Guia de Trabajo- Sistema de Numeros Reales

CURSO DE MATEMÁTICAS

Tutora: JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ Profesional en Matemáticas con Énfasis en Estadística

E-mail: [email protected]

NUESTROS TEMAS DE TRABAJONUESTROS TEMAS DE TRABAJONUESTROS TEMAS DE TRABAJONUESTROS TEMAS DE TRABAJO

TUTORIA No 1

1. Los números Reales

1.1 Los números naturales

1.2 Los números enteros.

1.3 Los números racionales

1.4 Los números irracionales

1.5 Los números reales

1.6 Las fracciones.

1.7 Operaciones con fracciones.

TUTORIA No 2

2 ALGEBRA.

2.1 Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas. Monomios. Suma. Resta, multiplicación y

división de monomios.

2.2 Ecuaciones

2.3 Resolución ecuaciones 1º grado

2.4 Resolución de problemas con ecuaciones de 1º grado.

2.5 Sistemas de ecuaciones

2.6 Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones de 1º grado.

TUTORIA No 3

3 FACTORIZACIÓN.

3.1 Productos Notables

3.2 Factor Común

3.3 Diferencia de cuadrados

3.4 Diferencia y suma de cubos

3.5 Trinomio de la forma ax2+bx+c

3.6 Formula cuadrática.

TUTORIA No 4

4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FACTORIZACIÓN.

4.1 Problemas




TEMATICATEMATICATEMATICATEMATICA

TUTORIA No 1

Gráfico de inclusión de conjuntos de números

El gráfico anterior muestra las inclusiones entre el los subconjuntos del conjunto de números reales. Por ejemplo un número natural es entero, y a su vez es un número racional y evidentemente un número real. 1.1 Números Naturales (N) Deben su nombre a los objetos inmersos en la naturaleza; un árbol, dos aves, tres piedras, etc. El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

1.2 Números Enteros (Z) Los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales. De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: Z= {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N ⊂ Z.

El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.

Reales

Racionales

Enteros

Naturales

Irracionales




1.2.1 Representación de los números enteros

El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.

Representación gráfica del conjunto Z.

1.2.2 Números primos

Se llama primo a todo número entero cuyos únicos divisores son él mismo, su opuesto y la unidad; los números no primos se denominan compuestos. El estudio de los números primos ha constituido desde antiguo una fascinante rama de las matemáticas, no sólo interesante como un juego matemático, sino también por sus implicaciones científicas. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

1.3 Conjunto de Números racionales (Q)

Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad a=a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódica. El conjunto de números decimales se denomina por la letra "D".

1.3.1 Operaciones y propiedades de los números racionales: 1.3.1.1 Adición: La operación que permite calcular la suma de dos números racionales

se llama adición. Decimos que la adición en Q es una operación binaria interna porque asocia a cada dos números racionales un número racional. Ejemplo

a b a b

c c c

++ = La expresión 2 4 6

7 7 7+ =

Propiedades de la adición:

a. Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición.

Ejemplo




b. Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. En general

Si ,a c e

yb d f

representan números racionales cualquiera, entonces

=

=

c. Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama elemento neutro de la adición

Luego la suma de 5/9 y 0 es 5/9

el cero es elemento neutro de la adición de números racionales.

d. Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición por ejemplo:

luego la suma de 3/5 y su opuesto –3/5 = 0

1.3.1.2 Sustracción de números racionales

La sustracción es la operación inversa a la adición. En la adición se busca uno de los sumandos de una suma dada por ejemplo:

1.3.1.3 Multiplicación de números racionales

El producto de dos números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los

denominadores. Es decir: .

.

a c a c

b d b d× = Ejemplo:3 7 3 7 21

8 5 8 5 40

×× = =×




Propiedades de la Multiplicación en Q:

• Conmutativa: en la multiplicación de números racionales del orden de los factores no altera el producto.

Es decir: a c c a

b d d b× = × Ejemplo: 5 2 5.(2) 10

3 7 3(7) 21

− − − × = =

2 5 2( 5) 10

7 3 7(3) 21

− − − × = =

• Asociativa: en la multiplicación de los números racionales la forma de agrupar los factores no altera el producto.

Es decir: a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

× × = × × = × ×

Ejemplo:

1 3 5 1 3 5 3 5 152 4 6 2 4 6 8 6 48

1 3 5 1 3 5 1 15 15

2 4 6 2 4 6 2 24 48

− − − − × × = × × = × =

− − − − × × = × × = × =

⇕

• Elemento neutro: el (1) es el elemento neutro de la multiplicación de números racionales. Es decir a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b

Ejemplo:

• Elemento simétrico: cada número racional, distinto de cero, tiene un simétrico o inverso respecto la multiplicación.

Es decir: .. 1

.

a b a b

b a b a= = Ejemplo: 2 3 2.(3)

. 13 2 3.(2)

= =

• Distributividad : al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por cada sumando, luego sumamos. Es decir:

. . .a c e a c a e

b d f b d b f

+ = +

Ejemplo:

3 2 3 5 6 15 3( 6) 5(15) 18 75 57

7 5 7 3 35 21 105 105 105

3 2 3 5 3 2 5 3 2(3) 5(5) 3 6 25 3 19 57

7 5 7 3 7 5 3 7 15 7 15 7 15 105

− − − + − +⋅ + ⋅ = + = = =

− − − + − + ⋅ + ⋅ = + = = = =

1.3.1.4 División de Números Racionales:

Para calcular el cociente de un número racional a/b ¸ c/ d basta con multiplicar el dividendo a/b por el inverso del divisor c/d.

Es decir: .a c a d

b d b c=i

i Ejemplo: 2 4 2 5.

3 5 3 4 =

ii




1.3.1.5 Potenciación de los números racionales:

Es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:

. ....n

n veces

b b b b−

=��

Ejemplo: 24 = 2·2·2·2 = 16

Operaciones de las potencias:

• Multiplicación de potencias de igual base: es decir:

.m n m n

a a a

b b b

+ = Ejemplo:

3 5 3 5 85 5 5 5

.6 6 6 6

+ = =

• Potencia de un producto, es decir:

.m m m

a c a c

b d b d = Ejemplo:

6 6 62 4 2 4

.3 5 3 5 =

• División de potencias de igual base:, es decir:

m n m na a a

b b b

− =

ii Ejemplo:

5 3 5 3 27 7 7 79 9 9 9

− = =

ii

• Potencia de una potencia, es decir

nm m na a

b b

=

i

Ejemplo:

43 3 4 125 5 58 8 8

= =

i

1.3.1.6 Teoremas del conjunto de números racionales:

1. a c c a

b d d b+ = +

2. 0a a

b b+ =

3. 0

a a

b b

− + =




4. ( )a c a c

b d b d

−− = +

5. .

.

a c a c

b d b d=i

6. .a c c a

b d d b=i

7. 1

1 .1

a a a

b b b= =i

8. . . . . . .a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

= =

9. . . .a c e a c a e

b d f b d b f

+ = +

10. .a c a d

b d b c=i

i

11. . . . . .n

n v e c e s

b b b b−

= ��

12.

1a a

b b =

13. .m n m n

a a a

b b b

+ =

14.

m n m na a a

b b b

− =

ii

Fracciones Equivalentes:

Dos fracciones son equivalentes si y solo si sus productos cruzados son iguales, es decir:

Ejemplo:

Elementos de una fracción:

1. Amplificar : es multiplicar el numerador y denominador por un mismo número entero nulo.

2. Simplificar: es dividir el numerador y al denominador por un divisor común distinto de 1.




Proporción:

Es una razón, con la diferencia de que el denominador del cociente es el numero total de unidades enunciadas. Es el resultado obtenido de la suma de dos proporciones complementarias (p + q) relacionando cada valor por el número total de unidades y cuyo resultados sumados deben ser igual a la unidad (1).

Características:

• Expresa la relación cuantitativa entre dos valores o características. • La razón viene expresada por el cociente entre los valores específicos. • La razón es un valor relativo. • No depende de los valores absolutos de los individuos que la forman.

Porcentaje:

Son proporciones que al ser multiplicadas por 100 se convierten en números enteros que van a indicar una relación cuantitativa de alguna categoría.

Características:

• Las proporciones se convierten en porcentajes al ser multiplicadas por 100. • Los porcentajes son utilizados para presentar datos al público de manera más

comprensible. • Tienen un gran valor práctico para presentar informaciones en empresas y

otras instituciones. • No permite porcentajes exagerados y en este caso se deben expresar de otra

forma.

1.4 Número Irracionales: (I)

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I".

1.4.1 Operaciones de los Números Irracionales:

1.4.1.1 Adición: Es la combinación interna de unidades decimales que se originan de una suma algebraica de dos o mas sumandos.

Ej. 35,72 17,5 183,246 236,466

1.4.1.2 Sustracción: Es la operación inversa a la suma de decimales y tiene por objeto, dados los elementos (minuendo, sustraendo y diferencia)

Ej. 57,35 - 24,41 32,94

1.4.1.3 Multiplicación : Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar las cifras decimales.

Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer la coma.




Ejemplos:

3,57 x 10 = 35,7.

16,7 x 100 = 1670.

25,32x 100 =2532,00

1.4.1.4 División: Esta es efectuada si el dividendo y el divisor fueran números naturales, pero al bajar la primera cifra decimal se coloca la coma al cociente.

Ejemplo:

14,25 | 3

02 2 4,75

015

0

1.5 Números Reales: (R)

Por número real llamaremos a un número que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.

• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta

• Al conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0: 1,2 = 1,2000. . .).El conjunto de los números reales es denotado por R.

1.5.1 Operaciones con números reales:

En el conjunto de los números reales se encuentran definidos dos operaciones básicas que son: la adición, la multiplicación, la sustracción y la división.

1.5.1.1 Adición de números reales: La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b- la adición es una función definida así:

(+): R x R → R

(a, b) → c = a + b

1.5.1.2 Sustracción de números reales: Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:

a + d = m

Sumandos suma

m – a = d

Minuendo diferencia sustraendo




En la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:

La diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a:

d = m – a = m + (–a)

1.5.1.3 Multiplicación : La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:

R x R → R

(a, b) → c = a . b factores

Producto

1.5.1.4 Ley de Los signos

1. (+) por (+) = (+)

2. (-) por (-) = (+)

3. (+) por (-) = (-)

4. (-) por (+) = (-)

Si se multiplican dos reales con signos iguales el signo del producto es positivo.

Si se multiplican dos reales con signos diferentes el signo del producto es negativo.

1.5.1.5 División de números reales: la división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto:

Factores a . b = c producto

En la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:

En la división tenemos que:

1.5.1.6 Potenciación de números reales: Es una multiplicación abreviada.

Ejemplos: 3·3·3·3 = 34 7·7·7·7·7 = 75

El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el número de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base.




El símbolo completo de base y exponente: base exponente, recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete.

En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces bn se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:

Por ejemplo:

52 = 5 · 5 = 25 la base 5 se multiplica por si misma 2 veces

La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres".

La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así p ³ se lee "pi al cubo" ó "el cubo de pi".

1.5.1.7 Radicación de Números Reales: La radicación es uno de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia:

Exponente

bn = ?

Base potencia

1.6 Fracciones.

1.7 Operaciones

1.7.1 Adición

1.7.1.1 Fracciones Homogéneas (Igual denominador): Se deja el mismo denominador

y se suman los numeradores: 1 2 1 2 3

4 4 4 4

++ = =

1.7.1.2 Fracciones Heterogéneas (Distinto denominador): Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores ahora ese es nuestro nuevo denominador, y el numerador será la suma del resultado de dividir es m.c.m entre el primer denominador y multiplicarlo por el numerador, y se hace lo mismo con la otra fracción para sumar ese resultado con el ya obtenido de la primera fracción:

1 26 12

. . (6,12) 12

12 12.1 .2

1 2 2 2 46 126 12 12 12 12

m c m

+ =

=

+ + + = = =




Ejemplos:

1)

1 215 35

+ =

15 35 5

3 7 3

1 1 7 m.c.m = 5 x 3 x7 =105

( ) ( )105 105

.1 .27 .1 3 .21 2 7 6 1315 35

15 35 105 105 105 105

+ + + + = = = =

2) 5 623 49

+ =

23 49 23

1 7 7

1 7 m.c.m = 23 x 7 x7 = 1127

( ) ( )1127 1127

.5 .649 .5 23 .65 6 245 138 383123 49

23 49 1127 1127 1127 1127

+ + + + = = = =

3) 10 263 39

+ =

63 39 3

21 13 21

1 1 13 m.c.m = 3 x 21 x13 =819

( ) ( )819 819

.10 .213 .10 21 .210 2 130 42 17263 39

63 39 819 819 819 819

+ + + + = = = = =




4) 10 2040 60

+ =

40 60 2

20 30 2

10 15 5 ( ) 3. . 2 .5.3 8.5.3 120m c m = = =

2 3 2

1 1 3

( ) ( )120 120

.10 .203 .10 2 .2010 20 30 40 7040 60

40 60 120 120 120 120

+ + + + = = = =

1.7.2 Sustracción: Se opera de manera similar a la adición, solo que en lugar del más se debe poner un menos.

1.7.3 Multiplicación: Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

1 3 1.(3) 3

2 4 2.(4) 8× = =

Ejemplos:

5) 10 33 330 33 3

44 5 220 22 2× = = =

6) 10 33 330 33 3

44 5 220 22 2× = = =

7) 10 33 330 33 3

44 5 220 22 2× = = =

8) 10 33 330 33 3

44 5 220 22 2× = = =

1.7.4 División: Se deja la primera fracción igual y la segunda se invierte y hace el producto de estas dos fracciones.

1 3 1.(4) 42 4 2.(3) 6

÷ = =

Ejemplos:

9) 10 33 10 5 50 3.

44 5 44 33 22 1452÷ = = =

10) 10 10 10 11 1.

44 11 44 10 4÷ = =

11) 7 49 7 58 406 2

29 58 29 49 1421 7÷ = × = =

12) 1 3 1 7 7.

4 7 4 3 12÷ = =




EJERCICIOS RESUELTOS

1) 21-34 = -13 (Los números tienen signos diferentes entonces se restan, y se pone el signo del numero más grande que es 34 y su signo es negativo).

2) 45+23 = 68 (Los números tienen signos iguales entonces se suman, y se pone el mismo signo que es positivo).

3) -45+3 = -42 (Los números tienen signos diferentes entonces se restan, y se pone el signo del numero más grande que es 45 y su signo es negativo).

4) -21-9 = -30 (Los números tienen signos iguales entonces se suman, y se pone el mismo signo que es negativo).

5) 21 -34 +45 +23 = (21 -34) + (45 +23) = -13 +68 (Uso la propiedad asociativa. Los números tienen signos diferentes entonces se restan, y se pone el mismo signo del número más grande que es 68 y su signo es positivo).

6) ( ) ( )

50 50.10 .2

2 .10 1 .210 2 20 2 22 1125 5025 50 50 50 50 50 25

+ + + + = = = = =

7) ( ) ( )

450 450.32 .36

10 .32 9 .3632 36 320 324 644 32245 5045 50 450 450 450 450 225

+ + + + = = = = =

8) ( ) ( )

988 988.1 .3

19 .1 13 .31 3 19 26 4552 7652 76 988 988 988 988

+ + + + = = = =

9) ( ) ( )

36 36.6 .7

3 .6 2 .76 7 18 14 32 812 1812 18 36 36 36 36 9

+ + + + = = = = =

10) ( ) ( )

90 90.9 .4

3 .9 2 .49 4 27 8 35 730 4530 45 90 90 90 90 18

+ + + + = = = = =

11) 10 10 100 4

.25 5 75 3

= =

12) 4 6 12 3

.98 56 2744 686

= =

13) 145 89 12905 2581

.69 15 1035 207

= =

14) 42 48 2016 14

. 1424 6 144 1

= = =




15) 37 9 333 1

.27 111 2997 9

= =

16) 10 10 10 5 1

25 5 25 10 5÷ = ÷ =

17) 4 6 4 56 224 8

.98 56 98 6 588 21

÷ = = =

18) 145 89 145 15 2175 725

.69 15 69 89 6141 2047

÷ = = =

19) 42 48 42 6 252 7

.24 6 24 48 1152 32

÷ = = =

20) 37 9 37 111 4107 1369

.27 111 27 9 243 81

÷ = = =

21)

3 5 3 5 85 5 5 5

.6 6 6 6

+ = =

22)

3 45 3 45 4815 15 15 15

.23 23 23 23

+ = =

23)

34 12 12 13

12

12 12 13 2,329808512 1013 13 12 8,916100448 10

− − × = = = ×

24)

15 5 15 5 109 9 9 9

71 71 71 71

− − = =

25)

3 3 31 11 11 1 11 12 3 2 3 2 3

6 6 6 6 6 64 4 4 4 4 4

6 4 1 4 1 6 3 4 1 63 3

36 8 18 8 18 36 12 8 18 3612 12

317 175 5

6 64 4

2(1) 6 2 62(3) 3(4) 6 12

36 3624 24

. . . . . . .

. . . . . . .

. .

. .

x y x y x x y y x y

x y x y x x y y x y

x y x y

x y x y

++

+ +

+ ++ +

= =

= =

3 3175

64

818

3624

3 3 1 47 3 14117 8 475 18 1 .3 .32 18 2 186 36 184 24 2

.

.

. . . .

x y

x y

x y x y x y x y

−−

=

= = = =




26) Un poste tiene 1/7 de su longitud bajo tierra, 3/5 del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide 8 metros. ¿Cuál es la longitud total del poste?.

27) Para llegar a una isla desde mi apartamento, he realizado las 2/7 partes del recorrido en bus, los 3/4 del resto en Avión y los últimos 40 kilómetros en lancha. ¿A que distancia esta mi casa de la isla?

28) Para hacer un traje he cortado 56 cm a lo largo de una frazada de tela si dicho pedazo corresponde a los ¾ de los 2/3 del total de la Tela ¿cuál es la longitud de la tela?.

29) Un inversionista compra por $1.350.000 las 7/9 partes de un grupo de acciones de ETB. ¿Cuánto vale de acciones de ETB?

30) ( ) ( )2 2

2

94 7 .25

3 754 7 5 7 4 7 25 49 49 49 72 49 1176 39233 9 3 27 9 9 3 27 9 27 9 27 9 27 81 27

− + − + − + = − + = = = = =

31)

32) ( )( )1 3 1 3 ( 1) 313 3. . . . 1 131 3 1 3 3 33 3 9 9 9 9 9 9 10

0,910 10 10 10 10 10 9

− ⋅ − − − − − − = = = = = = =

33)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

22 2 2 223 2 2 3 3 2 3 3 4 6

22 2

3 4 6 3 4 6 4 3 6

2 .2 4 42 2 2 2 2 2

4 3 1 6

42 2

1 18 6 6 36. .

8 8

36. . 36. . 36. . . .

8 8 8

36. . 36.

8

yx xy x y yx x y yx x yxy xy

yx x y yx x y x x y y

x y x y x y

x y x

x y

−− − − −− −

− − −

− − −

− + +

−

− = − = −

− − − = = =

− = =

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

1 7 7 4

1 242

7 4 11 11 11

1 3 4 4 4

. 36.

6464

36. 36. 9. 9.

64 64 16 16

y y y

x xx y

y y y y

x x x x

−

−

+

+

− − =

− − − − = = = =

( )

7 77 7 71 13 3

1 1 1 1 64 4 3 3 36 6 14 2 2 26 6 1 62 2

7 77 7 7 2 7 49 497 7 1473 3 2. . . .

2 2 3 6 3 1 3 18 186 6 33

. . . .

. . . . .

x y x yx y x y x y

x y x y

x y x y x y x y x y

− − − −− − − −−

− − −− −

= = = = =

= = = =

Guia de Trabajo- Sistema de Numeros Reales

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