LIMITES Y CONTINUIDAD

Dr. Jaime A Chiriboga Matemtica para la Economa=========================================================================================== LGICA Y TEORA DE CONJUNTOS

Objetivos1. Utilizar la teora de proposiciones simples y compuestas para construir enunciados lgicos relacionados con acontecimientos econmicos, sociales, polticos y ambientales del momento histrico que se vive en el Ecuador.2. Determinar el valor de verdad proposiciones compuestas formadas con conectivos lgicos, mediante la construccin de tablas de valores de verdad, donde adems identificaran contingencias, tautologas y contradicciones.3. Demostrar mediante la aplicacin de tablas de valores de verdad cuando una proposicin es lgicamente equivalente y enunciar la ley correspondiente.

Estrategias metodolgicas1. En el trascurso de la primera semana de clases debe estudiar el texto que se adjunta, desde la pgina 1 hasta la 18, donde encontrar los temas propuestos en los objetivos descritos para esta unidad. 2. Si considera apropiado puede reunirse en grupos de trabajo de no ms de cuatro estudiantes para que comenten los temas propuestos.3. Redacte un resumen de los temas principales y las tablas de valores de verdad. Si en el texto existe algn resumen, elabore una versin distinta y personalizada del mismo.4. Al inicio de cada clase se tomar lecciones orales y/o escritas de los temas a ser tratados. 5. Redacte una lista de preguntas puntuales para que sean discutidas en clase en compaa del profesor. Si no existen preguntas se supondr que los temas han sido comprendidos en su totalidad.6. Redacte preguntas para un posible examen, el mismo que se receptar al final del perodo de tiempo establecido para cada unidad.

LOGICA Y CONJUNTOS

INTRODUCCIN

Es usted una persona lgica? Sabe cmo llegar a tener un razonamiento lgico? Cmo interpretar argumentos largos o complicados? La respuesta en sencilla estudie lgica simblica. La lgica simblica establece un lenguaje artificial til para simplificar los argumentos lgicos complicados y traducirlos a otros con el mismo significado pero ms cortos y fciles de interpretar. Para qu sirve la lgica? La idea es poder aplicar las leyes de la lgica no solo en el trabajo formal ordinario sino tambin en la vida diaria, para comunicarse de manera inteligente con los dems, en especial con polticos, legisladores y anunciantes que llenan nuestra vida con afirmaciones de las cuales no estamos seguros de si son verdaderas o falsas. La materia prima de la lgica en matemtica son las proposiciones.

Proposiciones

Definicin. Una proposicin es una oracin gramatical o simblica de carcter declarativo, cuyo significado es verdadero o falso, pero no ambos a la vez.

Si una oracin es una pregunta, una orden, o si es demasiada imprecisa, entonces no se podr clasificar como verdadera o falsa y por lo tanto no es una proposicin.

Valor de verdad de una proposicin.

La veracidad o falsedad de una proposicin constituye su valor de verdad, el mismo que puede ser verdadero (V) o falso (F).

Ejemplo 1

Determine cual o cuales de los siguientes enunciados son proposiciones (Escriba una x). En caso afirmativo, de a conocer su valor de verdad.

NEJEMPLOES PROPOSICIONNO ES PROPOSICIONV/F

1(3 + 8) < (2 + 10) 3 + 8 es menor que 2 +10

2Es ms interesante Quito que Guayaquil.

3Amado Nervo fue un gran arquitecto francs.

4Hola.

5El petrleo es un recurso renovable.

6Dnde tienes tu cuaderno?

7Juan Jos Flores fue el Primer Presidente del Ecuador.

8Me duele la cabeza

9Es ms fcil el estudio de la msica que el de la Matemtica.

10Mara canta y el pblico aplaude con entusiasmo

11Si Juan estudia entonces aprueba matemtica

TALLER N 1

A.) Redacte semejanzas y diferencias entre enunciados, proposiciones y oraciones gramaticales..

B.) En los siguientes enunciados diga si el enunciado es o no una proposicin. Seale el porqu de su respuesta. En caso de ser una proposicin, diga su valor de verdad.

1. Julio Cesar fue presidente del Ecuador.2. 2 + 2 = 43. Si la tierra es plana, entonces 2 + 2 = 44. En tu casa o en la ma?5. Aydeme por favor!6. La matemtica es importante.7. Existe dos soluciones para la ecuacin x 2 + 4 = 20, y ambas soluciones son enteras.8. Si x es cualquier nmero entero, entonces x2 es un nmero entero positivo.9. Ve en su busca.10. x es mayor que y.11. 15 es un nmero primo.12. a + b = 1.713. La poblacin del ecuador supera los trece millones de habitantes.14. Las mesas son cuadradas.15. bello da?

C.) Redacte 3 proposiciones matemticas verdaderas, 3 que sean falsas y 3 enunciados que no sean proposiciones.

Notacin de proposiciones.

Igual que en el algebra se utilizan letras como x, y, z, t, para representar cantidades y con ellas realizar las operaciones de suma, resta, etc., ya conocidas, en lgica se simbolizan las proposiciones simples con letras como p, q, r,

Ejemplo 2.Representar apropiadamente la proposicin: La tierra es plana, Newton descubri la ley de Gravitacin o Pel es un dolo del futbol mundial

Solucin:Esta es una proposicin compuesta formada por tres proposiciones simples, que bien podran ser representadas con p, q y r, como se muestra a continuacin:p: La tierra es planaq: Newton descubri la ley de Gravitacinr: Pel es un dolo del futbol mundialAdems, estas proposiciones se enlazan entre s mediante ciertas letras como i, o, entre otras, denominadas conectivos lgicos.

El propsito del estudio de las proposiciones es:

a.) Traducir las proposiciones del lenguaje ordinario o cotidiano a la forma simblica.b.) Simplificar las formas simblicas.c.) Establecer su veracidad o falsedad y por lo tanto su significadod.) Traducir la forma simplificada de nuevo a proposiciones del lenguaje ordinario y establecer conclusiones.

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposicin como La tierra es plana se dice que es simple o atmica. Por el contrario, la proposicin La tierra es plana y Newton descubri la ley de Gravitacin Universal, se dice que es molecular o compuesta, por constar de ms de una proposicin simple. Note adems la presencia del trmino y empleado para unirlas. La expresin y es un conectivo lgico.

Ejemplo 3.Determine las proposiciones simples y el conectivo lgico:P = El cuatro es un nmero par o es mltiplo de dos

Solucinp = Cuatro es un nmero parq = Cuatro es mltiplo de dosEl conectivo lgico es: y

Ejemplo 4.R = La demanda de bienes de servicio creci en el presente ao o la Universidad no promociona sus carreras

Solucinp = La demanda de bienes de servicio creci en el presente aoq = La universidad promociona sus carrerasLos conectivos lgicos son: La o; y la negacin no

Conectivos lgicos.

Conectivos lgicos.- Son smbolos usados para enlazar proposiciones simples o atmicas con el fin de formar nuevas proposiciones denominadas compuestas o moleculares.

Por la definicin anterior, podemos unir una, dos o ms proposiciones simples para formar nuevas proposiciones compuestas o moleculares. Estas proposiciones toman distintos nombres de acuerdo al trmino de enlace o conectivo lgica que se les aplique. Los conectivos bsicos que se utilizarn en este curso son:

NNOMBRESIMBOLOSE LEE

1La negacinNo, no es verdad que, no ocurre que; es falso que , no es igual p

2La conjuntiva o conjuncin

ypq

3La disyuncin inclusiva (incluye)

pq

4La disyuncin exclusiva (excluye)

O o pq

5La condicional o implicacin

Si entonces pq

6La Bicondicional

Si y solo si; en forma abreviada siipq

Ejemplo 5.Identificar cada proposicin simple, los conectivos lgicos y simbolizar la proposicin compuestaQ= Pedro estudia en la universidad y solicita una beca o si trabaja para la universidad, entonces tiene un descuento pero si no estudia debe pagar la totalidad de los crditos

Solucin:p = Pedro estudia en la universidadq = Pedro solicita una becar = Pedro trabaja para la universidads = Pedro obtiene un descuentot = Pedro debe pagar la totalidad de los crditos

En forma simblica: (p q r) [s (p t)]

Ejemplo 6.Si 3 + 2 no es igual a 5 o 3 por 5 es igual a 15 entonces 6 menor 20

Solucinp: 3 + 2 = 5q: 5 por 3 = 15r: 6 < 20

En forma simblica: p q r

ACTIVIDAD: Investigar el orden o jerarqua que tienen los conectivos lgicos para saber cundo utilizar smbolos de agrupacin o separar las proposiciones simples mediante la coma.

Ejemplo 7Si Marlene estudia con dedicacin entonces su padre le regala un auto nuevo

Solucinp: Marlene estudia con dedicacinq: El padre de Marlene le regala un auto nuevoLuego la proposicin simbolizada es: p q

Ejemplo 8.No es verdad que, Emelec es un equipo de Ambato y Nacional de Guayaquil.

SolucinSea:p: Emelec es un equipo de Ambatoq: Nacional es un equipo de Guayaquil

Luego la proposicin simbolizada es: (p q)

Ejemplo 8b.No es verdad que Emelec es un equipo de Ambato, y Nacional de Guayaquil.

Solucin

Luego la proposicin simbolizada es: p q

Note una vez ms la funcin que desempea la coma, al separar las proposiciones.

www.mitecnologico.com/Main/TablasDeVerdad

ANALISIS DE LOS PRINCIPALES CONECTIVOS LOGICOS

En las pginas siguientes encontrar una explicacin ms detalla de cada conectivo lgico y su respectiva tabla de valores de verdad. Se recomienda realizar una lectura ordenada y analtica encaminada a lograr una mejor comprensin del tema. Al final de cada tema encontrar una lista de ejercicios para resolver y presentar en clase.

1. La Negacin

Definicin. Sea p una proposicin, entonces no p que escribiremos ~ p, es la proposicin negativa o negacin de p.

Ejemplo 9.1. Sea la proposicin p : 8 = 10 8 es igual a 10a.) Determinar su valor de verdad: b.) Escribir su negacin:c.) Determinar el valor de verdad de la negacin.d.) Comparar el valor de verdad de p y de no p, escribir una conclusin.Solucin:a.) Valor de verdad de p: FALSOb.) La negacin de p es: ~ p: 8 10 8 no es igual a 10 tambin no es verdad que 8 sea igual a 10c.) Valor de verdad de la negacin de p: VERDADERO.d.) Al comparar notamos que p y no p tienen valores de verdad OPUESTOS. Esa es la propiedad de la negacin.

Comentarios:El valor de verdad de p y de no p siempre sern contrarios, es decir, si el primero es falso, entonces el segundo ser verdadero, y viceversa.

2. Sea la proposicin r: Santiago de Chile est en Sudamrica. a.) Determinar su valor de verdad.b.) Redactar la negacin de r.c.) Determinar el valor de verdad de la negacin.

Valor de verdad de la negacin: ~ p es una proposicin falsa si p es una proposicin verdadera, y ~ p es una proposicin verdadera si p es una proposicin falsa (Tienen valor de verdad contrarios)

Segn esto, el valor de verdad de la negacin es opuesto al valor de la proposicin original. La siguiente tabla muestra cmo trabaja la negacin.VALOR DE VERDAD DE LA NEGACIONp~ p

VF

FV

Ejemplo 10.p: Cristbal Coln descubri Amrica Valor de verdad: VERDADERO ~ p: Cristbal Coln no descubri Amrica Valor de verdad: FALSO. ~ p: No es verdad que Cristbal Coln descubri Amrica Valor de verdad: FALSO. ~ p: Ocurre que Cristbal Coln no descubri Amrica Valor de verdad: FALSO.

Ejemplo 11.La proposicin p: 5 + 4 < 0, tiene valor de verdad FALSO.La negacin puede ser escrita de varias formas:~ p: No es verdad que 5 + 4 < 0.~ p: 5 + 4 < 0~ p: 5 + 4 0 es VERDADERA. Interesante esta ltima forma de escribir la negacin de una desigualdad

Ejemplo 12Sea la proposicin p: Quito no es la capital del Ecuador.Escriba su negacin y de a conocer su valor de verdad.

TALLER N 2

Escriba la Negacin de las siguientes proposiciones, luego determine el valor de verdad de la proposicin dada y de su negacin.

1.) p: La UTE est ubicada en el cantn El Carmen.2.) p: Con la Muerte de Len el Partido Social Cristiano perdi su liderazgo.3.) q: 3 + 7 104.) El Ecuador es un pas que tiene tres regiones bien definidas y su capital es la ciudad de Quito.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

5. p: Santo Domingo de los Tschilas es una provincia nueva.6. 5 por 3 no es igual a 20.7. 10 > 58. No es verdad que la luna es un satlite artificial de la tierra.9. No es verdad que 4 + 3 7.10. Las ecuaciones de segundo grado tienen dos races o soluciones.

2. La ConjuncinConjuncin: A la proposicin compuesta que resulta de unir dos proposiciones atmicas o simples por medio del conectivo lgico conjuncin ( ), que se lee y , la llamaremos proposicin conjuntiva o simplemente conjuncin.

Ejemplo 13Sean las proposiciones:p: Pedro estudia en la UTEq: Pedro es bueno para resolver problemas de matemticar: Pedro obtuvo un diez en microeconomaFormar cinco proposiciones compuestas empleando al menos dos de las tres proposiciones dadas,

Solucina.). p q: Pedro estudia en la UTE y es bueno para resolver problemas de Matemticab.) p r: Pedro estudia en la UTE y obtuvo un diez en Microeconomac.) q r: Pedro es bueno para resolver problemas de Matemtica y obtuvo un diez en Microeconoma.d.) p q r: Pedro estudia en la UTE, es bueno para resolver problemas de matemtica y obtiene un diez en Microeconoma.e.) q r p: Pedro es bueno para resolver problemas de matemtica, obtuvo un diez en microeconoma y estudia en la UTE.Valor de Verdad de la Conjuncin.

Axioma: p q tiene un valor de verdad verdadero (V), slo cuando todas sus componentes son verdaderas. Esto quiere decir que, si al menos una de las componentes es falsa, entonces p q es falsa.

Para que la proposicin compuesta del ejemplo 13 a., sea verdadera debe ocurrir que tanto p como q sean tambin proposiciones verdaderas. Suponga que: Pedro estudia en la UTE es (una proposicin verdadera), adems, Pedro es bueno para resolver problemas de matemtica es (tambin verdadera), luego, p q es una conjuncin VERDADERA.

Tabla de valor de verdad para la conjuncinEl axioma anterior lo podemos resumir en la siguiente tabla: pqp q

VVV

VFF

FVF

FFF

V V = V

Esta tabla ser llamada la tabla de verdad de la conjuncin.Ejemplo 14.Suponga que cada proposicin tiene el valor de verdad que se indica debajo de la llave. Los siguientes ejemplos muestras la forma en que se determina el valor de verdad de la conjuncin.

a.) El Sol sale de da y la marea sube cada 12 horas. La conjuncin es verdadera; (V V = V) V Vb.) 9 es un nmero impar y 6 es un nmero primo. La conjuncin es falsa; (V F = F) V Fc.) Pel es un cientfico y Cantinflas es un futbolista. La conjuncin es falsa: (F F = F) F Fd.) Un tringulo tiene dos ngulos y un cuadrado tiene cuatro ngulos. La conjuncin es falsa; (F V = F) F Ve.) 3 + 2 = 15 y 8 es un nmero primo. La conjuncin es falsa; (F F = F) F F V Vg.) Enero tiene 29 das y febrero 31 das. La conjuncin es falsa; (F F = F) F FTALLER 3

Formar la conjuncin de las siguientes proposiciones:1. Ecuador se encuentra ubicado en Amrica del Sur; Ecuador es un pas petrolero2. La UTE es una universidad de prestigio; La UTE tiene su matriz en la ciudad de Quito3. Rafael Correa no es un buen mandatario; La nueva constitucin es excelente4. 3 4 = 12; 5 8 = 40; 2 +1 = 4 Representar con smbolos de proposicin y determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:5)No es verdad que (3 + 2 = 5) (8 2 = 6)6)5 es menor que 10 8 no es nmero primo7)La seleccin del Ecuador clasific al mundial de Alemania le gan a Brasil en la eliminatoria.8)25 es un nmero divisible por 5 8 no es par.9.) Santo Domingo de los Tsachilas es provincia y Correa realiza campaa por el Si.10.)Jaime Nebot es de Alianza Pas y Len Febres Cordero del Partido Social Cristiano.11.)3 + 2 = 2 + 3 y 5 < 12

3. La Disyuncin Inclusiva

La disyuncin inclusiva es la proposicin compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la o siempre que admita la primera, la segunda o las dos proposiciones. El smbolo es ( ). Esta proposicin se denota por p q y se lee p o q.El carcter inclusivo de la disyuncin hace que se considere lo uno (p), lo otro (q) o ambos (tanto p como q). Por ejemplo, la proposicin compuesta Mara canta o Mara baila, es verdadera en caso que Mara solo cante, tambin es verdadera si Mara slo baila y por ltimo es verdadera si Mara hace las dos cosas. De este hecho precisamente se deduce el valor de verdad de la disyuncin inclusiva.

Valor de verdad de la disyuncin inclusiva: Axioma: p q tendr un valor de verdad falso slo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p q es verdadera.

La tabla de verdad de p q est dada por:pQp q

VVV

VFV

FVV

FFF

F F = F

Ejemplos 15.Los siguientes ejemplos muestras la forma en que se determina el valor de verdad de la disyuncin inclusiva.a.) El Sol sale de noche la Tierra es un planeta inerte. La disyuncin es falsa; (F F = F)

F Fb.) 8 es un nmero par 5 es un nmero primo. La disyuncin es verdadera; (V V = V) V V

c.) es un nmero irracional es un nmero entero. La disyuncin es verdadera; (V F = V). VFd.) La semana tiene 12 das el ao tiene 6 meses. La disyuncin es falsa; (F F = F) F Fe.) 3 es menor que 1 5 es mayor que 2. La disyuncin es verdadera; (F V = V) F VEjemplo 16.Determine en la clase el valor de verdad de las siguientes disyunciones inclusivasa.) 10 < 15 10 > 15b.) 10 < 5 10 > 5c.) 10 < 15 10 < 12TALLER 4

Representar simblicamente y determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:1)9 l6 = (3 4 )(3 + 4) ( 5 )( 2) es positivo2)Lima es la capital de Argentina Buenos Aires es la capital de Per.3)Leonard Euler fue un matemtico suizo Bertrand Russell naci en 1872.4)Un tringulo rectngulo tiene dos ngulos rectos Un tringulo equiltero tiene 3 lados desiguales.5)La UTE es una Universidad acreditada o la UTE desarrolla con xito actividades de vinculacin con la colectividad6.)5 por 3 = 12 o 3 por 4 = 15 4. La Disyuncin Exclusiva

La disyuncin exclusiva (excluyente) es la proposicin compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyuncin exclusiva ( ). Esta proposicin se denota por p q y se lee o p o q.Se presenta en casos donde la situacin descrita en la primera proposicin puede ocurrir y la segunda no, o lo contrario, es decir, si la primera no ocurre entonces la segunda s. Analice el siguiente ejemplo.

Ejemplo 17.Sean:p: Mara Naci en Santo Domingo.q: Mara naci en Quevedo.

La proposicin disyuntiva exclusiva tiene la forma:p q: O Mara naci en santo Domingo o Mara naci en Quevedo.

El carcter exclusivo o excluyente de la disyuncin exclusiva es que su valor de verdad es verdadero cuando las proposiciones que lo componen tienen valores de verdad contrarios. En los otros casos la disyuncin exclusiva tiene valor de verdad falso. Por ejemplo, en la proposicin compuesta O Mara naci en Santo Domingo o Mara naci en Quevedo, es obvio que no pudo nacer en dos lugares distintos, por lo tanto la proposicin compuesta es verdadera solo si Mara naci en uno de los dos lugares, es falsa si sealamos que naci en los dos lugares, o naci en otro lugar distinto. De este hecho precisamente se deduce el valor de verdad de la disyuncin exclusiva.

Valor de verdad de la disyuncin exclusiva: Axioma: p q tendr un valor de verdad verdadero si p y q tienen valor de verdad contrarios, y ser falsa si tienen el mismo valor de verdad.

La tabla de verdad de p q est dada por:pQp q

VVF

VFV

FVV

FFF

V V = F

F F = F

Ejemplos 18.Los siguientes ejemplos muestran la forma en que se determina el valor de verdad de la disyuncin exclusiva.a.) pq: O la luna est hecha de queso verde o La luna esta forma de rocas espaciales. La disyuncin exclusiva es verdadera F V

b.) pq: O es un nmero irracional o es un nmero racional La disyuncin exclusiva es verdadera.V F

b.) pq: O 2 es un nmero par o 2 es un nmero primo. La disyuncin exclusiva es falsa. V Vd.) pq: O La semana tiene 12 das o el ao tiene 6 meses. La disyuncin exclusiva es falsa. F Fe.) pq: O 3 es menor que 1 o 3 es mayor que 1. La disyuncin exclusiva es verdadera F V

TALLER N 5

1. Escriba 3 proposiciones compuestas empleando la disyuncin exclusiva o excluyente, de manera que sean verdaderas.

2. Escriba 3 proposiciones compuestas empleando la disyuncin exclusiva, de manera que sean falsas.

Represente simblicamente y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.3. O El gobierno de Correa el Socialista o es capitalista.4. O Santo Domingo de los Tschilas es una provincia o es un cantn. 5. O Mara (nombre ficticio de una alumna de la UTE) estudia en la Catlica de Quito o estudia en la UTE de S.D.6. no es verdad que, o el Ecuador es petrolero o el Ecuador es bananero.

7. O o el profesor de matemtica me ense mal este ejemplo. 4. La Condicional

En Matemticas nos encontramos con proposiciones de la forma:

1. Si a y b son nmeros pares, entonces a + b es un nmero par.2. si x(A B) entonces x A x B. 3. si p entonces q.

Estas proposiciones compuestas toman el nombre de proposiciones condicionales y se denotan por p q, que se lee si p, entonces q. El smbolo lo llamaremos conectivo condicional; p es llamada antecedente o hiptesis y q consecuente o conclusin.

Proposicin condicional: A la proposicin que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposicin condicional. Y la representamos por p q

Veamos todas las posibilidades que se presentan en los siguientes ejemplos:Sea p q: Si Juan obtiene nueve o mas de promedio entonces se le otorga una beca. Aqu hay dos proposiciones simples: Antecedente o hiptesis: p = Juan obtiene nueve o mas de promedio y la otra (Consecuente o tesis) es q = A Juan se le otorga una beca. Al analizar el valor de verdad de sta condicional tenemos:

a.) Si Juan obtiene nueve o ms de promedio y se le otorga beca se habr cumplido lo prometido pq es Verdaderab.) Si Juan obtiene nueve o ms de promedio y no se le otorga beca, no se habr cumplido lo prometido pq es falsac.) Si Juan obtiene un promedio menor que nueve y se le otorga beca, no se falta a la promesa. pq es verdaderad.) Si Juan obtiene un promedio menor que nueve y no se le otorga beca, se sigue cumpliendo lo prometido pq es VERD.

De esto podemos concluir que slo en el segundo caso no se cumple la promesa. Entonces el valor de verdad de p q queda establecido de acuerdo al siguiente axioma: Tabla de valor de verdad de la condicional: pq tendr un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente p es verdadero (V) y el consecuente q es falso (F); en los dems casos diremos que pq es verdadero.

pqp q

VVV

VFF

FVV

FFV

V F = F

Ejemplo 19.Los ejemplos siguientes ponen de manifiesto la manera en que se determina el valor de verdad de la condicional.a.) Si Roma est en Estados Unidos entonces Washington est en Italia. la condicional es Verdadera; (FF =V)

F Fb.) Si 4 es un mltiplo de 2 entonces 4 es un nmero par. la condicional es Verdadera; (VV =V)

V Vc.) Si un tringulo tiene tres ngulos iguales entonces es equiltero. la condicional es Falsa; (VF =F)

V Fd.) Si el Sol sale de noche entonces la Luna es de mortadela. la condicional es Verdadera; (FF =V)

F Fe.) Si 2 y 4 son nmeros impares entonces la suma (2 + 4) es un nmero par. la condicional es Verdadera; (FV =V)

F V

Otras connotaciones de la proposicin condicional son:

Si..., siempre que, con tal que, puesto que, ya que, porque, cuando, de, a menos que, a no ser que, salvo que, solamente.

Ejemplos: Es herbvoro si se alimenta de plantas. = Si se alimenta de plantas entonces es herbvoro El nmero 4 es par puesto que es divisible entre 2. = si el nmero 4 es divisible por 2 entonces es par Se llama issceles siempre que el triangulo tenga dos lados iguales. =si tiene dos lados iguales entonces es issceles Cuando venga Ral jugaremos ajedrez. = Si viene Ral entonces jugaremos ajedrez De salir el sol iremos a la playa = Si sale el sol entonces iremos a la playa. La fsica relativista fue posible porque existi la mecnica clsica. Nuestra moneda solamente si su valor disminuye.

La implicacin lgica tiene sus orgenes en la aplicacin de la inteligencia social ante situaciones cotidianas, en nuestra capacidad de comportarnos de acuerdo a normas y reglas, estas reglas son del tipo: Bajo tal condicin, debe ocurrir tal otra cosa. Si se cumpli tal requisito, entonces es aceptado que suceda tal cosa.

Algunos ejemplos: Si pague por el pan entonces lo puedo llevar a casa Si tengo mi entrada entonces puedo entrar al cine. Si corto el pasto entonces puedo ir a la fiesta esta noche.

La regla deja de respetarse, cuando habiendo cumplido una condicin ("me saqu un 10 en mi examen semanal") se nos niega el beneficio ("no puedo ir a la fiesta"), es decir, cuando no se obtuvo el resultado deseado.

Estas reglas y muchas otras que abundan en nuestra vida, nos permiten obtener ciertos beneficios como resultado de haber cumplido con una condicin.Si > Entonces >Sin embargo, tratar de dar una explicacin a todas las situaciones de la vida cotidiana mediante pura lgica puede ser muy discutido, toda persona que sabe de lgica sabe que el concepto de verdad no siempre puede ser demostrable de manera material.Por tal motivo podemos asegurar que para que una implicacin sea lgicamente correcta no es necesario que haya una relacin entre el antecedente y el consecuente, es decir que la verdad entre una proposicin condicional es independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente, por ejemplo:Si la tierra gira alrededor del sol entonces La UTE es una universidad de prestigio regional.Esta proposicin es verdadera a pesar de que no existe relacin entre los significados de sus proposiciones componentes.www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r44829.PDFCuando la hiptesis (H) o la tesis (T) y la negacin de stas ocupan determinada posicin en una proposicin compuesta, cada proposicin toma un nombre especfico, como se muestra en el siguiente cuadro.

Recproca

T H H TContrariaRecprocaContraria T H H T

Contra recproca

Ejemplo 20.

a.) Dada la proposicin condicional p q: Si 10 5 = 2 entonces 10 es divisible para 5; la nueva proposicinqp: si 10 es divisible por 5 entonces 10 5 = 2 toma el nombre de proposicin recproca de la primera.

b.) Dada la proposicin condicional p q: Si 10 5 = 2 entonces 10 es divisible para 5; la nueva proposicin q p: si 10 NO es divisible por 5 entonces 10 5 2 toma el nombre de contra recproca de la primera.

Definicin. Si p q es una condicional dada, entonces la proposicin recproca tiene la forma q p. La proposicin contraria tiene la forma p q. Y la contra recproca o inversa es q p.

TALLER 6Simbolizar y escribir el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a)Si 3 + 2 = 7 10 es menor que 3.b)Si Quito es la capital de Pichincha 3 + 0 = 3.c)Si Rolando Vera obtuvo una medalla de oro en Montreal Ecuador fue eliminado en bsquetbol.d.) Si 7 > 5 entonces 49 > 25e.) Si 7 > 5 entonces 49 < 25f.) Si 7 < 5 entonces 49 > 25g.) Si 7 < 5 entonces 49 < 25

5. La Bicondicional A la proposicin compuesta p q q p que se obtiene al unir una proposicin condicional y su recproca, empleando para ello la conjuncin (), toma el nombre de bicondicional. La bicondicional se representa con el smbolo: p q. Y se leer p si y slo si q, o en forma abreviada p sii qBicondicional: A la proposicin p q que resulta de unir dos proposiciones atmicas o simples por medio del conectivo bicondicional , le llamaremos proposicin bicondicional.

Ejemplo 21.Los siguientes ejemplos muestran la forma larga de determinar el valor de verdad de la bicondicional, empleando la definicin (p q) (qp)a.) p: 2(3) = 6 q: 3(1) = 3 Se lee 2 por 3 = 6 si y slo si 3 por 1 es igual a 3Valor de verdad: p q es (V), q p es (V) Por el teorema de la condicional (p q) (q p) es (V)Por ser una conjuncin. por lo tanto, p q es (V).Conclusin lgica para la bicondicional.

b.) p: Quito es la capital del Ecuador q : Jaime Nebot es un ex presidente de Ecuador. Se lee Quito si y solo si Jaime ..p q es (F), q p es ( V )Valor de verdad de las condicionales (p q) (q p) es ( F )Por el valor de verdad de la conjuncin Por lo tanto, p q es ( F ).Conclusin lgica para la bicondicional.c.) p: 6 es mayor que 10 q: Lima es la capital de Per.p q es (V), q p es (F) (p q qp) es (F)Por lo tanto, p q es (F).d.) p: Bogot est en Brasil q: 13 es divisible por 3.p q es (V), q p es (V) (p q qp) es (V)por lo tanto, p q es (V).

Observando estos ejemplos podemos concluir que el valor de verdad de la proposicin bicondicional est dado mediante el siguiente axioma:

VALOR DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p q es verdadera, por el contrario, si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p q es falsa.

Esto queda establecido en la siguiente tabla.

pqp q

VVV

VFF

FVF

FFV

V V = V

F F = V

TALLER 7

Representa y encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones bicondicionales.

1)6 + (- 6 ) = 0 (8)(l/8) = 12)27 es un nmero primo 81 es divisible por 33)(- 10) es mayor que cero (-10) es menor que cero.4) 3 + 2 5 3 . 2 105)Sto Domingo tiene menos de 500 000 de habitantes Portoviejo es la capital de Manab.6)Zamora es una provincia oriental Guatemala es un pas sudamericano.

Deducir si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones.7)Si 3 + 2 = 8 entonces 5 + 5 =108)2+2 = 5 Si slo si 4 + 5 = 129)Si Pars est en Francia entonces Monterrey est en Mxico.10)Es falso que si Washington est en Canad entonces Toronto est en Estados Unidos.11)No es verdad que 3 es menor que 0 slo si 8 es mayor que 0.12)No es verdad que si un tringulo tiene tres ngulos entonces un cuadrado tiene cuatro ngulos.13)2 es un nmero par si slo si 4 es un nmero primo.

14)Si 16 es un nmero impar entonces es un nmero racional.15)Si Cantinflas es un cirujano entonces Charles Chaplin es un artista.

16)No es verdad que = 2, entonces 23 = 8.

RESUMEN GENERAL DE LAS PROPOSICONES Y SUS CONECTIVOS LOGICOS.

NNOMBREDESCRIPCION DEL CONECTIVOTABLA DE VALOR DE VERDAD

1Negacin (): p = no pSe emplea para negar la proposicin p, transformndola en p. Se lee no ppp

VF

FV

La negacin tiene valor de verdad opuesto. Lo contrario de verdadero es falso y viceversa.

2

Conjuntiva o conjuncin ()

p q = p y qSe emplea para unir dos o ms proposiciones simples con el conectivo y empleando el smbolo . Se lee p y qpqp q

VVV

VFF

FVF

FFF

Slo si las dos proposiciones son verdaderas, la conjuncin es verdadera, en caso contrario es falsa.

(V V) = V

3

Disyuncin inclusiva (incluye) ()

p q = p o qSe emplea para unir dos proposiciones simples p, q; mediante el conectivo o en sentido incluyente, es decir, que admita a p, a q o a ambas p o q, mediante el smbolo . Se lee p o q.pqp q

VVV

VFV

FVV

FFF

Slo si las dos proposiciones son falsas, la disyuncin inclusiva es falsa, caso contrario es verdadero. (FF)=F

4

Disyuncin exclusiva (excluye) ()p q = O p o qLa disyuncin exclusiva (excluyente) es la proposicin compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p, q, de modo que admite a p, a q, pero no las dos a la vez, mediante el smbolo. Se lee O p o qpqp q

VVF

VFV

FVV

FFF

Por su sentido excluyente, valores de verdad iguales dan falso.

(VV) = F

(FF) = F

5

Condicional o implicacin ()

pq = Si p entonces qLa proposicin que resulta de unir dos proposiciones simples p, q por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposicin condicional, mediante el smbolo , y se lee si p entonces qpqpq

VVV

VFF

FVV

FFV

Slo cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso, la condicional es falsa. (VF) = F

6

Bicondicional ()p q = p si y so si qLa proposicin compuesta que resulta de unir dos proposiciones simples p, q por medio del conectivo bicondicional , le llamaremos proposicin bicondicional. Se lee p si y solo si q pqpq

VVV

VFF

FVF

FFV

La bicondicional es verdadera slo si p y q tienen valores de verdad iguales.

(VV) = V

(FF) = V

En forma an ms resumida tenemos:

CONECTIVONEGACIONCONJUNCIONDISYUNCIONInclusivaDISYUNCIONExclusivaCONDICIONALBICONDICIONAL

VALOR DE VARDADV = FLa negacin cambia el valor de verdad de toda proposicinV V = VLo de ms da falsoFF = FLo dems da verdaderoVV = F

FF = FValores iguales dan falsoVF = FLo dems da verdaderoV F = F

F V = FValores contrarios dan falso.

TABLAS DE VALORES DE VERDADAl combinar dos o ms conectivos lgicos entre s formamos nuevas proposiciones, cada vez ms complejas y extensas. Igual que ocurre con el discurso de los polticos, en algn momento, no sabemos si lo que dicen es verdad o mentira, en lgica ocurre lo mismo, pero la ventaja aqu es que construyendo tablas de valores de verdad podremos establecer la veracidad o falsedad de las proposiciones compuestas. Es claro que el valor de verdad de una proposicin por compleja que sea, depende del valor de verdad de las proposiciones que la componen en su forma ms simple. Cada tabla tiene en la parte izquierda el valor de verdad de los datos, y a la derecha el valor de verdad de las proposiciones compuestas llenadas respetando la jerarqua de los conectivos o empezando por los parntesis ms internos y de all desplazndose hacia afuera hasta llegar al valor final. El nmero de filas que corresponden a los valores de verdad en la tabla se mide por la expresin:

nmero de filas = 2 nmero de proposiciones

As, en (p ~q) intervienen las dos 2 proposiciones p y q, por lo tanto la tabla tendr 22 = 4 filas. En (p ~p) solo observamos la proposicin p, con lo que la tabla tendr 21 = 2 filas; por ltimo, en p (q r) encontramos las tres proposiciones p, q y r. Una tabla para determinar valores de verdad tendr 23 = 8 filas. Para asignar los valores de verdad a dichas proposiciones se procede de la forma siguiente:Si la tabla tiene cuatro filas, la columna que corresponde a (p) se llena la primera mitad con valor de verdad verdadero (V) y la segunda mitad de abajo con (F). La segunda columna (q) se llenar en forma alternada, empezando con (V) para seguir con (F) y as sucesivamente.

Si la tabla tiene ocho filas, llenamos la columna de (p) con cuatro valore (V) y cuatro (F). La segunda (q) llenamos de dos en dos empezando con (V); y la tercera columna (q) de una en una empezando con (v), luego (F) y as sucesivamente.

Ejemplo 22Determinar el nmero de filas y mostrar la forma de llenar la tabla de las siguientes proposiciones compuestas:a.) p (~ p p) b.) p (q ~ p) c.) (p q) ~ r

Solucin

a.) p (~ p p) Es una proposicin compuesta formada por tan slo una proposicin simple conectada entre si por varios conectivos lgicos. El nmero de filas se calcula elevando el nmero 2 a la potencia 1, es decir: nmero de filas = 21 = 2Observe la tabla respectiva y analice la forma en que fue llenada. Intente otras alternativas.P p(~ pp)

VVFFF V

FFVVF F

ppp pp (p p)

VFFF

FVFV

Cul forma de llenar la tabla le parece ms cmoda? Analice cada una de ellas.

pqp( q~ p)

VVVVVFF

VFVVFFF

FVFVVVV

FFFFFFV

b.) p (q ~ p) Esta proposicin compuesta tiene dos proposiciones simples, p y q, por lo tanto su nmero de filas se calcula elevando el nmero 2 al exponente 2, es decir: Nmero de filas = 22 = 4 filas.

c.) La proposicin compuesta (p q) ~ r tiene tres proposiciones simples. La tabla se llena con 23 = 8 filas.

pqr( p q) ~ r

VVVVVVFF

VVFVVVVV

VFVVFFVF

VFFVFFVV

FVVFFVVF

FVFFFVVV

FFVFFFVF

FFFFFFVV

TAUTOLOGAS CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.

Definicin: Una Proposicin compuesta ser llamada tautologa si para cualquier valor de sus componentes, el valor de verdad resultante en la tabla es siempre verdadero.

Definicin: Una Proposicin compuesta ser llamada contradiccin si para cualquier valor de sus componentes, su tabla tendr siempre un valor de verdad falso.

Definicin: Una Proposicin ser llamada contingencia si en la tabla de la proposicin compuesta algunos valores son verdaderos y otros son falsos.

Ejemplo 23. Determinar si las siguientes proposiciones son tautologa, contradiccin o contingencia.a.) p p b.) p p c.) p (p) ppp

VVVF

FFVV

pp(p)P (p)

VFVV

FVFV

pPp

VFFV

FVFF

Conclusin:Conclusin:Conclusin:p p es tautologa. p p es una Contradiccin. p (p) Es Tautologa

d.) M = [(ab)(ba)].

abababba[(ab) (ba)]M

VVFFVV VF

VFFVVV VF

FVVFFF VF

FFVVVV VF

Conclusin: [(ab)(ba)] Es una contradiccin.

e.) (pq) [(p q))(p)]

pq q(p q)p[(p q) (p)](pq) [(p q))(p)]

VVFF FF F V

VFVV VF V V

FVVF VV V V

FFVV VV V V

Conclusin: (pq) [(p q))(p)] es una tautologa

e.) Indicar si la proposicin P = a (b c) (a b) (a c) es tautologa o contradiccin.

abca(bc)(ab)(ac)

VVVVVVVVVVVVV

VVVFFVVVVVVVF

VVFFVVVVFVVVV

VVFFFVVVFVVVF

FVVVVVFVVVFVV

FFVFFVFVVFFFF

FFFFVVFFFFFVV

FFFFFVFFFFFFF

R/Conclusin: La proposicin P = a (b c) (a b) (a c) es tautologaObservaciones. La equivalencia probada en el par de proposiciones (p q) (p) ( q) junto con la equivalencia (p q) p q son llamadas Leyes de De Morgan del lgebra de proposiciones. Ejemplo 24.a.) Sean p = Santo Domingo tiene potencial turstico regional. q = Santo Domingo cuenta con universidades que promueven el turismo ecolgico.1.) Formar la proposicin p q.2.) Establecer mediante una tabla, bajo qu condiciones p q es verdadera o falsa.

Solucin:1.) p q = Santo Domingo tiene potencial turstico regional y Santo Domingo no cuenta con universidades que promueven el turismo ecolgico.En forma compacta se escribe: pq = Santo Domingo tiene potencial turstico regional y no cuenta con universidades que promueven el turismo ecolgico. Primera forma: Segunda forma:pqqp q

VVFF

VFVV

FVFF

FFVF

pqpq

VVVFF

VFVVV

FVFFF

FFFFV

R RRespuesta: p q es verdadera slo cuando p es verdadera y q es falsa, es decir, si Santo Domingo tiene potencial turstico regional y no tiene universidades que promuevan el turismo ecolgico.

b.) Sean p = Puerto Limn pertenece a Santo Domingo. q = Manta pertenece a Manab1.) Formar la proposicin p (p q).2.) Establecer mediante una tabla, bajo qu condiciones esta proposicin compuesta es verdadera o falsa.

Solucin:Traduccin: p(p q) = Si Puerto Limn pertenece a Santo Domingo entonces, Puerto Limn no pertenece a Santo Domingo o Manta pertenece a Manab. Para determinar su valor de verdad llenamos su tabla. Primera forma de llenar Segunda forma de llenar pqppqp(p q)

VVFVV

VFFFF

FVVVV

FFVVV

pqp ( p q )

VV V V F V V

VF V F F F F

FV F V V V V

FF F V V V F

R RConclusin: La proposicin p(p q) es falsa cuando p es verdadera y q es falsa.

b.) Sean p = Jos estudia en la UTE. q = 3 + 2 = 51.) Formar la proposicin (p q) [(p q) (p)]2.) Establecer mediante una tabla, bajo qu condiciones es verdadera.

Solucin:(pq) [(p q) (p)] = no es verdad que, Jos estudia en la UTE y 3 + 2 = 5 si y slo si; si Jos estudia en la UTE entonces 3 + 2 5, o Jos no estudia en la UTELa tabla se llenar en ste caso de la siguiente manera:

( pq )[( pq )p]

FVVVVVFFFF

VVFFVVVVVF

VFFVVFVFVV

VFFFVFVVVV

R1 RT R2.Conclusin: Esta proposicin Siempre ser verdadera (es una TAUTOLOGIA) .c.)Llenar la tabla de verdad de la proposicin: p (q r) El nmero de filas, en ste caso est dado por 23 = 8 filaspqrq rp(qr)

VVVVV

VVFFF

VFVFF

VFFFF

FVVVV

FVFFV

FFVFV

FFFFV

d.) Sea p: Ecuador es pas amaznico q: Ecuador aprueba el TLC r: El TLC es beneficioso para el ecuador Suponga que p es falsa, q es verdadera y r es falsa. Determine el valor de verdad de la proposicin compuesta: q [p (p ~ r)].

SolucinLa traduccin de la proposicin es q [p (q ~ r)]: Si el Ecuador aprueba el TLC entonces, el Ecuador es pas amaznico o, el Ecuador aprueba el TLC y el TLC no es beneficiosos para el Ecuador. Para determinar su valor de verdad es necesario llenar la tabla de valores e identificar la fila que coincida con la condicin dada.

pqr q [ p (q ~ r)

VVV VVVVVFF

VVF VVVVVVV

VFV FVVVFFF

VFF FVVVFFV

FVV VFFFVFLa proposicin es verdaderaF

FVF VVFVVVV

FFV FVFFFFF

FFF FVFFFFV

RConclusin: Del anlisis del valor de verdad de las proposiciones inciales se determina que cuando p es falsa, q es verdadera y r es falsa, la proposicin q [p (p ~ r)] es VERDADERA (vase la sexta fila).

TALLER 8

En los problemas del 1 al 5, escriba cada proposicin en forma simblica, utilice p, q, r, s, etc.1. Lus es estudiante y Juan es zapatero.2. El sbado es sagrado para los adventistas o Carlos ha comprado un carro3. Si 3 + 5 = 8, entonces 4 + 4 = 104. O 2 + 4 = 6 o Coln descubri Amrica5. Antonio es hijo de Lus si y slo si Lus es el padre de Antonio

En los problemas del 6 al 10, escriba la recproca y la contra positiva de cada una de las proposiciones dadas.6. p (q r)7. Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 88. Si Santo Domingo es provincia, entonces La UTE es una universidad estatal9. si los cuadrados tienen tres lados, entonces los tringulos tienen cuatro lados10. Si Galpagos pertenece al Ecuador, entonces los colorados son de Ibarra

En los problemas del 11 al 20, suponga que p: 7 < 9; q: El Sol es un astro fro, y r: La temperatura est por debajo de cero grados. Escriba las proposiciones dadas.

11. p q12. p q13. p q14. p q15. (r p) q16. [(p q) (q r)]r17. (p q) r18. (p r) q19. (p q) (q r)20. q rEn los problemas 21 al 24 construya la tabla de verdad de cada una de las proposiciones dadas.

21. (p q)22. p q23. (p q) [(p q) (p q)] 24. [(p q) r](p q)

25. Escriba en forma simblica el enunciado: Un nmero p es real y no racional siempre que p sea un irracional. Y Diga su valor de verdad.

En los problemas 26 al 30, considere la proposicin [(p q) (p r)] [(p q) (p r)]Y diga cul es el valor de verdad de sta proposicin para cada uno de los casos dados.

26. p es falso, q es falso, r es falso.27. p es falso, q es falso, r es verdadero28. p es verdadero, q es falso, r es verdadero.29. p es verdadero, q es verdadero, r es falso30. p es verdadero, q es verdadero, r es verdadero.

En los problemas 31 al 35, considere las proposiciones p: un byte tiene 7 bits, q: una palabra consiste en dos bytes, r: un bit es un 0 o un 1. Sabiendo que p es falso y q y r son verdaderos, escriba enunciados para las proposiciones dadas en cada caso, y determine si el enunciado es verdadero o falso.

31. p q32. p r33. (p q)34. pq35. [(p q) r] [(p r)]

En los problemas 36 al 40 considere:p: Panam est en Amrica Centralq: Colombia est al sur de Venezuela.r: Quito es la capital del Ecuador.Observe que p y r son verdaderas pero q es falsa. Escriba las proposiciones dadas en forma simblica, y determine en cada caso si la proposicin es verdadera o falsa.

36. Panam est en Amrica central y Colombia est al sur de Venezuela.37. Colombia no est al sur de Venezuela.38. Colombia est al sur de Venezuela y Quito es la capital del Ecuador, o Panam no est en Amrica Central39. Quito no es la capital del Ecuador ni Panam est en Amrica central.40. Si Panam est en Amrica Central y Colombia no est al sur de Venezuela, entonces ni Panam est en Amrica central ni Quito es la capital del Ecuador.

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES

En el tema anterior definimos una TAUTOLOGIA y sealbamos que es una proposicin compuesta con valor de verdad siempre verdadero. As mismo, dimos a conocer que una CONTRADICCIN es una proposicin compuesta con valor de verdad siempre falso; y por ltimo, que una CONTINGENCIA toma valores verdaderos en unos casos y falsos en otros.

Definicin. Dos proposiciones, generalmente compuestas, son lgicamente equivalentes si al conectarlas mediante la bicondicional se obtiene una TAUTOLOGIA. Para denotar que dos proposiciones P(p, q, ) y Q(p, q, ) escribimos: P(p, q, ) Q(p, q, ) o simplemente P Q.

Definicin: Dos proposiciones son lgicamente equivalentes si tienen la misma tabla de valores de verdad.Las proposiciones lgicamente equivalentes constituyen leyes dentro del algebra de proposiciones y son muy tiles para simplificar o reducir proposiciones compuestas. Tambin son tiles para demostrar otras leyes o teoremas. A continuacin se da una lista de las principales leyes del algebra de proposiciones. Es conveniente que demuestre, mediante tabla de valores que en efecto son equivalentes.

1. DOBLE NEGACION:

1.1. p pNegar dos veces equivale a una afirmacin2. LEYES CONMUTATIVAS:

2.1. p q q pEl orden no altera el valor de verdad de la proposicin compuesta

2.2. p q q p

2.3. (p q) (q p)

3. LEYES ASOCIATIVAS:

3.1. (pq) r p(qr) Agrupar de diferentes maneras no altera el valor de verdad

3.2. (pq) r p (qr)

4. LEYES DISTRIBUTIVAS:

4.1. p(q r) (pq)(pr)La disyuncin se distribuye en la conjuncin y no altera el valor de verdad

4.2. p(qr) (pq) (pr)

5. LEYES DE IDEMPOTENICA

5.1. p p p La disyuncin de la misma proposicin es igual a la misma proposicin

5.2. p p pLa conjuncin de la misma proposicin es igual a la misma proposicin6. LEYES DE IDENTIDAD:

6.1. p (F) FLa conjuncin de una proposicin y una falsedad es igual a una falsedad

6.2. p (V) pLa conjuncin de una proposicin y una veracidad es igual a la misma proposicin

6.3. p (F) p La disyuncin de una proposicin y una falsedad es igual a la misma proposicin

7. LEYES DEL COMPLEMENTO:

7.1. p (p) F

7.2. (p p) V

7.3. (V) F

7.4. (F) V

LEYES DE De MORGAN

8.1. (pq) (p q)

8.2. (pq) (pq)

8.3. (p q) (pq)

8.4. (p q) ( p q)

8.5. (p q) (p q)

9. LEYES CONDICIONANTES

9.1. p q (p q)Transforman la condicional en una disyuncin como indica la ley

9.2. p q (q p)

9.3. (p q) (pq) (qp)

9.4. (p q) (p q) (q p)TALLER 9

En los problemas del 1 al 9, clasifique cada una de las proposiciones dadas como una contingencia, o como una tautologa o como una contradiccin.

1. p(pq)2. (pq) (pq) 3. (pq)(pq)4. [p(qr)] [q(qr)] 5. (pq)(qp)6. (pq) [(pq)(qp)] 7. p(qr) (pq)(pr)8. (pq) (pq)9. [(pq) (pr)](qp)

En los problemas del 10 al 14, diga si el par de proposiciones dadas en cada caso es un par de proposiciones lgicamente equivalentes.

10. [(pq) (rs)]; [(pr)(qs)]11. pq; (pq) r 12. pq; (q q)13. (pq) (pr); p(qr)14. (pq) (rs); (qs) (p r)

PROPOSICIONES Y ENUNCIADOS ABIERTOSObjetivos

1. Establecer diferencias y semejanzas entre enunciados abiertos o condicionales y proposiciones, mediante la formulacin de ejemplos, la notacin apropiada y la determinacin del conjunto solucin o el valor de verdad.2. Definir el cuantificador universal y el cuantificador existencial empleando la notacin y su valor de verdad.3. Aplicar la teora de los cuantificadores mediante la construccin de proposiciones cuantificadas y su negacin.

Estrategias metodolgicas

1. Lea el texto del presente material de la pgina 20 a la 24. 7. Prepare una exposicin enmarcando los aspectos ms importantes del contenido, como las definiciones, conceptos, notacin, reglas, propiedades y valores de verdad.8. Lea los ejemplos resueltos y redactar para cada tema o subtema dos ejemplos similares9. Analice todos los ejemplos resueltos.10. Resuelva los ejercicios propuestos y presente en clase en la fecha que se de a conocer con anterioridad.11. Redacte una lista de preguntas para que pueda rendir una prueba escrita.

Enunciados AbiertosExisten algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable. Analice los siguientes ejemplos.

Ejemplo 25.a.)x es un nmero primo. b.)El es un ex presidente del Ecuador.c.)Este pas est en Amrica Latina.d.) Ella obtuvo una ingeniera en la UTE.

Como podr observar, estos enunciados no son verdaderos ni falsos. Note adems la presencia de un trmino desconocido como x, el; ste, ella, etc. A ste tipo de enunciados le llamaremos abiertos o condicionales. Si en el ejemplo 25 literal (a), reemplazamos x por el nmero 8, tendremos la proposicin falsa: 8 es un nmero primo; si en cambio x es reemplazado por 3, la proposicin se transforma en 3 es un nmero primo y resulta ser verdadera. Igual ocurre en el ejemplo 25.b, si en lugar de el reemplazamos Jaime Rolds Aguilera, la proposicin se vuelve verdadera. Igual ocurre en los dems ejemplos.

Dominio de una variable: Al conjunto que est formado por los elementos que pueden ser reemplazados en la variable de un enunciado abierto lo llamaremos el Dominio de la variable. Al reemplazar la variable por los elementos del conjunto dado, el enunciado se transforma en proposicin que puede ser verdadera o falsa (V / F).

El conjunto que servir de Dominio de la variable puede ser elegido arbitrariamente. Para el ejemplo 25, el dominio de la variable, en cada caso, bien podra ser:25.a. A = {Nmeros enteros} 26.5. B = {Habitantes del Ecuador} 25.c. C = {Pases}25.d. D = {Egresadas mujeres de la UTE}Observacin: Siempre que demos ejemplos de enunciados abiertos, tenemos que especificar cul es el dominio de la variable.

Notacin de enunciados abiertos.

Estos enunciados toman la forma p(x): xD, donde D es el dominio de la variable x. Lase p(x) tal que x pertenece al conjunto D.

Empleando sta notacin para el ejemplo 26 tendremos: 26.a. p(x): x es nmero primo: x {Enteros}. Lase x es nmero primo tal que x pertenece a los enteros26.b. q(x): el es ex presidente del Ecuador: x {habitantes del Ecuador}.26.c. s(x): Este pas est en Amrica Latina: x {pases}.26.d. k(x):Ella obtuvo una Ingeniera en la UTE: x {Egresadas mujeres de la UTE}.Observacin:El conjunto de referencia D o dominio de la variable es arbitrario, pudiera darse el caso que o todos sus elementos satisfacen al enunciado abierto, o ninguno le satisfaga (conjunto vaco). En todo caso usted puede elegir al conjunto D.Conjunto solucin de un enunciado abierto: El conjunto P formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera a p(x), lo llamaremos el conjunto solucin de la proposicin.

Ejemplo 27:

Sea p(x) = x es un nmero primo positivo menor que 10; x {Enteros}. Hallar el conjunto solucin de p(x)

Solucin:Aqu, el dominio de la variable lo forman todos los nmeros enteros Z = {, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, }, pero, de stos, slo aquellos que son positivos y primos menores que 10 satisfacen a p(x). Estos nmeros son 2, 3, 5, y 7; luego, el conjunto solucin de p(x) es P = {2, 3, 5, 7 }, puesto que con estos valores p(x) ser verdadera. Note que con nmeros como el 6, p(x) es falsa., puesto que 6 no es nmero primo.

TALLER 10

1.Indique en cada ejercicio si la proposicin es verdadera o falsa para el valor dado a x.a)p(x) = x es provincia del Ecuador; D = {Provincias del Ecuador}; x1 = Santo Domingo; x2 = Manab; x3 = El Carmen b) q(x) = El es ex presidente de Ecuador; D = {Habitantes del Ecuador}; x = Garca Moreno. c) p(x) = x es divisible por 5; D = {Nmeros Enteros}; x1 = - 35; x2 = 7d)r(x) = x es un nmero mayor que 2 y menor que 4; D = {Nmeros enteros}; x = 0.

2. Encuentre un conjunto D que sea til para dominio de la variable de los siguientes enunciados abiertos.a.) p(x) = x es un dgitos par menor que seisb.) q(x) = El es un estudiante de Matemtica para la economa en sta clase y tiene vehculo propioc.)q(x) = Este estudiante viene del Carmen.d.) p(x) = aquel cuaderno tiene el logotipo de la UTE.

Otra forma de construir una proposicin a partir del enunciado abierto p(x) es modificndolo mediante un cuantificador.

CUANTIFICADORESConsideremos las siguientes expresiones:

a) Para algn dgito x; x 1= 10. b) Todas las canicas ruedan.c) Existe por lo menos un estudiante que es excelente en este curso.d) Ninguna ave camina.e) Ningn nmero entre 0 y 1 es entero.

En estas afirmaciones se observa una palabra o una frase como:Para algn , todos , existe por lo menos , ningn ; que indican cuntos objetos o cosas cumplen con una determinada condicin.Cuantificador: Una palabra o frase que indique cuntos objetos o cosas cumplen con determinada propiedad, se llama un CUANTIFICADOR.

Algunos cuantificadores tienen la forma: existe , existe por lo menos uno , algn o algunos ", para todos , por lo menos un , cualquiera . Estos cuantificadores se pueden reducir a dos: Existe y Para todo.Cuantificador existencial: Al cuantificador Existe se le llamar Cuantificador existencial que se denotar por .

Es decir, la palabra existe o la frase existe por lo menos se sustituye por el smbolo y la proposicin cuantificada existencialmente se representar porp = x D: p(x)

que se lee Existe un elemento x que pertenece al conjunto D, tal que la proposicin p(x) se satisface.Cuantificador Universal: Al cuantificador Todo, Todos, Ninguno, Para todo" se le llamar Cuantificador Universal que se denotar por .

Es decir, la palabra Todos o la frase Para todos se sustituye por el smbolo y la proposicin cuantificada universalmente se representar por p = x D: p(x)

Que se lee Para todo elemento x del conjunto D. la proposicin p(x) se satisface. Las expresiones cuantificadas universal o existencialmente es una nueva PROPOSICIN que tiene un valor de verdad que se establece en los siguientes axiomas de Verdad.

Valor de verdad del cuantificador Universal: Axioma: La proposicin p = x D: p(x) es falsa si al menos un elemento del dominio D, hace falsa la proposicin p(x)

Valor de verdad del cuantificador Existencial: La proposicin p = x D: p(x) es verdadera cuando hay al menos un valor x en el dominio D que haga verdadera la proposicin p(x) y ser falsa si no existe un solo elemento del dominio que haga verdadera a p(x)

Ejemplo 28.Interpretar las siguientes proposiciones cuantificadas, escribirlas empleando cuantificadores y determinar su valor de verdad.a) Para algn dgito x; x 1 = 10; b) Todas las canicas ruedanc) Existe por lo menos un estudiante que es excelente en ste curso.d)Ninguna ave camina e) Ningn nmero entre 0 y 1 es entero.Solucina.) traduce a existe al menos un dgito x tal que x 1 = 10. En smbolos: x {dgitos}; x 1 = 10 la proposicin existencial es falsa pues 11 no es dgito.b.) Traduce a del conjunto de canicas, todas ruedan.En smbolos: x {canicas}; x puede rodar la proposicin universal es verdadera.c.) Traduce a: De todos los estudiantes de ste curso alguno es excelenteEn smbolos: x {estudiantes de este curso}; x es excelente la proposicin existencial es verdadera.d.) Traduce a: de la totalidad de aves conocidas ninguna camina o todas las aves no caminanEn smbolos: x {aves}; x no camina. la proposicin universal es falsa.e.) Traduce a: No existe nmero entre cero y uno que sea enteroEn smbolos: x{nmeros entre 0 y 1}; x no es entero. la proposicin universal es verdadera.La veracidad de las proposiciones del ejemplo anterior se realiz aplicando el axioma respectivo.

TALLER 11

Escriba las siguientes proposiciones empleando cuantificadores y de a conocer su valor de verdad. Justifique su respuesta.

1.Existe un ex presidente de Ecuador que es originario de Guayaquil. 2.para todo nmero entero, su cuadrado es positivo o cero.3.Para todo nmero entero, su raz cuadrada es entero.4.Al menos existe un nmero entero, que sumado con tres es dos.5.Existe por lo menos un nmero entero tal que su cuadrado es 16.Todo deportista de la Delegacin Olmpica Ecuatoriana es gimnasta.7.Existe un deportista en la Delegacin Olmpica Ecuatoriana de 1996 que obtuvo medalla de oro.

NEGACIN DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS

Ejemplo 29.

1. Considere las siguientes proposiciones cuantificadas y luego escriba la negacin de cada una de ellas.a.) Todos los estudiantes de ste curso tienen buenas notas: b.) Algunos animales son feroces.c.) Algunos estudiantes no aprobaron la asignatura de Matemtica.d.) Ningn profesor es entusiasta.

Solucin:a.) Algunos estudiantes de ste curso no tienen buenas notas ::: tienen malas notas.b.) Ningn animal es feroz.c.) Todos los estudiantes aprobaron matemtica.d.) Todos los profesores son entusiastas.

Al observar los ejemplos concluimos que:ProposicinNegacin

La negacin de TodosEs algunos no

La negacin de AlgunosEs ningn

La negacin de Algunos ... noEs todos

La negacin de NingnEs algunos

Ejercicio 30 1. Dadas las siguientes proposiciones, escribir su negacin y representar utilizando cuantificadores:

a.) p: Todos los alumnos de sta clase siguen Ingeniera x D: x sigue ingeniera p: existe al menos un estudiante de sta clase no sigue ingenierax D: x no sigue ingeniera.

b.) q: Ningn estudiante de sta clase sigue Ingeniera.x D: x no sigue ingeniera q: Al menos un estudiante de sta clase sigue ingeniera.x D: x sigue ingeniera.

c.) r: Algunos estudiantes de sta clase siguen ingeniera.x D: x sigue ingeniera. r: Ningn estudiante de sta clase sigue ingeniera.x D: x no sigue ingeniera

d.) k: Algunos estudiantes de sta clase no siguen ingeniera. x D: x no sigue ingeniera. k: Todos los estudiantes de sta clase siguen ingeniera. x D: x sigue ingeniera

Observacin: Para el ejemplo anterior se consider como dominio de la variable al conjunto formado por los estudiantes de sta clase. Las negaciones anteriores se pueden simbolizar en forma an ms reducida de la siguiente manera.

~ [x D; p(x)] x D; ~p(x) Se lee; la negacin de para todo xD, tal que p(x) es Existe al menos una x tal que no p(x) ~ [x D; ~ p(x)] x D; p (x)~ [x D; p(x)] x D; ~p(x)~ [x D; ~p(x)] xD; p(x)

Generalizando an ms tenemos:

~ [x D; p(x)] x D; ~p(x)~ [x D; p(x)] x D; ~p(x)

Es decir, la negacin de una proposicin cuantificada universalmente se convierte en una proposicin cuantificada existencial y se niega p(x), y la negacin de una proposicin cuantificada existencial se convierte a una Universal y se niega la proposicin.

Ejercicio 31.1. Escribir la negacin de cada una de las siguientes proposiciones:a)p: Todas las personas son alegres.b) q: Algunos animales son limpios. c) r: Ningn estudiante es optimista. d) s: Algunos nios no lloran.e) (x {enteros} ; x < 1)

f.) (x {enteros}; = 0) g.) p : Todos los nmeros primos son impares.h.) p: Existe un tringulo equiltero que tiene sus tres lados desiguales.Solucina.) Su negacin es: p : Al menos una persona no es alegre.b.) q: Todos los animales son sucios (aqu se considera que la negacin de limpio es sucio).c.) r: Algn estudiante es optimista.d.) s : Todos los nios lloran.e.) x {enteros}; x 1

f.) x {entero}; 0g.) p: Existe al menos un nmero primo que no es impar.h.) p : Todos los tringulos equilteros tienen sus tres lados iguales.

TALLER 12

1.En cada uno de los siguientes problemas, determinar el valor de verdad; considere a los enteros como el universo.a)x, x = x + 1b)x, - x es positivo.c)x, x + 1 es mayor que cero.d)x. x + 0 = x

2.Use el cuantificador correcto para escribir las siguientes proposiciones de tal manera que stas sean verdaderas. Considere el universo como el conjunto de los enteros.a)x 6 = 0b)x2 4x + 4 = (x 2)2c)a3 b3 = (a b )(a2 + ab + b2)d)x2 4 = 0e)5x = 5f) x es un nmero entre 1 y 5.

3. Encuentre el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones donde el Dominio de la variable sea D = {Reales}a) x D, si x2 = 4 x = 2 x = - 2 b) x D, si x2 = 9 x2 = 81 c) x D, si x2 + 5x + 6 = 0 x = -2 x = -3 4.Utilizar cuantificadores para representar las siguientes proposiciones:a) Algunos nmeros son enteros.b) Todos los estudiantes son responsables.c) Algunos nmeros son primos.d) Todos los problemas del examen son difciles.e) Todos los hombres son mortales.5.Escribir la negacin en forma simblica y en el lenguaje comn de cada una de las proposiciones del problema anterior.

6.Para cada una de las proposiciones dadas a continuacin: (i) Traducirla a la forma simblica; (ii) Escribir la negacin en el lenguaje ordinario (iii) obtener el valor de verdad de la negacina)Algunos animales son sucios.b)Ningn estudiante es organizado.c)Todos los estudiantes son jvenes.d) Ninguna persona es entusiasta.e)Existe al menos un nmero entero que sumado con tres es cero.f.)Todos los matemticos son agrios.

CONJUNTOS OPERACIONES Y PROPIEDADESObjetivos1. Revisar la teora de conjuntos estudiada en aos anteriores mediante consultas e investigaciones para estar en capacidad de formular ejemplos de la vida dira y la carrera de su especializacin.2. Emplear la teora de las proposiciones para definir las distintas operaciones que se realizan entre conjuntos, su notacin y representacin mediante diagramas de Euler Venn.3. Aplicar la teora de conjuntos y sus operaciones para traducir enunciados verbales a smbolos matemticos y resolver problemas de conteo.

Estrategias Metodolgicas

1. Consulte en internet la teora de conjuntos en lo referente a notacin, descripcin y clasificacin de conjuntos.2. Revise los ejemplos resueltos que se muestran en el texto3. Conteste de manera ordenada el taller N 134. Lea y redacte un resumen sobre las operaciones entre conjuntos, su simbologa y representacin grfica mediante Diagramas de Venn Euler. Esta informacin la encontrar a partir de la pgina 30.5. Resuelva los talleres 14 y 156. Estudie el tema Cardinalidad de conjuntos y problemas de conteo.7. Forme grupos de trabajo, con no ms de 4 estudiantes para analizar los ejemplos resueltos sobre problemas de conteo. Identifique los problemas que puedan ser utilizados como modelo, hasta que adquiera cierta habilidad en resolverlos. Solicite ayuda en clase.8. Resuelva el taller 17 en las partes que el profesor seale en clase.

CONJUNTOS

Cuando hablamos de un grupo de objetos o personas, nos estamos refiriendo a un conjunto. Los Diputados, los asamblestas, la seleccin de ftbol del Ecuador, los estudiantes de esta clase, su familia, los autos en el estacionamiento, todos son ejemplos de conjuntos. En nuestro lenguaje diario usamos permanentemente los conjuntos.

Conjunto: Llamamos conjunto a una coleccin de objetos que tienen caractersticas que facilitan su identificacin, y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto ( )

Cada vez que trabajamos con conjuntos, podemos identificar otros conjuntos mayores o iguales que los contienen, denominados conjuntos de referencia o conjunto Universo, ste conjunto de referencia no es nico, depende de nuestra imaginacin para identificarlo. Suponga que trabajamos con el conjunto estudiantes de sta clase, los siguientes son buenos ejemplos de conjuntos de referencia o conjunto universo: Estudiantes de la seccin nocturna, estudiantes de sta universidad, estudiantes universitarios de la ciudad, estudiantes universitarios del pas, etc.

Conjunto Universo (U): Llamaremos universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar otros conjuntos.

Un conjunto queda determinado por una coleccin de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. As, los elementos del universo que s posean los atributos requeridos forman el conjunto.

Observacin:

Hemos dicho que un conjunto es una coleccin de objetos, lo cual no constituye una definicin, pues conjunto y coleccin son palabras sinnimas, de tal manera que el trmino conjunto lo usaremos como un trmino no definido, aceptando la idea intuitiva que de l tenemos, de igual manera Universo ser un trmino no definido, pues sera difcil dar una definicin de universo que a todos satisfaga.

Notacin de conjuntos:Emplearemos letras maysculas para denotar conjuntos. Ej: A, B, C, ... La letra U representa el universo. Los elementos que forman el conjunto se denotan con letras minsculas como: a, b, c,...; encerrados entre llaves parntesis y separadas con una coma.

As por ejemplo, si B ={a, e, i, o, u}; entonces, B es el conjunto de las vocales y a es un elemento del conjunto B. Para sealar que a pertenece al conjunto B escribimos: a B, por el contrario, m B indica que el objeto m no pertenece al conjunto B.

Nota: El smbolo se lee: (pertenece a); (es elemento de); ( est en el conjunto).Tambin si, C = {Provincias del ecuador}; (se lee: C es el conjunto de todas las Provincias del estado Ecuatoriano), El smbolo se interpreta de las siguientes maneras:Manab C, seala que Manab es un elemento del conjunto C, o Manab C, seala que Manab pertenece al conjunto C, oManab C, seala que Manab est dentro de C.

Descripcin de conjuntos.

Definicin. Diremos que un conjunto est descrito por enumeracin si se dan a conocer explcitamente todos sus elementos; y est descrito por comprensin si sus elementos estn dados en forma implcita mediante una frase que los defina sin lugar a dudas.

Describir un conjunto por enumeracin significa nombrar cada uno sus elementos como en A = {m, a, r}; en tanto que para describirlo por comprensin es necesario utilizar una frase o una oracin gramatical que permita su identificacin de manera exacta y perfecta, como en A = {letras de la palabra mar}

Ejercicio 32.Determinar cules de los siguientes conjuntos estn descritos por enumeracin y cules por comprensin.NEJEMPLO DE CONJUNTODESCRIPCIN

POR ENUMERACIONPOR COMPRENSION

1A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2B = {Obreros ecuatorianos que trabajan en EEUU}

3C = {Pases latinoamericanos}

4D = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

5E = {Jos, Jaime, Bertha, Rafael. Roberto}

6F = {Personas que se les ha otorgado el Premio Nobel}

7H = {Guatemala, Belice, Estados Unidos}

Explicacin:Los conjuntos A, D, E y H estn descritos por enumeracin, porque se ha escrito todos sus elementos; y los conjuntos B, C, E, y G por comprensin. Adems, podemos verificar las siguientes afirmaciones:Honduras no es un elemento de H (Honduras H); el nmero 3 es elemento del conjunto A y tambin es elemento del conjunto D: (3A 3D); Rusia no es un elemento del conjunto C.

Funciones proposicionales y notacin de conjuntos.

Utilizamos la proposicin abierta p(x) para describir conjuntos por comprensin de manera estandarizada y abreviada. La notacin del conjunto toma la forma:

A = {x | p (x)} Se lee: A es el conjunto de elementos x, tal que p(x) es una proposicin verdadera

Empleando sta notacin en los conjuntos del ejercicio 32 tenemos:

Los ejemplos 2), 3), 6), y 7) quedan de la siguiente manera:

B = {x | x es obrero ecuatoriano que trabaja en Estados Unidos}; U = {Habitantes del Ecuador}. Aqu, la proposicin abierta es p(x) = x es obrero ecuatoriano que trabaja en Estados Unidos; x {Personas}:

C = {x | x es un pas latinoamericano}Donde q(x) es x es pas latinoamericano ; x {Pases }F = { x | x es una manzana producida en Chile }Donde, s(x) es x es una manzana producida en Chile; x {Manzanas}G = {x | x es premio Nobel}Donde h(x) es x es un premio Nobel; x {Personas}; En todos estos ejemplos, despus del smbolo | (tal que) escribimos la proposicin abierta p(x), la cual describe los atributos que definirn al conjunto.

CLASIFICACION DE CONJUNTOS

Por el nmero de elementos.- Se clasifican en:

CONJUNTOS FINITOS. Conjuntos cuyos elementos puedan ser contados (cardinalidad) o calculados por cualquier mtodo se dice que son finitos. Por ejemplo, los granos de arena en un recipiente, si diseamos un mtodo para contarlos, entonces el conjunto se vuelve finito. Con el tiempo, algunos conjuntos que no son finitos pueden hacerse finitos al desarrollar tecnologas para su conteo, por ejemplo el nmero de estrellas en el firmamento.

CONJUNTOS INFINITOS.Cuando desconocemos todos los elementos de un conjunto, o cuando no podemos contarlos, decimos que ese conjunto es infinito. El trmino (infinito) se aplica con rigurosidad cuando nos referimos a conjuntos de nmeros. Los nmeros reales son infinitos, tambin son infinitos los nmeros reales comprendidos entre dos nmeros como el 5 y el 6; o los nmeros reales de un intervalo.

CONJUNTO VACIO.- Considere el siguiente ejemplo. Sean los conjuntos A y B como se indican.A = {Habitantes del Ecuador que son mayores de edad}.B = {Habitantes del Ecuador que son menores de edad}.Queremos hallar un nuevo conjunto que pertenezca simultneamente a los dos conjuntos. Cuntos elementos satisfacen estas dos condiciones?

Solucin:Segn el ejemplo debemos identificar un ecuatoriano que es simultneamente menor de edad y mayor de edad, lo cual es imposible, es decir, no existe elementos que satisfagan esta doble condicin, por lo que concluimos que el conjunto buscado es vaco.

Conjunto Vaco: Denotado por es el conjunto que no tiene elementos. Podemos decir que: = {x | x A x A}

Ejercicio 33:Determine el nmero de elementos en los siguientes conjuntos.a. {x | x es un entero par y x es un entero impar}b. {vocales que son consonantes} c. {enteros primos que son divisibles entre 4}

Conjuntos de nmeros:

Algunos conjuntos de nmeros que se utilizan con frecuencia en los ejemplos son los siguientes:

D = {Dgitos} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es el conjunto de nmeros no negativos de una sola cifra

N = {Naturales} = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Nmeros Naturales, son positivos y sirven apara contar objetos.

N = {Enteros negativos} = { - 1, -2, - 3, - 4, -5,... }. Similares a los naturales pero con signo negativo

Z* = {Enteros no negativos} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } enteros positivos mas el cero que no es positivo ni negativo

Z = {Enteros} = {..., -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Dan entes completos o enteros, sean positivos, negativos o el cero.

P = {Enteros pares} = {x/ x = 2n, n Z } al reemplazar n por cualquier entero, la expresin 2n dar un nmero par. I = {Enteros impares} = {x / x = 2n + 1, n Z } 2n + 1 dar siempre un nmero impar.

TALLER 13

1. Dar en cada caso un conjunto que pueda ser usado como universo.

a){Gineclogos}b){Estudiantes de Ingeniera}c){x | x es un nmero mltiplo de 3}d){x | x es una ciudad de Ecuador con ms de un milln de habitantes}e){x | x es un auto europeo}f){x | x es un artculo de la Constitucin Ecuatoriana}g){x | x es un ex presidente del Ecuador}

2.Indique en cada ejercicio si la proposicin es verdadera o falsa.a)x A, A = {Provincias del Ecuador}; x = Santo Domingo.c) x B, B = {Ex presidente de Ecuador}; x = Garca Moreno. c) x C, C = {x | x es divisible por 5}; x = - 35.d)x E, E = {x | x es mayor que 2 y menor que 4}; x = 0.e.) x F, F = {Dgitos pares menores que seis}; x = 4. f.) x G, G = {Dgitos primos menores que 7}; x = 4. 3.Expresar los siguientes conjuntos en la forma por enumeracin.

a)B = {x | x es un nmero par positivo menor que 20}b)C= {x | x es un mes del ao}c)D = {x | x es una letra de la palabra Patricia}d)E = { x | x es un pas colindante con Ecuador }e)F = {x | x es un dgito par}f)G = {x | x es una vocal consonante)g)H = {x | x es un nmero primo entre 10 y 20}h) I = { x | x es un mltiplo de 4 menor que 50} i) J = {x | x es una letra de la palabra Manab}

4.Expresar los siguientes conjuntos en la forma por comprensin:

a)A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}b)B = {1, 2, 3, 4, ,}c)C = {b, c, d, f, g, h, i, k, l, m}d)E = {Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre}e)F = {i, u}f)G = {2, 3, 5,7}g)H = {Mxico, Canad}h)I = {u, y, w, x, y, z }i)J = {Mxico, Estados Unidos, Canad}j)K = {8, 16, 24, 32, 40}

5.Determine el conjunto solucin de los siguientes enunciados abiertos.

a)p(x) = 2x + 5 = 11; x {enteros} b)q(x) = x2 4 = 0; x {enteros}. c)p(x) = 3x 1 = 10; x {racionales}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOShttp://www.slideshare.net/fredyloz/relacion-entre-conjuntos-3715437En la Teora de conjuntos existen dos relaciones importantes, la relacin de pertenencia, la relacin de contenecia y la relacin de igualdad.

RELACION DE PERTENENCIA

Se utiliza la relacin de pertenencia cuando se relaciona un elemento con un conjunto dado y se simboliza por ; por ejemplo e A (ver ejemplos anteriores)RELACION DE CONTENENCIA.

Se utiliza la relacin de contenencia cuando se relaciona un conjunto con otro conjunto y se simboliza por ; por ejemplo A B.

Ejemplo 34.Consideremos los siguientes conjuntos y representacin grfica mediante diagramas de Venn Euler.

B C3 91 7 6 5 8 2 A 4 10 10 12A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} UC = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Segn este diagrama se puede ver que 10 es un elemento del conjunto C, entonces se dice que 10 pertenece a C, lo cual se escribe 10C. Por el contrario, 9, no pertenece a C, y se escribe 9C.

Por otro lado, observamos que todos los elementos del conjunto A se encuentran dentro de B, se dice entonces que A est contenido en B y se simboliza A B, otra forma de leer es decir que A es subconjunto de B. Por el contrario, no todos los elementos de C se encuentran en el conjunto B, entonces se dice que el conjunto C no est contenido en B y se simboliza C B.

De nuestra experiencia en la escuela y el colegio, tenemos claro que todo conjunto es subconjunto de si mismo A A; B B; C C, etc. Tambin, que el conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto A; B; C (no hay elemento en el conjunto vaco que pueda no estar en otro conjunto) Si A es subconjunto de B, pero A es diferente de B y A es diferente del conjunto vaco, se dice que A es subconjunto propio de B.La expresin D M se lee D es subconjunto de M o D es igual a M.La expresin F N se lee F es subconjunto propio de N, o tambin, N contiene a F y se escribe N F.

Ejemplo 35.Considere el conjunto B = {1, 2, {3}, {5, 6}, }Seg la definicin de pertenencia y contenencia tenemos:a.) Los elementos del conjunto B son 1, 2, {3}, {5, 6} y , lo cual escribimos como 1 B; 2B; {3}B; {5, 6}B y B. Note claramente que 4, 5 y 6 no son elementos del conjunto B, lo cual escribimos 4B; 5B y 6B.b.) Del conjunto B podemos formar los siguientes subconjuntos : {1}, {2}, {1, 2}; {{3}}; {{5, 6}}, ; B, lo cual escribimos: {1}B; {2}B; {1, 2} B; {{3}}B; {{5, 6}} B, B; B B (an podemos formar ms subconjuntos de B, en total son 32)

c.) Por la misma razn queda claro que {3} y {5, 6} no son subconjuntos de B, puesto que en a.) se seala que son elementos de B. d.) El conjunto B no es subconjunto propio de B, pues es igual a B. Tampoco es subconjunto propio, por definicin.

CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO

Se denomina partes de un conjunto A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se simboliza P(A). El nmero de elementos del conjunto de partes de A es 2 n, donde n es el nmero de elementos del conjunto A.

Ejemplo 36

Sea el conjunto M, formado por los elementos que se indican:M = {a, b}Hallar el nmero de subconjuntos de M , luego tabular el conjunto de partes de M

Solucin:Nmero de elementos de M = 2Nmero de subconjuntos de M = 2n = 22 = 4Los subconjuntos son: {a}, {b}, {a, b}, El conjunto de partes de M es: P(M) = {{a}, {b}, {a, b}, }

Actividad en clase:Dado el conjunto A = {a, b, c}. Hallar el nmero de subconjuntos de A , luego tabular el conjunto de partes de A

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Y CONECTIVOS LOGICOS.

La mejor forma de definir las operaciones bsicas entre conjuntos es hacerlo de manera lgica, y esto implica emplear los conectivos lgicos como la conjuncin, disyuncin, etc.

INTERSECCIONUNIONDIFERENCIASUBCONJUNTOCOMPLEMENTO

A B = { x | x A x B}A B = {x | xA xB}A B = { x | x A x B}A B = x, xAx BA = { x/ xU | A}

Es un nuevo conjunto formado por todos los elementos del conjunto A y del conjunto B, es decir, por aquellos que se repitenEs un nuevo conjunto formado por los elementos del conjunto A, o los de B o los de ambos conjuntos, es decir, los unos, los otros, todos.Es un nuevo conjunto formado por los elementos del conjunto A que no perteneces a B, es decir, slo los de A.Es una condicin entre dos conjuntos y se cumple o es verdadera si los elementos de A estn tambin en B.Es un nuevo conjunto formado por todos los elementos del Universo que no pertenecen al conjunto A

U

A B

A BU

A B

A BU A B

A B U

B A

A BU

A A

A

Un detalle de las operaciones entre conjuntos podr encontrar en la siguiente lectura:

INTERSECCIN DE CONJUNTOS

Usaremos la conjuncin para encontrar un nuevo conjunto a partir de dos o ms conjuntos dados.

Interseccin de conjuntos. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. entonces definiremos el conjunto A interseccin B, que denotaremos por A B como sigue: A B = { x | x A x B} ; Significa: x es elemento de A y de B

Representacin Grfica: Para graficar A B = {x/xA xB}, graficamos el conjunto universo y los conjuntos A, B; pintando la porcin comn a A y B, si es que ese es el caso, es decir, aquellos elementos que legaren a ser comunes. Se presentan varios casos:a.) Cuando A y B so igualesb.) Cuando A y B son Intersecantesc.) Cuando a y B son disjuntos o ajenos U U U

A, B A B A B A B =A o B A = A A B A B = Todos los elementos se repiten La interseccin de dos conjuntos Si los conjuntos no tienen elementos La interseccin de dos conjuntos est formada por los elementos que comunes (REPETIDOS) la interseccin es el Iguales da el mismo conjuntose repiten. Conjunto vaco.

De la definicin se sigue que x (A B) si y solo si x A x B. Es decir, un elemento est en la interseccin si y slo si est en ambos conjuntos. Recuerde que en la conjuncin: V V = V , lo dems da falso. Ejercicio 34:a.) A = {7, -7 } y B = {5, 7, 11, 13}, entonces A B = {elementos que estn en ambos conjuntos } = {7}b.). P = { x | x es un pas de los 10 de mayor rea }Q = {x | x es un pas de los 10 de mayor poblacin}P Q = {China, India, Rusia, EUA, Brasil}c.)P = {- 5, 5} y Q = {5} ; P Q = {5}.d.) A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 3, 5, 7, 9} A B =

Proposicin abierta conjuntiva.- Esta formada por dos enunciados abiertos con el mismo dominio de la variable unidos con el conectivo lgico conjuncin . As, si p(x) y q(x) son enunciados abiertos, entonces p(x) q(x) es una proposicin abierta conjuntiva.

Conjunto solucin de una proposicin abierta conjuntiva.- Del ejercicio 29 podemos darnos cuenta que el conjunto solucin de una proposicin abierta conjuntiva p(x) q(x) es la interseccin del conjunto solucin de las proposiciones p(x) y q(x). Es decir:

Si P es el conjunto solucin de la proposicin p(x) y Q el de la proposicin q(x), entonces el conjunto solucin de p(x) q(x) es P Q .

Ejercicio 35a.) Sean las proposiciones abiertas: p(x) = x es nmero par entre 1 y 9; xZ q(x) = x es nmero primo entre 1 y 9; x Z. Formar la proposicin abierta conjuntiva p(x) q(x), y hallar su conjunto solucin.

SolucinLa proposicin abierta conjuntiva es: p(x) q(x): x es un nmero par entre 1 y 9, y es un nmero primo entre 1 y 9Adems:Conjunto solucin de p(x) es P = {2, 4, 6, 8}Conjunto Solucin de q(x) es Q = {2, 3, 5, 7}Por lo tanto, el conjunto solucin de p(x) q(x) es PQ = {2} que es la interseccin entre P y Q.b.) A = {Habitantes del Ecuador que son mayores de edad}.B = {Habitantes del Ecuador que son menores de edad}.Si x A B debemos tener que x es un ecuatoriano que es simultneamente menor de edad y mayor de edad, lo cual es imposible, es decir, no existe ningn elemento x que pertenece al conjunto A B, de donde concluimos que: A B no tiene elementos. Por continuidad de las ideas y de los conceptos definimos el conjunto vaco como sigue:

Conjunto Vaco: El conjunto vaco que denotaremos por es el conjunto que no tiene elementos. Podemos decir que: = {x | x A x A}.

UNION DE CONJUNTOS

Aplicamos el conectivo lgico disyuncin inclusiva para definiremos la unin de dos conjuntos.

Unin de Conjuntos. Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unin B, que denotaremos por A B como sigue: A B = {x | xA xB}; significa x es elemento de A, o x es elemento de B, o de ambos conjuntos

La definicin anterior afirma que un objeto pertenece a la unin si y solo si est en el primer conjunto, esta en el segundo conjunto, o est en ambos. Recuerde que F F = F

REPRESENTACION GRAFICAA B = {x/xA xB}. La unin est formada por los elementos de A o de B, es decir, los de A, o los de B, o los de ambos conjuntos. Se presentan tres casos, cuando los conjuntos son: Conjuntos iguales Conjuntos Intersecantes Conjuntos ajenos o disjuntos U U UA, B=A A B A B

A A = AA B ABLa unin de dos conjuntos La unin incluye los elementos La unin es la totalidad deiguales es el mismo conjunto de los dos conjuntos elementos de los dos conjuntos

Ejercicio 36.a. Si P = {2, -2} y Q = { 5, 7, 11, 13 } Entonces, PQ = {-2, 2, 5, 7, 11, 13}.b. Si P = {-3, 5 ) y Q = {-3 2, 5 } Entonces , PQ = {-3, -2, 5 }c. Si P = { x | x es un ecuatoriano mayor de edad }; Q = { x | x es un ecuatoriano menor de edad }P Q = {x | x es un ecuatoriano}d. Sean A = {l, 5, 7 ,9}, B = {2, 4} y C = {0, 4, 5, 7, 8}; por lo tanto:AB = {l, 2, 4, 5, 7, 9}; AC ={5,7 }AC = {0, 1, 4, 5, 7, 8, 9}; BC ={4}BC = {0, 2, 4, 5, 7, 8}; (AC) (BC) = ; ABC = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9};(AB) (BC) = { 4 }AB = (AB) C = {4,5,7}e. Sean A = {a, b, c, d, x, y, z} B = {a, d, y} C = {b, d, y, z}. Por lo tanto: AB = {a, b, c, d, x, y, z}; BC = {a, b, d, y, z}BC = {d, y}; A (BC) = {d, y}(AB)C = {a, d, y, b, z}; (AB) C = {d, y}

Proposicin abierta disyuntiva

Es claro que si formamos la disyuncin de dos proposiciones abiertas, tendremos una proposicin abierta cuyo conjunto solucin es la unin de los dos conjuntos solucin de las proposiciones dadas.Es decir:

Si P es el conjunto solucin de la proposicin p(x) y Q el de la proposicin q(x), entonces PQ es el conjunto solucin de la proposicin disyuntiva p(x) q(x).

Ejercicio 37.a. Sean las proposiciones abiertas:p(x): x2 4 = 0 ; x {Enteros}q(x): x es un nmero primo mayor que 3 y menor que 15; x { Enteros }Formar la proposicin abierta disyuntiva y hallar su conjunto solucin

Solucin:La proposicin abierta disyuntiva es p(x) q(x): x2 4 = 0 x es un nmero primo mayor que 3 y menor que 15; x {Enteros}

Al resolver por separado p(x) y q(x) tendremos:Conjunto solucin de p(x): { -2, 2 } P = { -2, 2 }.Conjunto solucin de q(x): {5, 7, 11, 13} Q = {5, 7, 11, 13}.Por lo tanto, conjunto solucin de p(x) q(x): PQ = {-2, 2, 5, 7, 11, 13}.

b.Si p(x): (x + 2) (x 2) = 0; x {Enteros}. Por otro lado, q(x): (x + 3)(x + 2)(x - 5) = 0; x {Enteros}; Entonces, p(x) q(x): (x + 2) (x - 2) = 0 (x + 3) (x + 2) (x - 5) = 0Al resolver p(x) y q(x) por separado:P = { -2, 2 }, Conjunto solucin de p(x).Q = {-3, -2, 5 }, Conjunto solucin de q(x).PQ = { -2, 2, -3, 5 }, Conjunto solucin de p(x)q(x).c. p(x): x ecuatoriano mayor de edad; x{Ecuatorianos} q(x) : x ecuatoriano menor de edad; x{ Ecuatorianos }p(x) q(x): x ecuatoriano mayor de edad x ecuatoriano menor de edad.P = {Ecuatorianos mayores de edad}Q = {Ecuatorianos menores de edad}PQ = {Ecuatorianos} = U (universo).TALLER 14

1.En cada uno de los ejercicios siguientes forme la proposicin abierta conjuntiva y la proposicin abierta disyuntiva; encuentre el conjunto solucin de p(x), q(x). Encuentre tambin el conjunto solucin de la conjuncin p(x) q(x) y de la disyuncin p(x) q(x) (el dominio en cada caso es el conjunto M = {-3, - 2, - 1,0, 1, 2, 3}.a)p(x): x2 4 = (x + 2) (x 2) ; q(x): x2 es mayor que cerob)p(x): x 1 = 0 ; q(x): x2 1 = 0c)p(x): (x + 3)2 = 0; q(x):(x + 3) = 0d)p(x): x 8 es menor que cero; q(x): x + 8 es mayor que cero.e)p(x): x2 es mayor que cero; q(x):x + 8 = 2fp(x):x3 1 = 1 ; q(x):x es un nmero positivog)p(x):x2 10x + 25 = 0 ; q(x): x2 25 = 0

2. Sean A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 } C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 }Encuentre:a.)AB d.)AC g.) A(BC)b.)BCe.)AB h.) BC c.)AC f.)A(BC) 3. Sean A = {a, e, i, o, u}B = {a, b, o, p, u, v}C = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}Encuentre: a)ABe)(AB)Ci)(AB)(AC)b)A C f)A(BC) j)(BA)(BC)c)AB g)A(BC) k)(AB)(AC)d)AC h)A(BC) l)C(BC)

SUBCONJUNTO

Haremos uso del cuantificador universal (x), para dar a conocer una definicin de subconjunto.

Subconjunto: Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B, lo que escribiremos A B, si x que pertenece al conjunto A se tiene que x tambin pertenece a B. Es decir, todos los elementos de A lo son tambin de B. En smbolos: x, xAx B;