Guia de resolucion de ejercicios nro 3 sobre binomio de newton
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TEOREMA DEL BINOMIO
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Teorema del BinomioConducta de entrada
YO SÉ Muy bien Bien Poco Nada
Lógica y teoría de conjuntos
Propiedades en el Sistema de los números reales
Método de inducción
Análisis combinatorio
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Teorema del Binomio
• El teorema del binomio, (o, binomio de Newton), expresa la -ésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo de es de singular importancia, pues, aparece con mucha frecuencia en la matemática y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
• Newton en 1685 y Abu Bekribn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.
• El teorema del binomio para se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.).
INTRODUCCIÓN
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Teorema del BinomioOBJETIVOS
GENERALGENERAL
Utilizar el análisis combinatorio para la determinación de la expansión del binomio de Newton y aplicar éste a
situaciones prácticas.
ESPECÍFICOS ESPECÍFICOS
Identificar la posición de un determi-nado término que cumpla ciertascondiciones
Obtener el desarrollo de un binomiodado
Determinar un término en particularconociendo su posición sin desarrollartodos los términos del binomio
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Teorema del Binomio
Sean . Consideremos el binomio
Al multiplicar por sí mismo a este binomio, se obtienen las siguientes potencias:
1. Binomio a la potencia –ésima
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Teorema del Binomio
De lo anterior, podemos inferir que, para , se tiene:
a) El desarrollo tiene la forma:
e incluye términos.
b) Las potencias de entre el 1er y último términos del desarrollo son: ,,, …, ,,
c) Las potencias de entre el 1er y último términos del desarrollo son: , , , …, ,,
d) Para cada término, la suma de los exponentes de e es .
1. Binomio a la potencia –ésima
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Teorema del Binomio
e) y .f) Si es el –ésimo término, el coeficiente es igual a:
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
Observación: Se observan algunas regularidades en el desarrollo de los binomios que pueden ser estudiadas utilizando la teoría del análisis combinatorio, como se muestra a continuación
1. Binomio a la potencia –ésima
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Teorema del BinomioLos términos del desarrollo para , , , , pueden obtenerse a través del siguiente diagrama de árbol:
𝒙
𝒚
𝒙𝒙
𝒙 𝒚
𝒚 𝒙
𝒚𝒚
𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒙𝒙 𝒚 𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒙 𝒚 𝒙𝒙𝒙 𝒚 𝒙 𝒚𝒙 𝒚𝒚 𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒙𝒙𝒚 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒙 𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒙𝒚𝒚 𝒙 𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒚𝒚𝒚𝒚
𝒙𝒙𝒙
𝒙𝒙 𝒚
𝒙 𝒚 𝒙
𝒙 𝒚𝒚
𝒚 𝒙 𝒚
𝒚𝒚 𝒙
𝒚𝒚𝒚
𝒚 𝒙𝒙
(𝒙+𝒚 )𝟏 (𝒙+𝒚 )𝟐 (𝒙+𝒚 )𝟑 (𝒙+𝒚 )𝟒
¿ 𝒙𝟒
¿ 𝒙𝟑𝒚¿ 𝒙𝟑𝒚
¿ 𝒙𝟑𝒚
¿ 𝒙𝟑𝒚
¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐
¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐
¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐
¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐
¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐
¿ 𝒙𝟐𝒚𝟐
¿ 𝒙 𝒚𝟑
¿ 𝒙 𝒚𝟑
¿ 𝒙 𝒚𝟑
¿ 𝒙 𝒚𝟑
¿ 𝒚𝟒
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Teorema del BinomioPor ejemplo si:
1. Binomio a la potencia –ésima
𝒄𝟏=𝟒 (𝟏 )𝟏
𝒄𝟐=𝟒 (𝟑 )𝟐
𝒄𝟒=𝟔 (𝟐 )𝟑
4 (3 ) (2 ) (1 )[2 (1 ) ] [2 (1 ) ]
𝒄𝟓=𝟒 (𝟏 )𝟒
4 !2! (4−2 )!
(42)
4 (3 ) (2 ) (1 )[3 (2 ) (1 ) ] [ (1 ) ]
4 !3 ! (4−3 )!
(43)(41) (44)
𝒄𝟎=𝟏
(40)
4 !1! (4−1 )!
4 !4 ! (4−4 ) !
4 !0 ! (4−0 )!
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Teorema del Binomio
Si utilizamos los resultados obtenidos para el ejemplo anterior, podemos escribir el desarrollo de como:
Y al generalizar para , tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.1 (Teorema del Binomio) Dados , , el desarrollo del binomio , está dado por,
2. Formulación del Teorema del Binomio
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Teorema del Binomio
Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes binomiales de .
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el.
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Teorema del Binomio3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
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Teorema del Binomio
Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes binomiales de .
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
(𝒙+𝒚 )𝟎=𝟏(𝒙+𝒚 )𝟏=𝟏𝒙+𝟏 𝒚(𝒙+𝒚 )𝟐=𝟏𝒙𝟐+𝟐𝒙𝒚 +𝟏 𝒚𝟐
(𝒙+𝒚 )𝟑=𝟏𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒚+𝟑𝒙 𝒚𝟐+𝟏 𝒚𝟑
(𝒙+𝒚 )𝟒=𝟏𝒙𝟒+𝟒𝒙𝟑𝒚+𝟔𝒙𝟐𝒚 𝟐+𝟒𝒙 𝒚𝟑+𝟏 𝒚𝟑
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(𝒙+𝒚 )𝟓
(𝒙+𝒚 )𝟔
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Teorema del Binomio
Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes binomiales de .
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
¿𝟏¿𝟐¿𝟒¿𝟖
¿𝟏𝟔
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1¿𝟑𝟐¿𝟔𝟒
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Teorema del Binomio4. Problemas de aplicación
1. Desarrolle:
2. En determine: a) el quinto término; b) el(los) término(s) central(es)
3. Determine el coeficiente de (si existe), en el desarrollo de