Guía ETS Cálculo Vectorial 2012
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A.
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL
Prof. Sergio Flores Corona Junio 2011
1
FUNCIONES VECTORIALES DE UN ESCALAR
(1) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva dada en el valor indicado.
3 31 1( ) [ , , ]; t=2
2 3r t t t t
2
4( ) 3 ; t=2
1
tr t ti tj k
t
( ) 3cos( ) 3cos( ) 2 ; t=4
r t t i t j tk
(2) Encuentre la velocidad, rapidez, aceleración, aceleración tangencial y aceleración normal de una partícula con función de posición dada en el tiempo indicado.
2 2( ) (25 ) (10 16 ) ; t=0tr t e i t t j
2 2( ) 2 ln( ) ; t=er t t i tj t k
23( ) ( ) (2 ) ( ) ; t=42
r t t i t j t t k
(3) Calcule el valor de la longitud de arco de la curva en el intervalo o entre los puntos indicados
( ) ( cos ) ( ) ; 1 4t tr t e t i e sent j t
33 2 32
1 1 2( ) ( 4) ; 3 5
3 3 3r t t i t j t k t
1 2( ) 4 3 ( ) 3 (cos ) ; (0,0,0); (12.5664,0, 9.4248)r t ti t sent j t t k P P
2 32( ) 3 3 ; 0 1
3r t ti t j t k t
2 3( ) (2 6) 2 6 ; 3 6r t ti t j t k t
3 3 2( ) cos ;
6 3r t ti sen tj t
2 2
1 2( ) 2 ln( ) ; (1,2,0); ( ,2 ,1)r t t i tj t k P P e e
(4) Encuentre la curvatura del radio vector en el punto indicado.
(5) ( ) ( cos ) ( ) ; (1,0,0,)t t tr t e t i e sent j e k P
322( ) 4 ; (1,4, 1,)r t ti t j t k P
2 3( ) ; (2,4,8)r t ti t j t P
(6) Determine la función que representa la función posición de acuerdo a las ecuaciones y condiciones iniciales dadas en cada ejercicio.
2 1'( ) ; (3) 2 5
2r t t i j r i j
t
2 2'( ) ( ) (2cos ) ; ( ) 0r t sen t i t j r
2 8'( ) 6cos(2 ) sec ( ) ; ( ) 3 2
4r t t i t j k r i j k
3"( ) ( ) ; '(0) 4 2 4 ; (0) 4 2tr t e i tj sen t k r i j k r j k
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (CAMPOS ESCALARES)
(1) Determine el dominio de las funciones indicadas.
a) 2 2
( , )xy
f x yx y
b) 2 2 2( , ) ( 36 )f x y x y
c) 2 2( , ) 4f x y x y y
(2) Calcule las primeras derivadas parciales de la función indicada
a) 2 2 54z x xy y
b) 2
4( ,
3 1
xf x y
y
c) 2 2cos (5 ) (5 )z x sen y
d) 3 2 24( , ) x y xf x y e
e) 3
( , ) x yf x y xe
f) 3
( , )2
x yf x y
x y
(3) Determine el gradiente de la función dada
a) 2 3 2 4( , )f x y x x y y
b) 3 4( , )f x y x y y
c) 2 2 2( , , ) ( )f x y z x y sen z
d) 2 2 2( , , ) ln( )f x y z x y z
(4) La temperatura T en ºC, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado por
la ecuación 2 23 2 4( , , ) 4 y xT x y z x y z xz e . Calcule en el punto (1, 2, 3)
a) La dirección, así como la razón del cambio máximo de temperatura.
b) La razón de cambio de la temperatura en la dirección 2 2a i j k indicando si aumenta,
disminuye o es invariante.
(5) El campo magnético B (webers), en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está
dado por la ecuación 2( , , ) cos( ) ( )yB x y z xe x xy sen yz . Calcule en el punto (2, 0, --3)
a) La dirección, así como la razón del cambio máximo.
b) La razón de cambio del campo en la dirección 2 2a i j k .
(6) La distribución de iluminación L en luxes, en el punto (x, y, z) dentro de una habitación medida en metros,
está dado por la ecuación
2 24 41( , , )
2
y xL x y z z e . Calcule en el punto (1,2, 1) .
a) La dirección del cambio máximo de la iluminación. b) La razón del cambio máximo de la iluminación.
c) La razón de cambio de la iluminación en la dirección 2 3 6b i j k .
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(7) Considere la función 3 2( , ) 3 4f x y x y y xy Determine en el punto P(1, 2)
a) La dirección, así como la razón de cambio de la máxima derivada direccional
b) La derivada direccional sobre el vector 4 3a i j
(8) Obtenga las ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado
a) 2 3 2 2 3( , , ) ; M(3,2,1)F x y z xy z x y yz xz
b) 2( , , ) 2 +10 ; M(-5,5,1)F x y z xy yz xz
c) ( , , ) 2 cos ; M(0, 3,1)xF x y z e y z
(9) Determine las coordenadas de los puntos máximos, mínimos y silla, si existen, de la función
3 2( , ) 48 32 24f x y xy x y
4 2( , ) 4 2 2f x y xy x y
3 3( , ) 3f x y x xy y 2 2( , ) 4 2 2 10 2f x y x y xy y x
2 2 2( , ) 6 3 4f x y xy x y 3 2 2( , ) 4 2f x y y y xy x
2 4( , ) 8f x y xy
x y
3 3( , ) 72 70 68 66f x y x y xy y
(10) Utilizando la regla de la cadena determine las derivadas parciales ,z z
u t
a) 2 2 3 3cos(4 ); ; z x y x u t y u t ; cuando 1, 2u t
b) 2 2 2 2; ; t tz x y x e y e ; cuando 0t
c) 2ln( 2 ); ( ); cosz x x y x u sent y u t ; cuando 2,
3u t
d) 2 2ln( )z x y ; x u t , 2y ut ; cuando 2, 1u t .
(11) La altura de un cono circular recto crece a razón de 40 cm/min, el radio disminuye a razón de 15 cm/min.
Calcule la razón de cambio del volumen en el instante que la altura es de 2000 cm y el radio de 600 cm. (12) La longitud del cateto A un triángulo rectángulo crece a razón de 3 cm/min., la del cateto B decrece a
razón de 2 cm /min. Calcule la razón de cambio del ángulo agudo opuesto a B en el instante que A = 100 cm y B = 120 cm
(13) En un tanque elástico en forma de cilindro circular recto entra agua a razón de 2 m3/min . El tanque se
expande pero conservando su forma, su radio crece a razón de 0.005 m/min. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando el radio tiene 1.5 metros y el volumen del agua dentro del tanque es de 40m3?
(14) Sea el ángulo entre los lados iguales de un triángulo isósceles y sea “x” la longitud de estos lados. Si
x se incrementa a razón de ½ metro por hora y se incrementa a razón de radianes por hora, hallar la
tasa de cambio del área cuando x=6 y 4
(15) Los dos radios de un tronco de cono circular recto se incrementan a razón de 4 centímetros por minuto y
la altura decrece a razón de 2 centímetros por minuto. Hallar a qué velocidad cambian el volumen y el área superficial cuando los radios son de 35 y 50 centímetros, respectivamente y la altura es de 30 centímetros
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INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES
(1) Evalúe las siguientes integrales iteradas
a. 22
18 10 2
x
xx y dxdy
b. 2
2
2 2
0 22
y
yx y dxdy
c. 2
0cos ( )
x
x sen y dxdy
d.
1 cos( )3
0 3cosrdrd
(2) Evalúe la integral 2 2
R
x y dA sobre la región encerrada por las curvas 0x y , x y localizada
en el primer cuadrante
(3) Evalúe la integral (cos(2 )R
x y dA sobre la región encerrada por las curvas
; 3 0; y x x y y
(4) Evalúe1
( )R
dAx sobre la región en plano XY:
2y x , 24y x x
(5) Evalúe 2 x
R
ye dA
sobre la región en el plano XY: 2x y , 2y , 9x
(6) Evaluar ( , )R
f x y dA sobre la región de la figura
2
2
2 0
3 6 0
y x y
y y x
( )
cos( )
y sen x
y x
4 3R
y dAR
xydA
2 2 50x y
y x
3
25R
ydA
2
2y x
y x
( )R
xsen y dA
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(7) Cambiar el orden de integración y evauar la integral
a) 2
2
3 9
04 x
yye dxdy
b) 1 1
2
0( )
ysen x dxdy
c) 22 2
0
y
xe dydx
d) 2
2 4
0( )
yx senx dxdy
(8) Determine el volumen del sólido limitado por las gráficas de las funciones indicadas
a) 2 6, 0, 0, 0x y z x y z , primer octante
b) 2 2 4, 2 2 4x y x y z , primer octante
c) 2 2 24 , 2 , 0z y x y x z
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INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULAES
(1) Evalúe la integral indicada
a) 4 2 1
2 2 1( )x y z dxdydz
b) 3
1 1 2(24 )
x xy
xy dzdydx
c)
2
2
0 0 0cos( )
y y xdzdxdy
y
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.
(1) Interior al cilindro 2 2 4x y , bajo la esfera
2 2 2 16x y z , sobre el plano 1z
(2) Paraboloide 2 2z x y , cilindro
2 2 25x y , planos 0; 36z z
a) Interior al cilindro b) Exterior al cilindro
(3) El cono horizontal 2 2x z y , el paraboloide
2 26x y z
(4) El cono 2 2 12z x y y el paraboloide
2 28z x y , en el PRIMER OCTANTE
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS
Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.
(1) Cono 2 2z x y ; esfera
2 2 2 9x y z
(2) Esfera2 2 2 4x y z ¸ planos verticales
1
3y x ; 3y x
(3) Bajo el plano 3z , exterior al cono 2 2z x y , interior al cono
2 23 3z x y ,
(4) Dentro de la esfera 2 2 2 1x y z , fuera del doble cono
2 2 2z x y
(5) Determinar z
D
e dv donde D es el sólido en el primer octante bajo la superficie 2 2z x y , interior al
cilindro 2 2 9x y , sobre el plano XY
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FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR (CAMPOS VECTORIALES)
INTEGRALES DE LÍNEA
1) Evalúe la integral de línea C
ydx xdy zxdz donde C es la curva dada por las ecuaciones
cos x t y sent z t ; 0 t
2) Evalúe la integral de línea 2 2(6 2 ) 4
Cx y dx xydy donde C es la curva dada por las ecuaciones
3; ; 0 1x t y t t
3) Evalúe la integral de línea 3C
xydx xdy ydz donde C es la curva dada por
( ) cos( ) ( ) 2r t t i sen t j tk ; 02
t
4) Evalúe C
F dr donde
3 2( , )F x y y i x yj ¸ 2( ) t tr t e i e j ; 0 ln(2)t
TEOREMA DE GREEN
1) Por medio del Teorema de Green evalúa la integral de línea cerrada
2 3cosC
xy dx ydy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada
por las gráficas 2 3, y x y x
2) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada
2 2( 2 cos ) ( )C
xy x y dx x seny dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada
por las gráficas: 2y x ,
3y x
3) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada
2 2 3( 3 ) ( )C
y x y dx xy x dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada
por las gráficas 2y x , 2y x
4) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada 2 31
( )3C
xy xy dx y dy
donde C es la frontera encerrada por la gráficas x y , 21x y , 0y