Guía No 2- Límites laterales y Continuidad.pdf

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UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIASECCIONAL CALI

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO DIFERENCIALGUÍA DE TRABAJO No 2 TEMA: LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDADProfesor: Carlos Julio González N.

LÍMITE LATERALES Y CONTINUIDAD

2.1. LÍMITES LATERALES

Objetivo: Calcular los límites laterales de funciones a trozos en un puntoaplicando los teoremas básicos.

El que L x f c x

=→

)(lim exista y el valor del límite, si existe, dependen del

comportamiento de f a ambos lados del número c. La situación es más simple

en el caso de los límites laterales: el límite por la izquierda , que se puedeimaginar como el número al que se aproxima f ( x) cuando x tiende a c por laizquierda, y el límite por la derecha , como el número al que se aproxima f ( x)

cuando x tiende a c por la derecha.

DEFINICIÓN. Definición del límite por la izquierdaEl límite de una función f ( x ) cuando x se aproxima a unnúmero c por la izquierda es el número L, lo que seescribe como

L x f c x

=−→

)(lim

si y solo si, para cualquier número ε > 0, no importa que tan

pequeño sea, existe un número correspondiente δ > 0 tal que

si c xc


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Límites laterales. Continuidad.

3

L x f c x

=→

)(lim si y sólo si, L x f c x

=−

→

)(lim y L x f c x

=+

→

)(lim

Ejemplo 2. Sea la función

>+

x y

31)2()(lim2

2=−=

−→

x f x

; 2


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4

EJERCICIOS 2.1

1. Sea la función

−

−≤+=

4si4

4si4)(

t t

t t t f

(a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: )(lim4

t f x +→

,

)(lim4

t f x −→

y )(lim4

t f x→

.

3. Sea la función

>−≤=

2si282si)(

2

x x x x x F

(a) Trace la gráfica de F y (b) determine los límites que existan: )(lim2

x F x +→

,

)(lim2

x F x −→

y )(lim2

x F x→

.

4. Sea la función

>−

=

−

=


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5

(a) Trace la gráfica de g . (b) Determine los límites que existan: )(lim1

x g x +→

,

)(lim1

x g x −→

y )(lim1

x g x→

. (c) Determine los límites que existan: )(lim2

x g x +→

,

)(lim2

x g x −→

y )(lim2

x g x→

. (b) Determine los límites que existan: )(lim4

x g x +→

,

)(lim4 x g x −→ y )(lim4 x g x→ .

7. Sea la función 5)( −= x x f


x f x +→

,

)(lim5

x f x −→

y )(lim5

x f x→

.

8. Sea la función 423)( −+= x x f


x f x +→

,

)(lim2

x f x −→

y )(lim2

x f x→

.

9. Sea la función 432)( −−= x x g


3 x g

x+

→

,

)(lim2

3 x g

x−

→

y )(lim2

3 x g

x→.

10. Calcule los límites que existan

10.1. 2

lim

2

2 ++

→ x

x 10.2.

2lim

2

2 +−

→ x x

x 10.3. 22lim2 −

−

→ x x

x

10.4. 5

5lím

5 +

+

+−→ x

x

x 10.5.

2lim

2 −−→ x

x

x 10.6.

1

1lim

3

3

1 −

−

→ x

x

x

10.7. x

x

x −

+

+→ 1

1lim

0

10.8. x x x

−→1

lim


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6

2.2. CONTINUIDAD

Objetivo: nalizar y determinar la continuidad de una función en un punto yen un intervalo.

En varios ejemplos y ejercicios de la sección anterior se observa que )(lim x f c x→

puede existir aunque f no esté definida en el número c . Ahora se prestaráatención a los casos en los que el número c esté en el dominio de f .

DEFINICIÓN. Continuidad en un puntoUna función f es continua en un número c si y solo si sesatisfacen las siguientes tres condiciones:(i) f (c) está definida,

(ii) )(lim x f c x→

existe y

(iii) )()(lim c f x f c x

=→

.

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en c,entonces se dice que la función f es discontinua en c.

Ejemplo 1. ¿En qué puntos es continua la función2

4)(

2

−

−=

x

x x f ?

Solución:La gráfica de la función es

−3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Se observa que en el dominio de la función x ≠ 2, por lo tanto, f (2) no estádefinida en la función y la condición (i) no se satisface. No obstante, el límite

existe en x = 2:( )( )

( ) 42lim2

22lim

2

4lim

22

2

2=+=

−

+−=

−

−

→→→

x x

x x x

x x x

Por lo tanto, la función es continua en todos los reales excepto en x = 2. Es

decir, en el conjunto R – {2} = (– ∞, 2) ∪ (2, ∞).


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7

Ahora, es posible redefinir la función en el número x = 2, de tal manera que lanueva función sea continua:

=

≠−

−

=

2

2,2

4)(

2

xa

x x

x xG

La elección de a = G(2) puede hacerse de tal manera que G sea continua en 2.En este ejemplo a = 4. En este caso, se dice que la discontinuidad es evitable (o

removible).

Ejemplo 2. Encuentre todos los puntos en los que la función

=

≠−

−

=

23

2,2

2

)(

x

x x

x

x F es continua.

Solución:Para obtener la gráfica de la función de una manera fácil se aplica la definicióndel valor absoluto y se tiene

( )

=

−−

−

=

23

022

2

022

2

)(

x

x x

x

x x

x

x F si

si

que se puede escribir como

=

=

23

21

21

)(

x

x

x

x F si

si

La gráfica de la función es

−1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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(i) Se observa la función tiene un “salto” en x = 2. Pero f (2) = 3 la función estádefinida en x = 2. La función satisface la condición (i).

(ii) 11lim2

2lim)(lim

222==

+

+=

+++→→→ x x x x

x x F y

( )( ) 11lim

2

2lim)(lim

222−=−=

−

−−=

−−−→→→ x x x

x x F

Entonces, )(lim2

x F x→

no existe. La función no satisface la condición (ii).

Por lo tanto, F es discontinua en x = 2. En otras palabras, la función es

continua en el conjunto R – {2} = (– ∞, 2) ∪ (2, ∞). En este caso, se dice que la

discontinuidad es inevitable (o esencial).

EJERCICIOS 2.2

1. Determine si cada una de las siguientes funciones es continua o no en elpunto x = c indicado. En caso de no serlo, determine si la discontinuidad es

esencial o evitable (removible).1.1. 15)( 3 +−= x x x f ; c = 2. 1.2. ( ) 51)( 2 +−= x x g ; c = 1.

1.3.3

9)(

−

−=

x

x x f ; c = 9. 1.4.

x x f

22)(

+−= ; c = 0.

1.5.

≥


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3. Sea

>+

≤−=

2si2

2si3)(

2

xax

xax x f . Encuentre un valor de a para el cual f sea

continua en todo R .

4. Sea

≥−

<=

1si23

1si)(

2

xax

xax x f . Determine todos los valores de a para los que f

es continua en R .

5. Sea

≥−

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