Preuniversitario Estudiantil Juan Pablo Jimenez

Sector Matemticas

Semana 5: Ecuaciones de primer grado y Ecuacin de la recta

Una ecuacin es una igualdad que se compone por dos miembros

1 = 2 Todas las operaciones que se realicen deben afectar a ambos miembros de la misma forma, con

el fin de mantener la igualdad.

I. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos en la forma 1(1, 1) y 2(2, 2) est dada por la ecuacin:

12 = (2 1)2 + (2 1)2

II. Ecuacin de la Recta

La ecuacin de la recta se puede representar conociendo dos puntos en el plano cartesiano o un

punto y la pendiente de la recta. La ecuacin de la recta slo existe conceptualmente en el plano

cartesiano. Se define de las siguientes maneras (para todos los casos, el eje de las ordenadas es

representado por y el eje de las abscisas por :

1.- Ecuacin general de la recta.

+ + = 0 ; ,

2.- Ecuacin principal de la recta.

= +

Donde responde a la pendiente de la recta y al coeficiente de posicin, donde la recta corta

al eje de las ordenadas.

Se definen dos puntos: 1(1, 1) y 2(2, 2)

Para construir la ecuacin de la recta conociendo dos puntos se resuelve:

1 = (2121

) ( 1) ..(1)

La expresin (2121

) corresponde a la pendiente de la recta.

Ejemplo: Defina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos 1(3,4) y 2(2,6)

Reemplazamos en la ecuacin (1)

4 = (6 4

2 3) ( 3)

Resolvemos el parntesis

4 = (2

5) ( 3)

Distribuimos el parntesis del segundo miembro de la ecuacin

4 = (2

5) +

6

5

Dejamos en forma de la ecuacin principal de la recta:

= 2

5 +

26

5

Dejamos en la forma de la ecuacin general de la recta:

+2

5

26

5= 0

*Notas: (i) Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales ->1 = 2

(ii) Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, 1 2 = 1

III. Mtodo de solucin para sistemas de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones lineales se define de la forma:

{1 + 1 = 12 + 2 = 2

Existen muchos mtodos de solucin para estos sistemas. Veremos 4:

1. Mtodo de sustitucin: Consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier

incgnita, de preferencia, aquella que tenga el menos coeficiente y posteriormente

reemplazar este valor en la otra ecuacin. Para el sistema definido arriba:

Despejamos en la primera ecuacin: =11

1

Reemplazamos ste valor de x en la segunda ecuacin:

2 [1 1

1] + 2 = 2

Ahora tendremos la segunda ecuacin slo en trminos de , as que resolviendo quedara:

=[2

211]

[211 + 2]

Finalmente se reemplaza el valor numrico de en la primera ecuacin y se obtiene el valor de

x. Algebricamente el resultado sera:

=

(1 [2

211]

[211 + 2]

)

1

2. Mtodo de igualacin: Se igualan ambas ecuaciones a una de las variables, y se resuelve

la ecuacin que quede. Para la descripcin del sistema de ms arriba:

{

1 1

1=

2 2

2=

1 1

1=2 2

2

Desde donde posteriormente se despeja el valor de , para finalmente obtener el valor

de por reemplazo en cualquiera de las ecuaciones.

3. Mtodo de Reduccin: Se transforma una de las ecuaciones (amplificando o reduciendo

la ecuacin) para que en ambas ecuaciones los trminos que acompaan a o sean

iguales y poder restarlos. A continuacin un ejemplo numrico:

{3 + 6 = 2 + 3 = 4

Notamos que el trmino que acompaa a en la segunda ecuacin queda igual al de la primera

si amplificamos la ecuacin por 2:

{3 + 6 = 22 + 6 = 8

Ahora restamos ambas ecuaciones:

{3 + 6 = 22 + 6 = 8 + 0 = 10

Por lo tanto = 10 y reemplazando en cualquiera de las ecuaciones originales (por ejemplo,

la segunda), tenemos que:

10 + 3 = 4 3 = 14

=14

3

Y la solucin es = 10, =14

3 o = (10,

14

3)

4. Mtodo o Regla de Cramer (No, no es el comediante): En este mtodo se utilizan los

determinantes (No se explicar que es un determinante ni qu es una matriz por un

tema prctico. Si algunx de ustedes tuviera inters en ello, no duden en preguntar a

cualquiera de nosotros). Repetimos el sistema de siempre:

{1 + 1 = 12 + 2 = 2

Ahora, consideraremos la siguiente solucin:

=det ()

det() ; =

det(Ay)

det(A)

Donde:

det() = |1 12 2

| = 12 21

det() = |1 12 2

| = 12 21

det() = |1 12 2

| = 12 21

Por lo tanto, =1221

1221 e =

1221

1221

Existen varias extensiones de este trabajo para n ecuaciones. Para los sistemas de tres

ecuaciones se llama regla de Sarrus.

Ejercicios

1.- Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) + 3 = 3

5 e)

4

3=

5

2

b) 1

63

2= 1 f) 6 (

+1

823

16) = 3 (

3

4

1

4)

3

8(3 2)

c) 4( 10) = 6(2 ) 6 g) 2

3[ (1

2

3)] + 1 =

d) 2( + 1) 3( 2) = + 6 h) 32 2(3)

3= 3 ( +

12

11)

2.- Encuentre la distancia y la ecuacin de la recta para los siguientes puntos:

a) 1(3,4); 2(1,2) b) 3(4,1); 4(6,3) c) 5(2,5); 6(7,5) d) 7(7,3); 8(1,2) e) 9(2,4); 10(4,1) f) 11(0,9); 12(0,3) g) 13(5,1); 14(5,6) h) 15(1,1); 16(1.2, 3) i) 17(4,1); 18(2,2)

3.- Obtener en forma general la ecuacin de la recta que pasa por los puntos.

(a) (-2,5) y (3,-4) (b) (3,5) y (-1,2) (c) (5,7) y (3,9)

4.- Obtener la ecuacin principal de la recta que pasa por los puntos. (a) (0,0) y (1,6) (b) (1,2) y (0,5) (c) (-3,1) y (-2,3) 5. Obtener en forma general la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1,2) y cuya pendiente es -3. 6.- Una empresa de turismo ha observado que cuando el precio de un viaje es de $15000 se venden cuarenta asientos, pero si el precio sube a $18000, las ventas bajan a 30 asientos. a) Encuentre la ecuacin de la recta que representa la situacin y dibuje su grfico. b) Determine el precio del pasaje si la venta sube a 56 asientos. 7.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (1,5), y es paralela a la recta 2 + + 2 = 0. 8.- Los puntos (1,3) (3,3), son vrtices de un tringulo issceles ABC que tiene su vrtice C en la recta 2 4 + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcule las coordenadas del vrtice C.

9.- De un paralelogramo (Figura cuyos lados opuestos son paralelos. Dos pares de lados

paralelos) se conoce un vrtice, (8,0), y el punto de corte de las dos diagonales, (6,2).

Tambin sabemos que otro vrtice se encuentra en el origen de las coordenadas. Calcular:

a) Los otros vrtices b) Las ecuaciones de las diagonales c) La longitud de las diagonales

10.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) {5 + 2 = 13 + 3 = 5

b) {2 + = 64 + 3 = 14

c){5 2 = 2 + 2 = 2

d) {3 + 5 = 152 3 = 9

e) {2 + 3 = 143 = 14

f) {2 + 4 = 73 5 = 4

g) {

2(+4)

3=

9

2

+ 2 1

3(4 2) =

4

3

h) {

21

2+3

3=

11

6

(2

5) +

1

10=

6

5

i) {2(+1)

3 = 3

3( + 5 ) + 3 = 12 j) {

79

22+4

2= 15

5( 1 + ) = 25

11.- Encuentre la interseccin entre las rectas de forma analtica y grfica:

a) 3=14

2+3=4()+3(2) b) +=1

+2=4

12.- Encuentre el nmero en que la suma de sus dos cifras es 10 y que si invertimos el orden de

las cifras, el nmero obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.

13.- En un tringulo rectngulo, uno de sus ngulos agudos es 12 mayor que el otro. Cunto

miden sus tres ngulos?

14.- Hallar un nmero de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de

la segunda, y que si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro nmero que excede en

54 unidades al inicial.

15.- El permetro de un tringulo issceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados

iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. Cunto miden los lados del

tringulo?

16.- El doble de un nmero ms la mitad de otro suman 7, y, si sumamos 7 al primero de ellos,

obtenemos el quntuplo del otro. Encuentre los nmeros.

17.- Cuando el fiscal a cargo de uno de los tantos casos de corrupcin en el gobierno analiza

los datos de dos diputados del partido Alianza Nueva Mayora se da cuenta de que al diputado

Mono 1 se le entreg un 10% de lo que se le entreg al diputado Mono 2 ms $25.000.000

Adems encontr una segunda relacin, y es que si se le descontaba el monto de Mono 1 a

Mono 2, el valor neto sera de $15.000.000. Cunto dinero trucho recibi cada uno?

18.- En una faena hay conejos y gallinas. El nmero de cabezas es 41 y el nmero de patas es

122. Cuntas gallinas y conejos sern faenados?

19.- Dos hermanos fueron a pescar. Al final del da uno dijo: Si t me das uno de tus peces,

entonces yo tendr el doble que t. El otro le respondi: Si t me das uno de tus peces, yo

tendr el mismo nmero de peces que t. Cuntos peces tena cada uno?

20.- Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 500 pesos diarios

menos que el segundo. Pero el primero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el

segundo slo 24. Si el primero ha ganado 33.000 pesos ms que el segundo, calcula el salario

diario de cada obrero.

Si el patrn obtiene cincuenta mil pesos por jornada de trabajo de estos dos obreros, qu

porcentaje les roba obtienen por jornada laboral cada uno de los obreros respecto al total?