guía g-24 introduccion geometria

Introducción a la geometría

Matemática

GUÍA CURSOS ANUALES

GUICANMTGEA03024V1

GUÍA CURSOS ANUALESM

atem

ática Marco teórico:

Conceptos básicos

1. Punto Un punto geométrico es imaginario, tan pequeño que carece de dimensión. Es el primer

objeto geométrico, y origen de todos los demás. Los puntos suelen ser designados por letras mayúsculas A, B, C, etc.

• A

2. Recta Una línea recta es un conjunto de puntos que se extiende sin límite en dos sentidos.

No comienza ni termina. Algunos Postulados:

a) Por dos puntos pasa una recta y solamente una.

A B• •

Sólo hay una recta que pasa por A y B.

Notación: AB

Nota: La línea dibujada es una representación, porque las rectas no tienen grosor.

Cpech Preuniversitarios2

Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

b) Dos rectas no pueden tener más de un solo punto común.

A

E

D

B

C•

•

•

•

Las rectas AB y CD representadas en la figura tienen un punto en común. Este punto E es llamado “punto de intersección”.

c) Por un punto del espacio o plano pasan infinitas rectas.

A•

3. Semirrectasyrayos Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. El punto elegido es

llamado “origen” y queda como frontera de los subconjuntos (es decir, no pertenece a ninguno de ellos). Estos subconjuntos son llamados semirrectas.

Si el punto origen pertenece a ambos subconjuntos, se habla de dos rayos.

Semirrecta OA Semirrecta OB

A O B

O: Origen

Nota: La semirrecta tiene origen, pero no fin. Las semirrectas, como los rayos, son infinitos hacia un extremo.

Cpech Preuniversitarios 3


atem

ática

4. TrazooSegmento Un trazo o segmento es la parte de la recta comprendida entre dos puntos. El segmento determinado por los puntos A y B de la recta de la figura se identifica con

el símbolo: AB

A B

5. RectasParalelas Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas NO se

intersectan. El paralelismo se expresa con el signo: //

En la figura, las rectas AB y CD son paralelas, es decir: AB // CD

A B

C D

6. RectasPerpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos iguales, cada uno es

ángulo recto (90°). El símbolo de perpendicularidad es: ⊥. En la figura, las rectas AB y CD son perpendiculares, es decir: AB ⊥ CD .

A

C

B

D

Nota:Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice que son “oblicuas”.


Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

7. Áreaosuperficie Se llama área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. La región

interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono. El pentágono (polígono de cinco lados) de la figura tiene pintada de gris su región interior.

D

E

A

B

C

8. Perímetro El Perímetro de una figura es la longitud de su frontera. El perímetro de un polígono se

calcula sumando las longitudes de sus lados.

Por ejemplo, el perímetro del pentágono de la figura es igual a la suma de sus cinco lados: AB + BC + CD+ DE + EA

D

E

A

B

C

9. Congruencia(≅ )- Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.- Dos trazos son congruentes si tienen la misma longitud.- Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la

misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.



atem

ática

Lógica proposicional

1. Entonces(⇒) Ejemplos: a) Si está soleado, entonces es de día.

b) Si dos ángulos son adyacentes ⇒ son suplementarios.

c) Si L1 // L2 y L2 // L3 ⇒ L1 // L3.

L1

L2

L3

d) Si L1 // L2 y L1 ⊥ L3 ⇒ L2 ⊥ L3.

L1

L2

L3


Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

e) Si L1 ⊥ L3 y L2 ⊥ L3 ⇒ L1 // L2

L1

L2

L3

2. Síysólosi(⇔)

Ejemplos: a) Está nublado sí y sólo si hay nubes visibles.

b) Un cuadrilátero es un cuadrado ⇔ tiene todos sus lados y ángulos congruentes.

c) Dos ángulos son suplementarios ⇔ suman 180º.

d) L1 // L2 ⇔ α ≅ β

L1

L2

β

α

3. Doblenegación(~~)

Ejemplos: a) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones NO es(son) FALSA(S)?

Es equivalente a preguntar:¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?



atem

ática

Deducciones

1.

L1

L2

30º

L1

L2

30º

30º

L1 // L2 ⇒

Además:

L1

L2

30º

30º

30º

30º


Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

2.

L1

L2

β

α

α ≅ β ⇒ L1 // L2

3.

A

B

CD

Δ ABC es isósceles de base AC ⇒

A

B

D C

AB ≅ BC y ∠ CAB ≅ ∠ BCA



atem

ática

4.

A

B

CD

Δ ABD ≅ Δ CBD ⇒

A

B

CD

AB ≅ CB , AD ≅ CD y BD ≅ BD

Además:

A

B

CD

∠ CAB ≅ ∠ BCA, ∠ ABD ≅ ∠ DBC y ∠ BDA ≅ ∠ CDB


Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

Ejercicios PSU:

1. Si el perímetro del polígono de la figura es el 10% del perímetro de un cuadrado de lado 20 cm, entonces ¿cuántos centímetros mide x?

A) 14

B) 1,75

C) 94

D) 6

E) 8

2. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Su área aumenta al doble. II) Su perímetro aumenta al doble. III) El área aumenta y es 400% de la inicial.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Dos puntos en el plano determinan una sola recta.II) Dos rectas distintas NO pueden tener más de un punto en común.III) Dos rectas de un plano son paralelas si al prolongarlas NO se intersectan.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

0,5 x

2 xx + 1

x2



atem

ática

4. Si el área del círculo de la figura mide 9 π cm2 y AD es su diámetro, entonces el perímetro del cuadrado ABCD mide

A B

CDA) 9 cmB) 12 cmC) 18 cmD) 24 cmE) 36 cm

5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si dos ángulos suplementarios están en la razón 5 : 4, entonces uno de ellos mide 80°.

II) Si dos ángulos complementarios están en razón 2 : 7, entonces la diferencia entre ellos es 50°.

III) Si la razón entre un ángulo y su suplemento es 3 : 2, entonces el suplemento del ángulo mide 72°.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

6. Si los ángulos α y β están en la razón 3 : 4 y L1// L2, entonces ¿cuánto mide el ángulo α ?

A) 20°B) 40°C) 60°D) 70°E) 140°

L1

L2

αβ

40º


Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

7. La base de un triángulo mide 10 cm y la altura que cae sobre ella mide 5 cm. Si la base se aumenta en un 20% y su altura se mantiene constante, entonces su área aumenta en

A) 30 cm2

B) 25 cm2

C) 20 cm2

D) 5 cm2

E) 2 cm2

8. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AD es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El ángulo CDA mide 90°. II) AD es eje de simetría del triángulo ABC. III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes.

C

D

BA

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

Facsímil oficial DEMRE Proceso Admisión 2011

9. La figura representa una circunferencia de centro en O. Si AC = 4 cm, CD = 6 cm y DC ⊥ AB , entonces CO es igual a

A) 2 cm B) 2,5 cm C) 4 cm D) 6,5 cm E) 9 cm


OA BC

D



atem

ática

10. En el rectángulo ABCD de la figura, EF // AB , DG = 5 cm, EG = 4 cm y BG = 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABGE?

A) 28 cm B) 34 cm C) 32 cm D) 35 cm E) 42 cm


11. Si en la figura, DA ⊥ BA , CB ⊥ AB y α = β, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) CB ≅ DA II) DB ≅ AC III) OA ⊥ OB

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III


12. Las medidas de los lados de un triángulo son a, b y c, donde c es el lado mayor. Para que el triángulo sea rectángulo debe ocurrir que

A) a = b y c = 2a B) c = �a + �b C) a = �c2 – b2 D) (a + b)2 = c2

E) c = �a + b


C B

α

β

D A

O

BA

CD

G FE


Matemática G

UÍA CU

RSOS AN

UALES

13. En la circunferencia de la figura, AB // DC, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) α = β II) γ = α + β III) α + β + γ = 180º

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

Facsímil oficial DEMRE Proceso Admisión2009 14. Un ratón asomado en su madriguera mira a un ave de rapiña que se encuentra en la punta

de un árbol, vertical al suelo, con un ángulo de elevación de 70º. El ratón se encuentra a 12 metros de la base del árbol. ¿A qué distancia se encuentra el ave de rapiña del ratón?

A) 12

cos 70º metros

B) 12 · cos 70º metros

C) 12

sen 70º metros

D) 12 · sen 70º metros

E) sen 70º

12 metros


A B

D C

β

αγ



atem

ática

15. ¿Cuánto mide el ∠ x en el Δ ABC de la figura?

A) 32º B) 39º C) 45º D) 52º E) No se puede determinar, faltan datos.


Claves de corrección

Nº Pregunta Clave Habilidad1 Aplicación2 Análisis3 Análisis4 Aplicación5 Análisis6 Aplicación7 Análisis8 Análisis9 Análisis10 Análisis11 Análisis12 Comprensión13 Análisis14 Aplicación15 Aplicación

C

BA

α x

2α α96ºD


guía g-24 introduccion geometria

Documents

Transcript of guía g-24 introduccion geometria