Guia de Metodos Numericos 6

METODOS NUMERICOS

LUIS FERNANDO GOMEZ

[email protected]

CONTENIDO

1. Teora del error

2. Problema del tanque de agua

3. Df

4. Asdf

5. Asdf

6. Asdf

7. Asdf

8. Asdf

9. Asdf

CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

1. Modelo Matemtico (Motivacin: problema del tanque de agua)

2. Preliminares matemticos (Teora del error, cifras significativas, exactitud, precisin,

redondeo, polinomios de Taylor)

3. Representacin del nmero en la mquina (binarios, octales, hexadecimales).

4. Races de ecuaciones no lineales (biseccin, newton-rapshon, punto fijo)

5. Solucin de sistemas lineales (sustitucin hacia atrs, factorizacin LU)

6. Solucin de sistemas no lineales

7. Solucin de sistemas lineales por mtodos iterativos

8. Aproximacin e interpolacin de datos (mnimos cuadrados, diferencias divididas,

lagrange)

9. Integracin numrica (Riemann, trapecio, Simpson, romberg)

10. Derivacin numrica

11. Ecuaciones diferenciales

TEORIA DEL ERROR

En cualquier sistema de medicin existen errores comparado con los valores tericamente

aceptados. Definimos unos conceptos bsicos de la teora del error.

Error

Diferencia entre el valor real y el aproximado,

Error absoluto

Es el valor absoluto del error, ya que a veces no nos interesa el signo del error, si no que tan

alejado est del valor real, | |

Error relativo

Es cuando se tiene en cuenta la unidad de medida, porque no es lo mismo un error de 1m en una

medida terrestre que 1m en una medida astronmica, para medidas astronmicas 1m de error

puede no significar nada pero 1m de error en la medida de un saln de clases es grande. |

|

Ejemplo:

Si = 0.3721478693 y = 0.3720230572

Entonces el error absoluto es | | = 0.0001248121

El error relativo es: |

| = |

0,0001248121

0,3721478693| =

Respuesta de Calculadora xp = 3,3538308370478691331311620652076e-4

Respuesta de Casio fx4000p= 0.0003353830837

Por lo tanto la precisin de la respuesta depende de la maquina en la que hacemos la operacin. Y

hablamos de cuantas cifras significativas podemos confiar como respuesta de esa mquina.

Cifras significativas

Son las cifras de un nmero en la que se puede confiar. Cuando una etiqueta de un producto dice

que pesa 2.0gr se est diciendo que podemos confiar en dos cifras y que si hay duda del valor se

tiene en la ltima cifra, o sea que al pesarlo en la realidad podemos tener 2.1gr o 1.9gr.

Para saber cuntas cifras significativas tiene un nmero, lo mejor es pasarlo a notacin cientfica y

los que no queden en la potencia de base 10 son las cifras significativas, por ejemplo:

Numero Notacin Cientfica Cifras significativas

43 4.3x101 2

430 4.30x102 3

0.43 4.3x10-1 2

0,430 4.30x10-1 3

0,00004310 4.310x10-5 4

Precisin: Es el error con la media de los datos experimentales.

Exactitud: Es el error de la media experimental con el nmero que verdaderamente representa.

Redondear

Es aproximar el nmero original al nmero ms cercano despus de haber sido disminuido la

cantidad de cifras significativas. Al cortarlo en un punto se pierde precisin, entonces es necesario

redondear para que el error absoluto sea el menor posible.

Las tcnicas de redondeo son las siguientes:

Si el siguiente nmero es menor que 5 el nmero queda igual

Si el siguiente nmero es mayor que 5 el nmero anterior se le suma una unidad.

Si el siguiente nmero es igual a 5 entonces se redondea al siguiente

Sino queda igual.

Nmero original Cifras significativas Nmero final

38.274 3 38.3

38.274 4 38.27

1.256 2 1.3

1.25 2 1.3

LA SERIE DE TAYLOR

Permite aproximar una funcin por un polinomio y estimar el error de truncamiento.

Sea una funcin que es + 1 veces continuamente derivable en un intervalo que contiene los

puntos 0 y . Entonces el valor de la funcin en el punto est dado por:

() = (0) + (0)( 0) +

2(0)( 0)2

2!+ +

(0)( 0)

!+

Donde el residuo:

= ( )

!+1()

0

Ejemplo:

Calcular el coseno de 61 grados con un polinomio de Taylor de grado 2.

Solucin:

Como 61 es cercano a 60 grados, lo calculamos alrededor de 60.

3/0 x

)cos()( xxf (0) = (0) = ( 3 ) = 1 2

)()(' xsenxf (0) = (0) = ( 3 ) = 3 2

)cos()('' xxf 2(0) = (0) = ( 3 ) = 1 2

)()(3 xsenxf 3() = ()

() 1

23

2(

3)

1

2

( 3)2

2!

Operando queda:

() 1

23

2(

3)

( 3)2

4

Reemplazando = 610 =61

180

(610) = (61

180)

1

23

2(61

180

3)

(61180

3)2

4

(610) 0.4848088509

Valor real aceptado: (610) = 0.4848096202

Error absoluto es: |0.4848096202 0.4848088509| = 7.7 107

O sea que podemos aceptar la respuesta con siete cifras significativas.

Donde el residuo es:

x

n dttsentx

R3/

2

)(2

)(

Donde la solucin en matlab es:

cos(x)+1/2*x0^2*cos(x0)-cos(x0)-x0*sin(x0)+x*sin(x0)-x*x0*cos(x0)+1/2*x^2*cos(x0)

Reemplazando los valores da:

Cos(61) - 0.4849081871 = 0.4848096203 - 0.4849081871= -9.85668*10-5

O sea que el cos(61) se calcula con seguridad con cinco cifras significativas.

Ejercicios en clase:

1. Encontrar el polinomio de Taylor para )ln()( xxf , hacerlo para n=3 y hallar la frmula

del residuo. Hallar el valor del logaritmo en x=1.1

2. Encontrar el polinomio de Taylor para xxf )( , hacerlo para n=3 y hallar la frmula

del residuo. Hallar el valor de la raz en x=4.1

3. Encontrar el polinomio de Taylor para xexf )( , hacerlo para n=4 y hallar la frmula del

residuo. Hallar el valor de la exponencial en x=1.1

Formula de Maclaurin

Es un caso especial del polinomio de Taylor cuando se calcula un valor cercano a cero o sea 0 = 0

() = (0) + (0) +2(0)2

2!++

(0)

!+

=

!+1(0)

0

Ejemplo:

Hallar el polinomio de Maclaurin para xexf )( , para n trminos. Calcule para n=4 y halle el

error para x=0.1 y para x=3.

Solucin:

Las derivadas son las mismas, por lo tanto 1)0( nf , as tenemos:

= 1 + +2

2!+3

3!++

!+

Para n=4 tenemos:

1 + +2

2!+3

3!+4

4!

Para x=0.1

Calculado con la expansin de maclaurin (0.1) = 1.105170833 y el valor conocido es

1.105170918. Su diferencia es 8.5*10-8. O sea que tiene 8 cifras significativas.

Para x=3

Calculado con la expansin de maclaurin (3) = 16.375 y el valor conocido es 20.085536. Su

diferencia es 3.7105. O sea que tiene cero cifras significativas.

Conclusin:

A medida que nos vamos alejando del cero el error va aumentando hasta dar valores muy

distantes del valor verdadero.


1. Calcular la serie de Maclaurin para )()( xsenxf en forma general. Calcular el sen(100)

con n=4. Hallar el error.

2. Calcular la serie de Maclaurin para )cos()( xxf en forma general. Calcular el cos(150)


3. Calcular la serie de Maclaurin para xexf 2)( en forma general. Calcular el (1) con n=5.

Hallar el error.

4. Calcular la serie de Maclaurin para xxf 4)( en forma general. Calcular el (0.4)


Ejemplo:

Hallar la cantidad de trminos que debo calcular para que la funcin cos() tenga un error menor

de 10-10 cuando se calcula en = 0.7.

Solucin:

Se tiene la funcin () = cos(), cuya expansin polinomial alrededor del cero es:

cos() = 1 2

2!+4

4!6

6!+

La siguiente tabla muestra los clculos del residuo a medida que vamos avanzando en el clculo de

cada trmino, y cuando el residuo sobrepase al valor de 10-10 nos detenemos.

cos(0.7)

0,7 0,764842187

orden de la

serie

Valor de la

iteracin Valor Suma Error

0 1 1 0,235157813

1 -0,245 0,755 0,009842187

2 0,010004167 0,765004167 0,000161979

3 -0,000163401 0,764840765 1,42201E-06

4 1,42976E-06 0,764842195 7,75544E-09

5 -7,78426E-09 0,764842187 2,88185E-11

6 2,88961E-11 0,764842187 7,76046E-14

Conclusin: para hallar la solucin del coseno en = 0.7 con un error menor de 10-10 es necesario

iterar 5 veces o tambin se puede decir que es necesario calcular mnimo 5 trminos.


Calcular el valor de n o las iteraciones para las siguientes funciones para tener un error menor de

10-10 alrededor del punto indicado.

Funcin

1. () =1

2 0 0.5

2. () = 0 0.5 3. () = () 0 0.5

4. () = 2 0 0.5

5. () = (()) 3 620

6. () = () 6 320

Tabla de funciones trigonomtricas

Angulo Sen Cos Tan Cot Sec Csc

30 1 2 3/2 3/3 3 23/3 2

45 2/2 2/2 1 1 2 2 60 3/2 1 2 3 3/3 2 23/3

12

SISTEMAS DE NUMERACION

Todo nmero se puede descomponer en

suma de potencias de su misma base, por

ejemplo:

439210=

4000 4*103

300 3*102

90 9*101

2 2*100

Expresado en sumatoria:

4*103 + 3*102 + 9*101 + 2*100

O sea todo nmero entero se puede expresar

como una sumatoria de exponentes positivas

de la base.

Lo mismo para cualquier nmero

fraccionario, pero ya la descomposicin se

logra con exponentes negativos, por

ejemplo:

0.57810=

5/10 5*10-1

7/100 7*10-2

8/1000 8*10-3

Expresado en sumatoria:

5*10-1 + 7*10-2 + 9*10-3

En general si tenemos un nmero con parte entera y parte fraccionaria, se puede escribir con dos

sumatorias, una para la parte positiva y la otra para la parte negativa de la siguiente forma:

() = (0. 1) =

=0

+

=1

Donde:

0 <

0 <

Ejercicios:

1. Pasar a sumatorias segn sea la base (No calcular el resultado de la sumatoria)

a. 10011.01012

b. 1407.6028

c. A983C.0F0B16

d. 101010.10110

2. Escribir el numero original dada la sumatoria

a. 4*84 + 3*81 + 0*80 + 5*8-2 + 1*8-5

b. 2*166 + A*163 + B*160 + 8*16-1 + F*16-3

13

Conversiones

Conversin de un nmero natural de base 10 a cualquier base

Existen dos procedimientos conocidos, el primero consiste en dividir recursivamente el cociente

por la base hasta que el cociente sea cero.

Ejemplo:

Convertir 34 de base 10 a base 2

34 2

0 17 2

1 8 2

0 4 2

0 2 2

0 1 2

1 0 Solucin: se lee de abajo hacia arriba

3410 = 1000102


123 8

3 15 8

7 1 8

1 0 Solucin:

12310=1738


3406 16

14 212 16

4 13 16

13 0 Solucin:

340610=D4E16

Conversin de un nmero fraccionario puro de base 10 a cualquier base

El mtodo para convertir un fraccionario que no tiene parte entera que est en base 10 es el

siguiente: se multiplica el nmero por la base y lo que quede en la parte entera hace parte del

nmero convertido y cada vez que la parte entera de un nmero mayor que cero se le resta ese

nmero, asegurndose que para la prxima multiplicacin siempre est en cero. El proceso se

termina cuando

a. El valor por el cual vamos a multiplicar la base dio cero.

b. El valor por el cual vamos a multiplicar la base ya ha ocurrido en una iteracin anterior o

sea hemos hallado la periodicidad del nmero convertido.

c. Se ha completado la cantidad de iteraciones pedidas. Este proceso se aplica cuando la

cantidad de dgitos en la periodicidad es muy alto y es necesario pararlo en algn punto,

que normalmente es por la limitante de la cantidad de dgitos que la maquina soporta.

14

Ejemplos:

Convertir a base dos el nmero 0.812510

0.8125*2 1.625

0.625*2 1.25

0.25*2 0.5

0.5*2 1.0

Solucin: se lee de arriba hacia abajo,

agregando el indicador de decimal, o sea

0.resto.

0.812510=0.11012

Convertir a base dos el nmero 0.110

0.1*2 0.2

0.2*2 0.4

0.4*2 0.8

0.8*2 1.6

0.6*2 1.2

0.2*2 0.4

Solucin: como 0.4 ya se encuentra

posiciones arriba entonces hemos

encontrado la periodicidad que tiene como

valor repetitivo de 4 dgitos.

0.110 = 0.000112

Convertir a base dos el nmero 0.3710 con 12

dgitos decimales.

0.37*2 0.74 0.68*2 1.36

0.74*2 1.48 0.36*2 0.72

0.48*2 0.96 0.72*2 1.44

0.96*2 1.92 0.44*2 0.88

0.92*2 1.84 0.88*2 1.76

0.84*2 1.68 0.76*2 1.52

Solucin: vemos que han pasado 12 dgitos y

la periodicidad no se encuentra. En estos

casos es necesario que desde el principio se

establezca con cuantos dgitos trabajar en la

parte decimal. Y en la conclusin de la

solucin se escribe aproximadamente igual.

0.3710 0.0101111010112

Convertir a base ocho el nmero 0.110

0.1*8 0.8

0.8*8 6.4

0.4*8 3.2

0.2*8 1.6

0.6*8 4.8

0.8*8 6.4

Solucin: como 6.4 ya se encuentra

posiciones arriba entonces hemos

encontrado la periodicidad que tiene como

valor repetitivo de 4 dgitos.

0.110 = 0.063148

15

Conversin de un nmero completo de base 10 a cualquier base

El mtodo consiste en separar la parte entera de la parte fraccionaria, realizar la conversin por

separado y luego pegar las dos soluciones.

Ejemplo:

Convertir el nmero 34.1 de base 10 a base 2

Solucin:

Sabemos de los ejemplos anteriores que 3410 = 1000102 y 0.110 = 0.000112, por lo tanto la

respuesta es:

34.110 = 100010.000112

Conversin de cualquier base a base 10

El mtodo consiste en expresarlo como sumatoria de potencias de las misma base y calcular el

resultado. Este resultado es la conversin a base 10.

Ejemplos:

Convertir los siguientes nmeros a base 10

10011.01012 = 1*24 + 1*21 + 1*20 + 1*2-2 +1*2-4 = 19.312510

1407.6028 = 1*83 +4*82 + 7*80 + 6*8-1 +2*8-3 = 775.753906310

A983C.0F0B16 = A*164 + 9*163 + 8*162 + 3*161 + C*160 + F*16-2 + B*16-4 =

694332.0587615966796875

16

Conversin de base 8 o base 16 a base dos y viceversa

El mtodo consiste en accesar una tabla de conversin de base 8 a base 2 manteniendo siempre

tres dgitos binarios, lo mismo se hace para base 16 pero en este caso se convierten manteniendo

4 dgitos binarios. Para el caso de convertir binario a base 8 o 16, se comienza desde el punto

decimal hacia afuera en ambos sentidos formando los grupos respectivos, los que falten para el

formar el grupo se llenan con ceros.

BASE 8 BASE 16

0 000 0 0000 8 1000

1 001 1 0001 9 1001

2 010 2 0010 A = 10 1010

3 011 3 0011 B = 11 1011

4 100 4 0100 C = 12 1100

5 101 5 0101 D = 13 1101

6 110 6 0110 E = 14 1110

7 111 7 0111 F = 15 1111

Ejemplos:

Convertir el nmero 3470.238 a base binaria.

3470.238 = 011 100 111 000 . 010 011 = 011100111000.0100112

3 4 7 0 . 2 3

Convertir el nmero C05.F16 a base binaria.

C05.F16 = 1100 0000 0101 . 1111 = 110000000101.11112

C 0 5 . F

17

OPERACIONES

Suma entre binarios

Se basa en las nicas 4 operaciones que se pueden hacer entre dos dgitos binarios, consignadas

en la siguiente tabla:

Trae D1 D2 Suma Lleva

0 0 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Ejemplos:

Sumar los siguientes nmeros binarios: 1001101.1112 y 11010.012

Solucin:

Se organiza por el punto decimal y se opera segn la tabla.

Lleva 1 1 1 1 1 1 1 N1 1 0 0 1 1 0 1 . 1 1 1 N2 0 0 1 1 0 1 0 . 0 1 0 Resp 1 1 0 1 0 0 0 . 0 0 1

18

REPRESENTACION DEL NUMERO EN LA MAQUINA

Manejo de fraccionarios en binarios

Suponga que una maquina solamente acepta 12 bits en la parte fraccionaria y queremos saber

cul es la mejor aproximacin en esa mquina del nmero 0.37.

Sabemos por el ejemplo antes tratado que 0.3710 0.0101111010112 con doce cifras en la

parte fraccionaria, decimos que este nmero es la representacin por debajo, pero tambin hay

que calcular la representacin por encima. Esto se hace sumando un bit a la cifra menos

significativa.

La siguiente tabla muestra un resumen de sus dos representaciones con el error absoluto de cada

representacin:

Numero Binario Numero Decimal Error Absoluto

Representacin por debajo

0.010111101011 0.3698730469 1.27*10-4

Representacin por encima

0.010111101011 0.000000000001

0.010111101100

0.3701171875 1.17*10-4

Conclusin:

El nmero que tiene una mejor representacin est dado por encima, ya que tiene un menor

error. O sea, 0.37 en esa mquina tiene como mejor valor 0.3701171875.

Ejercicio en clase

Analizar los nmeros fraccionarios puros 0.1 y 0.52 para una mquina que acepta 16 bits en la

parte fraccionaria.

Tarea para la casa

Realizar un programa que calcule la periodicidad de un nmero fraccionario puro al convertirlo de

base 10 a base 2. El programa debe pedir el nmero e imprimir la conversin y su periodicidad.

Ejemplo:

Si Numero = 0.8 la salida es: El correspondiente binario es: 0.1100 con periodicidad 4 (1100).

Si Numero = 0.5 la salida es: El correspondiente binario es: 0.1 con periodicidad 1 (0).

19

Representacin cientfica normalizada de cualquier base

Este tipo de representacin tiene la forma:

() =

Donde es el signo del nmero.

La variable cumple con (0.1) < 1

El valor de es un entero que vara segn se haga cumplir .

Ejemplos:

(-417.32)10= -(0.41732)10*103

(110.110001)2 = (0.110110001)2*23

(0.000000B)16 = (0.B)16*16-6

Representacin punto flotante en la maquina

Manejando el estndar IEEE 754 para el punto flotante base 2, tenemos que en general el punto

flotante se puede escribir como:

() = (1 + )

Donde es el signo del nmero.

La variable se le conoce como mantisa, cumple con 0 < 1 y tiene t dgitos binarios de

precisin.

El valor de es un entero que vara segn la precisin o tambin llamada longitud de la mantisa. Y este valor cumple con

Segn la longitud de la precisin hay precisin sencilla y precisin doble, especificadas de la

siguiente forma:

Precisin sencilla: 32 bits, un bit para el signo, 8 para el exponente, t=23 y N=126 y M=127

Precisin doble: 64 bits, un bit para el signo, 11 para el exponente, t=52 y N=1022 y M=1023

20

Grficamente lo podemos ver as:

Precisin sencilla

Signo(1) Exponente(8) Mantisa(23)

Precisin doble


Ejemplo:

Convertir el nmero 10 en representacin flotante con precisin sencilla

Paso 1 Se convierte en binarios

1010 = 10102

Paso 2 Se corre el punto decimal al bit ms significativo

10102 = 1.010*23

Paso 3 Se identifica f y e

= 010 y = 3

Paso 4 Se usa la formula = + 127 para hallar el binario que va en el exponente

Nota: si es doble se utiliza la formula = + 1023

c= 3 + 127 = 130

Paso 5 Se convierte el valor de c a binarios

c = 13010 = 100000102

Paso 6 Se llena en el formato 1(signo), 8(exponente) y 23(mantisa)

Precisin sencilla


0 10000010 01000000000..

Conclusin:

El nmero 10 en formato flotante con precisin sencilla es:

01000001001000000000000000000000

21

Nota:

El nmero 127 sale de: 28-1-1 = 127, donde todos los bits son 1.

El numero 1023 sale de 211-1-1 = 1023, donde todos los bits son 1.

Ejemplo:

Convertir desde la representacin flotante con precisin sencilla al nmero.

Suponga que tenga la siguiente representacin punto flotante en precisin sencilla

01000001001000000000000000000000

Paso1 Se separa segn el formato 1, 8, 23.

0 - 10000010 - 01000000000000000000000

Paso2 Se utiliza la siguiente formula:

10 = (1)2127(1 + )

Se reemplaza los valores de s=0, c=130 y f=0. 01000000000000000000000 en la frmula anterior.

Entonces se tiene:

10 = (1)02130127(1 + 0. 01000000000000000000000)2

Reduciendo:

10 = 23(1. 010)2 = 10102 = 1010

Nota: para convertir desde un formato doble se utiliza la frmula:

10 = (1)21023(1 + )

22

TALLER DE SISTEMAS DE NUMERACION Y REPRESENTACION DEL NUMERO EN LA MAQUINA

1. Conversiones a. Convertir de decimal a binario, octal y hexadecimal el nmero 86310. b. Convertir a base 10 los siguientes nmeros, 1011001112, 705238, A09B316, 111.0112,

4262.028, F80.0B16. c. Convertir a binarios los siguientes nmeros completos, 16.1610, 32.168, 64.1616. d. Convertir los siguientes binarios a octal y a hexadecimal, 110110011.100011112,

1010101110.0110012. 2. Operaciones

a. Sumar los siguientes binarios: 10110101+1100110+111001 b. Sumar los siguientes binarios: 110.101011+1110100.01+100110.1101 c. Operar con complemento a dos: 10110101-1001101, 1001001-11001100,

-1010101010-1010101. 3. Representaciones

a. Dada las siguientes representaciones de punto flotante sencillo hallar el nmero decimal

000111101001000010000000000000.

100101100100000111000000001000

0110000110000111100000000000100

b. Dado un numero decimal hallar su representacin flotante 10.01 200.52 4/25 3/11

4. Aproximaciones Hallar el error absoluto para las aproximaciones de los siguientes nmeros trabajando

mximo con 8 bits en la parte fraccionaria: 2, 3, 103

5. Programacin Hacer un programa donde se sume 1000 veces el nmero 0.1 en flotantes, lo cual debe

dar 100, como da un error consignar este error en una hoja de clculo. Hacer este

procedimiento 10 veces aumentando de 1000 en 1000. Hacer una grfica bien elaborada y

concluir como va creciendo el error (si es lineal, cuadrtico, raz, exponencial, logartmico).

Qu consecuencias puede tener esto a nivel comercial?

23

PROBLEMA DEL TANQUE DE AGUA

Se tiene un tanque con una entrada y una salida de agua. Este tanque tiene la propiedad de ir

cerrando la vlvula de entrada a medida que se va llenando, hasta cuando llega a un nivel mximo

permitido que es cuando la cantidad de agua que le entra debe ser cero.

Por conservacin de materia tenemos que la variacin del nivel del agua depende de la cantidad

de agua que le llega y de la cantidad de agua que le sale.

Esto se escribe:

()

= Q() Q()

Condiciones del problema:

a. El nivel del tanque en el tiempo 0 es 0.

b. La salida del agua es constante.

Como la cantidad de agua que le entra depende de lo que le falta por llenarse, ya que si le falta

poco por llenarse le debe entrar poca agua y si le falta bastante por llenarse entonces le entrar

bastante agua, por lo tanto la cantidad de agua de entrada es proporcional a la diferencia entre el

nivel mximo del tanque y del nivel actual.

Esto se escribe:

Q() = 1( ())

Y como la salida de agua es constante, entonces la escribimos igual a una constante:

Q() = 2

24

Supongamos que el nivel del tanque empieza en la mitad, o sea 0 =

2 y solucionando la

siguiente ecuacin diferencial:

()

= 1( ()) 2

Tenemos la siguiente repuesta:

() = 21

(1 22)

211

Para valores particulares:

Caso 1: El tanque se vaca Caso 2: El tanque llega a un lmite inferior (20)

Caso 3: El tanque llega a un cota mxima (47)

K1=3 Nmax=50 K2=150

K1=3 Nmax=50 K2=90

K1=3 Nmax=50 K2=9

() = 253 () = 20 + 53 () = 47 223

25

SOLUCION DESDE EL PUNTO DE VISTA NUMERICO

Partimos de la ecuacin diferencial:

()

= 1( ()) 2

Ahora se mira no como diferencial sino como diferencias apreciables (deltas),

()

= 1( ()) 2

Despejando el delta de ():

() = [1( ()) 2]

Tomando el tiempo final y tiempo inicial

() () = [1( ()) 2]

Despejando () y volviendo la expresin anterior una relacin de recurrencia, tenemos:

(+1) = () + [1( ()) 2]

Aplicndolo para el Caso 1 donde el tanque se vaca. Recordando los valores:

1 = 3 = 50 2 = 150 (0) = 25

Para = 0.1, = 0.2, y = 0.3, genera las siguientes graficas.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N(t

)

Vaciado del Tanque de Agua

Delta 0.1

Delta 0.2

Delta 0.3

26

Se ve claramente que a medida que el delta

se va disminuyendo, la solucin numrica

tiende a la solucin analtica.

Iter Delta 0.1 Delta 0.2 Delta 0.3

0 25 25 25

1 17,5 10 2,5

2 12,25 4 0,25

3 8,575 1,6 0,025

4 6,0025 0,64 0,0025

5 4,20175 0,256 0,00025

6 2,941225 0,1024 2,5E-05

7 2,058858 0,04096 2,5E-06

8 1,4412 0,016384 2,5E-07

9 1,00884 0,006554 2,5E-08

10 0,706188 0,002621 2,5E-09

11 0,494332 0,001049 2,5E-10

12 0,346032 0,000419 2,5E-11

Comparemos el valor numrico con el valor

real hallando el error del clculo en cada

paso.

Iter t Delta 0.1 valorReal Error

0 0 25 25 0

1 0,1 17,5 18,52046 1,020456

2 0,2 12,25 13,72029 1,470291

3 0,3 8,575 10,16424 1,589241

4 0,4 6,0025 7,529855 1,527355

5 0,5 4,20175 5,578254 1,376504

6 0,6 2,941225 4,132472 1,191247

7 0,7 2,058858 3,061411 1,002553

8 0,8 1,4412 2,267949 0,826749

9 0,9 1,00884 1,680138 0,671298

10 1 0,706188 1,244677 0,538489

11 1,1 0,494332 0,922079 0,427747

12 1,2 0,346032 0,683093 0,337061

ErrorProm 0,921461

Tarea: investigar y darle solucin analtica y numrica para un cuerpo en cada no libre ya que se

debe tener en cuenta la resistencia del aire.

27

INTERPOLACION Y APROXIMACION POLINOMIAL

La aproximacin es hallar una funcin que se acerque tanto como se quiera a unos puntos dados.

La interpolacin es poder calcular un punto que no se conoce en el intervalo inicial.

En el caso del crecimiento poblacin de EU tenemos reportes cada 10 aos, pero evidentemente

estos reportes no se deben hacer cada ao, entonces habrn muchos valores en que los valores

los debemos calcular con cierta aproximacin, en este caso el polinomio es una buena opcin.

Ejemplo:

Crecimiento poblacional de estados unidos

Ao 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Poblacin (Millones)

132 151 179 203 226 249

28

Una de las expresiones ms eficientes para aproximar son los polinomios y que

computacionalmente son fciles de programar, ya que sus evaluaciones son operaciones bsicas

(+, -, *,/) y su derivada y su integral son sencillas de hallar.

Ejemplo: Hacer un programa que calcule () = 42 + 3 + 1.

double f(double x)

{ return 4*Math.pow(x, 2) + 3*x + 1;

}

Pero sta no es la forma eficiente de calcular polinomios.

Evaluacin Eficiente de Polinomios

Cuando se calcula 3 se debe calcular primero 2, y cuando se va ha calcular 4 se debe calcular

3 que evidentemente ya se haba calculado, entonces se est calculando innecesariamente

muchos productos, por lo tanto el mtodo tradicional de elevar a una potencia un valor se vuelve

ineficiente.

Lo eficiente es cuando no calculamos ninguna potencia de x mayor que 1. Para esto hay que

factorizar iterativamente a bajando todas las potencias a 1. Esto es:

Ejemplo:

2() = 3 + 4 + 62

Se puede escribir como:2() = 3 + (4 + 6)

Eliminando las potencias mayor a uno.

En operaciones tenemos dos sumas y dos productos, para un total de 4 operaciones.

29

Ejemplo: El polinomio 3() = 3 + 4 + 62 23

Se puede escribir como:3() = 3 + (4 + (6 2))

Eliminando las potencias mayor a uno.

En operaciones tenemos tres sumas y tres productos, para un total de 6 operaciones.

En forma general si tenemos un polinomio escrito de la forma () = 0 + 1 + 22 ++

se puede factorizar, obteniendo n sumas y n productos, teniendo en total 2 operaciones.

Pero si lo calculamos de la manera tradicional tenemos sumas y (+1)

2 productos para un total

de 2+3

2 operaciones. Resumiendo en la siguiente tabla:

Operaciones Forma Tradicional Forma Eficiente

Sumas Productos

( + 1)

2

Total 2 + 3

2

2

En una tabulacin de datos tenemos:

n 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Forma Eficiente

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Forma Tradicional

20 65 135 230 350 495 665 860 1080 1325

Donde su grafica para un dominio 0 50, es:

30

Algoritmo para evaluar eficientemente un polinomio

Entrada: , ,

Proceso:

= 1, 2, , 0 +

Salida:

Ejemplo: Evaluar eficientemente al polinomio 3() = 1 + 3 42 + 73 en = 2.

Solucin:

Se identifica que la entrada es = 3, = 2 y se sacan los coeficientes en una tabla, as:

0 1 2 3 -1 3 -4 7

Y la prueba de escritorio, para el movimiento de las variables e se consigna en una tabla, as:

7 -4+7*2=10 3+10*2=23 -1+23*2=45 2 1 0

Dando como resultado de la evaluacin del polinomio en = 2, 3(2) = 45.

Ejercicios: Evaluar eficientemente siguiendo el algoritmo.

a. 3() = 1 + 3 42 + 73 en = 2.

b. 4() = 10 3 42 + 73 + 4 en = .

c. 3() = 1

2+

3

4

42

5+ 3 en = 2.

d. 4() = 2 3

2

2

3+

3

24 en = 3.

31

Divisores de un polinomio

Forma normal

Dividir el polinomio () = 42 + 1 por + 1

42 + 1 + 1 42 4 4 3 3 1 3 + 3 2

Por lo tanto el polinomio se puede escribir de la siguiente forma:

42 + 1 = ( + 1)(4 3) + 2

Divisin sinttica

Dividir el polinomio () = 53 32 + 1 por 2

Se colocan los coeficientes del polinomio y como divisor el nmero con signo contrario.

5 -3 1 -1 2

10 14 30

5 7 15 29

Por lo tanto el polinomio se puede escribir de la siguiente forma:

53 32 + 1 = ( 2)(52 + 7 + 15) + 29

O sea que el polinomio 1() = 53 32 + 1 y el 2() = ( 2)(5

2 + 7 + 15) + 29

son los mismos polinomios solo que 2() es ms fcil de evaluar en = 2 ya que el termino

izquierdo da cero y su resultado se puede saber rpidamente que es 29.

Si el residuo es cero entonces = 2 se convierte en una raz del polinomio. Y as podemos seguir

bajndole grado al polinomio siguiente si tiene otras races. En general, tenemos:

Si 1 es raz de (), entonces () se puede escribir como:

() = ( 1)1()

Si 2 es raz de 1(), entonces 1() se puede escribir como:

1() = ( 2)2()

Y as sucesivamente, entonces podemos escribir () como:

() = ( 1)( 2)( )

32

Teorema de aproximacin de Weiestrass

Aceptamos que la funcin est definida y es continua en [, ] entonces para cada > 0 existe

un polinomio definido en [, ], con la propiedad de que:

|() ()| < [, ]

Esto quiere decir que cualquier funcin en un intervalo se puede aproximar por un polinomio

tanto como se quiera. Aqu presentaremos una forma de encontrar ese polinomio, a travs de la

interpolacin de Lagrange.

Interpolacin de Lagrange

Consiste en identificar determinados puntos en el plano por donde debe pasar el polinomio.

Inicialmente proponemos una expresin polinmica de grado 1, esto es:

() = ( 10 1

) 0 + ( 01 0

) 1

Es claro que este polinomio pasa por (0, 0) y por (1 , 1) ya que (0) = 0 y (1) = 1.

Ejemplo: Hallar el polinomio de Lagrange

dado los siguientes puntos:

1 2 3 7

Solucin:

Remplazando en la formula, tenemos:

() = ( 2

1 2)3 + (

1

2 1)7

() = 4 1

Ejercicio: Hallar el polinomio de Lagrange

dado los siguientes puntos:

-2 3 4 -1

33

Generalizacin del polinomio de Lagrange

Definimos: 0() = (1

01) y 1() = (

0

10) y rescribiendo () queda:

() = 0()0 + 1()1

Cumpliendo que:

0(0) = 1 1(1) = 1 0(1) = 0 1(0) = 0

En general el polinomio de Lagrange se puede escribir as:

() = 0()0 + 1()1 ++ ()

Cumpliendo que: () = 1 y () = 0 con .

Y el k-esimo coeficiente de Lagrange se calcula como:

() =( 0)( 1)( 2) ( 1)( +1)

( 0)( 1)( 2) ( 1)( +1)

O sea en el numerador no aparece la combinacin ( ) y en el denominador se hacen todas

las combinaciones con .

Ejemplo:

Hallar el polinomio de lagrange dados los siguientes datos y evaluar (4).

5 -7 -6 0 1 -23 -54 -954

Solucin:

Hallar los coeficientes 0(), 1(), 2(), 3().

0() =( (7))( (6))( 0)

(5 (7))(5 (6))(5 0)=( + 7)( + 6)

660

1() =( 5)( (6))( 0)

(7 5)(7 (6))(7 0)=( 5)( + 6)

84

34

2() =( 5)( (7))( 0)

(6 5)(6 (7))(6 0)=( 5)( + 7)

66

3() =( 5)( (7))( (6))

(0 5))(0 (7))(0 (6))=( 5)( + 7)( + 6)

210

Por lo tanto el polinomio de lagrange es:

() = 0()0 + 1()1 ++ ()

() =( + 7)( + 6)

660 1 +

( 5)( + 6)

84 (23) +

( 5)( + 7)

66 (54)

+( 5)( + 7)( + 6)

210 (954)

Organizando y reduciendo:

() =1

660( + 7)( + 6) +

23

84( 5)( + 6)

9

11 ( 5)( + 7) +

159

35 ( 5)( + 7)( + 6)

Evaluemos en = 4.

(4) =1

660(4 + 7)(4 + 6)4 +

23

84(4 5)(4 + 6)4

9

11 (4 5)(4 + 7)4 +

159

35 (4 5)(4 + 7)(4 + 6)

(4) =440

660+23

84(40)

9

11(44) +

159

35 (110)

(4) =2

3230

21+ 36

3498

7

Por lo tanto el valor de = 4 evaluado a travs del polinomio de lagrange es (4) = 474

La siguiente grafica es el polinomio de lagrange hecho en el software Curvas

35

Ejemplo:

Calcular el error absoluto que se obtiene de evaluar el polinomio de lagrange en = 1, y = 4,

para cuando los datos = 2, = 3, y = 6, tienen su origen en la funcin () = 3.

Solucin:

Construimos la tabla, aplicando la funcin cbica.

2 3 6 8 27 216

Hallar los coeficientes 0(), 1(), 2().

0() =( 3)( 6)

(2 3)(2 6)=( 3)( 6)

4

1() =( 2)( 6)

(3 2)(3 6)=( 2)( 6)

3

3() =( 2)( 3)

(6 2)(6 3)=( 2)( 3)

12

Por lo tanto el polinomio de lagrange es:

() = 0()0 + 1()1 ++ ()

() =( 3)( 6)

4 8 +

( 2)( 6)

3 27 +

( 2)( 3)

12 216

Organizando y reduciendo:

() = 2( 3)( 6) 9( 2)( 6) + 18( 2)( 3)

Evaluemos en = 1 con el polinomio de lagrange.

(1) = 2(1 3)(1 6) 9(1 2)(1 6) + 18(1 2)(1 3) = 20 45 + 36 = 11

Evaluemos en = 4 con el polinomio de lagrange.

(4) = 2(4 3)(4 6) 9(4 2)(4 6) + 18(4 2)(4 3) = 4 + 36 + 36 = 68

El clculo de los errores se consigna en la siguiente tabla:

Valor Real Valor Lagrange Error Absoluto Error Relativo 1 1 11 |1 11| = 10 1000% 4 64 68 |64 68| = 4 6.25%

La siguiente grafica muestra el comportamiento de las dos curvas y los puntos donde se cruzan.

36

Conclusin:

Vemos que los valores que estn por fuera del intervalo [2, 6] que corresponden al menor y al

mayor valor de los datos inicialmente dados, dan errores muy altos, mientras que los que estn

dentro del intervalo dan errores pequeos.

37

TALLER DE POLINOMIOS DE LAGRANGE

1. Evaluacin eficiente de polinomios

a. 4() = 1 + 3 42 + 73 + 4 en = 2

b. 4() = 3

2+

3

4

32

5+ 3 +

44

5 en = 2

2. Graficar (mnimo diez puntos en el intervalo)

a. () = 3 2, 3 3

b. () = 2 + 3 2, 3 3

c. () = 32/5, 4 4

d. () =()cos()

, 0 10

3. Polinomios con dos puntos (usar la formula () = (1

01) 0 + (

0

10) 1)

a. Comprobar el resultado con = 8 y = 2 y evaluar en = 4

8 2 -3 7

b. Comprobar el resultado = 4 y = 0 y evaluar en = 2

-4 0 -3 2

4. Hallar el polinomio de lagrange para los puntos 0 = 0, 1 = 0.6, 2 = 0.9, 3 =

1.2 y 4 = 1.5 sabiendo que los puntos tienen su origen en las siguientes

funciones, adems evaluar (0.45) y (1.7). Hallar el error absoluto y el error

relativo. Concluir.

a. () = +

b. () = (2 + 1)

5. Hallar el polinomio de lagrange para los puntos 0 = 4, 1 = 3, 2 = 0, 3 = 2

y 4 = 3 sabiendo que los puntos tienen su origen en las siguientes funciones,

adems evaluar (1) y (3.2). Hallar el error absoluto y el error relativo.

Concluir.

a. () = () +

b. () = ( + 10)() + ( + 10)cos()

SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE

38

Existen ecuaciones sencillas, como las lineales o cuadrticas que se solucionan por los mtodos

convencionales, pero existen ecuaciones complicadas de solucionar donde es difcil o imposible

despejar para conocer su raz, como por ejemplo:

tan() = 0

10() = 5

15 = 10 +2

( 1)

En estos casos hay mtodos numricos que facilitan el encontrar una raz o varias en un intervalo

dado.

METODO DE BISECCIN

Se calcula el punto medio del intervalo y se compara la imagen de este punto medio con respecto

a las imgenes de a y de b, y el nuevo intervalo a tener en cuenta es donde halla cambio de signo

ya que el cambio de signo me indica que existe una raz. Y se vuelve a realizar la misma operacin

para este nuevo intervalo.

La eficacia de este mtodo depende de la eficacia del intervalo inicial escogido, ya que si los dos

valores tienen el signo, as hallan races, el mtodo no se ejecuta.

El punto medio se calcula como: =+

2

Condiciones de Parada:

Cuando llega al objetivo o sea cuando () = 0 Despus de iteraciones Cuando () < Cuando el error absoluto de las imgenes de dos iteraciones consecutivas sea menor que

un valor |() (1)| < Cuando el error relativo de las imgenes de dos iteraciones consecutivas sea menor que

un valor |()(1)

()| <

Condicin de cambio de signo:

Cuando 0)()( yfxf

Condicin de arranque:

El signo de () debe ser contrario al de () La longitud del intervalo deber ser pequeo.

39

Ejemplo:

Hallar la raz de 8)( 3 xxf , tomando como intervalo inicial [-4,6] con n=10 iteraciones.

Iter () () () Signo

0 -4 6 1 -72 208 -7 +

1 1 6 3,5 -7 208 34,875 -

2 1 3,5 2,25 -7 34,875 3,390625 -

3 1 2,25 1,625 -7 3,390625 -3,70898438 +

4 1,625 2,25 1,9375 -3,70898438 3,390625 -0,72680664 +

5 1,9375 2,25 2,09375 -0,72680664 3,390625 1,17855835 -

6 1,9375 2,09375 2,015625 -0,72680664 1,17855835 0,18896866 -

7 1,9375 2,015625 1,9765625 -0,72680664 0,18896866 -0,27796698 +

8 1,9765625 2,015625 1,99609375 -0,27796698 0,18896866 -0,04678351 +

9 1,99609375 2,015625 2,00585938 -0,04678351 0,18896866 0,07051869 -

10 1,99609375 2,00585938 2,00097656 -0,04678351 0,07051869 0,01172447 -

Si el intervalo fuese sido [1,3] solo hara una iteracin.

Inconvenientes:

El mtodo es lento

Convergencia errnea en algunos casos

No sabemos en cual raz cae

Explicacin:

Mtodo Lento

Segn este Teorema el orden de convergencia es pequeo:

n

abppn

2

Entonces la convergencia es

n

O2

1

40

Si necesitamos un error menor a 10-6 empezando en intervalo [-4,6] entonces:

6102

10 n

, 7102 n , 2log/7n , 23n

Convergencia errnea en algunos casos

Si la funcin se acerca muy lentamente a la raz el valor de la imagen es pequeo, pero podemos

estar lejos de la solucin y parar el proceso antes de tiempo, dando soluciones no aproximadas o

lejanas del valor de la raz real.

Si estamos cerca de un punto de divergencia que podra ser una asntota los valores de la imagen

son muy grandes, pero puedo estar muy cerca de la solucin, esto hace que el mtodo ejecute

muchas operaciones, dando lugar a esperar demasiado, salidas inesperadas del programa.

Ejercicios

1. Hallar todas las races de () = 3 + 42 10 10, escoja los intervalos iniciales

adecuados para cada raz (use Curvas). El error debe ser menor de 10-3, Haga una tabla por cada

caso. Presentar el grfico hecho en Curvas.

2. Haga un programa donde se implemente el mtodo de biseccin. selo para hallar las races de:

a. )tan(1 xx sobre [0, 2/ ]

b. 6)cos(*22 xe xx [1,3]

con una precisin de 10-6. Imprimir las salidas (tabla).

41

METODO DE ITERACIN POR PUNTO FIJO

Un punto fijo de una funcin g es un nmero real p para el cual () = .

Ejemplos:

La funcin () = 2, tiene dos puntos fijos, en = 0 y en = 1.

La funcin() = 2 2, tiene dos puntos fijos, en = 1 y en = 2.

Explicacin de cmo se utiliza el concepto de punto fijo para solucionar ecuaciones

Si se tiene una ecuacin de la forma () = 0, podemos hallar la solucin de sta ecuacin

definiendo la funcin () = () y hallar las races de () es equivalente a hallar los

puntos fijos de () ya que si = es una raz de () entonces () = 0 y () = 0, por lo

tanto = (), lo cual resulta ser un punto fijo de (), los mismo se puede razonar de forma

contraria, o sea si hemos hallado un punto fijo de () llamado entonces hemos hallado una raz

de () que es solucin de la ecuacin original.

Lo que sigue es hacer la ecuacin = () iterativa. Esto es, dado un punto de inicio 0 tenemos

+1 = ()

Esto quiere decir que cada valor calculado se utiliza de nuevo para evaluar () y as poder pulir

la solucin. Como estamos suponiendo que el punto fijo existe, no siempre toda funcin cumple

que tiene uno, para esto se tiene el siguiente teorema.

Teorema:

a. si baxg ,)( bax , entonces g tiene un punto fijo en [a,b]. b. Si )(xg existe en (a,b) y una constante positiva k

42

En la prctica consiste en despejar x de la ecuacin, dar un valor inicial y mirar el error, si ste baja

despus de varias iteraciones entonces quiere decir que se est acercando a una solucin de la

ecuacin, si no quiere decir que diverge. No todos los despejes sirven, y cuando sirve a veces nos

lleva a las soluciones triviales o a una raz en particular pero no a todas, sin importar el valor de

inicio.

Ejemplo: Solucionar la ecuacin cos() = 0. Siempre hay que colocarla de la forma = g().

Que en este caso es muy sencillo, = cos(). Al hacer una salida con el nmero de la iteracin

tenemos:

n x cos(x) ErrorAb

0 0,5 0,87758256 0,37758256

1 0,87758256 0,63901249 0,23857007

2 0,63901249 0,8026851 0,16367261

3 0,8026851 0,69477803 0,10790707

4 0,69477803 0,76819583 0,0734178

5 0,76819583 0,71916545 0,04903039

6 0,71916545 0,75235576 0,03319031

7 0,75235576 0,73008106 0,0222747

8 0,73008106 0,74512034 0,01503928

9 0,74512034 0,73500631 0,01011403

10 0,73500631 0,74182652 0,00682021

11 0,74182652 0,73723573 0,0045908

12 0,73723573 0,74032965 0,00309393

13 0,74032965 0,73824624 0,00208341

14 0,73824624 0,73964996 0,00140372

15 0,73964996 0,73870454 0,00094542

16 0,73870454 0,73934145 0,00063691

17 0,73934145 0,73891245 0,000429

18 0,73891245 0,73920144 0,00028899

19 0,73920144 0,73900678 0,00019466

20 0,73900678 0,73913791 0,00013113

21 0,73913791 0,73904958 8,833E-05

22 0,73904958 0,73910908 5,9501E-05

23 0,73910908 0,739069 4,008E-05

24 0,739069 0,739096 2,6999E-05

25 0,739096 0,73907781 1,8187E-05

26 0,73907781 0,73909006 1,2251E-05

27 0,73909006 0,73908181 8,2522E-06

28 0,73908181 0,73908737 5,5588E-06

29 0,73908737 0,73908363 3,7445E-06

30 0,73908363 0,73908615 2,5223E-06

31 0,73908615 0,73908445 1,6991E-06

32 0,73908445 0,73908559 1,1445E-06

33 0,73908559 0,73908482 7,7096E-07

34 0,73908482 0,73908534 5,1933E-07

35 0,73908534 0,73908499 3,4982E-07

Entonces el valor aproximado es 0,739084992 en la iteracin 35 iniciando en 0.5 con un error

absoluto del orden de 3.5*10-7.

43

El siguiente grfico corresponde a () = (), donde el corte con el eje es donde es

igual ().

Ampliacin del punto cero.

Una de las ventajas de usar punto fijo es que es muy fcil de programar. Las desventajas es que es

muy lento, se debe estar muy cerca de la solucin (se debe conocer la solucin en forma

aproximada). Se debe conocer si existe un punto fijo o sea no siempre converge.

44

Explicacin grafica del punto fijo

En este caso va acercando al punto fijo a medida que va iterando.

Ejemplos de no convergencia:

La funcin () = 3 42 tiene tres races de las cuales a travs del mtodo de punto fijo

solo es alcanzable una. La races son = 4.25, = 0 y = 0.23.

45

Para = 4.25 el valor de la pendiente siempre va creciendo y se vuelve infinita, como lo

muestra el siguiente cuadro. Se inici en = 4.1.

+ Grafica de la funcin () = +

-4.1 -1.681

-1.681 6.55293976

6.55293976 453.153992

453.153992 93875904.9

93875904.9 8.273E+23

8.273E+23 5.6622E+71

5.6622E+71 1.815E+215

1.815E+215 #NUM!

#NUM! #NUM!

Para = 0.23 si escogemos un valor a la derecha por ejemplo = 0.24, el valor de la pendiente

siempre va creciendo y se vuelve infinita. Pero si iniciamos a la izquierda de ese punto por ejemplo

= 0.21 converge a cero.

+ +

0.24 0.244224 0.21 0.185661

0.244224 0.25314828 0.185661 0.14427976

0.25314828 0.27255897 0.14427976 0.08627002

0.27255897 0.31740153 0.08627002 0.03041213

0.31740153 0.43495115 0.03041213 0.00372772

0.43495115 0.83901516 0.00372772 5.5635E-05

0.83901516 3.40640745 5.5635E-05 1.2381E-08

3.40640745 85.9410763 1.2381E-08 6.1319E-16

85.9410763 664292.971 6.1319E-16 1.504E-30

664292.971 2.9314E+17 1.504E-30 9.0482E-60

2.9314E+17 2.5191E+52 9.0482E-60 3.275E-118

46

Pero si iniciamos en un valor cercano a cero por ejemplo en = 0.03 rpidamente vemos que

llega cero. Pero esta solucin no es muy interesante porque es obvia.

+ Grafica de la funcin () = +

0.03 0.003627

0.003627 5.2668E-05

5.2668E-05 1.1096E-08

1.1096E-08 4.9248E-16

4.9248E-16 9.7014E-31

9.7014E-31 3.7647E-60

3.7647E-60 5.669E-119

5.669E-119 1.286E-236

1.286E-236 0

0 0

Concluimos que utilizar el mtodo de punto fijo con estos despejes para sta funcin no tiene

sentido.

Procedimiento para hallar ceros de funciones

Se iguala a cero la funcin y se despeja el valor de . Se puede hacer de diferentes maneras

algebraicas pero no todas convergen.

Ejemplo: despejar x de la siguiente funcin igualando cero.

Se tiene la funcin () = 4 + 22 3.

Al despejar tenemos = 4 + 22 3

O tambin despejando de 4 tenemos 4 223 xxx

O tambin factorizando 2 de 4 + 22 tenemos = +3

2+2

47

Ejercicios:

1. Determinar una solucin con exactitud de 10-3 para 4 32 3 = 0 2. Determinar una solucin con exactitud de 10-3 para 3 1 = 0 3. Haga un programa en computador donde encuentre el punto fijo de () = 2

48

TALLER DE SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Mtodo de biseccin

a. Hallar todas las races de () = 3 + 42 10 10, escoja los intervalos iniciales

adecuados para cada raz (use Curvas). El error debe ser menor de 10-3, Haga una tabla

por cada caso. Presentar el grfico hecho en Curvas.

b. Resuelva las siguientes ecuaciones por el mtodo de biseccin. Compare sus

resultados con una tabla hecha en Excel.

b1. 1 = tan() en [0, 2/ ] b2. 2 + + 2 cos() 6 = 0 en [1, 3]

2. Despejar de 6 maneras diferentes la variable

3 72 + 14 6 = 0 3. Mtodo de Newton-Rapshon

a. Error

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