GUIA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULODE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA.

INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuacion se presenta tienen como objetivo propor-cionarte orientacion sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos deAlgebra”. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta guıa no seran los mismosque se incluyen en el examen.

NUMEROS COMPLEJOS.

1. Efectue cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular.

(a)5− 2i

3− 4i+

10− i

4 + 3i(Resp. 6.8− 1.6i) (b)

i− i2 − i3 + i4

(1 + i)2(Resp. 1− i)

(c)(4 i11 − i2

1 + 2i

)(Resp. 3 + 4i) (d) 3

(1 + i

1− i

)3

− 2(1− i

1 + i

)2

(Resp. 2− 3i)

(e)3∠ 15◦ + (3∠ 20◦)3

(1 +√3 i)(2eiπ/2)

(Resp. 0− 27i) (f)(2− 2i)(4− 3i)

1− i(Resp. 8− 6i)

(g) (4 + 5i)−[(1

4+

2

3i)+(15− 3

2i)]

(Resp. 71/20 + 35/6i)

2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones.

(i).i4 + i7 − i10

4− i5 + i8(’Resp: 0.42− 0.12i’)

(ii).(2 + i)(1− i)(−1 + i)

(−2 + 2i)2(’Resp: −0.5− 0.25i’)

(iii). (2− 2i)2[ 2√

2−√2i

− i√2 +

√2i

](’Resp: 2.83− 2.83i’)

3. Dados los numeros complejos Z1 = 4e2π/3 i, Z2 = 2∠ 60◦, Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones yexprese los resultados en forma polar.

(a) Z =i25(Z3)

8

(Z2)5(Resp.Z =

1

2∠ 150◦) (b) Z =

2Z1 + 4Z3

Z1 Z2(Resp.Z = 1.4∠ 270◦)

1

4. Dados los numeros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangu-lar, polar y exponencial.

Z1 = 5eiπ/4 Z2 = 3∠ 15◦ Z3 = 2 + 4i

(a) Z = Z1 • Z2 • Z3 (Resp. 67.08 + 55.98i) (b) Z = Z1 + Z2 + Z3 (Resp. 8.42 + 8.3i)

(c) Z =Z1 − Z2

Z3(Resp. 0.61 + 0.14i) (d) Z =

(Z1)3

Z2(Z3)2

5. Para Z1, Z2, Z3 ∈ C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar yexponencial.

Z1 = 2eiπ/6 Z2 =√3−

√3i Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4)

(i). (z1 z3) + z2 (Resp: 3.8− 9.5i) (ii). 5z1 +3

5z2 − 2z3 (Resp: 4.0 + 9.6i)

(iii). (z1

2

z3) (

z2z3

) (Resp: −0.17− 0.59i) (iv). (z1 + z3)3 (Resp: 49.11− 107.97i)

6. Encuentre las raıces indicadas de las numeros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangulary grafique las raıces en el plano complejo

(a) Las raıces cubicas de z = 8 + 8i

(b) Las raıces cuadradas de z = 8 + 8√3 i

(c) Las raıces quintas de z = −32i

(d) Las raıces cuadradas de z = −7 + 24i. (Resp. w0 = 2 + i,w1 = −1 + 2i,w2 = −2− i w3 = 1− 2i)

(e) Las raıces quintas de z = −16 + 16√3 i (Resp. w0 = 1.8 + 0.8i, w1 = −0.2 + 2i,w2 = −1.9 + 0.4i,

w3 = −1− 1.7i, w4 = 1.3− 1.4i)

7. Sea z = (3− 6i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero imaginario puro. (Resp. k = 2)

8. Sea z = (3− 6i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero real. (Resp. k = −8)

9. Sea z = (5− 2i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero imaginario puro. (Resp. k = 10)

10. Sea z = (3∠30◦)(3− ki), determine el valor de k para que z sea un numero imaginario puro.

11. Sea z = 3−ki1−i , calcule el valor de k de tal manera que arg(z) = π

4 (Resp. k = 0)

12. Una raız cubica de un numero complejo es 1+ i. Halle dicho numero complejo y sus otras dos raıces cubicas.(Resp. z = −2 + 2i, w0 = 1 + i w1 = −1.36 + 0.36i, w2 = 0.36− 1.36i)

2

13. De un pentagono regular centrado en el origen conocemos un vertice que es el punto (1,−√3). Determinar

los retantes vertices.

MATRICES Y DETERMINANTES.

(a) Sean

A =

(−2 41 0

)B =

(2 −4−1 k

)Calcular el valor de k para que AB = BA.Respuesta: k = 0

(b) Obtener el valor de X de la expresion matricial siguiente, dadas las matrices

A =

2 1 5−2 1 04 1 1

B =

2 1 30 −2 70 0 1

i. Ecuacion:

X = A′B + 2A

Respuesta:

X =

8 8 6−2 1 1118 7 18

ii. Ecuacion:

X = (BA)′ − 2B

Respuesta:

X =

10 30 −26 9 −1313 7 −1

(c) Obtener la matrız X, de las ecuacones siguientes dada las matrices A, B.

i. X = A−1 B +B−1 A

ii. X = (AB)−1

Si

A =

(0 −11 2

)B =

(2 −10 2

)Respusta:

(a)X =

(17/4 0−3/2 2

)(b)X =

(3/4 1/2−1/2 0

)

3

(d) Para a ∈ R y

A =

(1 a0 a2

)Calcular A2, A3.

Respusta:

(a)A2 =

(1 a+ a3

0 a4

)(b)A3 =

(1 a+ a3 + a5

0 a6

)(e) Dadas las matrices

A =

3 1 02 0 34 1 2

B =

2 44 52 7

C =

2 0 03 0 11 0 2

Calcular: A2, A ∗B, −3A+ 8C y A+ C(C −A)

Respuestas:

A2 =

11 3 318 5 622 6 7

AB =

10 810 2316 23

−3A+ 8C =

7 −3 018 0 −1−4 −3 10

A+ C(C −A) =

1 −1 0−4 −4 3−3 −2 2

(f) Mediante operaciones elementales transformar A en una matrız escalonada, e identificar el numero de

filas no nulas (ese valor es el rango de una matrız)

A =

1 4 −12 5 31 10 −11

B =

3 11 45 −2

C =

(2 45 3

)Respuesta:

A =

1 4 −10 −3 50 0 0

B =

1 40 −110 0

C =

(1 20 −7

)Todas tienen rango 2.

(g) Calcular la matrız inversa de cada una de ellas.

A =

1 0 40 1 2−1 3 1

B =

2 1 00 1 32 1 1

C =

1 −1 00 1 02 0 1

Respuesta:

A =

5 −12 42 −5 2−1 3 −1

B =

−1 −0.5 1.53 1 −3−1 0 1

C =

1 1 00 1 0−2 −2 1

4

(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices.

A =

1 0 02 −1 22 2 1

B =

2 1 43 0 −14 −1 5

(i) Dadas la matrız

A =

1 1 10 1 10 0 1

Calcular: A2, A3, A4

Respuestas:

A2 =

1 2 30 1 20 0 1

A3 =

1 3 60 1 30 0 1

A4 =

1 4 100 1 40 0 1

(j) Dadas las matrices

A =

(3 −4−5 1

)B =

(7 −45 k

)Determinar el valor de k para que AB = BA.Respuesta: k = 9

(k) De la matriz A =

4 −1 01 0 1−1 a −2

Calcular el valor de a para que la matrız A sea singular, es decir, su determinante sea cero.

Respuestas: a = −1/4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

(a) Se tiene el sistema de ecuaciones lineales siguiente

x+ z = 10

2x+ 3y = 17

3x+ 4y + z = 32

y ademas se sabe que la matrız de coeficientes A del sistema tienen como inversa:

A−1 =

3/2 2 −3/2−1 −1 1−1/2 −2 3/2

5

Calcular la solucion del sistema.Respuesta: x = 1, y = 5, z = 9

(b) Utilize el metodo de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

i.

2x− 5y + 3z = 4

x− 2y + z = 3

5x+ y + 7z = 11

Respuesta:x = 5, y = 0, z = −2

ii.

2x+ 3y + z = 1

3x− 2y − 4z = −3

5x− y − z = 4

Respuesta:x = 1, y = −1, z = −2

iii.

2x+ y + z = 4

3x− y + z = −8

y − 7z = −8

Respuesta:x = 2, y = −1, z = 1

iv.

3x+ 2y + 4z = 1

5x− y − 3z = −7

4x+ 3y + z = 2

Respuesta:x = −1, y = 2, z = 0

(c) Aplicando el metodo de Crammer, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

i.

2x− y + z = 3

x+ y − 2z = −3

x+ 4y − 5z = −6

Respuesta:x = 1, y = 2, z = 3

ii.

−5x+ 8y + 2z = 15

x+ 7y + 4z = −8

3x− 2y − z = −2

Respuesta:x = −1, y = 3, z = −7

6

iii.

x+ y + z = 0

x− y + 3z = −1

x+ y + 9z = −2

Respuesta:x = 0, y = 1/4, z = 1/4

iv.

4x− y + 5z = −25

7x+ 5y − z = 17

3x− y + z = −21

Respuesta:x = −4, y = 9, z = 0

v.

x+ 2y = −2

10x− 5y + 9z = 48

y − z = −4

Respuesta:x = 2, y = 2, z = 2

VECTORES.

1. Determine 2 vectores perpendiculares al vector (1, 1, 1) que no sean paralelos entre si.

Respuesta: Los vectores son (a, b, c) = (1, 1,−2) y (u, v, w) = (−1, 0, 1)

2. Determine si alguno de los siguientes vectores es paralelo al vector 4i − 6j .

Respuesta Respuesta

a) −i − 32 j Si c) 2(i − j )− 3( 12 i −

512 j ) No

b) 8i + 12j Si d) (5i + j )− (7i + 4j ) Si

3. Calcule c (si existe) para que ~u y ~w sean paralelos (utilice el producto cruz) de no ser asi justifiquelo.

Respuesta

a) ~u =5i + 3j ~w =2i + cj c =65

b) ~u =2i − cj ~w =i + 4j c =−8

c) ~u =−ci + 5j ~w =8i − 2j c =20

d) ~u =−12 i −

15 j ~w =−ci − 2j c =5

7

4. Dados u y w calcule:

i) u+ wii) u− wiii) 3u− 5wiv) −4u− 2wv) ‖ 3(u+ w)− 2(u− w) ‖

en los siguientes problemas.

a) u = i − j w = −i + 2j b) u = j w = 3i − 3jc) u = i + 1

2 j w = 35 i −

14 j d) u = 2i − 2

5 j w = −13 i + 5j

e) u = 2i − j + 3k w = i − 2k f ) u = i − 4j + 2k w = −4i + 7j + 5k

Respuesta

i) j i) 3i − 2j i) 85 i +

14 j

ii) 2i − 3j ii) −3i + 4j ii) 114 j

a) iii) 8i − 13j b) iii) −15i + 18j c) iii) −265 i − 3

2

iv) −2i iv) −6i + 2j iv) 205 i − 3

4 j

v)√117 v)

√421 v)

√6625400

i) 53 i +

235 j i) 3i − j + k i) −3i + 3j + 7k

ii) 73 i −

275 j ii) i − j + 5k ii) 5i − 11j − 3k

d) iii) 233 i − 131

5 j e) iii) i − 3j + 19k f ) iii) 23i − 47j − 19k

iv) −223 i − 42

5 j iv) −10i + 4j − 8k iv) 4i + 2j − 18k

v)√

136186225 v) 3

√11 v)

√2051

5. Sea w el vector con direccion π4 y magnitud 2, y v el vector con direccion π

3 y magnitud 3. Calcule ‖ w ‖,‖ v ‖, w · v, el vector unitario en la direccion de v y el vector unitario en la direccion de w. Dibuje losvectores de cada inciso.

Respuesta

a) ‖ w ‖ 2b) ‖ v ‖ 3

c) w · v 3√2

2 + 3√6

2d) vector unitario en la

direccion de w(√

22 ,

√22

)e) vector unitario en la

direccion de v(

12 ,

√32

)6. Determine en cada problema las variables a, b y c para que se cumplan las ecuaciones:

8

Respuestaa b c

a) (8a, 2b, 13c) = (52, 12, 11) 132 6 11

13

b) (−4a, b,−3c) = (5,−6, 1) −54 −6 − 1

3

c) ( 15a,−23b,

47c) = ( 13 ,

27 ,−

34 )

53 − 3

7 −2116

7. Encuentre numeros a y b tales u = av + bw

Respuesta

a) u= i + j v= 2i − 3j w= i + 5j a= − 413 b= 5

13

b) u= i v= −2i + 4j w= 5i + 7j a= 534 b= 1

7

8. Los puntos A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 1) forman un triangulo. Calcule el area del triangulo.

9. Determine en cada inciso si los puntos A, B y C son colineales.

Respuesta

A =(1,−2,−3) B =(2, 1, 0) C =(4, 7, 6) Si son colineales

A =(−5,−2, 4) B =(−3, 1, 5) C =(2, 5, 6) No son colineales

A =(1, 4, 5) B =(1, 3, 7) C =(−4, 1,−3) No son colineales

A =(0, 2, 3) B =(3, 4, 5) C =(−9,−4, 3) Si son colineales

10. Los siguientes puntos P = (0, 0), Q = (1, 1), R = (1, 5), S = (0, 6) forman un trapezoide. Calcule el area deesta figura utilizando el producto cruz.

Respuesta: 5 unidades cuadradas.

11. Un avion vuela en lınea recta con vector de direccion 10i+6j +5k (en kilometros por hora). En un momentoel avion se encuentra en el punto (3, 4, 5).

(a) ¿En que posicion se encuentra 1 hora despues?

(b) ¿En que posicion se encuentra 1 minuto despues?

(c) ¿Cuanto tarda en subir 10 metros y en que posicion se encuentra?

(d) ¿Cuanto tarda en subir a una altura de 10 metros y en que posicion se encuentra?

Respuesta:

(a) (13, 10, 10)

(b) (3.166 , 4.1, 5.083)

(c) Tarda 2 horas y se encuentra en la posicion (23, 16, 15).

(d) Tarda 1 hora y se encuentra en la posicion (13, 10, 10)

9