relacionarlos con la aceleracin correspondiente que los provoc.

Tabla 01 Escala de Intensidad Mercalli Modificada

Captulo 2

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

2.1. Introduccin

Resulta complejo elegir entre el anlisis dinmico plano o tridimensional, ste ltimo representado por sus dos componentes horizontales (cargas reversibles), lo cual no es posible en el plano. El anlisis dinmico tridimensional, requerir la evaluacin de la estructura con varios grados de libertad por medio de mtodos sofisticados como el de los elementos finitos, que ayudara a resolver las ecuaciones diferenciales por mtodos de integracin numrica.

En una estructura tridimensional xyz tipo edificios, es til y suficiente asumir la hiptesis del diafragma rgido de piso, lo cual acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres grados de libertad por piso, dos traslaciones horizontales (ux,uy) y una rotacin vertical (rz), a estos se conocen como desplazamientos maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se concentran en un nudo denominado maestro, al cual estn constringidos o conectados rgidamente los nudos restantes, a estos nudos se los denomina dependientes y tienen los grados de libertad opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones horizontales (rx, ry) y una traslacin vertical (uy)

2.2. Ecuacin de Movimiento

Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura 2.1, se puede idealizar como un prtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rgido asumiendo que la masa est concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinmica del sistema est representada por el desplazamiento lateral de las masas con el nmero de grados de libertad dinmica o n modos de vibracin que son iguales al nmero de masas. La vibracin resultante del sistema est dada por la superposicin de las vibraciones de cada masa. Cada modo individual de vibracin tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo.

La Figura 2.1 muestra tres modos de un sistema aporticado de tres niveles. El modo de vibracin con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibracin; modos con periodos cortos son llamados modos armnicos (frecuencias altas).

Figura 2.1 Estructura de varios niveles

Para ilustrar el anlisis correspondiente a varios grados de libertad considerar un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuacin de equilibrio dinmico para cada una:

(2.1)

Las fuerzas de inercia en la ecuacin 2.1 son simplemente:

(2.2)

En forma matricial:

(2.3)

O ms generalmente:

(2.4)

Donde {FI} es el vector de fuerzas de inercia, [M] es la matriz de masa y {} es el vector de aceleraciones. Debe notarse que la matriz de masa es diagonal para un sistema de sumas agrupadas, sin considerar acoplamiento entre las masas. En sistemas de coordenadas de forma ms generalizada, usualmente hay acoplamiento entre las coordenadas lo que complica la solucin. Esta es una razn primordial para usar el mtodo de masas concentradas.

Las fuerzas de la ecuacin 2.1 dependen de los desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez pueden expresarse como:

(2.5)

En forma matricial:

(2.6)

O ms generalmente:

(2.7)

Donde {Fs} es el vector de fuerzas elsticas, [K] es la matriz de rigidez y {U} es el vector de desplazamientos.

Por analoga, las fuerzas de amortiguamiento en la ecuacin 2.1 pueden expresarse como:

(2.8)

Donde {FD} es el vector de fuerzas de amortiguamiento, [C] es la matriz de amortiguamiento y { } el vector de velocidades. En general no es prctico determinar c y el amortiguamiento es expresado en trminos del coeficiente de amortiguamiento ().

Aplicando las ecuaciones 2.4, 2.7 y 2.8 las ecuaciones de equilibrio dinmico (2.1) pueden escribirse generalmente como:

(2.9)

Lo cual es equivalente a:

(2.10)

2.3. Respuesta Dinmica: Anlisis Modal

Para determinar la respuesta dinmica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de anlisis modal. Se obtiene la respuesta mxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores mximos no pueden ocurrir simultneamente, estos valores son combinados estadsticamente para obtener la respuesta total.

El mtodo de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relacin entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relacin de amortiguamiento no excede el 5%. El anlisis modal puede ser enfocado mediante mtodos matriciales, numricos o mtodos iterativos.

2.4. Mtodo Matricial

Como la respuesta dinmica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibracin y de la forma desplazada (forma modal), el primer paso en un anlisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas modales de vibracin libre. En este caso no existen fuerzas externas y el amortiguamiento es considerado cero.

Cada grado de libertad dinmico provee una ecuacin de equilibrio dinmico, la vibracin resultante del sistema consiste de n de estas ecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibracin libre no amortiguada como:

(2.11)

La vibracin libre descrita grficamente por las Figuras 2.2 y 2.3 de un sistema no amortiguado en uno de sus modos de vibracin natural puede describirse matemticamente por:

(2.12)

Donde n, forma de la deformada o amplitud relativa de movimiento, no vara con el tiempo, y la variacin del desplazamiento con el tiempo es descrita por una funcin armnica:

(2.13)

Donde An y Bn son constantes de integracin que pueden ser calculadas a partir de las condiciones iniciales. Combinando las ecuaciones 2.12 y 2.13 se tiene:

(2.14)

Donde n y n son desconocidos. Sustituyendo esta forma de u(t) en la ecuacin 2.11 da:

(2.15)

o

(2.16)

Esta expresin es una representacin de la ecuacin de eigenvalores; la cual tiene una solucin no trivial slo si el determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir las frecuencias naturales n (escalar) y los modos n (vector) deben satisfacer la siguiente ecuacin:

(2.17)

(2.18)

El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (n)2, las races del cual son los

eigenvalores. Sustituyendo stos en la ecuacin de eigenvalores (ecuacin 2.17) se obtienen los eigenvalores para cada modo. A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectrales a partir de una curva de respuesta apropiada.

Figura 2.2 Vibracin libre de un sistema no amortiguado en su primer modo natural de vibracin: (a) Prtico de dos niveles; (b) Forma

de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q1(t)

; (d) Histograma de desplazamiento

Figura 2.3 Vibracin libre de un sistema no amortiguado en su segundo modo natural de vibracin: (a) Prtico de dos niveles; (b) Forma

de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q2(t)

; (d) Histograma de desplazamiento

2.4.1. Matriz Modal y Espectral

Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial. El modo natural o eigenvector n correspondiente a la frecuencia natural n tiene elementos jn, donde j indica el DOF. De este modo los N eigenvectores pueden presentarse o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:

Donde [] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores n2 pueden ser acoplados en una

,matriz diagonal 2, la cual es conocida como matriz espectral.

Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuacin 2.17 la cual puede ser reescrita como:

(2.19)

Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar esta ecuacin en una ecuacin matricial simple:

(2.20)

Esta ecuacin presenta en forma compacta las ecuaciones relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.

2.4.2. Ortogonalidad de los Modos

Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran a continuacin para satisfacer la siguiente condicin de ortogonalidad. Cuando n

r (entindase que r tambin es una frecuencia natural).

(2.21.a)

(2.21.b)

La demostracin de esta propiedad es la siguiente: la ensima frecuencia natural y el modo que satisfacen la ecuacin 2.19 multiplicados por r

T, la transpuesta de r, da:

(2.22)

Anlogamente se realiza lo mismo con la ersima frecuencia natural y el modo que satisface la ecuacin 2.19; de esta manera kr = r

2mr multiplicando por nT da:

(2.23)

La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuacin 2.22 es igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho de la ecuacin; de esta forma:

(2.24)

Donde se ha utilizado la propiedad de simetra de la matriz de masa y rigidez. Restando la ecuacin 2.23 de la ecuacin 2.24 se tiene:

De esta manera la ecuacin 2.21(b) es verdadera cuando n2

r2 los cuales para sistemas con

frecuencia natural posit

iva implica que nr. Sustituyendo la ecuacin 2.21(b) en la 2.23 seala que la ecuacin 2.21(a) es verdadera cuando n

r.

Se ha establecido la relacin de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:

(2.25)

Donde los elementos de la diagonal son:

(2.26)

Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la diagonal de K y M son positivos, y estn relacionados por:

(2.27)

2.4.3. Normalizacin de los Modos

Si el vector {n} es un modo natural, cualquier vector proporcional es en esencia el mismo modo natural porque satisface la ecuacin 2.17. algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asocindolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalizacin; algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras veces es ms ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algn grado de libertad en particular sea la unidad. En teora y programas computacionales es comn normalizar los modos de tal manera que mn tenga valores unitarios:

o

(2.28)

Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada estn dados por:

(2.29)

Donde: jn= es el componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n.

mjj= masa concentrada en el nudo j.

ujn= el componente, para el nudo j, del eigenvector asociado con el nudo n.

2.4.4. Factor de Participacin

Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibracin y tienen forma similar a la ecuacin de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participacin, para sistemas de varios grados de libertad est definida en forma matricial por:

(2.30)

Donde [P]= vector de coeficientes de participacin para todos los modos considerados

{1}= vector unitario.

Para un sistema en especfico, los factores de participacin tienen las propiedades de:

(2.31)

Donde Pn = es el factor de participacin asociado con el modo n.

1n = es el componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector asociado con el modo n.

La matriz de mximos desplazamientos est definida por:

(2.32)

Donde [D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.

[V] = matriz diagonal de velocidad espectral.

[A] = matriz diagonal de aceleracin espectral.

La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema est dada por la segunda ley de Newton:

(2.33)

El vector de fuerzas cortantes en la base est dada por:

(2.34)

2.5. Mtodo Numrico

Para facilitar el procedimiento del anlisis modal se puede utilizar mtodos numricos. Para un modo de vibracin dado el factor de participacin est definido por:

(2.35)

Donde Mi = masa correspondiente al nivel i.

i = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado.

M = masa modal = Mii2

Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura.

La masa efectiva est definida por:

(2.36)

De forma similar el peso efectivo es definido por:

(2.37)

Donde Wi = peso correspondiente al nivel i

La aceleracin pico en el nudo est definida por:

(2.38)

El desplazamiento mximo en el nudo est definido por:

(2.39)

La fuerza lateral en el nudo est dada por la ley de Newton:

(2.40)

La cortante basal est dada por:

(2.41)

La fuerza lateral en cada nudo puede tambin determinarse mediante la distribucin de la cortante basal del modo siguiente:

(2.42)

Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a:

(2.43)

2.6. Mtodo Iterativo

Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el anlisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema estructural puede ser modelado como un prtico con losas de entre piso rgidas. Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el resultado de la flexin de las columnas sin incluir rotacin en los nudos. La rigidez de un nivel en particular est dada por:

(2.44)

La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso como se muestra en la Figura 2.4. utilizando estos supuestos se han desarrollado tcnicas iterativas basadas en mtodos propuestos por Rayleigh, Stodola y Holzer. A continuacin se presenta una adaptacin del mtodo de Holzer. El modelo dinmico describe que: cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral mximo ui, la velocidad es cero y la fuerza de inercia en el nudo est dada por:

(2.45)

Figura 2.4 Anlisis modal de una estructura resistente a fuerza lateral

La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo. El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese nivel. El incremento de la fuerza cortante esta dado por:

(2.46)

Donde kii = fuerza cortante total en el nivel i.

Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene:

(2.47)

La solucin de esta ecuacin se puede obtener asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en trminos de la frecuencia natural, en cada nivel. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el desplazamiento (deriva) de cada piso. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva forma modal inicial en el proceso de iteracin hasta que coincida la forma modal corregida con la inicial.

2.7. Ejemplos

Ejemplo 2.1: Un prtico de dos niveles tiene las propiedades mostradas en la Figura 2.5 y una relacin de amortiguamiento de 5%, est localizado sobre un sitio rocoso cerca del origen del sismo de Loma Prieta. Determinar las fuerzas laterales y desplazamientos de cada nivel usando el espectro de respuesta de la Figura 2.6.

Figura 2.5

Figura 2.6 Espectros de respuestas registrados para varios sitios

Solucin:

El desplazamiento de cada nudo es:

la matriz diagonal de masa es:

la ecuacin de eigenvalores es:

el determinante a resolver es:

resolviendo el polinomio se obtiene las frecuencias naturales correspondientes a los modos de vibracin:

el periodo natural correspondiente es:

A partir del espectro de respuesta, Figura 2.6, la aceleracin espectral es:

Sustituyendo estos valores en la ecuacin de eigenvalores y estableciendo el primer componente de cada modo igual a la unidad se obtiene cada uno de los eigenvectores:

Para 1=5.15

De este modo se obtiene la matriz de eigenvectores:

los componentes de la matriz modal normalizada estn dados por:

Para el modo 1:

Para el modo 2:

Entonces la matriz modal normalizada es:

El vector de coeficiente de participacin esta definido por:

Asumiendo que la estructura se comporta elsticamente, la matriz de desplazamiento esta dada por:

Los desplazamientos mximos resultantes de cada nudo se obtienen a travs de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:

La matriz de fuerzas laterales en cada nudo esta dado por.

Utilizado la raz cuadrada de la suma de los cuadrados la fuerza lateral en cada nudo es:

El vector de cortante basal es:

Utilizado la raz cuadrada de la suma de los cuadrados la cortante basal es:

2.8. Problemas Propuestos

Problema 2.1: La Figura 2.7 representa un edificio de tres niveles. Las cargas muertas efectivas se muestran en cada piso y se dan como datos las siguientes propiedades dinmicas:

Figura 2.7

Eigenvectores:

Eigenvalores:

Se requiere:

a) Calcular los factores de participacin y verificar si son correctos dichos factores.

b) Calcular los desplazamientos de cada nivel basados en el espectro dado.

c) Calcular la deriva entre cada piso.

Problema 2.2: La Figura 2.8 representa un edificio de tres niveles con losas de entrepiso de 3 m. x 3 m. Las cargas muertas en cada piso se muestran en la figura.

Figura 2.8

Determinar:

a) La cortante basal de cada modo, usando el espectro de respuesta de diseo con =5%.

b) La carga lateral para cada nivel, para cada modo.

c) Cual es la cortante basal ms probable.

Problema 2.3: Considere el prtico de acero de dos pisos que se muestra en la Figura 2.9. La estructura tiene una razn de amortiguamiento =7%, se conoce que cada piso de deflecta 0.3 [cm] debido a una esfuerzo cortante del piso de 4.5 [t].

Figura 2.9

Determinar:

a) El modelo matemtico para el anlisis dinmico y resumir ste en un dibujo indicando masas y rigideces por piso.

b) Dibujar la primera forma modal aproximada y calcular el periodo fundamental de vibracin del modelo matemtico.

c) Para el primer modo asumir T1=0.5 [s] y que la forma modal es 2=1.0 y 1=0.66, calcular la primera fuerza modal por piso.

d) Cual es la aceleracin pico del suelo

Captulo 3

CRITERIOS DE ESTRUCTURACIN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS

3.1. Introduccin

La forma del edificio, tamao, naturaleza y localizacin de los elementos resistentes, es decir: muros, columnas, pisos, ncleos de servicio, escaleras; y elementos no estructurales como: cantidad y tipo de divisiones interiores, la forma en que los muros exteriores se disponen slidos o con aberturas para iluminacin natural y ventilacin; es a lo que se denomina configuracin. Predominan tambin: geometra, geologa y clima del lugar de construccin, reglamentos de diseo urbano y aspectos arquitectnicos de estilo.

Estas decisiones arquitectnicas, tal como se ha podido observar en las edificaciones daadas por los efectos de los terremotos, unidas a decisiones de diseo estructural y a las tcnicas constructivas influyen determinantemente en el comportamiento sismo resistente de las edificaciones. Una adecuada seleccin del sistema estructural, del material y de los componentes no estructurales es de mayor importancia que un anlisis complejo. A pesar, e independientemente de todo lo sofisticado que sea el mtodo de anlisis utilizado por el ingeniero, no se puede hacer que un sistema estructural may concebido se comporte satisfactoriamente en un terreno severo.

Si se trabaja conjuntamente desde el inicio de esquema en un proyecto de edificacin entre arquitecto e ingeniero, entendiendo de qu manera las decisiones pueden afec tar el comportamiento sismo resistente de sta, escogiendo apropiadamente los materiales bsicos a utilizarse, la configuracin y la estructuracin del edificio. El ingeniero estructural no tendr que pasar por la desagradable situacin de escoger entre proponer revisiones que pueden llevar hasta la reformulacin del proyecto inicial, o tratar de usar soluciones estructurales muy complicadas para resolver el problema producido, a causa de concepciones arquitectnicas inadecuadas. Es decir, que se deben conocer los aspectos crticos a ser considerados para garantizar la seguridad ssmica del proyecto

3.2. Requisitos de Configuracin

Cada estructura debe designarse como regular o irregular desde el punto de vista estructural:

Estructuras regulares. Las estructuras regulares no tienen discontinuidades fsicas considerables en su configuracin en planta y configuracin vertical o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales.

Estructuras irregulares. Las estructuras irregulares tienen discontinuidades fsicas considerables en su configuracin o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Las caractersticas irregulares incluyen, sin estar limitadas a ello, las descritas en la Tabla 3.1 y la Tabla 3.2.

3.2.1. Configuracin en Elevacin

La Tabla 4 de la NTE Diseo Sismoresistente E-030, define posibles irregularidades verticales, y requerimientos adicionales de detalle, que deben satisfacerse si las irregularidades estn presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidad estructural vertical estn definidos: Irregularidad de rigidez (piso blando); Irregularidad de peso (masa); Irregularidad vertical geomtrica; Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistentes a las fuerzas laterales y Discontinuidad en capacidad (piso blando)., puede considerarse de que no existen irregularidades de rigidez y de peso cuando para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor de 1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba.

Es conveniente que no existan cambios bruscos en las dimensiones, masas, rigideces y resistencias del edificio, para evitar concentraciones de esfuerzos en determinados pisos que son

dbiles con respecto a los dems. Los cambios bruscos en elevacin hacen tambin que ciertas partes del edificio se comporten como apndices, con el riesgo de que se produzca el fenmeno de amplificacin dinmica de fuerzas conocido como chicoteo. En la Figura 3.1 se muestran las diferentes irregularidades con ms detalle.

Figura 3.1 Irregularidades en elevacin

3.2.2. Configuracin en Planta

La Tabla 5 de la NTE Diseo Sismoresistente E-030, define posibles irregularidades en planta y requerimientos adicionales de detalles, que deben satisfacerse si las irregularidades estn presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidades en planta son definidos: Irregularidad torsional a ser considerado cuando los diafragmas no son flexibles; Esquinas reentrantes; Discontinuidad de diafragma; Desviacin fuera del plano y Sistemas no paralelos. Las estructuras regulares son definidas como aquellas que no tienen discontinuidades fsicas significativas en su configuracin en planta y vertical o en su sistema resistente a las fuerzas laterales.

En la Figura 3.2 se muestra en forma grfica detallada las irregularidades mencionadas en la Tabla 5.

Figura 3.2 Irregularidades en planta

Es importante la simplicidad para un mejor comportamiento ssmico de conjunto de una estructura, y resulta ms sencillo proyectar, dibujar, entender y construir detalles estructurales. Otro factor importante es la simetra respecto a sus dos ejes en planta, es decir su geometra es idntica en ambos lados de cualquiera de los ejes que se est considerando. La falta de regularidad por simetra, masa, rigidez o resistencia en ambas direcciones en planta produce torsin, que no es fcil de evaluar con precisin. Es necesario mencionar que a pesar de tener una planta simtrica, puede haber irregularidades debido a una distribucin excntrica de rigideces o masas ocasionando tambin torsin.

En caso de que se tuviera entrantes y salientes, es decir plantas en forma de T, L, H, U, etc. es aconsejable utilizar juntas de dilatacin, dividiendo la planta global en varias formas rectangulares y como segunda opcin se puede restringir las mismas con lmites mximos, como se indica en la Figura 3.2

Es preferible no concentrar elementos rgidos y resistentes, tales como muros de corte, en la zona central de las plantas, porque son menos efectivos para resistir torsin, si bien los muros ubicados en la zona central tienen un comportamiento aceptable, las columnas estarn sujetas a un cortante por torsin mayor que aqul proporcionado por la ubicacin de los muros en la periferia. No es nada recomendable colocar las escaleras y elevadores en las partes externas del edificio ya que tienden a actuar aisladamente ante los sismos, con concentraciones de fuerzas y torsiones difciles de predecir sin llevar a cabo un anlisis complicado.

3.2.3. Poco Peso

Las fuerzas producidas por los sismos son de inercia, que es el producto de la masa por la aceleracin, as las fuerzas de inercia son proporcionales a la masa, por tanto al peso del edificio; por ello debe procurarse que la estructura y los elementos no estructurales tengan el menor peso posible y adems sean resistentes. No se recomiendan voladizos debido a que producen fuerzas de inercia verticales de magnitud apreciable que sumadas a las fuerzas de gravedad llegaran a causar serios problemas.

Debido al aumento de las cargas laterales la falla de los elementos verticales como columnas y muros podra ser por pandeo, es ah que la masa ejerce un rol importante; cuando la masa, empuja hacia abajo debido a la gravedad, ejerce su fuerza sobre un miembro flexionado o desplazado lateralmente por las fuerzas laterales, a este fenmeno se conoce como el efecto P-delta. Cuando mayor sea la fuerza vertical mayor ser el momento debido al producto de la fuerza P y la excentricidad delta.

3.2.4. Hiperestaticidad

Figura 3.3

Si existe continuidad y monolitismo en un sistema estructural, es decir, que sea hiperesttico, entonces mayor ser la posibilidad de que, sin convertirse en un mecanismo inestable, se formen articulaciones plsticas, con alta capacidad de absorcin de la energa proveniente del sismo. Se evitan tambin fallas locales serias, debidos a grandes esfuerzos locales engendrados por lo grandes desplazamientos y rotaciones causadas por el sismo presentes en uniones entre vigas y losas, y entre vigas y columnas.

Puede convenir disear estructuras que durante un sismo intenso los daos se concentren en zonas previstas para servir como disipadores, mediante deformaciones inelsticas, sin que se produzcan daos graves en el resto de la estructura. As, es preferible utilizar una serie de muros acoplados por trabes que se diseen para que en ellas se formen articulaciones plsticas, ver Figura 3.3.

3.2.5. Columna Fuerte, Viga Dbil

En estructuras de edificios aporticados es requisito que los miembros horizontales fallen antes que los verticales, permitiendo de esa manera el retraso del colapso total de una estructura. Las vigas y las losas generalmente no fallan an despus de un dao severo en aquellos lugares que se hayan formado las articulaciones plsticas, en cambio las columnas colapsan rpidamente bajo su carga vertical, cuando haya ocurrido aplastamiento del hormign. Esto conduce a que las vigas peraltadas sobre columnas ligeras, no son apropiadas en regiones ssmicas.

Captulo 4

ANLISIS ESTTICO - MTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE

4.1. Determinacin de las Fuerzas Laterales

4.1.1. Factor de Zona Ssmica Z

Cada lugar o regin est dividida en diferentes zonas ssmicas, las cuales estn demarcadas segn la aceleracin pico del suelo expresada en funcin de la constante de gravedad (g). Toda estructura a ser diseada debe tener asignada un factor de zona ssmica Z de acuerdo con la Tabla N 01 de la NTE Diseo Sismoresistente E-030. Estos valores se basan en registros histricos y datos geolgicos y son tambin ajustados para proveer criterios de diseo consistentes con la regin. Este factor se interpreta como la aceleracin mxima del terreno con una probabilidad de 10% de ser excedida en 50 aos.

4.1.2. Condiciones Geotcnicas

Las vibraciones del terreno causadas por un sismo tienden a ser mayores en suelos suaves que en suelos firmes o roca. Como las vibraciones se propagan a travs del material presente debajo de la estructura stas pueden ser amplificadas o atenuadas dependiendo del periodo fundamental del material. De este modo se identifican cuatro tipos diferentes de perfil de suelos (Tabla N 2). La clasificacin se puede ver en el Apendice A (Norma Tcnica de Edificacin Diseo Sismoresistente E-030).

4.1.3. Factor de Amplificacin Ssmica

Se define el factor de amplificacin ssmica C por la siguiente expresin

Este coeficiente se interpreta como el factor de amplificacin de la respuesta estructural respecto de la aceleracin del suelo.

4.1.4. Periodo Fundamental

Cada estructura posee un nico periodo natural o fundamental de vibracin, el cual es el tiempo requerido para completar un ciclo de vibracin libre. La rigidez, la altura de la estructura son factores que determinan o influyen en el periodo fundamental, y ste puede variar desde 0.1 [s], para sistemas simples, hasta varios segundos para sistemas de varios niveles. Como primera aproximacin el periodo fundamental puede ser asumido igual al nmero de niveles dividido por 10.

El valor del periodo fundamental de la edificacin debe obtenerse a partir de las propiedades de su sistema de resistencia ssmica, en la direccin a considerar; este requisito se puede suplir siguiendo los mtodos presentados por el cdigo UBC:

Figura 4.1 Procedimiento de Rayleigh

Los valores de fi representan cualquier fuerza lateral distribuida en forma racional como muestra la Figura 4.1; esta distribucin en forma de triangulo invertido corresponde a la distribucin de la cortante basal. Las deflexiones elsticas i, deben calcularse utilizando las fuerzas laterales aplicadas fi.

Si la contribucin de los elementos no estructurales a la rigidez de la estructura es subestimada, el clculo de las deflexiones y el periodo natural son sobreestimados, dando valores demasiado bajos para los coeficientes de fuerza. Para reducir el efecto de este error el cdigo UBC especifica que el valor de T del mtodo B no debe exceder de un valor de 30% mayor que el de T obtenido del mtodo A en la zona ssmica 4 y del 40% en las zonas ssmicas 1, 2 y 3.

Tambin se puede calcular de acuerdo a la NTE Diseo Sismoresistente E-030. Cuando el procedimiento dinmico o considere el efecto de los elementos no estructurales, el periodo fundamental deber tomarse como el 0.85 del valor obtenido por este mtodo.

4.1.5. Amortiguamiento y Ductilidad

Los niveles de amortiguamiento son naturalmente dependientes del nivel de deformacin o esfuerzo en una estructura, de los materiales empleados, la naturaleza del subsuelo, la forma de la estructura, la naturaleza de la vibracin. La gran cantidad de valores de amortiguamiento determinados experimentalmente han sido obtenidos por lo general, ya sea de componentes estructurales individuales o a partir de vibraciones de baja amplitud. De ah que para estructuras de conjunto sujetas a movimiento fuerte del suelo, ser necesaria alguna extrapolacin de los datos de amortiguamiento existentes. La tabla a continuacin indica valores representativos del amortiguamiento para varios tipos de construccin.

La ductilidad es una medida de la habilidad del sistema estructural de deformarse ms all de su lmite elstico sin colapsar. Esto le permite a la estructura absorber energa y seguir soportando las cargas y resistiendo las fuerzas. En el caso de una carga ssmica cclica, la estructura sufre sucesivas cargas y descargas y la relacin fuerza-desplazamiento toma una secuencia histertica. Para un sistema elastoplstico idealizado esta relacin es ilustrada en la Figura 4.2 donde el rea encerrada es una medida de la energa disipada por el sistema.

Figura 4.2 (a) Energa de disipacin histertica. (b) Curva de fuerza-deformacin asumida

Cuando una estructura es sujeta a un movimiento ssmico, sta tiene la capacidad de absorber gran parte de la energa ssmica; una parte sustancial de energa es almacenada temporalmente por la estructura en forma de energa de deformacin y energa cintica. Despus de corto tiempo el movimiento ssmico puede ser tan fuerte que el punto de fluencia se excede en ciertas partes de la estructura y principia la disipacin permanente de energa en forma de deformacin inelstica (histertica). A travs de todo el sismo la energa es disipada por amortiguamiento, el cual es, por supuesto, el medio por el cual la energa elstica es disipada una vez que cesa el movimiento del suelo. Es evidente que se requiere de una gran ductilidad para disipar en gran proporcin la energa histertica generada por un sismo.

Los factores de ductilidad para estructuras se utilizan en forma tal que implican una reduccin en los valores espectrales de respuesta, por consiguiente se requiere una estimacin razonable del factor de ductilidad permisible. Para este propsito se debe estar consciente de las diferencias entre los diferentes tipos de factores de ductilidad involucrados en la respuesta de las estructuras a carga dinmica. A este respecto debe hacerse una distincin entre el factor de ductilidad de un miembro, el factor de ductilidad de un entrepiso en un edificio y el factor de ductilidad global del edificio, para usarse en el clculo del cortante basal a partir de los valores espectrales de respuesta.

El factor de ductilidad de un miembro, de un entrepiso o el factor de ductilidad global, estn todos gobernados por el desarrollo de una relacin fuerza-desplazamiento, en la que el

desplazamiento es la deformacin longitudinal en un miembro a tensin o a compresin, la rotacin de una junta o conexin en un miembro a flexin o la deformacin por cortante en un muro de corte. El factor de ductilidad de entrepiso se define esencialmente por medio de una relacin en la que el desplazamiento es la deflexin relativa entre el piso por encima y el piso por debajo del entrepiso que se trata. El factor de ductilidad global es, en general, un promedio ponderado de los factores de ductilidad de entrepiso, y la mejor manera de definirlo es considerando un patrn particular de desplazamiento que corresponda al modo preferible de deformacin de la estructura, en una condicin de respuesta que la energa inelstica sea absorbida de manera tan general como sea posible para desarrollar tal deformacin por toda la estructura.

El factor de ductilidad de miembro puede ser considerablemente ms grande que el factor de ductilidad de entre piso, que a su vez puede ser algo ms grande que el factor de ductilidad global. La asignacin del factor de ductilidad global de la estructura deber realizarse de manera conservadora y teniendo en cuenta que las posibilidades de disipacin de energa por deformaciones inelsticas dependen de muchos factores como por ejemplo: configuracin estructural, distribucin de rigideces y resistencia, caractersticas de los componentes estructurales y uniones, materiales y otros.

4.1.6. Factor de Modificacin de Respuesta

Como resulta antieconmico el disear una estructura que permanezca dentro de su rango elstico durante un sismo; la capacidad de absorcin de energa no lineal del sistema es una ventaja que permite limitar el dao estructural sin disminuir la capacidad de la estructura de soportar carga vertical. En adicin, como ocurre la fluencia, el periodo natural y el coeficiente amortiguamiento se incrementan reduciendo de este modo la fuerza ssmica desarrollada en la estructura.

El factor R de modificacin de la respuesta es el coeficiente de la cortante basal ssmica, el cual debe desarrollarse en un sistema linealmente elstico, y es una medida de la capacidad del sistema para absorber energa y mantener un comportamiento cclico de deformacin sin colapsar. La NTE Diseo Sismoresistente E-030, proporciona una serie de valores para R, los cuales estn tabulados en la Tabla N 06 siguiente; el valor de R se incrementa a medida que la ductilidad de la estructura aumenta y su capacidad de disipacin de energa aumenta; R es un coeficiente numrico representativo de la capacidad de ductilidad global de los sistemas resistentes a fuerzas laterales.

4.1.7. Categora de las Edificaciones

Cada estructura debe ser clasificada de acuerdo con las categoras indicadas en la Tabla N 3 de la NTE Diseo Sismoresistente E-030, la que asigna valores de importancia U.

4.1.8. Peso de la Edificacin

4.1.9. Fuerza Cortante en la Base

4.2. Estructuras de Varios Niveles

4.2.1. Distribucin Vertical de la Fuerza Ssmica

4.2.2. Efecto P-Delta

El efecto P-delta en un piso dado es causado por la excentricidad de la carga gravitatoria presente por encima del piso, la cual produce momentos secundarios aumentando las deflexiones horizontales y las fuerzas internas. Este efecto debe tenerse en cuenta cuando el ndice de estabilidad (Q) excede a 0.1. El ndice de estabilidad esta dado por:

El efecto P-delta debe evaluarse utilizando las cargas de diseo, es decir las fuerzas que producen los desplazamientos, es decir las fuerzas derivadas de la esttica o fuerza lateral equivalente.

4.2.3. Desplazamientos de Piso

Para el clculo del desplazamiento del nivel de diseo se debe preparar un anlisis elstico esttico del sistema resistente a las fuerzas laterales utilizando las fuerzas ssmicas de diseo.

Adicionalmente se debe considerar el efecto P-delta en el clculo del desplazamiento de respuesta inelstica mxima cuando el caso as lo requiera.

Cuando se disea una estructura mediante el anlisis dinmico, se debe utilizar el espectro de respuesta apropiado del terreno sin reduccin por el factor de modificacin de respuesta R. Esto da resultados de desplazamiento iguales a los valores elsticos correspondientes al espectro de respuesta elstico. Para estructuras de periodo grande con un periodo fundamental dentro de la regin sensitiva de velocidad del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elstico es aproximadamente igual al desplazamiento total inelstico. Para estructuras de periodo corto con un periodo fundamental dentro la regin sensitiva de aceleracin del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elstico usualmente subestima el desplazamiento inelstico total.

Los valores mximos para el clculo de las derivas o desplazamiento relativo entre pisos, se presentan en la tabla siguiente:

4.3. Torsin

Para transferir las fuerzas ssmicas al suelo, se deben utilizar los elementos resistentes verticales y horizontales para proporcionar trayectorias de cargas continuas a partir del tope de la estructura hacia las fundaciones. Los componentes verticales consisten de muros de corte, prticos arriostrados y prticos resistentes a momentos. Los componentes horizontales consisten de techos y diafragmas de piso, los cuales distribuyen las fuerzas laterales a los elementos verticales.

Los diafragmas se consideran flexibles cuando la deformacin lateral mxima del diafragma, bajo carga lateral, es ms del doble del desplazamiento promedio por piso del piso asociado. Esto puede determinarse comparando el punto medio calculado en la deflexin en planta del diafragma mismo con el desplazamiento por piso de los elementos colindantes resistentes a las fuerzas verticales tal como ilustra la

Figura 12.10. el diafragma puede modelarse como una viga simple entre soportes y la distribucin de la carga a stos es independiente de sus rigideces relativas y proporcional al rea tributaria correspondiente.

Figura 4.3 Diafragma flexible

Cuando la deformacin lateral mxima del diafragma es menor del doble del desplazamiento promedio de piso, el diafragma se considera rgido. Se deben considerar los incrementos del esfuerzo cortante que resulta de la torsin horizontal cuando los diafragmas no son flexibles. La distribucin de la carga a los soportes es proporcional a sus rigideces relativas y es independiente del rea tributaria soportada.

4.3.1. Momento Torsor

El centro de rigideces es aquel punto alrededor del cual la estructura tiende a rotar cuando est sujeta a una fuerza excntrica. En el caso de la fuerza ssmica, sta acta en el centro de masas de la estructura y el momento torsor es el producto de la fuerza ssmica y la excentricidad del centro de masas con respecto al centro de rigideces. La ubicacin del centro de masas calculado no es exacta debido a la distribucin imprecisa del peso de la estructura, lo cual conduce a una torsin accidental; y acontece algo similar con el centro de rigideces calculado debido a la rigidez despreciada de los componentes no estructurales.

Para tomar en cuenta estas incertidumbres debe asumirse que la masa en cada nivel se ha desplazado del centro de masas calculado en cada direccin una distancia igual al 5% de la dimensin de la edificacin en ese nivel perpendicular a la direccin de la fuerza bajo consideracin.

4.3.2. Centro de Masas y Centro de Rigideces

La ubicacin del centro de rigideces se obtiene a partir de momentos estticos alrededor de un origen conveniente. De la Figura 4.4 para la carga ssmica en la direccin Norte-Sur, los muros Norte y Sur, los cuales

no tienen rigidez en esa direccin, se desprecian y slo se consideran los muros Este y Oeste, es as que la ubicacin del centro de rigideces con referencia al muro Este est dada por:

La ubicacin del centro de rigideces con referencia al muro Sur est dado por:

El momento de inercia polar de los muros esta dado por:

De forma similar se calcula la ubicacin del centro de masas, , . Y la fuerza cortante total en la base de los muros Este y Oeste est dada entonces por la suma de la cortante debida a las fuerzas en ese plano y los momentos torsores. Es importante que el momento torsor de diseo, en un piso determinado, debe ser el momento resultante de las excentricidades entre las fuerzas laterales de diseo aplicadas en los niveles por encima de ese piso y los elementos resistentes a las cargas verticales en ese piso ms una torsin accidental.

Figura 4.4 Efecto de la torsin

4.3.3. Efectos de la Torsin

La excentricidad entre el centro de masas y el centro de rigideces est ilustrada en la Figura 4.4 como:

La excentricidad accidental est dada por:

La excentricidad mxima es:

La excentricidad mnima es:

El momento torsor mximo para la carga ssmica Norte-Sur est dado por:

El momento torsor mnimo para la carga ssmica Norte-Sur est dado por:

La fuerza total en el muro Este, para la carga ssmica Norte-Sur es:

Donde la fuerza cortante en la direccin considerada es:

La fuerza cortante debido al momento torsor ms crtico en el muro Este es:

Para el muro Oeste, debido a que el momento torsor acta en sentido opuesto al plano de accin de las fuerzas, la fuerza cortante debido al momento torsor mas critico es:

Y la fuerza total de diseo es:

4.4. Problemas Propuestos

Problema 4.1: El prtico de acero resistente a momentos, cuyas propiedades se muestran en la Figura 4.5, tiene una altura de 12 m de 4 m por nivel; est ubicado en un sitio, el cual pertenece a la zona ssmica 3 con un perfil de suelo tipo S3, y como Categora de Edificacin A. Calcular el valor de la Cortante Basal Ssmica y la determinar la Distribucin Vertical de la Fuerza Ssmica.

Figura 4.5

Problema 4.2: Del prtico de acero detallado en la figura 4.6, determinar si es necesario considerar el efecto P-. Las fuerzas y desplazamientos corresponden a un anlisis elstico.

Figura 4.6

Problema 4.3: Dado el prtico especial resistente a momentos como se ilustra en la Figura 4.7. El mdulo de elasticidad E=2038900 [kg/cm2]. Todas las columnas estn fijas en la parte superior. La viga continua es infinitamente rgida. Se considerar una estructura de acero.

Se requiere:

1. Calcular el desplazamiento de piso debido a la carga ssmica de 40 [t]

2. Determinar si los desplazamientos calculados estn en conformidad con los requisitos del cdigo NTE Diseo Sismoresistente E-030.

Captulo 5

MTODO DINMICO SUPERPOSICIN MODAL

5.1. Introduccin

El anlisis debe basarse en una representacin apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando los principios aceptados de la dinmica.

5.2. Ventajas del Anlisis Modal

El procedimiento de anlisis modal es apropiado para calcular la respuesta de estructuras complejas de varios grados de libertad a movimientos ssmicos. La respuesta estructural es modelada como la mxima respuesta de un nmero de oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo especfico de vibracin de la estructura real. Combinando la respuesta de los modos individuales se obtienen las fuerzas externas equivalentes, la cortante basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el procedimiento de fuerza lateral esttica. El procedimiento de anlisis modal tiene la ventaja de determinar la distribucin real de las fuerzas laterales, de las masas y una distribucin de rigideces a lo largo de la altura de una estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribucin lineal simplificada asumida en el mtodo de la fuerza lateral esttica. Adems, considera los efectos de los modos ms altos de la respuesta de una estructura, alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global de la estructura.

5.3. Procedimiento del Anlisis Modal

Las fases necesarias en el procedimiento del anlisis modal se basan en seleccionar un espectro de respuesta ssmica apropiado, aplicando una tcnica de anlisis dinmico para un modelo matemtico de la estructura, combinando la respuesta de un nmero suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura est incluido en el clculo de respuesta para cada direccin horizontal principal.

El espectro de diseo debe suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos especficos, debe tener como mnimo 10% de probabilidad de ser excedido en 50 aos, adems, el espectro debe desarrollarse para una relacin de amortiguamiento de 5%, a menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el comportamiento estructural anticipado a la intensidad de vibracin establecida para el sitio.

Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el clculo. De este modo el peso total de la estructura est dado por:

(5.1)

Y el peso efectivo para un modo dado est definido por:

(5.2)

(5.3)

Donde:

Para una forma modal normalizada, el factor de participacin se reduce a:

(5.4)

Por tanto la ecuacin 5.2 se reduce a:

(5.5)

La relacin entre el peso efectivo y el peso total de la estructura est dado por:

(5.6)

Donde:

Por consiguiente, debe definirse un nmero suficiente de modos para asegurar que la suma de sus pesos efectivos sea:

(5.7)

Para asegurar consistencia con los principios bsicos de diseo adoptados en el procedimiento de fuerza lateral esttica, la NTE Diseo Sismoresistente E-030, estipula un valor mnimo del cortante basal calculado por un anlisis dinmico, y todos los parmetros correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:

Para una estructura regular, usando el espectro de respuesta que presenta la NTE E-030, el cortante basal determinado por un anlisis dinmico no debe ser menor que 80% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral esttica.

Para una estructura irregular, usando el espectro de respuesta que presenta la NTE E-030, el cortante basal determinado por un anlisis dinmico no debe ser menor que 90% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral esttica.

5.4. Anlisis Espectral

Es un anlisis dinmico elstico de una estructura que utiliza la respuesta dinmica mxima de todos los modos que tienen una contribucin importante a la respuesta estructural total. Las respuestas modales mximas se calculan utilizando las ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los periodos modales. Las contribuciones modales mximas se combinan de manera estadstica para obtener una respuesta estructural total aproximada.

Los parmetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben denominarse Parmetros de Respuesta Elstica.

5.4.1. Numero de Modos

Debe satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando que en los modos considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el clculo de respuesta para cada direccin horizontal principal, ver la ecuacin 5.7.

Los modos de vibracin deben obtenerse utilizando metodologas establecidas de dinmica estructural, tales como: el Anlisis de Eigenvectores o el Anlisis de los Vectores de Ritz

5.4.2. Combinacin de Modos

Las fuerzas mximas del elemento, desplazamientos, fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada modo, deben combinarse mediante mtodos reconocidos, tales como: El mtodo CQC, Combinacin Cuadrtica Completa, mtodo descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo.

(1981). El mtodo GMC, Combinacin Modal General, mtodo descrito por Gupta (1990). El mtodo SRSS, Raz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El mtodo de La suma de valores absolutos, ABS

Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el anlisis, los efectos de interaccin modal deben considerarse cuando se combinen las mximas modales.

Segn la NTE E-030, se debe de usar los siguientes criterios de combinacin:

5.4.3. Efectos de Direccin

Segn la NTE E-030, los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta suponiendo el 100% de las fuerzas ssmicas en una direccin.

5.4.4. Torsin

El anlisis debe considerar los efectos torsionales, incluyendo los efectos torsionales accidentales como se describe en la seccin 4.3. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el anlisis, los efectos de torsin accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o mediante los procedimientos estticos equivalentes.

5.5. El Anlisis por Historia del Tiempo (Cronolgico)

Determina la respuesta de la estructura a travs de una integracin numrica sobre pequeos incrementos de tiempo, cuando la base est sujeta a una cronologa especfica del movimiento del suelo.

La metodologa de un anlisis dinmico cronolgico puede ser utilizada cuando a juicio del ingeniero diseador ella describe adecuadamente las propiedades dinmicas de la estructura y conduce a resultados representativos de los movimientos ssmicos de diseo. El modelo matemtico empleado puede ser linealmente elstico o inelstico.

5.6. Problemas Propuestos

Problema 5.1: Para el prtico de 2 pisos mostrada en la Figura 5.1 determine el nmero de modos que deben combinarse para asegurar que todos los modos significantes estn incluidos en el anlisis. Usar resultados obtenidos en el Ejemplo 2.1.

Figura 5.1

Problema 5.2: Una estructura de acero de 5 pisos resistente a momentos, se muestra en la Figura 5.2. La forma modal fundamental ha sido determinada por un anlisis por computadora, el periodo fundamental ha sido calculado por un anlisis racional como T=0.90 s. Los datos del espectro de respuesta para un sitio especfico son dados en la siguiente tabla.

Se requiere

a) Usando la distribucin de masa dada, la forma modal, el periodo de la estructura y los datos del espectro de respuesta; determine el cortante total para la base de la estructura, basado en la respuesta elstica de la estructura. Usando los datos dados, determine la fuerza lateral de diseo (cortante para la base) usando el procedimiento de fuerza lateral.

b) Usando el espectro de respuesta, determine la distribucin de cortante de piso de diseo, asumiendo un valor de cortante basal esttico de 78.693 Tn, y considerar como una estructura irregular.

c) Usando el espectro de respuesta inelstico, determine el desplazamiento esperado para la parte superior de la estructura y las derivas.

Figura 5.2

Captulo 6

RESOLUCIN A PROBLEMAS PROPUESTOS

6.1. Captulo 2

Problema 2.1:

a) Los factores de participacin para un sistema de varios grados de libertad estn definidos por:

Como la matriz modal es normalizada, entonces el vector de coeficientes de participacin es:

La matriz de masa es.

Realizando los clculos necesarios se tiene el vector correspondiente a los factores de participacin para los tres modos:

Como los factores de participacin tienen la propiedad de:

Por tanto los factores son correctos.

b) Los periodos naturales para cada uno de los tres modos se obtienen a partir de los eigenvalores usando la expresin:

Se obtiene la aceleracin espectral para cada uno de los modos, del espectro de respuesta:

La matriz de desplazamiento esta dado por:

Los desplazamientos mximos resultantes de cada nudo se obtienen a travs de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:

c) El desplazamiento entre pisos de los tres modos se obtiene por restas sucesivas de las filas de

vectores de matriz a partir de los desplazamientos del nivel superior. La matriz de los deslizamientos de los niveles es entonces.

Problema 2.2:

Las masas respectivas para cada nivel son:

Determinacin de []:

La matriz de rigidez es:

La matriz diagonal de masa es:

De la ecuacin 2.18:

Resolviendo el determinante:

Resolviendo el polinomio:

Los periodos correspondientes son:

Determinacin de []:

Para 1=15.58

Para 2=38.016

Para 3=53.179

Realizamos la normalizacin:

Entonces la matriz normal normalizada es:

A partir de estos clculos se procede a resolver los incisos:

a) Cortante basal y

b) La carga lateral para cada nivel.

Primer modo.-

Para T1=0.403 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 2.8:

El peso efectivo es definido por:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

El cortante basal esta dado por:

La fuerza lateral en cada nivel esta dado por:

Segundo modo.-

Para T2=0.165 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 2.8:

El peso efectivo es definido por:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

El cortante basal esta dado por:

La fuerza lateral en cada nivel esta dado por:

Tercer modo.-

Para T3=0.118 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 2.8:

El peso efectivo es definido por:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

El cortante basal esta dado por:

La fuerza lateral en cada nivel esta dado por:

c) El cortante basal ms probable:

Por tantos es posible aplicar el mtodo SRSS y el cortante basal ms probable esta dado por:

Problema 2.3:

La carga muerta tributaria al nivel de cada losa se obtiene sumando las contribuciones de la losa misma, las columnas y los muros, de la siguiente manera:

Piso 1

Peso total

Piso 2

Peso total

La rigidez de cada piso es la fuerza de corte requerida para producir un desplazamiento unitario en ste piso y es dado por:

k1 = k2 = Esfuerzo cortante de piso / desplazamiento

a) El modelo dinmico del prtico de pisos puede considerarse una estructura resistente a corte con todas las masas concentradas en las losas rgidas de entrepiso y teniendo un grado de libertad, una traslacin horizontal, para cada losa de entre piso. El modelo matemtico se ilustra en la Figura 2.10.

Figura 2.10

b) La forma modal y el periodo fundamental de vibracin se obtiene mediante una tcnica de iteracin. El procedimiento es ilustrado a continuacin en una tabla con la forma modal inicial, primeros valores para la iteracin, definido por:

La ltima forma modal revisada es idntica a su anterior en la ltima iteracin. La forma modal final es mostrada en la figura anterior.

La frecuencia circular natural del primer modo se obtiene por la ecuacin del valor final del componente de desplazamiento ms grande para su valor inicial:

El periodo fundamental esta dado por:

c) Las fuerzas laterales se obtienen de la siguiente manera.

Para T1 = 0.52 [s] y para un coeficiente de amortiguamiento =7% la correspondiente aceleracin espectral es obtenido del espectro de respuesta como:

El factor de participacin es definido como:

Para tal efecto se realiza la siguiente tabla:

Las fuerzas laterales para los respectivos niveles estn dadas por:

El cortante basal esta dado por: Fi = V

d) La aceleracin pico del suelo ocurre en el tiempo t = 0 y se obtiene del espectro de respuesta como:

6.2. Captulo 4

Problema 4.1:

Hallando el valor del Factor de Amplificacin Ssmica:

Tp = 0.9, para S3, segn Art. 6.2

= = = 0.34, segn Art. 17.2

= 2.5.0.9

0.34= 6.56; 2.5; = 2.5

Calculando el valor de la Cortante Basal Ssmica, segn Art. 17.3:

0.125; 2.5

9.5= 0.26;

Cortante Basal Tipo Valor

Factor de Zona 3 0.4

Categora de la Edificacin A 1.5

Condiciones Geotcnicas S3 1.4

Factor de Amplificacin Ssmica C 2.5

Factor de Reduccin Ssmica R 9.5

= . . . .

. ( + + ) = . = .

Determinando la Distribucin en Altura de la Fuerza Ssmica, segn Art. 17.4, como el periodo es a 0.70 s, no se usar Fa como fuerza concentrada en la parte superior de la estructura.

Peso Altura P x h P x h x V F

1 Nivel 400 4 1600 424416 44.21 Tn

2 Nivel 400 8 3200 848832 88.42 Tn

3 Nivel 400 12 4800 1273248 132.63 Tn

TOTAL 9600 265.26 Tn

Problema 4.2:

De acuerdo al Art. 16.5, el ndice de estabilidad se calcula como:

El factor de reduccin ssmica para estructuras de acero es 9.5.

= (70 + 70)

4.60100

(30.20 + 22.25) 4 9.5=

6.44

1993.1= 0.003

Q < 0.1, por lo tanto no ser necesario realizar anlisis de segundo orden o P-delta.

Problema 4.3:

La rigidez del prtico se obtiene a partir de la sumatoria de las rigideces individuales de cada columna.

La rigidez de la columna A est dada por:

La rigidez de la columna B est dada por:

La rigidez de la columna C es cero, puesto que tiene dos articulaciones:

La rigidez de la columna D est dada por:

La rigidez de la columna E est dada por:

La rigidez total del prtico, para la carga lateral, es:

1. El desplazamiento lateral del prtico debido a una carga ssmica V de 40 [t] es:

2. Desplazamiento lateral admisible. Asumiendo que la edificacin tiene un periodo fundamental menor a 0.7 [s], la relacin del desplazamiento admisible est limitado, segn el Art. 15.1, a 0.010. Asumimos que la fuerza ssmica lateral ha sido calculada inelsticamente. Segn el Art. 16.4, los valores de derivas se deben de calcular para un anlisis lineal elstico, por lo que los valores de las derivas y desplazamientos se deben de multiplicar por 0.75R. R para estructuras de acero = 9.5.

Mayor Deriva en columnas =

= .

. = 0.00295

Deriva Mxima presente = 0.00295 x 0.75 x 9.5 =0.021

el prtico no cumple con la NTE E-030, ya que el valor de la deriva obtenida es mayor al mximo permitido, 0.021 > 0.010.

6.3. Captulo 5

Problema 5.1:

La matriz diagonal de los valores de diseo elstico del espectro de aceleracin para los 2 periodos:

Previamente calculado en el ejemplo 2.1, es:

La cortante basal para ambos modos, previamente calculados en el ejemplo 2.1 es:

El peso total de la estructura es:

El peso efectivo para cada modo esta dado por:

La suma de los pesos efectivos debe ser igual al peso total, pero debido al redondeo no se constata esto. Y en notacin matricial, el vector de peso especfico es:

Expresado en porcentaje es:

Problema 5.2:

a) Para el periodo fundamental de 0.90 s la aceleracin es:

Para el clculo del peso efectivo se realiza la tabla siguiente:

Asumiendo un comportamiento elstico, el cortante basal es:

b) El mnimo cortante basal aceptable para una estructura irregular usando el espectro de respuesta, es del 90% para el cortante basal del anlisis esttico:

La fuerza lateral por cada nivel ser:

c) Para el periodo fundamental de T = 0.90 s, el desplazamiento espectral especfico es:

Asumiendo un comportamiento elstico, el desplazamiento por cada nivel es dado por:

El factor de participacin es:

La deriva para un piso dado es definido como el desplazamiento relativo del piso superior respecto al piso inferior inmediato, y la deriva elstica para un piso especfico es dado por:

La relacin de la deriva para un piso dado es definido como la relacin de la deriva del piso con la altura de tal piso y la relacin de la deriva elstica para un nivel especifico es dado por:

Estos valores son mostrados en la tabla siguiente:

Los valores obtenidos son por un espectro inelstico, para verificar el cumplimiento mximo segn la NTE E-030, se debe de multiplicar por 0.75R. Se deja al alumno realizar la comparacin.

Captulo 7

TALLER: ANLISIS SSMICO DE UN EDIFICIO DE 04 NIVELES

(Tomado de la publicacin Anlisis Ssmico de Edificios de Genaro Delgado Contreras)

Se tiene la siguiente estructura aporticada de concreto armado:

1. Se pide realizar el clculo de las fuerzas ssmicas, desplazamientos y derivas, por el mtodo de las fuerzas estticas equivalentes y el anlisis dinmico segn la NTE Diseo Sismoresistente E-030. Se tendrn las siguientes caractersticas:

Concreto = 210 Kg/cm2. Peso del Acabado = 100 Kg/m2. Peso de la Tabiquera = 150 Kg/m2. Altura de la Losa Aligerada = 0.25 m. Sobrecarga en la Azotea = 150 Kg/m2. Sobrecarga de Entrepisos = 250 Kg/m2. Columnas:

C1 = 0.45 x 0.45 C2 = 0.50 x 0.50 C3 = 0.60 x 0.60

Vigas: Direccin X = 0.35 x 0.70 Direccin Y = 0.30 x 0.45

Zonificacin Ssmica = 3 Categora de Importancia = B Condiciones Geotcnicas = S3.

7.1. Metrado de Cargas

7.2. CLCULO DE LAS RIGIDECES, POR EL MTODO DE KARL MUTO

Clculo de las rigideces por cada elemento

7.3. ANLISIS POR FUERZAS ESTTICAS EQUIVALENTE

7.4. DETERMIACIN DE LOS PERIODOS Y FORMAS DE MODO (A nivel Informativo, no siendo tema para evaluacin del curso, para comparacin con el uso del Sap2000)

Diagonalizacin de la Matriz de Rigidez por el Mtodo de Jacobi.

Al Dcimo ciclo K diagonilizada

K diagonalizada x

w2 x m x

K diagonalizada x = w2 x m x

w2 =

w (rad/seg) =

T =

SENTIDO Y

K diagonalizada x = w2 x m x

w2 =

w (rad/seg) =

T =

Apndice A

NTE DISEO SISMORESISTENTE E-030