Guia Didactica Unidad8

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

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1 ES

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 8

Tablas y gráficas

CO N T E N I D O

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Debemos ser conscientes de la importancia de los conceptos que se van a trabajar en esta unidad; por tanto, nuestro obje-tivo principal debe ser que los alumnos reconozcan y sepan valorar la presencia de las gráficas y las funciones en la vidaque les rodea. Por ello trataremos de realizar actividades sacadas de contextos reales.

Muchas situaciones del entorno escolar son propicias para la representación gráfica: el registro de la temperatura exte-rior durante un período de tiempo determinado, la relación entre el número de kilos de fruta que compramos y el pre-cio que tenemos que pagar… Tampoco debemos olvidar que la prensa escrita es muy útil para la búsqueda de ejemplosque nos pueden ayudar al desarrollo de todos los contenidos de la unidad.

Intentaremos que representen e identifiquen puntos en el plano mediante sus coordenadas cartesianas, haciéndolesver la importancia de que las coordenadas son pares ordenados.

Pondremos ejemplos de tablas en las que se recoja la relación de dependencia existente entre dos magnitudes. Un ejemploque verán muy claro y cercano a ellos será la relación entre el tiempo de duración de una llamada y el coste de la misma.

Los alumnos deben apreciar la importancia de este tema aplicado a la vida real, aprender que muchas relaciones que venson funciones y ser capaces de escribir estas relaciones mediante fórmulas o de representarlas en los ejes coordenados.

Aprovecharemos los contenidos de proporcionalidad directa de la unidad seis para trabajar con las funciones lineales,intentando que vean la relación que existe entre magnitudes directamente proporcionales.

• Ejes de coordenadas. Eje de abscisas y eje de ordenadas.Origen de ordenadas

• Coordenadas de un punto• Representación en el plano de puntos determinados por

sus coordenadas cartesianas• Relaciones dadas por tablas• Relaciones dadas por gráficas

• Relaciones dadas por fórmulas• Función• Variables dependiente e independiente• Representación gráfica de una función• Función lineal o de proporcionalidad directa• Pendiente

Unidad 8 Tablas y gráficas

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Representar e interpretar puntosen el plano.

1.1 Localizar y representar puntosen el plano a partir de sus coor-denadas cartesianas.

1.2 Representar una situaciónmediante un punto en los ejescoordenados.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana

• Tratamiento de la información ycompetencia digital

• Aprender a aprender

2. Identificar si dos variables estánrelacionadas mediante una fun-ción y distinguir entre variablesdependiente e independiente.

2.1 Diferenciar si dos variables estánrelacionadas o no mediante unafunción, distinguiendo las variablesdependiente e independiente.

2.2 Representar e interpretar unafunción mediante tablas, gráfi-cas o fórmulas, y saber pasar deunas a otras.

2.3 Reconocer e interpretar enun-ciados que correspondan a fun-ciones sencillas de la vida.

3. Reconocer e interpretar funcio-nes lineales sencillas.

3.1 Reconocer, interpretar, repre-sentar y relacionar las funcio-nes lineales con las magnitudesdirectamente proporcionales.


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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosPara poder identificar y representar las funciones lineales o de proporcionalidad directa es necesario que los alumnossepan identificar variables directamente proporcionales y construyan la tabla de valores asociada.

2. Previsión de dificultadesUna de las dificultades que pueden surgir es en la interpretación de gráficas, ya que esta actividad exige que los alum-nos analicen a la vez la evolución de dos variables, lo cual requiere un elevado grado de abstracción.

3. Vinculación con otras áreasLos contenidos desarrollados en la unidad facilitan la interpretación de situaciones relacionadas con las ciencias natu-rales y las ciencias sociales. Respecto a las primeras, es clara la utilidad de las técnicas estudiadas para el manejo dedatos obtenidos a partir de la observación de un fenómeno físico, biológico, meteorológico, etc., y la posterior extracciónde conclusiones a partir de los mismos. La conexión con las ciencias sociales se produce a partir de los numerososfenómenos cuya evolución con el tiempo se describe mediante gráficas.

4. Esquema general de la unidadCada día somos bombardeados con miles de datos: en la prensa, en la radio, en la televisión, etc. Por eso, en este tematrataremos de que el alumno vea y sepa interpretar esa información mediante gráficas o funciones.

Comenzaremos con la representación de puntos en los ejesde coordenadas o cartesianos, para pasar después a lasdistintas relaciones con las que vamos a trabajar: relacio-nes dadas por tablas, por gráficas o por fórmulas. Vere-mos cómo se puede pasar de una relación a otra.

Introduciremos el concepto de función, distinguiendo lasvariables dependiente e independiente. Pondremos ejem-plos de tablas, gráficas e incluso fórmulas que no corres-ponden a funciones, para que los alumnos se vayan fami-liarizando con esta definición.

Representaremos funciones a partir de los siguientes pasos:construcción de una tabla, representación de los puntosobtenidos y estudio del sentido de la unión de los puntos.

Acabaremos con las funciones lineales o de proporciona-lidad directa, caso particular de funciones.

Pero, como dijimos al principio, lo importante de este temaradica en la capacidad de interpretar y construir gráficas,para lo cual intentaremos que los ejemplos y ejerciciossean más abundantes.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:

1.ª Introducción. Coordenadas en el plano.

2.ª Relaciones dadas por tablas.

3.ª Relaciones dadas por gráficas.

4.ª Relaciones dadas por fórmulas.

5.ª Función. Representación gráfica.

6.ª Función de proporcionalidad directa.

7.ª Actividades de consolidación.

8.ª Pon a prueba tus competencias.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Tablas y gráficas Unidad 8

TABLAS Y GRÁFICAS

Ejescoordenados

Relacionesde variables

Funciones

Coordenadas Tablas

Gráficas

Fórmulas

Variableindependiente

Variabledependiente

Función de proporcionalidad directa

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, la sección “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enun-ciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunica-ción escrita y comunicación oral.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

No obstante, al estar dedicada esta unidad a funciones, tablas y gráficas, son las subcompetencias razonamiento y argu-mentación y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcom-petencias aplicación del método científico en diferentes contextos, conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y medio natural y sostenible.

Competencia social y ciudadanaA través del tema de la actividad “Moverse en una cuadrícula” podremos trabajar algunos de los descriptores de la sub-competencia participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, valorando la labor de la ONU al servicio de lasociedad.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competen-cia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y deconstrucción del conocimiento.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.



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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación oral.

Valorar el diálogo como medio pararesolver conflictos, interactuar ymediar de forma adecuada sabiendoescuchar y mostrándose disponible alintercambio de ideas.

– Participa en debates en clase, respetandolas intervenciones de los compañeros.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Comunicación escrita.Conocer y comprender diferentes tiposde textos con distintas intencionescomunicativas.

– Expresa con fórmulas situaciones realesdescritas con lenguaje ordinario.

Actividades 14 y 39

Matemática

Razonamiento yargumentación.

Interpretar y expresar con claridad yprecisión distintos tipos deinformación, datos yargumentaciones, utilizandovocabulario matemático.

– Interpreta gráficas que representensituaciones de la realidad.

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones realeso simuladas de la vida cotidiana.

Conocer y aplicar herramientasmatemáticas para interpretar yproducir distintos tipos deinformación (numeración, gráfica…).

– Identifica relaciones de proporcionalidaddirecta y las expresa mediante una funciónlineal.

– Representa gráficas.

– Identifica puntos en el plano cartesiano.

En toda la unidad

Interacción conel mundo físico

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico.

Ser conscientes de las implicacioneséticas de la aplicación científica ytecnológica en diferentes ámbitos y desus limitaciones.

– Entiende la necesidad de la normalizaciónpara el progreso humano.Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, interpreta gráficas

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Tomar decisiones sobre el mundo físicoy sobre los cambios que la actividadhumana produce en el medioambientey la calidad de vida de las personas.

– Fomenta el reciclaje y el ahorro de laenergía. Valora los beneficios que aporta.

Actividades 6 y 7

Social y ciudadanaParticipación cívica,convivencia y resoluciónde conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades,responsabilidades y deberes cívicos;desarrollar actitudes de cooperación ydefender los derechos de los demás.

– Valora el papel de la ONU en las relacionesinternacionales y la resolución de conflictos.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internetpara complementar la información.En la red

– Visita la página librosvivos.netActividades 4 y 22, organiza tus ideas,autoevaluación

Organiza y analiza la información,transformándola en esquemas de fácilcomprensión.

– Interpreta enunciados y los representa enforma gráfica.

Pon a prueba tus competencias: Calcula y resuelve

Autonomía e iniciativapersonal

Planificación yrealización deproyectos.

Afrontar los problemas de formacreativa, aprender de los errores,reelaborar los planteamientos previos,elaborar nuevas ideas, buscarsoluciones y llevarlas a la práctica.

– Resuelve problemas con respuesta múltiple.

Actividades de ampliación


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EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación para el medioambiente: actividad 6.

• Educación para el consumo: actividad 40.

• Educación ciudadana: actividad 53.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


SM

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: “Proporcionalidad, gráficas y estadística”.

– Unidad II: Gráficas.

• Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

– ¿Qué tiempo hace?

• Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.º de ESO.

– Unidades 6 y 7.

Otros • LACASTA, E., y PASCUAL, J. R.: Las funciones en los gráficos cartesianos. Madrid. Síntesis. 1998

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Páginas de los libros interactivos del MEC sobre coordenadas cartesianas e interpreta-ción de gráficas:

www.e-sm.net/1esomatprd14

www.e-sm.net/1esomatprd15

• Utilización de la calculadora para el cálculo de valores de una función conocida su fórmula.

• Prensa, para la interpretación de gráficas que ya están construidas.


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Sugerencias didácticas

Entrada

Desarrolla tus competencias

La foto que ilustra la entrada permite comprobar cuál es laestructura de una ciudad y apreciar las ventajas que tiene,ya que la podemos interpretar como unos ejes coordena-dos donde la confluencia de dos calles puede considerar-se como un par ordenado de puntos.

2. Relaciones dadas por tablas

la interpretación del par ordenado, podemos indicarles queconsideren el par como unas coordenadas de desplaza-miento sobre un terreno:

– El punto de partida es el origen.

– La primera coordenada indica un desplazamientohorizontal, hacia la izquierda si es negativa, o haciala derecha si es positiva.

– La segunda coordenada indica un desplazamientovertical, hacia arriba si es positiva, o hacia abajo si esnegativa.

• Habrá que hacer hincapié en los puntos que tienen unade sus coordenadas nula, ya que los alumnos tienen difi-cultades a la hora de asimilar su situación en los ejes.Para ello usaremos el mismo símil que antes, indicandoque si, por ejemplo la primera coordenada es nula, norealizamos desplazamiento horizontal, y, por tanto, elpunto quedará situado sobre el eje Y. Por el contrario sila segunda coordenada es nula solo realizamos despla-zamiento horizontal, y, por tanto, el punto quedará situa-do sobre el eje X.

• Es muy útil dibujar en la pizarra unos ejes coordenadosy marcar en ellos diferentes puntos e ir preguntando atodos los alumnos, uno por uno, las coordenadas de unode los puntos.

• También podríamos darles las coordenadas de los pun-tos que forman una figura en el plano, para que los repre-senten, los unan e indiquen la figura que resulta.

• Podemos ir introduciendo la idea de función para com-pletarla en el epígrafe 5 de la unidad más formalmente.

• Es importante que vean desde un primer momento quepara que una relación sea una función, a cada valor de laprimera magnitud le debe corresponder un único valorde la segunda.

• Hacer hincapié en el concepto de dependencia e inde-pendencia a partir de ejemplos cotidianos, y que ellossean capaces de ver cuál es la variable dependiente ycuál la independiente.

1. Coordenadas en el plano• Debemos insistir en la colocación de los números nega-

tivos a la izquierda del eje horizontal, pero también sepueden representar en la parte inferior del vertical.

• Los alumnos suelen confundir los nombres de los ejes,por lo que recordaremos las veces que sea necesario queel eje de abscisas es el horizontal, y el de ordenadas, elvertical.

• Analizaremos detenidamente cómo varían los signos delas coordenadas del par dependiendo del cuadrante en quese encuentre el punto:

– Primer cuadrante: positivo – positivo.

– Segundo cuadrante: negativo – positivo.

– Tercer cuadrante: negativo – negativo.

– Cuarto cuadrante: positivo – negativo.

De este modo será más fácil que entiendan la importan-cia de no cambiar el orden de las coordenadas, puesobtendremos otro punto distinto, en muchas ocasionesperteneciente incluso a otro cuadrante, debido a la dife-rencia de los signos.

• Conviene destacar que al representar un punto, la pri-mera coordenada se hace en el eje de abscisas, y la segun-da, en el eje de ordenadas. Para que les resulte más fácil

1. Con esta actividad, los alumnos ya empiezan a familia-rizarse con los desplazamientos sobre una cuadrícula, yasí resultará más fácil introducir en el epígrafe 1 lascoordenadas cartesianas, tal y como indican las suge-rencias didácticas.

2. Esta actividad nos servirá para que los alumnos inter-preten las manzanas como las regiones que resultan dedividir los ejes en sus marcas de clase.

3. Podemos sugerir a los alumnos que busquen las vistasaéreas de estas ciudades desde Google Maps. Cuandolas localicen verán que lo que tienen en común las cua-tro ciudades es que son circulares.

Les podemos pedir que también busquen la vista aéreade su ciudad y que la comparen con las anteriores.

Entre las ventajas que encontrarán en el diseño circulardestacaremos que pueden ir del centro de la ciudad a laperiferia de una forma más clara y rápida.

4. Se podría enlazar esta actividad con la anterior y deba-tir en clase las ventajas e inconvenientes de cada uno delos tres tipos de ciudades.

La resolución de todas estas actividades permite que losalumnos entiendan la necesidad de normalización en elmundo que nos rodea.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2, 32 y 33

Medio 33 y 34

Alto 35


Básico 36

Medio 6, 7 y 37


6 y 7. Estos ejemplos de funciones nos servirán para demos-trar que muchos fenómenos del mundo que nos rodea sedescriben mediante las diferentes representaciones delas funciones.

6. Representación gráfica de unafunción

• Para representar gráficamente una función, debemosindicar a los alumnos que lo primero que deben hacer esla tabla de valores.

• Una vez hecha la tabla de valores, harán las divisionesde los ejes. Conviene advertirles que estas divisiones notienen por qué mantener la misma escala. De hecho, enel ejemplo de la teoría se aprecia perfectamente que nohay la misma escala.

• Por último, una vez representados los pares ordenadosde la tabla de valores, se unirán si dentro del contexto dela función tiene sentido o no.

• Es necesario indicar a los alumnos que, aunque cada unode ellos haga la tabla de valores con diferentes datos, elresultado de la gráfica siempre va a ser el mismo.

• Cuando tengan que representar gráficas de funcioneslineales, como la de la actividad 24, hay que advertirlesque tienen que trazar toda la recta, no solo el segmentoque une los pares obtenidos en la tabla de valores.

7. Representación gráfica de laproporcionalidad directa

• Hacer ver al alumno que estas funciones no deben sertratadas de una forma aislada. Son un caso particular delos que hemos visto.

• Sería conveniente volver sobre algunos de los ejerciciosde la unidad 6 para que vean con más claridad la relaciónexistente con la razón de proporcionalidad directa e indi-car que cuando se trata de funciones se denomina pen-diente.

• Mencionar que todas las funciones de proporcionalidaddirecta deben pasar por el origen de coordenadas. Paraello podríamos dibujar en unos mismos ejes un par derectas.

8


• Practicaremos con los alumnos sobre gráficas dibuja-das, para que sepan en cada momento si la pregunta queles hacen se debe responder fijándonos en el eje X o enel eje Y.

• Podemos ayudarnos de las gráficas encontradas en revis-tas o en la prensa diaria para realizar actividades en esteapartado.

• Conviene destacar que no todas las gráficas represen-tan una función. Para ello les pondremos una gráfica enla que un punto x tenga dos valores diferentes. De estemodo preparamos el terreno para el concepto de fun-ción, que se da en el epígrafe siguiente.

4. Relaciones dadas por fórmulas

• Trataremos de que los alumnos distingan situaciones quecorresponden a funciones de otras que no lo son.

• Insistir en que los tres apartados anteriores son tres for-mas distintas de representar lo que se formaliza en esteapartado. Podemos hacer ejercicios en los que el alum-no tenga que pasar de una forma de representación a otra.

• Este apartado completa los dos anteriores. Por tanto,sería bueno volver a tratar los conceptos básicos de lasfunciones, marcándolos sobre la fórmula: y = variabledependiente, x = variable independiente, obtención deun único valor de y con la fórmula…

• Incidir en la traducción al lenguaje algebraico de distin-tas relaciones. Los alumnos ya están familiarizados conél, puesto que se ha desarrollado extensamente en launidad 7.

• Debemos realizar muchos ejercicios de obtención de valo-res antes de hacer representaciones de funciones, insis-tiendo en que se acostumbren a desarrollar todas lasoperaciones, para no poner el resultado directamente.

5. Concepto de función

• Hacer ver al alumno que y = f(x), pudiendo ser utilizadode forma indistinta cualquiera de los dos.

• Realizaremos ejercicios en los que el alumno tenga quedistinguir entre variable dependiente y variable indepen-diente, para que queden claros los conceptos.


Básico 15 y 24

Medio 26, 43, 44 y 56

Alto 45, 46 y 61


Básico 18, 19, 41 y 42

Medio 20 y 21

Alto 58 y 59



Básico 9 y 54

Medio 10, 40, 55 y 57

Alto 60, 64 y 65

14 y 39. Con estas actividades trabajaremos la competen-cia lingüística, ya que los alumnos deberán esforzarse encomprender la descripción verbal que se hace de la fun-ción para luego transcribirla al lenguaje algebraico.


Básico 12 a 14, 38 y 39

Medio 15 y 16

Alto 62 y 63

3. Relaciones dadas por gráficas• Es bueno detenernos en este apartado, ya que a algunos

alumnos les suele costar bastante trabajo la interpreta-ción de las gráficas dibujadas para contestar a determi-nadas preguntas.

9


• Para que interpreten el papel que juega la pendiente enlas funciones de proporcionalidad directa, deberíamosdibujar en unos mismos ejes estas cuatro funciones:

Con estos ejemplos, los alumnos asociarán a cada tipo derecta si su pendiente es negativa, menor que 1…

y x= −12

y x= −2y x=12

y x= 2

Pon a prueba tus competencias

APRENDE A PENSAR: MOVERSE EN CUADRÍCULA

Las actividades planteadas en este apartado son conti-nuación de las del texto de entrada. La ciudad de NuevaYork es un claro ejemplo de ciudad cuadriculada. Además,gracias a los nombres que tienen las diferentes calles, yque se aprecian en el plano, los alumnos entenderán mejorel significado de cuadrícula.

Como en el texto se habla sobre la ONU, podemos aprove-char esta información y ampliarla, para desarrollar en losalumnos la competencia social y ciudadana, haciéndoles verla importancia del papel que desempeña la ONU en la reso-lución de los conflictos internacionales y fomentando en ellosun espíritu cívico y de respeto a los ciudadanos del mundo.

INTERPRETA GRÁFICAS: LAS MARGARITAS

En esta actividad, los alumnos deben aplicar los contenidosaprendidos en la interpretación de gráficas y se vuelve aponer de manifiesto cómo las funciones nos sirven parainterpretar situaciones y describir fenómenos del mundoque nos rodea.

CALCULA Y RESUELVE: EL CINE

Esta actividad es muy útil para los alumnos, ya que les per-mite ver cómo las matemáticas pueden ser utilizadas en supropio beneficio para decidir cuál es la solución más ópti-ma ante un problema cotidiano.


Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

Organiza tus ideas

En esta página nos encontramos un esquema de los con-ceptos que se han desarrollado a lo largo de toda la unidad.Esto nos da una idea general para poder desarrollar loscontenidos de cada uno de los epígrafes y alcanzar los obje-tivos que nos hemos propuesto.

Está dividida en tres núcleos principales:

– Coordenadas en el plano, representación.

– Función y relación de las distintas formas de expresaruna función: tablas, gráficas y fórmulas.

– Estudio de la función de proporcionalidad directa.

Para repasar con los alumnos todos los contenidos de la uni-dad, resulta muy interesante completar con ejemplos losapartados en donde no figuren. Les podemos decir quedibujen unos ejes coordenados y marquen en ellos los pun-tos A(3, 2), B(–2, 3), C(–3, –2), D(2, –3).

También puede ser interesante que con sus palabras inten-ten explicar cómo pasar de una forma de representación aotra, corrigiéndoles nosotros posteriormente.



Básico 28, 29, 47 a 49 y 53

Medio 30, 31 y 50

Alto 51 y 52

10

Actividades de refuerzo

Unidad 8 Tablas y gráficasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Al finalizar la unidad, el alumno debe saber representar puntos sobre los ejes de coordenadas, obtener valores de lafórmula de una función y dibujar su gráfica. Se debe insistir también en la interpretación de funciones que ya están dibu-jadas.

• Manejar con soltura la representación de puntos en los ejes de coordenadas, para pasar después a las funciones.

• Trabajar el concepto de función: cuándo una gráfica corresponde a una función o no, variable dependiente e inde-pendiente.

• Interpretar gráficas.

• Hay que hacerles ver que este tema es muy importante para el desarrollo posterior de las matemáticas y que los con-ceptos de este tema están relacionados, por ejemplo, con las magnitudes directamente proporcionales.

• Insistir en que las funciones se encuentran en casi todos los ámbitos. Podemos utilizar periódicos, revistas, etc.,para buscar ejemplos reales que lleguen al alumno.

1. A: Marcos; B: Ángel; C: Cristina; D: Rosa; E: Casimiro; F: Marcial.

2. a) A (–4, 1) b) B (–3, –3)C (3, 0)

3. Primera tabla → y = 3x + 1 Segunda tabla → y = –2x + 1 Tercera tabla → y = 3x + 5

4. I c) II a) III b) IV d)

5. a) 210 km b) 800 m c) 125 km

1

1

O

Y

X

DE

G F

H

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Hundir la flota

Cada alumno tiene que dibujar unos ejes de coordenadas como losde la figura y tres barquitos que tienen que cubrir una, dos y trescoordenadas en forma horizontal o vertical.

Los alumnos se colocan por parejas y se elige al azar quién empieza.

Por turnos, cada uno debe indicar un punto, el otro deberá decir“tocado” si en la coordenada hay un barco, pero quedan partes de estepor descubrir; “hundido” si se han descubierto todos los puntos deese barco, o “agua” si en ese punto no hay barco.

Gana el jugador que “hunde” todos los barcos del adversario.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


O 1

1

X

Y

11

1. Te presentamos a la familia Moraga. De izquierda a derecha: el abuelo Marcial, de 65 años y jubilado; elpequeño Marcos, de 2 años y todavía en la guardería; Ángel, de 12 años, estudiante de 1.º de ESO; Rosa,la madre, de 43 años; Casimiro, de 46 años, agente de seguros, y por último, Cristina, la hija mayor,estudiante de universidad, de 19 años. ¿Sabrías asociar cada uno de nuestros personajes con uno de lospuntos de la gráfica?

2. a) Escribe las coordenadas de los vértices del triángulo.

b) Representa en el plano los siguientes puntos.

D(2, 5) E(–1, 4) F(2, –3) G(–2, –3) H(4, 0)

3. Une cada fórmula con su tabla de valores.

y = 3x + 5 y = 3x + 1 y = –2x + 1

4. Encaja las piezas del puzle de forma que coincida la fórmula de la función con su representación gráfica.

I a) III c)

II b) IV d)

5. En la siguiente gráfica se representa el recorrido de una etapa ciclista. Fíjate bien en el dibujo y respondea las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la longitud de la etapa?

b) ¿A cuántos metros de altura está el alto del chiquero?

c) ¿Cuántos kilómetros de bajada tiene la etapa?

C

40 75 120 160 210Distancia (km)

0

Alto

(m

)

400

600

800

537

AB

D

Alto del Chiquero

y = x

y = 2x

y = –3x

y = –x

x 0 1 2

Y 5 8 11

x 0 –1 1

Y 1 3 –1

x –1 0 2

Y –2 1 7

FD

E

B C

A1,00

1,40

1,80

Altu

ra (

m)

0,60

0,20

1,20

1,60

10 20 30 40 50 60 70Edad (años)

00,00

1,001,201,401,601,802,00

0,50

Altu

ra (

m)

O

Y

X

A

B

C1

1


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na

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iab

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ACTIVIDADES de REFUERZO


12


Unidad 8 Tablas y gráficasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que han alcanzado los objetivos propuestos en la uni-dad y que tienen la posibilidad de avanzar un poco más.

Podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, y también otros donde aparezcan varias fun-ciones representadas sobre los mismos ejes.

Nos centraremos en la interpretación gráfica, por ser esta una de las aplicaciones más directas de las funciones.

También les propondremos que representen funciones en las que algunos de sus términos estén compuestos por frac-ciones. Sería interesante que les enseñásemos a probar algunos valores antes de representar, para conseguir que losresultados obtenidos estén formados por números enteros.

1. a) Sí. b) No.

2. a)

b)

3. a)

b) La población que ha tenido un mayor porcentaje decrecimiento es la de los hombres. Dicho porcentajees 4,6.

4. a) Dedicaban menos dinero al ahorro en el tercer tri-mestre de 2007.

Dedicaban más en el tercer trimestre de 2005 y enel cuarto trimestre de 2008.

b) 2%

5. a) Apartamentos: mayo de 2010.

Alojamientos de turismo rural: enero de 2010.

Campamentos: mayo de 2009 y abril de 2010.

b) Agosto de 2009.

6. La función es: y = 1,95 + 0,92x.

A 20 km del aeropuerto: 20,35 €

Pagando 29,55 € habríamos tomado el taxi a 30 km delaeropuerto.

7. La función que nos permite cambiar el dinero es:

y = 1,45x

Por 15 euros nos darían 21,75 dólares.

Es una función lineal, la variable independiente son loseuros, y la dependiente, los dólares.

220

235

250

265

N.º

de

mile

s de

per

sona

s

2006 2007 2008 2009

MujeresHombres

1

1O X

Y

1

1O X

Y

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Funciones humanas

Retira los pupitres de la parte central de la clase y, sobre la cuadrícula que forman los azulejos, dibuja unos ejes coor-denados.

Pide a cada alumno que escriba una función y haz una lista con todas. Luego, divide la clase en grupos de tres. Cada gru-po deberá elegir al azar una de las funciones y, cogiéndose de las manos, tendrán que representarla sobre la cuadrícu-la del suelo, de forma que estén encima de uno de los puntos de la función y los brazos imiten una recta.

El grupo que represente mal la recta quedará eliminado.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


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1. Di si los siguientes conjuntos de puntos están alineados.

a) A(0, –1), B(1, 2) y C(2, 5). b) D(0, –5), E(1, –3) y F(3, 2).

2. Representa las siguientes funciones.

a) b)

3. La tabla adjunta nos muestra la evolución de la población masculina y femenina de la provincia de Ciu-dad Real.

Se pide:

a) Dibujar en los mismos ejes de coordenadas una gráficaaproximada para el crecimiento de hombres y otra para elcrecimiento de mujeres.

b) ¿Cuál de las dos poblaciones ha experimentado un mayorporcentaje de crecimiento? ¿Cuál es ese porcentaje?

4. La siguiente gráfica muestra el porcentaje destinado al ahorro de una familia.

a) ¿En qué época podían dedicar menos dine-ro al ahorro? ¿Y más?

b) ¿Qué diferencia de porcentaje hay entre eltercer trimestre de 2008 y el primer tri-mestre de 2007?

5. La siguiente gráfica nos muestra la evolución del grado de ocupación por tipo de alojamiento de vaca-ciones.

a) ¿Cuándo se produce la menor ocupación de apartamentos?¿Y de alojamientos de turismo rural? ¿Y de campamentos?

b) ¿En qué fecha habríamos tenido más dificultad para encontraralojamiento?

6. Para ir al aeropuerto de Barajas tomamos un taxi. Nos cobran 1,95 euros por la bajada de bandera y0,92 euros por cada kilómetro recorrido. ¿Cuál es la función que relaciona el precio del trayecto con loskilómetros recorridos?

a) Si hemos tomado el taxi a 20 kilómetros del aeropuerto, ¿cuánto debemos pagar?

b) Y si hubiéramos pagado 29,55 euros, ¿a cuántos kilómetros del aeropuerto habríamos tomado el taxi?

7. Sabiendo que 1 euro equivale a 1,45 dólares, escribe una función que nos permita cambiar dinero eneuros por dinero en dólares. ¿Cuántos dólares nos darían por 15 euros?

La función que has obtenido, ¿es lineal? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente?

20092005 2006 2007 2008

34

35

36

37

38

39

40Pueden dedicar dinero al ahorro

Cada división verticalrepresenta un trimestre

May

-09

Jun-

09

Jul-0

9

Ago-

09

Sep

-09

Oct

-09

Nov

-09

Dic

-09

Ene-

10

Feb-

10

Mar

-10

Abr-1

0

May

-10

Alojamientos de turismo ruralApartamentos Acampadas

Evolución del grado de ocupaciónpor tipo de alojamiento

020

40

60

80

Año Mujeres Hombres

2009 264 235 263 038

2008 261 694 260 649

2007 256 649 253 473

2006 255 299 251 565

f x x xx x( ) =

−si es mayor quesi es menor o igual que

00

⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

f xx x( ) =

si es mayor o igual quex xsi es menor que4 0

2 00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen representados en los ejes decoordenadas.

2. Representa en los ejes de coordenadas los siguientes puntos.

A(2, 3) B(3, –1) C(–2, 4) D(2, –3) E(0, –2) F(–3, 0)

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados corresponden a una función.

a) El número de personas que trabajan en la pesca y la cantidad de pescado recogida.

b) La cantidad de dinero que obtenemos al vender manzanas a 1,20 €/kg.

c) Hacemos corresponder a cada persona los días de vacaciones que tuvo en navidades y en verano.

4. De los enunciados que corresponden a funciones en el ejercicio 3, indica cuáles son las variables depen-diente e independiente.

5. En la siguiente tabla se muestra la evolución del número de habitantes de Luciana (Ciudad Real) en elsiglo XX.

a) Dibuja la gráfica correspondiente a la tabla.

b) Fijándote en la gráfica, ¿qué población había en 1930 aproximadamente?

6. Dada la fórmula y � 2x � 3, calcula el valor de y para los siguientes valores de x.

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) –1 f) –3

7. Determina la fórmula que relaciona los valores de la tabla.

8. Copia y completa la tabla de magnitudes directamente proporcionales y escribe la fórmula de la funciónque las relaciona. A continuación represéntala.

9. En una tienda de fotografía digital cobran 20 céntimos por cada fotografía impresa.

a) Escribe la fórmula de la función que se deduce del enunciado anterior.

b) Representa gráficamente la función.

x 2 1 0 –1 –2

y –3 6

x –1 0 1 2

y 1 3 5 7

Año 1900 1920 1950 1960 1980

Habitantes 800 740 650 620 560

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


B

E

1

O 1

A

C

D

F

15

Pági

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le

1. A(–2, 2), B(2, 5), C(0, 4), D(–1, –2), E(1, –4), F(3, 0)

2.

3. a) Corresponde a una función.

b) Corresponde a una función.

c) No corresponde a una función.

4. a) La variable independiente son los pescadores, y la dependiente, el pescado.

b) La variable independiente son las manzanas, y la dependiente, la cantidad de dinero.

c) No es función.

5. a) b) 700 habitantes aproximadamente.

6. a) y = 3 c) y = –1 e) y = –5

b) y = 1 d) y = –3 f) y = –9

7. y = 2x + 3

8. y = –3x

9. a) y = 0,20 · x b)

0,200,400,600,801,001,20

Prec

io (

€)

0 1 2 3 4 5 6Nº. de fotos

X

Y

1

1

y = _3x

O

x y

2 –6

1 –3

0 0

–1 3

–2 6

200

400

600

800

N.º

de

habi

tant

es

1900 1920 19601950 1980

X

Y

O

A

B

C

DE

F

1

1

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



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