Calculo Diferencial e IntegralGuıa de estudio para el Examen a Tıtulo de Suficiencia

M. en I. Antonio Tavares MancillasJunio, 2012, semestre 2012-II

INSTRUCCIONES El siguiente texto es una propuesta para que el alumno ejercite los diversos temas delcurso Calculo Diferencial e Integral y pueda presentar satisfactoriamente el examen ETS 2012-II de la materiaen cuestion.Responda y compare resultados. Se recomienda no usar calculadora, solamente formulario.

1. Numeros reales - DesigualdadesResuelve las siguientes desigualdades y anota el conjunto solucion.

(i). |1− 2x| < 4 (ii). x(x+ 2) > 0

(iii). |2x− 4| > x+ 2 (iv). |2x|+ 1 < 3x+ 2 (v). x2 + 4x < 0

(vi).8x

2x− 1(vii). |2− 6x| < 3− 2x (viii). |1

2x| − 2x = 3

(ix).x

x+ 1< 0 (x). (x+ 2)(x− 1) > 0

2. Funciones reales, dominio, imagen

(a) Evalua de cada funcion lo solicitado.

i. Sea f(x) = x+ 1, ∀x ∈ R, calcula: f(2), f(−2), −f(2), f(1/2), 1/f(2),f(a+ b), f(a) + f(b), f(a)f(b).

ii. Para f(x) = 1 + x y g(x) = 1− x , ∀x ∈ R, obten:f(2) + g(2), f(2)− g(2), f(2)g(2), f(2)/g(2), f(g(2)),g(f(2)), f(t)g(−t).

iii. Sea ϕ(x) = |x− 3|+ |x− 1|,∀x ∈ R , calcula:ϕ(0), ϕ(2), ϕ(3), ϕ(−1), ϕ(−2).Ademas determina todos los valores de t para los que ϕ(t+ 2) = ϕ(t).

1

(b) Obten la representacion grafica de f(x), ademas, determina su imagen, limx→0+

f(x), y limx→∞

f(x)

(i). f(x) =1

2e−x, x ≥ 0 (ii). f(x) = log

√x+ 2 + 1, x ≥ −1

(iii). f(x) = sen(2x+2π

3), x ≥ π (iv). f(x) = (x− 3)2 − 1, x ≥ 3

(v). f(x) = 1− e−x, x ≥ 0 (vi). f(x) = x2 + 4x, x ≥ 0

(vii). f(x) = e−x cos(x), x ≥ 0 (viii). f(x) =1

x+ 2, x ≥ 0

(ix). f(x) = −2x2 + 8x+ 1, x ≥ 2 (x). f(x) = e−x sen(4x), x ≥ 0

(xi). f(x) = log(4x), x ≥ 1 (xii). f(x) = eπx − 1, x ≥ 0

(xiii). f(x) = 10 cos(x/2 + π/4), x ≥ 0 (xiv). f(x) = 2(1− e−2x), x ≥ 0

(xv). f(x) =5

2x+ 6, x ≥ 0 (xvi). f(x) = x cos(2x), x ≥ 0

(xvii). f(x) = x2 sen(x/2), x ≥ 0 (xviii). f(x) = |sen(3x)|, x ≥ 0

3. Derivada y Aplicaciones

(a) Encuentra lo que se pide para cada ejercicio.

(i). 3x2 − 2y2 = 10, y′(1, 1) (ii). e−xy + 1 = x, y′(1, 0)

(iii). log(x+ y + 1) + x = y, y′(1, 1) (iv). x2 + 3xy = y2, y′(0, 1)

(v). cos2 (x+ y + π) = y2 − 1, y′(0, 0) (vi). cos2 (x) + sen2 (2y) = x+ y, y′(0, 0)

(vii). 2x2 + 7y2 = y, y′(1, 0) (viii). 3x2y + y3x = x, y′(1, 1)

2

(b) Calcula lo solicitado en cada ejercicio.

(i). f(t) = log(sec2 (2t)), limt→∞

df

dt(ii). f(s) = cos(

√s+ 1), lim

s→−1

df

ds

(iii). f(w) = 20(1− e−π/3w), limw→∞

df

dw(iv). f(x) =

x

2x2 − 3, lim

x→0

df

dx

(v). f(x) = x e−x2

, limx→0

df

dx(vi). f(u) = u cos(2u), lim

u→0

df

du

(vii). f(m) = me−m/2, limm→∞

df

dm(viii). f(w) = w2 cos(2w), lim

w→0

df

dw

(ix). f(q) = (q2 + 2) e−q2 , limq→∞

df

dq(x). f(x) = (x− 9) e−πx, lim

x→∞

df

dq

(xi). f(t) =t+ 1

2t− 4, lim

t→∞

df

dt(xii). f(x) =

√1− e−πx/3, lim

x→∞

df

dx

(c) Para los siguientes ejercicios, determina:

i. puntos crıticos

ii. clasificacion de puntos crıticos (maximos o mınimos)

iii. puntos de inflexion

iv. ubicacion de puntos crıticos y de inflexion esbozando la grafica de f(x)

v. intervalo donde f(x) crece

vi. intervalo donde f(x) decrece

(i). f(x) =x3

3− x2 − 3x+ 1 (ii). f(x) =

x3

3− 3x2

2+ 2x− 1

(iii). f(x) =x3

3+

3x2

2+ 3 (iv). f(x) =

x3

3+ x2 − 3x+ 2

(v). f(x) =x3

3+

7x2

2+ 12x− 4

(d) De las siguientes funciones reales calcula la expansion de f(x) en potencias de x, usando serie detaylor de quinto orden.

(i). f(x) = cos(2x) (ii). f(x) =1

2sen(4x) (iii). f(x) = x e−x

(iv). f(x) =1

x, en potencias x− 1 (v). f(x) = log(x), en potencias x− 1

3

4. Integrales y Metodos de integracion

(a) Integrales por sustitucion varias.

(i).

∫x√3− 2x2 dx (ii).

∫t cos(4t2) dt (iii).

∫w2 e−3w3−1 dw

(iv).

∫1

2x+ 1dx (v).

∫3t2 cosh(3t3) dt (vi).

∫4z − 3

3z − 2z2dz

(vii).

∫πs sen(2πs2) ds (viii).

∫1

9eπw/3 dw (ix).

∫20 cos(2πv + π/3) dv

(x).

∫log(x)

xdx (xi).

∫ √4 + 9x2 dx (xii).

∫ √6 + 16x2 dx

(xiii).

∫x√8 + 4x4 dx (xiv).

∫x5/6

√16− 9x1/3 dx (xv).

∫x2

2

√16 + 4x6 dx

(b) Integrales impropias por metodos por partes y sustitucion varias, Senale si la integral es divergenteo si es convergente y a que valor se acerca.

(i).

∫ ∞

0

x2 e−x dx (ii).

∫ ∞

0

t cos(2t) dt (iii).

∫ ∞

0

x+ 3

x2 + 6x+ 1dt

(iv).

∫ ∞

0

(1− 2x) e−x/3 dx (v).

∫ ∞

0

x√4− x dx (vi).

∫ ∞

0

e−x cos(2x) dx

(vii).

∫ ∞

0

e−3x sen(2πx) dx (xvi).

∫ ∞

0

x2√x+ 2 dx

(c) Integrales por fracciones parciales.

(i).

∫3

4t− 2t2dt (ii).

∫2− z

z2 − 5z + 4dz

(iii).

∫3

8w − 4w2dw (iv).

∫2s

s2 − x− 12ds

4

RESPUESTAS:

1. NUMEROS REALES - DESIGUALDADES

(i). R: (−3/2, 5/2) (ii). R: (−∞,−2)⋃

(0,∞)

(iii). R: (2/3, 6) (iv). R: (−∞,−1) (v). R: (−4, 0)

(vi). R: (−∞, 0)⋃

(1/2,∞) (vii). R: (−1/4, 5/8) (viii). R: {−2,−6/5}

(ix). R: (−1, 0) (x). R: (−∞,−2)⋃

(1,∞)

2. GRAFICACION, IMAGEN, limx→0+

f(x), limx→∞

f(x).

(i). Img(f) = (0, 1), limx→0+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = 0, (ii). Img(f) = (1,∞), limx→−1+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = ∞,

(iii). Img(f) = (−1, 1), limx→π+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = @, (iv). Img(f) = (−1,∞), limx→3+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = ∞,

(v). Img(f) = (0, 1), limx→0+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = 1, (vi). Img(f) = (0,∞), limx→0+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = ∞,

(vii). Img(f) = (−1, 1), limx→0+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = 0, (viii). Img(f) = (0,1

2), lim

x→0+f(x) =

1

2, limx→∞

f(x) = ∞,

(ix). Img(f) = (−∞,−7), limx→2+

f(x) = −7, limx→∞

f(x) = −∞, (x). Img(f) = (−1, 1), limx→0+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = 0

(xi). Img(f) = (log(4),∞), limx→1+

f(x) = log(4), limx→∞

f(x) = ∞, (xii). Img(f) = (0, 1), limx→0+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = −1,

(xiii). Img(f) = (−10, 10), limx→π/2+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = @, (xiv). Img(f) = (0, 1), limx→0+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = 1,

(xv). Img(f) = (5/6, 0), limx→0+

f(x) = 5/6, limx→∞

f(x) = 0, (xvi). Img(f) = (−∞,∞), limx→0+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = ∞,

(xvii). Img(f) = (−∞,∞), limx→0+

f(x) = 0, limx→∞

f(x) = ∞, (xviii). Img(f) = (0, 1), limx→0+

f(x) = 1, limx→∞

f(x) = @,

5

3. DERIVADA Y APLICACIONES

(a) Derivada implicita

(i). y′(1, 1) = 3/2 (ii). y′(1, 0) = −1

(iii). y′(1, 1) = 2 (iv). y′(0, 1) = −3/2

(v). y′(0, 0) = 0 (vi). y′(0, 0) = −1

(vii). y′(1, 0) = 4 (viii). y′(1, 1) = −1

(b) limites y derivadas

(i). limt→∞

df

dt= 0 (ii). lim

s→−1

df

ds= −1/2

(iii). limw→∞

df

dw= −20π/3 (iv). lim

x→0

df

dx= −1/3

(v). limx→0

df

dx= 1 (vi). lim

u→0

df

du= 0

(vii). limm→∞

df

dm= 0 (viii). lim

w→0

df

dw= 0

(ix). limq→∞

df

dq= 0 (x). lim

x→∞

df

dq= 0

(xi). limt→∞

df

dt= 0 (xii). lim

x→∞

df

dx= 0

(c) Maximos, mınimos y puntos de inflexion

(i). max x = −1 min x = 3 infl x = 1 (ii). max x = 1 min x = 2 infl x = 3/2

(iii). max x = −3 min x = 0 infl x = 3/2 (iv). max x = −3 min x = 1 infl x = −1

(v). max x = −4 min x = −3 infl x = −7/2

6

(d) Serie de Taylor

(i). cos(2x) = 1− 2x2 − 2

3x4 (ii).

1

2sen(4x) = 2x− 16

3x3 − 64

15x5

(iii). x e−x = x− 1

2x2 +

1

2x3 − 1

6x4 +

1

24x5

(iv). log(x) = (x− 1)− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3− (x− 1)4

4+

1(x− 1)5

5

(v).1

x= 2− x+ (x− 1)2 − (x− 1)3 + (x− 1)4 − (x− 1)5

4. Integrales y Metodos de integracion

(a) Integrales por sustitucion varias.

(i).u = 3− 2x2 (ii).u = 4t2 (iii).u = −3w3 − 1

(iv).u = 2x+ 1 (v).u = 3t3 (vi).u = 3z − 2z2

(vii).u = 2πs2 (viii).u = πw/3 (ix).u = 2πv + π/3

(x).u = log(x) (xi).u = 3x (xii).u = 4x

(xiii).u = 2x2 (xiv).u = 3x1/6 (xv).u = 2x3

(b) Integrales impropias

(i).converge a cero. por partes conu = x2 (ii).diverge. por partes conu = t

(iii).diverge. por sustitucion conu = x2 + 6x+ 1 (iv).converge a − 15. por partes conu = 1− 2x

(v).diverge. por partes conu = x (vi).converge a − 1/3. por partes ciclica

(vii).converge a − 1

9 + 2π. por partes ciclica (viii).diverge. por partes conu = x2

(c) Integrales por fracciones parciales.

(i).3

4t− 2t2=

A

t+

B

4− 2tA =

3

4B =

3

2(ii).

2− z

z2 − 5z + 4=

A

z − 1+

B

z − 4A = −1

3B = −2

3

(iii).3

8w − 4w2=

A

w+

B

8− 4wA =

3

8B =

3

2(iv).

2s

s2 − x− 12=

A

s+ 3+

B

x− 4A =

6

7B =

8

7

7