Guia de Movimiento Armónico Simple

Universidad Experimental de la Fuerza Armada UNEFA. Núcleo Bruzual/YaracuyCátedra: Física 2. Guía N° 3. Movimiento Armónico Simple

Movimiento Armónico Simple.

Introducción

Muchos fenómenos habituales son periódicos, los latidos del corazón de las personas, el movimiento del péndulo de un reloj de pared o las vibraciones de una cuerda de guitarra, por ejemplo. A escala microscópica, los iones de un cristal de sal oscilan alrededor de su posición de equilibrio, o también los átomos en una molécula. En los circuitos eléctricos de una instalación doméstica, la tensión y la corriente varían periódicamente con el tiempo. Tal variedad de fenómenos hace que el estudio de este tipo de movimiento sea importante.

Movimiento armónico simple (MAS).

La forma más simple de un movimiento periódico viene dada por un sistema físico constituido por una masa sujeta al extremo de un resorte (muelle). Supondremos que la masa del resorte es despreciable y que todo el sistema está montado sobre una superficie horizontal sin rozamiento, de tal manera que la masa m puede deslizar libremente sobre ella. El resorte, cuando se deja libre, tiene una longitud natural para la que no ejerce ninguna fuerza sobre m, es la llamada posición de equilibrio. Si movemos la masa estirando o comprimiendo el resorte, éste ejerce una fuerza sobre m que tiende a devolver, a restaurar, la posición de equilibrio. Si el resorte es elástico, es decir obedece la ley de Hooke, la fuerza restauradora será lineal y puede escribirse: F = - kx i

Donde la coordenada x corresponde a la deformación del resorte y debe, por lo tanto, medirse desde la posición de equilibrio. La constante de proporcionalidad k se denomina constante elástica del resorte. El signo menos aparece porque el vector fuerza es opuesto en dirección al vector desplazamiento r =xi

Elaborado por: Ing° José Luis Vásquez Octubre 2009

Fig. 1 Sistema simple masa-resorte para ilustrar el MAS


En la figura 1 se muestra la posición de equilibrio (a), una posición con el resorte comprimido (b) y una tercera con el resorte estirado (c); a la derecha se han representado los diagramas de las fuerzas exteriores que actúan sobre m en las tres situaciones. Como la superficie horizontal impide el movimiento vertical, no hay aceleración vertical y por lo tanto mg + N = 0. Como el movimiento ocurrirá según la dirección x, no es preciso mantener la notación vectorial. La fuerza F = -kx actuando sobre m hará que tenga una aceleración que, según la segunda ley de Newton, cumplirá:

- kx = ma = md²x/dt ² que reordenamos como d ²x/ dt² + kmx = 0 (1)

La última ecuación constituye un ejemplo de lo que se denomina ecuación diferencial, ya que envuelve derivadas. Las soluciones de esta ecuación son funciones x(t) que satisfacen dicha ecuación. Las funciones del tiempo, x(t), deben ser tales que derivando dos veces debe dar por resultado la misma función multiplicada por - k/m, como se pone de manifiesto en la ecuación. Una función seno o coseno del tiempo satisfará esa condición.

Probemos como solución la función x(t) = a senwt donde a y w son constantes desconocidas, de momento; su derivada segunda es d²x/dt² =d²/dt² (a senwt ) = - w2a senwt

así pues, x(t) = a senwt es solución de la ecuación (1), siempre que w² = k/m

Una función coseno sería también solución. La ecuación diferencial que estamos tratando es una ecuación diferencial lineal, es decir x y sus derivadas temporales sólo figuran con exponente uno, con coeficientes constantes; es además homogénea, lo que significa que el segundo miembro es nulo. Este tipo de ecuaciones diferenciales aparecen con gran frecuencia en la física y presentan una propiedad interesante: si dos funciones x1 (t) y x2 (t) satisfacen a la misma ecuación diferencial lineal homogénea, también la satisface cualquier combinación lineal entre ellas

x = b x1 ( t) + cx2 ( t) siendo b y c constantes arbitrarias.

Ejercicio propuesto: 1 Pruebe que la ecuación:

x(t) = a senw1t + b cosw2t es una solución a la ecuación (1)



Para considerar unas condiciones iníciales más generales es útil escribir la ecuación 1 en otra forma. Recordando la identidad trigonométrica cos(t + ) = cost cos- sentsenpodemos escribir x = A cos(t + ) (2)

La interpretación física de la función 2 es más fácil que para la 1, ya que A es la amplitud del movimiento, como se muestra en la figura 1, y es la fase inicial o constante de fase que nos indica cuanto antes de t = 0 se alcanza el máximo de x, t = - /.

El valor de no afecta la forma de la curva x(t) , que siempre es sinusoidal. En general, será de interés cuando comparemos oscilaciones de dos magnitudes o sistemas. En muchas situaciones (problemas) es preferible asumir sin afectar el análisis efectuado.

La masa, en su oscilación, repite su movimiento después de un tiempo T que llamaremos periodo; lo definimos como el menor intervalo de tiempo que hace que

(t ) = (t +T ) o sea que hace que

cos(t + )= cos((t +T )+ )

para cualquier valor de t, lo que exige que T = 2.

También se usa la frecuencia f medida en ciclos o periodos por unidad de tiempo,

f =1/ T= 2=1/2k/m f se mide en hertz (Hz)

Resumiendo lo visto hasta ahora para la Ecuación que rige el MAS:

x = A cos(t + ) (2)

Donde: fase (rad). Puede tomarse como cero, cuando convenga Velocidad angular (rad/s)A Amplitud de la oscilación (m)T = 2π/w Periodo (s)f= 1/T = w/2π Frecuencia lineal (Hertz) (Hz)

Para el sistema masa-resorte:

w² = k/m f= (1/2π)(k/m)½ A: Desplazamiento máximo medido desde la posición de reposo.

Nota: En nuestros análisis nos mantendremos utilizando a “x” como medida del desplazamiento, sin embargo aclaremos que esta ecuación puede utilizarse para otros movimientos armónicos simples y “x” puede ser otra variable diferente al desplazamiento.

Grafica de un MAS.



Si graficamos el desplazamiento x en función del eje wt obtendremos una grafica como la de la Fig. 2

La línea llena corresponde a un MAS con fase ϕ ≠0 y la punteada con ϕ=0Observe que la ventaja de escalar el eje de tiempo con w es podemos analizar cualquier MAS independientemente de su velocidad angular w.

Ejercicios2. Caracterice el MAS utilizando las leyes de newton.Solución: Para una posición cualquiera x, la fuerza sobre la masa según la ley de Hook es:

f = -kx pero una fuerza aplicada sobre una masa produce, según la 2° ley de Newton, una aceleración a = f /m de donde

a = -kx/m o a = (-k/m)x

Es decir que todo MAS se caracteriza por que existe una aceleración proporcional y opuesta al desplazamiento.

3. Un bloque de 200g es atado a un resorte de constante 5Nw/m. El bloque se hala 5cm desde la posición de equilibrio y se suelte. Suponga que el roce en el sistema es despreciable. Calcule la frecuencia y periodo de oscilación.Solución: w = (k/m)½ = (5[Nw/m] / 0,2Kg)½ =5 [rad/s] T = 2π/w = 6,28/5 = 1,26 [s]


wt

ϕ

Fig . 2 Grafica de un MAS X vs wt


Velocidad y aceleración en el MAS.

La velocidad de la masa oscilante se obtienen por derivación de la ecuación de movimiento v ( t) = dx / dt = - A sen(t + )

La aceleración derivando la velocidada ( t) = dv / dt = - ²A cos(t + )

Como vemos son también funciones armónicas del tiempo. El valor máximo de la velocidad es vmax = A y se alcanza al pasar por el punto de equilibrio, x = 0; alcanza un valor nulo en los puntos de máximo desplazamiento x = A En la figura 3 se han representado desplazamiento y velocidad para un caso con = 30y >1.

La aceleración presenta un valor máximo a max = A, donde x = A y nulo en x = 0. En la figura 4 se han representado desplazamiento y aceleración para el mismo caso de la gráfica de la velocidad.


Fig.3. Velocidad en el MAS

------ desplazamiento

____ Velocidad

Nótese que la velocidad máxima wA se produce en el punto de equilibrio x=0

Fig.4. Aceleración en el MAS

------ desplazamiento

____ Aceleración

Nótese que la aceleración máxima w²A se produce en el punto de máxima elongación negativa x=-A


Ejercicios:4. Para el ejercicio 3, determine la velocidad y la aceleración máxima del bloque.

5. Dibuje los vectores velocidad y aceleración para los puntos x= -A, x=0 y x=A de un MAS.

6. Si en el ejercicio 3, se duplica la elongación inicial ¿Cambiaran le frecuencia y el periodo del movimiento? Explique. ¿Cambiaran las velocidades y aceleraciones máximas? Explique.

7. Si en el ejercicio 3, se duplica la masa ¿Cambiaran le frecuencia y el periodo del movimiento? Calcule la proporción de cambio (cero, doble, mitad, triple, etc)

8. Repita 7, duplicando el valor de k, manteniendo la masa original.

9. Repita 7, duplicando m y k a la vez.

10. En los ejercicios 7, 8 y 9 ¿Cuál es la situación para las velocidades y aceleraciones máximas? ¿Cambian o permanecen inalterables pese a los cambios de k y m?

11. Complete la tabla siguiente, donde se resumen las relaciones entre k,m,A con w, T,

vmax y amax. Coloque una x cuando no exista relación.

k m A ww = (k/m)½ 1T =

Vmax= X

amax=


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