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GUIA DIDACTICA
Geometriacutea Baacutesica
Autor Prof Dennar Oropeza
San Felipe Julio 2010
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL DDEELL YYAARRAACCUUYY PPRROOGGRRAAMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN SSEEMMIIPPRREESSEENNCCIIAALL
CCIIEENNCCIIAA DDEELL DDEEPPOORRTTEE CCUURRSSOO IINNTTRROODDUUCCTTOORRIIOO
-- MMAATTEEMMAacuteAacuteTTIICCAA--
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 2
GUIA DIDACTICA
Geometriacutea Baacutesica
Datos de Identificacioacuten Elaborado por Dennar Oropeza
e-mail dennaroropezayahoocom
Fecha Elaboracioacuten Julio de 2010
Fecha de Uacuteltima Actualizacioacuten Julio de 2010
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL DDEELL YYAARRAACCUUYY PPRROOGGRRAAMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN SSEEMMIIPPRREESSEENNCCIIAALL
CCIIEENNCCIIAA DDEELL DDEEPPOORRTTEE CCUURRSSOO IINNTTRROODDUUCCTTOORRIIOO
-- MMAATTEEMMAacuteAacuteTTIICCAA--
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 3
Tabla de Contenidos
Introduccioacuten 3
Contenidoshelliphelliphelliphellip 4
Desarrollo del Aprendizaje 4
1 La Geometriacutea 4
2 Sistema de Medidas 5
3 Elementos baacutesicos 8
4 Las Figuras Planas 11
41 Poliacutegonos 11
El Triaacutengulo 12
Los Cuadrilaacuteteros 14
42 Ciacuterculo y Circunferencia 17
El Ciacuterculo la circunferencia 17
5 Los cuerpos geomeacutetricos 19
51 Prismas 19
52 Cilindros 20
53 Piraacutemides 21
54 Conos 22
55 Esferas 23
Referencias Bibliograacuteficas 25
Introduccioacuten
En esta parte del curso te invitamos a repasar acerca de las figuras geomeacutetricas y la
determinacioacuten de aacutereas y voluacutemenes Soacutelo espero tu emocioacuten por aprender y sea tuacute
quien lo propicie En ti estaacute el lograr el aprendizaje si con entusiasmo estudias esta
guiacutea Cualquier duda o intereacutes en particular puedes escribir un correo electroacutenico a
tu facilitador Entonces a ESTUDIAR
Objetivos Especiacuteficos
Luego de culminar esta unidad de estudio amigo estudiante seraacutes capaz de
Identificar las principales figuras geomeacutetricas en el plano y en el espacio
Determinar periacutemetros aacutereas y voluacutemenes de las figuras estudiadas
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4
Contenidos
1 La Geometriacutea
2 Sistema de Medidas
3 Elementos baacutesicos
4 Las Figuras Planas
41 Poliacutegonos
El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea
Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea
42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea
5 Los cuerpos geomeacutetricos
51 Prismas Aacuterea y Volumen
52 Cilindros Aacuterea y Volumen
53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen
54 Conos Aacuterea y Volumen
55 Esfera Aacuterea y Volumen
Desarrollo del Aprendizaje
1 La Geometriacutea
Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas
ciencias Originariamente formaba un conjunto de
conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y
voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada
seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo
Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma
axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir
durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en
ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la
cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como
importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos
durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes
desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea
donde curvas planas podriacutean ser representadas
analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La
geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de
los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la
geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa
httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5
La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las
medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos
algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos
Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies
de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera
1 Sistema de Medidas
Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una
magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en
funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de
longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico
Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de
10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros
sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que
permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro
En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es
Submuacuteltiplos Muacuteltiplos
Ejemplo
Una longitud de 3 m para convertirlo en cm
Solucioacuten
Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km
Solucioacuten
Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro
cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies
3 m 100 cm 300 cm
1 m
=
Es maacutes faacutecil emplear factores de
conversioacuten que colaboran con la
visualizacioacuten de las unidades
246 hm 1 Km 246 Km
10 hm
=
En este caso la conversioacuten es una
divisioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6
mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o
disminuyen de 100 en 100 respectivamente
Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado asiacute
Ejemplo
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten
Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y
las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal
variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso
Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua
como referencia
1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3
o que es equivalente o lo que es equivalente
1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3
24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2
1 dam2 1 m2
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 2
GUIA DIDACTICA
Geometriacutea Baacutesica
Datos de Identificacioacuten Elaborado por Dennar Oropeza
e-mail dennaroropezayahoocom
Fecha Elaboracioacuten Julio de 2010
Fecha de Uacuteltima Actualizacioacuten Julio de 2010
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL DDEELL YYAARRAACCUUYY PPRROOGGRRAAMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN SSEEMMIIPPRREESSEENNCCIIAALL
CCIIEENNCCIIAA DDEELL DDEEPPOORRTTEE CCUURRSSOO IINNTTRROODDUUCCTTOORRIIOO
-- MMAATTEEMMAacuteAacuteTTIICCAA--
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 3
Tabla de Contenidos
Introduccioacuten 3
Contenidoshelliphelliphelliphellip 4
Desarrollo del Aprendizaje 4
1 La Geometriacutea 4
2 Sistema de Medidas 5
3 Elementos baacutesicos 8
4 Las Figuras Planas 11
41 Poliacutegonos 11
El Triaacutengulo 12
Los Cuadrilaacuteteros 14
42 Ciacuterculo y Circunferencia 17
El Ciacuterculo la circunferencia 17
5 Los cuerpos geomeacutetricos 19
51 Prismas 19
52 Cilindros 20
53 Piraacutemides 21
54 Conos 22
55 Esferas 23
Referencias Bibliograacuteficas 25
Introduccioacuten
En esta parte del curso te invitamos a repasar acerca de las figuras geomeacutetricas y la
determinacioacuten de aacutereas y voluacutemenes Soacutelo espero tu emocioacuten por aprender y sea tuacute
quien lo propicie En ti estaacute el lograr el aprendizaje si con entusiasmo estudias esta
guiacutea Cualquier duda o intereacutes en particular puedes escribir un correo electroacutenico a
tu facilitador Entonces a ESTUDIAR
Objetivos Especiacuteficos
Luego de culminar esta unidad de estudio amigo estudiante seraacutes capaz de
Identificar las principales figuras geomeacutetricas en el plano y en el espacio
Determinar periacutemetros aacutereas y voluacutemenes de las figuras estudiadas
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4
Contenidos
1 La Geometriacutea
2 Sistema de Medidas
3 Elementos baacutesicos
4 Las Figuras Planas
41 Poliacutegonos
El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea
Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea
42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea
5 Los cuerpos geomeacutetricos
51 Prismas Aacuterea y Volumen
52 Cilindros Aacuterea y Volumen
53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen
54 Conos Aacuterea y Volumen
55 Esfera Aacuterea y Volumen
Desarrollo del Aprendizaje
1 La Geometriacutea
Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas
ciencias Originariamente formaba un conjunto de
conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y
voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada
seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo
Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma
axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir
durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en
ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la
cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como
importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos
durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes
desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea
donde curvas planas podriacutean ser representadas
analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La
geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de
los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la
geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa
httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5
La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las
medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos
algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos
Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies
de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera
1 Sistema de Medidas
Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una
magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en
funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de
longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico
Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de
10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros
sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que
permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro
En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es
Submuacuteltiplos Muacuteltiplos
Ejemplo
Una longitud de 3 m para convertirlo en cm
Solucioacuten
Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km
Solucioacuten
Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro
cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies
3 m 100 cm 300 cm
1 m
=
Es maacutes faacutecil emplear factores de
conversioacuten que colaboran con la
visualizacioacuten de las unidades
246 hm 1 Km 246 Km
10 hm
=
En este caso la conversioacuten es una
divisioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6
mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o
disminuyen de 100 en 100 respectivamente
Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado asiacute
Ejemplo
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten
Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y
las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal
variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso
Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua
como referencia
1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3
o que es equivalente o lo que es equivalente
1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3
24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2
1 dam2 1 m2
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Tabla de Contenidos
Introduccioacuten 3
Contenidoshelliphelliphelliphellip 4
Desarrollo del Aprendizaje 4
1 La Geometriacutea 4
2 Sistema de Medidas 5
3 Elementos baacutesicos 8
4 Las Figuras Planas 11
41 Poliacutegonos 11
El Triaacutengulo 12
Los Cuadrilaacuteteros 14
42 Ciacuterculo y Circunferencia 17
El Ciacuterculo la circunferencia 17
5 Los cuerpos geomeacutetricos 19
51 Prismas 19
52 Cilindros 20
53 Piraacutemides 21
54 Conos 22
55 Esferas 23
Referencias Bibliograacuteficas 25
Introduccioacuten
En esta parte del curso te invitamos a repasar acerca de las figuras geomeacutetricas y la
determinacioacuten de aacutereas y voluacutemenes Soacutelo espero tu emocioacuten por aprender y sea tuacute
quien lo propicie En ti estaacute el lograr el aprendizaje si con entusiasmo estudias esta
guiacutea Cualquier duda o intereacutes en particular puedes escribir un correo electroacutenico a
tu facilitador Entonces a ESTUDIAR
Objetivos Especiacuteficos
Luego de culminar esta unidad de estudio amigo estudiante seraacutes capaz de
Identificar las principales figuras geomeacutetricas en el plano y en el espacio
Determinar periacutemetros aacutereas y voluacutemenes de las figuras estudiadas
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4
Contenidos
1 La Geometriacutea
2 Sistema de Medidas
3 Elementos baacutesicos
4 Las Figuras Planas
41 Poliacutegonos
El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea
Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea
42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea
5 Los cuerpos geomeacutetricos
51 Prismas Aacuterea y Volumen
52 Cilindros Aacuterea y Volumen
53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen
54 Conos Aacuterea y Volumen
55 Esfera Aacuterea y Volumen
Desarrollo del Aprendizaje
1 La Geometriacutea
Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas
ciencias Originariamente formaba un conjunto de
conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y
voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada
seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo
Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma
axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir
durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en
ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la
cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como
importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos
durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes
desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea
donde curvas planas podriacutean ser representadas
analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La
geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de
los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la
geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa
httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5
La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las
medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos
algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos
Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies
de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera
1 Sistema de Medidas
Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una
magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en
funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de
longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico
Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de
10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros
sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que
permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro
En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es
Submuacuteltiplos Muacuteltiplos
Ejemplo
Una longitud de 3 m para convertirlo en cm
Solucioacuten
Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km
Solucioacuten
Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro
cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies
3 m 100 cm 300 cm
1 m
=
Es maacutes faacutecil emplear factores de
conversioacuten que colaboran con la
visualizacioacuten de las unidades
246 hm 1 Km 246 Km
10 hm
=
En este caso la conversioacuten es una
divisioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6
mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o
disminuyen de 100 en 100 respectivamente
Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado asiacute
Ejemplo
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten
Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y
las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal
variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso
Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua
como referencia
1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3
o que es equivalente o lo que es equivalente
1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3
24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2
1 dam2 1 m2
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 4
Contenidos
1 La Geometriacutea
2 Sistema de Medidas
3 Elementos baacutesicos
4 Las Figuras Planas
41 Poliacutegonos
El Triaacutengulo Tipos Periacutemetro y Aacuterea
Los Cuadrilaacuteteros Tipos Periacutemetro y Aacuterea
42 Ciacuterculo y Circunferencia Elementos Periacutemetro y Aacuterea
5 Los cuerpos geomeacutetricos
51 Prismas Aacuterea y Volumen
52 Cilindros Aacuterea y Volumen
53 Piraacutemides Aacuterea y Volumen
54 Conos Aacuterea y Volumen
55 Esfera Aacuterea y Volumen
Desarrollo del Aprendizaje
1 La Geometriacutea
Histoacutericamente la Geometriacutea es una de las maacutes antiguas
ciencias Originariamente formaba un conjunto de
conocimientos praacutecticos relacionados longitudes aacutereas y
voluacutemenes En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada
seguacuten los textos de Heroacutedoto Estraboacuten y Diodoro Siacuteculo
Euclides en el siglo III a C configuroacute la geometriacutea en forma
axiomaacutetica tratamiento que establecioacute una norma a seguir
durante muchos siglos la geometriacutea euclidiana descrita en
ldquoLos Elementos El estudio de la astronomiacutea y la
cartografiacuteardquo tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste sirvioacute como
importante fuente de resolucioacuten de problemas geomeacutetricos
durante maacutes de un milenio Mientras que Reneacute Descartes
desarrolloacute simultaacuteneamente el aacutelgebra y la geometriacutea
donde curvas planas podriacutean ser representadas
analiacuteticamente mediante funciones y ecuaciones La
geometriacutea fue enriquecida con la estructura intriacutenseca de
los entes geomeacutetricos que analizan Euler y Gauss dando origen a la topologiacutea y la
geometriacutea diferencial Para indagar maacutes revisa
httpeswikipediaorgwikiLos_Elementos
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5
La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las
medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos
algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos
Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies
de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera
1 Sistema de Medidas
Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una
magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en
funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de
longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico
Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de
10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros
sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que
permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro
En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es
Submuacuteltiplos Muacuteltiplos
Ejemplo
Una longitud de 3 m para convertirlo en cm
Solucioacuten
Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km
Solucioacuten
Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro
cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies
3 m 100 cm 300 cm
1 m
=
Es maacutes faacutecil emplear factores de
conversioacuten que colaboran con la
visualizacioacuten de las unidades
246 hm 1 Km 246 Km
10 hm
=
En este caso la conversioacuten es una
divisioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6
mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o
disminuyen de 100 en 100 respectivamente
Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado asiacute
Ejemplo
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten
Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y
las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal
variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso
Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua
como referencia
1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3
o que es equivalente o lo que es equivalente
1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3
24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2
1 dam2 1 m2
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 5
La geometriacutea es la parte de las matemaacuteticas que estudia las propiedades y las
medidas de las figuras en el plano o en el espacio En esta guiacutea estudiaremos
algunas formas geomeacutetricas Las formas geomeacutetricas planas Recta y Poliacutegonos
Triaacutengulo Cuadrilaacutetero y algunas formas geomeacutetricas espaciales como Superficies
de revolucioacuten Paralelepiacutepedo Cilindro Cono y Esfera
1 Sistema de Medidas
Para hablar de medidas definamos Medir Desde el punto de vista fiacutesico medir una
magnitud fiacutesica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en
funcioacuten de la unidad patroacuten En este caso se haraacuten medidas y determinaciones de
longitud superficie y volumen y el sistema a emplearse es el Sistema Meacutetrico
Decimal donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de
10 respectivo seguacuten sean los muacuteltiplos o submuacuteltiplos No obstante existen otros
sistemas de medicioacuten como el ingleacutes y por supuesto las unidades de conversioacuten que
permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro
En cuanto a medidas de longitud el Sistema Meacutetrico Decimal es
Submuacuteltiplos Muacuteltiplos
Ejemplo
Una longitud de 3 m para convertirlo en cm
Solucioacuten
Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km
Solucioacuten
Al determinara aacutereas de superficies la unidad principal es el metro
cuadrado (m2) en el sistema meacutetrico decimal y para calcular superficies
3 m 100 cm 300 cm
1 m
=
Es maacutes faacutecil emplear factores de
conversioacuten que colaboran con la
visualizacioacuten de las unidades
246 hm 1 Km 246 Km
10 hm
=
En este caso la conversioacuten es una
divisioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6
mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o
disminuyen de 100 en 100 respectivamente
Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado asiacute
Ejemplo
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten
Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y
las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal
variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso
Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua
como referencia
1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3
o que es equivalente o lo que es equivalente
1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3
24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2
1 dam2 1 m2
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 6
mayores y menores que el m2 se emplean muacuteltiplos y submuacuteltiplos que aumentan o
disminuyen de 100 en 100 respectivamente
Muacuteltiplos de metro cuadrado Submuacuteltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado asiacute
Ejemplo
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solucioacuten
Y en relacioacuten al caacutelculo de volumen eacuteste se mide por el metro cuacutebico (m3) y
las unidades de los muacuteltiplos y submuacuteltiplos en el sistema meacutetrico decimal
variacutean de 1000 en 1000 seguacuten el caso
Muacuteltiplos de metro cuacutebico Submuacuteltiplos de metro cuacutebico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan empleando para ello al agua
como referencia
1 Litro (L) de Agua 4 degC tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3
o que es equivalente o lo que es equivalente
1 mL de Agua 4 degC tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3
24 dam2 102 m2 102 dm2 24100 100 dm2 240000 dm2 24x105 dm2
1 dam2 1 m2
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 7
Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3 se necesita revisarlo en m3
Solucioacuten
En otros sistemas de unidades
Longitud
Superficie
Volumen
230 cm3 103 dm3 103 m3 2301000 1000 m3 230000000 m3 23x108 m3
1 cm3 1 dm3
= = =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 8
Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
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loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776009 pies a m
356782 mm a km 12690 cm a pulg
1245768 dm2 a m2 65400 pulg2 a pie2
000000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0030378 m3 a dm3 10 m3 a galoacuten3
0030378 mm3 a cm3 3498 L a m3
3 Elementos baacutesicos
Para la comprensioacuten y posterior caacutelculos de medidas es necesario aclarar algunos
aspectos
El Punto es la unidad indivisible de la geometriacutea Un punto soacutelo tiene posicioacuten en el
espacio y no tiene dimensioacuten (largo alto ancho)
La Liacutenea es una figura geomeacutetrica que se genera por un punto en
movimiento
Liacutenea recta L
Si el punto se mueve sin cambiar de direccioacuten entonces es una liacutenea
recta Notacioacuten
Una Liacutenea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
direccioacuten Notacioacuten
Una liacutenea puede ser recta curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada
Un Rayo es una Liacutenea recta que crece en un solo sentido y una direccioacuten
Notacioacuten
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 9
Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Un Trazo es una liacutenea segmentada caracterizada por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensioacuten (longitud)
Notacioacuten
El Plano un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoriacutea de los casos que
nos rodean que estaacuten en tres dimensiones
De esta forma la geometriacutea plana sirve para estudiar
triaacutengulos cuadrilaacuteteros circunferencia ciacuterculo
El Aacutengulo es el espacio que existe por la formacioacuten de dos semirectas que parten
de un mismo punto Las semirectas se llaman lados y el punto comuacuten veacutertice
Notacioacuten Un aacutengulo se denota de la siguiente forma
Una letra mayuacutescula en el
veacutertice
Una letra griega o un siacutembolo en
la abertura
Tres letras mayuacutesculas
Para medir los aacutengulos se emplean varios sistemas entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal Ademaacutes uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60rsquo) que corresponden cada una de ellas a un minuto a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60) correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo Otro de los sistemas empleados para medir los
aacutengulos es el Sistema Radial donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales radianes equivalen
a 180deg
Para medir un aacutengulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj consideraacutendose en este caso un aacutengulo
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 11
Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 10
positivo
En funcioacuten de la abertura se pueden obtener varios tipos de aacutengulos
Coacutencavo 0deg lt lt 180deg Agudo 0deg lt lt 90deg
Recto = 90deg Obtuso 90deg lt lt 180deg
Convexo 180deg lt lt 360deg Extendido o Llano = 180deg Completo = 360deg
Los aacutengulos tambieacuten se encuentran en pareja
Aacutengulos adyacentes Son aacutengulos que tienen un
lado comuacuten y los otros dos pertenecen a la misma
recta
Aacutengulos consecutivos son aacutengulos que tienen un lado comuacuten y
el mismo veacutertice ltBAC es adyacente con ltDAC
Aacutengulos opuestos por el veacutertice si dos liacuteneas que se intersectan
generan aacutengulos opuestos por el veacutertice son aacutengulos no
adyacentes lt1 lt2 lt3 y lt4 y son aacutengulos congruentes lt1
= lt2 y lt3 = lt4
Aacutengulo obtuso estaacute
comprendido entre 90deg y
180deg no incluyendo estos
valores
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Aacutengulos complementario es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90deg
Asiacute el ltBAC es adyacente al ltDAC y viceversa
Aacutengulos suplementarios es un tipo especial de aacutengulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180deg
De esta forma ltBAC es adyacente
al ltDAC y viceversa
4 Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos estaacuten en un
plano esto es tienen anchura y altura siendo las maacutes
complejas los poliacutegonos que son figuras planas cerradas
definidas por segmentos y los ciacuterculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola liacutenea llamada
circunferencia
En estas figuras se determina el Periacutemetro (P) que es la
longitud de la liacutenea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados
y el Aacuterea (A) que es la porcioacuten de plano ocupada por la figura
41 Poliacutegonos
Un poliacutegono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectiliacuteneos y sus
elementos son
Lado (cada segmento que forma
la liacutenea poligonal)
Veacutertice (cada extremo de los lados
del poliacutegono)
Aacutengulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
poliacutegono
Diagonal (es el segmento que une
dos veacutertices no consecutivos)
Periacutemetro
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 12
El Triaacutengulo es el poliacutegono (o figura plana y cerrada)
de tres lados Sus elementos son Veacutertice A B C
Lados a b c y Aacutengulos y estos aacutengulos
internos suman 180deg es decir
Por otro lado el triaacutengulo se clasifica seguacuten sus lados y
seguacuten sus aacutengulos
Clasificacioacuten de los Triaacutengulos
Seguacuten sus
Lados
(a b c)
Equilaacutetero
Todos los lados iguales
a = b = c
Isoacutesceles
Un lado distinto
a = b c
y
Escaleno
Todos los lados desiguales
a b c
y
Seguacuten sus
aacutengulos
interiores
( )
Acutaacutengulo
Tres aacutengulos agudos
lt 90deg
Rectaacutengulo
Un aacutengulo recto
= 90deg entre a y b
Teorema de Pitaacutegoras
Relaciona todos los lados
de un triaacutengulo
rectaacutengulo
a2 + b2 = c2 donde Hipotenusa c y Catetos a y b
Obtusaacutengulo Un aacutengulo obtuso Ejemplos gt 90deg
a b
c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 13
La altura (h) de un triaacutengulo se obtiene al trazar
una liacutenea perpendicular desde el veacutertice al lado
opuesto o a la prolongacioacuten de eacuteste Ese lado es
considerado la base (b) del triaacutengulo
En base a lo anterior
El aacuterea del triaacutengulo es Atriaacutengulo y
Entonces el periacutemetro es Ptriaacutegulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el aacuterea de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m Ademaacutes determina el
periacutemetro si CA = 45 m y BC = 9 m
Solucioacuten
El aacuterea de un triaacutengulo se define como Atriaacutengulo donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m entonces reemplazando
El periacutemetro del triaacutengulo es y al sustituir se tiene que
15 m2 3 m 5 m
2
A = =
P = CA + AB + BC
P = 45 m + 5 m + 9 m = 185 m
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 14
Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 15
Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
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Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
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httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
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loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Los Cuadrilaacuteteros son poliacutegonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados Sus elementos son Veacutertices A B C D
Lados a b c d Diagonales e f y Aacutengulos
donde Los cuadrilaacuteteros se clasifican
de la siguiente manera Paralelogramo Trapecios y
Trapezoides Acaacute se muestran algunos de ellos con sus
aacutereas y periacutemetros
Cuadrilaacutetero Periacutemetro Aacuterea
Cuadrado
Pcuadrado = 4 middot a
A cuadrado= a2
Rectaacutengulo
Prectaacutengulo= 2 middot (a + b) A rectaacutengulo= a middot b
Rombo
P = 4 middot a
e f diagonales
Romboide o
Paralelogramo
Promboide = 2 middot (a + b)
A romboide= a middot h
Trapecio
P = a + b + c + d
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura Calcular el
periacutemetro las hectaacutereas que tiene y el precio del campo s i el metro
cuadrado cuesta 150 BsF
Solucioacuten
Los datos son b = 170 m h = 28 m Precio = 150 BsF m2
El periacutemetro es la suma de sus lados P rectaacutengulo = b + b + h + h = 2b + 2h
evaluando tenemos que P rectaacutengulo = 2170 m + 228 m = 340 m + 56 m
P rectaacutengulo = 396 m
El aacuterea de un rectaacutengulo es A rectaacutengulo= b h recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado
asiacute 1 hectaacuterea = 10000 msup2 entonces
Finalmente el precio del campo es
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar
Calcula el nuacutemero de baldosas cuadradas de 10 cm de lado
que se necesi tan para enlosar una superf ic ie rectangular de 4 m de
base y 9 m de al tura
Hal lar e l aacuterea de un t r iaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles cuyos lados miden
10 cm cada uno
El per iacutemetro de un t r iaacutengulo equi laacutetero mide 09 dm y la al tura mide
2595 cm Calcula e l aacuterea del t r iaacutengulo
A rectaacutengulo = 170 m 28 m 4760 m2 1 hectaacuterea 0476 hectaacuterea
10000 m2
= =
170 m
28 m
(Recuerda que el periacutemetro es
una longitud y se mide en m)
Precio Campo 150 BsF 4760 m2 714000 BsF
m2
= =
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 16
Calcula el nuacutemero de aacuterboles que pueden plantarse en un terreno
rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho s i cada planta necesi ta
para desarrol larse 4 msup2
El aacuterea de un trapecio es 120 msup2 la al tura 8 m y la base menor mide
10 m iquestCuaacutento mide la otra base
Calcular e l aacuterea de un par alelogramo cuya al tura mide 2 cm y su base
mide 3 veces maacutes que su al tura
Calcula e l aacuterea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la mayor
En el centro de un jardiacuten cuadrado de 150 m de lado hay una pisc ina
tambieacuten cuadrada de 25 m de largo Calcula e l aacuterea del jardiacuten
Calcula el aacuterea del cuadrado que resul ta de uni r los puntos medios de
los lados de un rectaacutengulo cuya base y al tura miden 8 y 6 cm
Cuaacutento vale el aacuterea de la parte subrayada de la f igura s i el aacuterea del
hexaacutegono es de 96 cmsup2
Una zona boscosa t iene forma de t rapecio cuyas bases miden 128 m y
92 m La anchura de la zona mide 40 m Se construye un paseo de 4 m
de ancho perpendicular a las dos bases Calcula el aacuterea de la zona
arbolada que queda
Un jardiacuten rectangular t iene por dimens iones 30 m y 20 m E l jardiacuten estaacute
atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz
Uno t iene un ancho de 8 dm y e l otro 7 dm Calcula el aacuterea del jardiacuten
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 05 kg de
pintura por m2
Hallar el periacutemetro y el aacuterea de la figura
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 17
42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
httpeswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_sagrada
yo en httpwebsadamesrllorenspihomehtm
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 18
De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
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42 Ciacuterculo y Circunferencia
La Circunferencia es el lugar geomeacutetrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R oacute r distancia desde el centro de la
circunferencia y la liacutenea del contorno) Diaacutemetro (D el doble del
valor del radio D = 2r) Cuerda Secante y Tangente
El Ciacuterculo representa la zona achurada es el aacuterea delimitada
por el contorno curvo denominada circunferencia Los
elementos de un ciacuterculo abraca el Segmento Circular que es el
aacuterea o zona comprendida en un arco de la circunferencia y
una recta secante y el Sector Circular que cubre dos Radios y
un arco de la circunferencia Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia
En los caacutelculos de aacuterea de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del nuacutemero irracional Pi () El
nuacutemero Pi es la relacioacuten entre la longitud de la
circunferencia y su diaacutemetro Algo maacutes de ello lo encuentras en
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loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
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Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
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electroacutenicas
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De esta forma en
Circunferencia Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) NO TIENE
________________________
Ciacuterculo Periacutemetro (Po) Po = 2 r
Aacuterea (Ao) Ao = r2
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia y el aacuterea de un ciacuterculo de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
La longitud de la circunferencia es el mismo periacutemetro
Pcircunferencia = 2 r
entonces Pcircunferencia = 2 15 cm = 3141592 30 cm = 942477 cm
Pcircunferencia = 9425 cm
El aacuterea del ciacuterculo es A ciacuterculo = r2 y sustituyendo valores se tiene que
A ciacuterculo = (15cm)2 = 3141592 225 cm2
A ciacuterculo = 70686cm2
La Elipse es una variacioacuten de un ciacuterculo ya que posee dos radios r1 y r2
Asiacute Aacutereaelipse = r1 r2
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 19
5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 20
Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 21
53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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5 Los cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura altura y
profundidad) o lo que es lo mismo volumen o
capacidad ocupando un lugar en el espacio
Las partes baacutesicas de un cuerpo geomeacutetrico son bases
caras laterales y altura
Las figuras geomeacutetricas maacutes importantes son prisma
piraacutemide cilindro cono y esfera
51 Prismas
Un prisma es una figura geomeacutetrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales y dos poliacutegonos iguales y paralelos llamados bases Los
prismas se denominan seguacuten sean sus bases
Prisma triangular (sus bases son triaacutengulos)
Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
Prisma pentagonal (sus bases son pentaacutegonos)
El aacuterea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras
A prisma = (periacutemetro de la base x altura) + (aacuterea de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresioacuten
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 middot a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepiacutepedo
A paralelepiacutepedo = 2middot (amiddotb + amiddotc + bmiddotc)
V paralelepiacutepedo = a middot b middot c
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
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httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
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loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Prisma recto
A prisma recto = P middot (h + a)
V prisma recto = AB middot h (3)
52 Cilindros
Un cilindro es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo
alrededor de uno de sus lados El aacuterea de la superficie de esta figura geomeacutetrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras asiacute que seraacute necesario el
desarrollo del cilindro que es un rectaacutengulo y dos ciacuterculos De esta forma su foacutermula
es
Aacute total cilindro = (Arectaacutengulo )+ (2 x Aciacuterculo)
A total cilindro = 2 π R h ] + (2 π R2)
A total cilindro = 2 π R (h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresioacuten
V cilindro = A base x altura
Es decir V = π R2 middot h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de prismas o paralelepiacutepedos y cilindros en
el siguiente esquema
Obteniendo factor comuacuten 2 π R
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
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Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
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loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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53 Piraacutemides
Una piraacutemide es un poliedro que tiene como base un poliacutegono y cuyas caras
laterales son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten
El aacuterea de la superficie de una piraacutemide es la suma de las superficies de todas sus
caras foacutermula es
A piraacutemide = (Aacuterea de cara lateral x nuacutemero de caras laterales) + (aacuterea de la base)
Ahora el volumen de una piraacutemide es
V piraacutemide = Aacuterea de la base x Altura 3
V piraacutemide = (13)b h
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 23
55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 24
Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 25
Actividad de Control
Revisa esta paacutegina Web para que practiques estos caacutelculos
httpwwwthatquizorges-4
Actividad de Control
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliograacuteficas
Para el estudio del despeje de incoacutegnitas en una ecuacioacuten te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acaacute son textos
de Matemaacutetica usados en Educacioacuten Baacutesica Ademaacutes algunas direcciones
electroacutenicas
Baldor A 2000 Algebra Edit Cultura Venezolana SA
Baldor A 2000 Aritmeacutetica Edit Cultura Venezolana SA
Grupo Editorial Girasol 2007 Guiacutea- Teoacuterica-Praacutectica Matemaacutetica 7 Terra editores
httpwwwacienciasgalileicommatformulariosform-area-volumenhtm
httpens5buenosaireseduardocblogMateDepopdf
httpwwwsectormatematicacldeporteshtm
httpdivulgamatehuesweborriakTestuakOnLine00-01PG00-01-gorriapdf
httpfoks-foksblogspotcom
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Matemaacutetica ndash Geometriacutea Baacutesica- 22
54 Conos
Un cono es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un triaacutengulo
rectaacutengulo alrededor de uno de sus catetos
El aacuterea de la superficie del cono seraacute la de su aacuterea
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al aacuterea del ciacuterculo de la base
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r Entonces podemos establecer la
siguiente relacioacuten entre ambos
torsecdelerficiesup
arcodellongitud
circulodelerficiesup
nciacircunfereladelongitud
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresioacuten
V cono = A de la base x altura 3
V Cono base circular = (13) b h = (13) r2 h
Podemos resumir el caacutelculo del volumen de piraacutemides y conos en el siguiente
esquema
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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55 Esfera
La esfera es la figura geomeacutetrica que se obtiene al hacer girar un
semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
Resueacutelvelos todos son cortos y faacutecil de analizar Calcula e l volumen en cent iacutemetr os cuacutebicos de una habitacioacuten
que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
Calcula la al tura de un pr isma que t iene como aacuterea de la base 12 dm 2 y
48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesi taraacute para hacer 10 botes
de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
Para una f iesta Lu iacute s ha hecho 10 gorros de forma coacutenica con cartoacuten
iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
Actividad de Control
En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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semiciacuterculo alrededor de un diaacutemetro
El aacuterea de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
A esfera =4 r2
Finalmente el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresioacuten
Ejemplo
Tomando los datos del ciacuterculo anterior determine el volumen la esfera de 30 cm de
diaacutemetro
Solucioacuten
Datos = 3141592 D = 30 cm como el r = D 2 entonces r = 15 cm
El volumen de la esfera es V esfera = 43 r3 y sustituyendo valores se tiene
que
V esfera = 43 r3 = 4 3 (15cm)3 = (4 3141592 3375 cm3)3
V esfera = 1413717cm3
Actividad de Control
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que t iene 5 m de largo 40 dm de ancho y 2500 mm de al to
Una piscina tiene 8 m de largo 6 m de ancho y 15 m de profundidad Se pinta la piscina
a razoacuten de 6 BsF el metro cuadrado iquestCuaacutento costaraacute pintarla iquestCuaacutentos l i t ros de
agua seraacuten necesar ios para l lenar la
En un almaceacuten de dimens iones 5 m de largo 3 m de ancho y 2 m de al to
queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo 6 dm de
ancho y 4 dm de al to iquestCuantas cajas podremos almacenar
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48 l de capacidad
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
iquestCuaacutentas losetas cuadradas de 20 cm de lado se neces i tan para recubri r
las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
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iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
radio y 25 cm de generatr i z
Un cubo de 20 cm de ar is ta estaacute l leno de agua iquestCabriacutea esta agua en
una esfera de 20 cm de radio
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de forma ci l iacutendr ica de 10 cm de diaacutemetro y 20 cm de al tura
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base Y la altura
mide 12566 cm Calcular El aacuterea total y su volumen
La cuacutepula de una catedral t iene forma semiesfeacuter ica de diaacutemetro 50 m S i
restaurar la t iene un coste de 300 BsF el m 2 iquestA cuaacutento ascenderaacute el
presupuesto de la restauracioacuten
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las caras de una pisc ina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de
profundidad
Un recipiente ci l iacutendr ico de 5 cm de radio y y 10 cm de al tura se l lena de
agua S i la masa del recipiente l leno es de 2 kg iquestcuaacutel es la masa del
recip iente vaciacuteo
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iquestCuaacutento cartoacuten habraacute ut i l i zado s i las dimens iones del gorro son 15 cm de
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En la figura encuentra diez (10) cuadrados
loz Α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz α loz π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
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