Guia Post-Primaria Matemáticas 7°

MatemáticasNelson Rodríguez

Juan Duarte

Lizzie Zambrano

Carolina Martínez

© 2010 Ministerio de Educación Nacional

Todos los derechos reservados

Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión

por cualquier medio de recuperación de información, sin

permiso previo del Ministerio de Educación Nacional.

© Ministerio de Educación NacionalISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN

obra: XXX-XXX-XXX-XXX-XDirección de Calidad para la Educación Preescolar, Básica

y MediaSubdirección de Estándares y Evaluación

Ministerio de Educación Nacional Bogotá, Colombia, 2009

www.mineducacion.gov.co

Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White

Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina

Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media | Mónica López Castro

Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa | Heublyn Castro Valderrama

Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama

Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros

Fundación Manuel MejíaDirección General | Mauricio Perfetti del Corral

Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte

Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño

Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz

Asesoría Pedagógica | Carolina Cortés , Solman Yamile Díaz

Autores | Nelson Rodríguez, Juan Duarte, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez.

Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón

Diseño y diagramación | Víctor Gómez

Ilustración | Richard Rivera Ortiz

Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz

Presentación

En el marco de los modelos flexibles que promueve el Pro-yecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional consideró necesario hacer una revisión del modelo Postprima-ria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de este modelo, se actualizaron y complementaron los materiales pedagógicos para su implementación en procura de aumen-tar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes de la zona rural y garantizar su permanencia en el sistema edu-cativo.

La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios realizados en el año 2005, por el Centro de estudios regiona-les, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CER-LALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar los avances de la política educativa de calidad, específicamente en lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque de competencias y los estándares básicos de competencia, entre otros.

Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural cumplen un papel central para el desarrollo o el fortaleci-miento de las competencias básicas. Es así como con esta serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes que adelantan sus estudios de educación básica secundaria en instituciones o centros educativos con el modelo Postpri-maria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren una base para la realización de actividades pertinentes para el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el marco de los referentes de calidad de la política educativa.

Ministerio de Educación Nacional

4

Así es esta cartilla

Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria. Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada al conocimiento.

Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos conocimientos estarán acompañadas de este ícono. Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización, y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten. Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad y con el lugar en el que vives.

Querido estudiante:Bienvenido a este nuevo curso de Matemáticas de la Postprimaria rural. Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para tí y para todoslos integrantes de tu comunidad educativa.

Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos transversales y de los proyectos pedagógicos productivos.

La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un compromiso serio que te ayude en tu formación personal.

En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.

Identificadas con este ícono encontrarás actividades de aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras áreas del conocimiento.

Si las actividades están acompañadas de este ícono, es importante que las realices solo y pongas en ellas tu mejor esfuerzo.

Cuando las actividades están acompañadas de este ícono, debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de competencias en todos los integrantes del grupo.

Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas desarrollando tus competencias.El análisis de los resultados que obtengas en su realización te ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para superar las dificultades que se hayan podido presentar o a determinar las formas de mejorar tus competencias de manera que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.

Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones diferentes a las presentadas en las actividades en las que aprendiste algo nuevo.

Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.

MÓDULO

MÓDULO

MÓDULO

Guía

Guía

Guía

1

23

El fantástico mundo de los números | 8

¿Cómo se organizan las sartas de pescado? | 12

Usemos los números enteros | 28

Nos movemos en la recta para sumar | 32

¿Cuál es la ficha que falta para completar el rompecabezas? | 54

¿Sabes cómo se comporta una hormiga? | 16

¿Y cuál es la diferencia? | 40

¿Cómo hallar la información oculta? | 58

¡Decifremos la respuesta! | 62

¿Qué significa que algo tiene x peso? | 66

¿Eres ordenado u ordenada? | 20

A duplicar y triplicar | 44

Realizando cálculos fácilmente | 48

Tabla de contenido

8

6

7

910

1

23

4

5

MÓDULO

MÓDULO

MÓDULO

Guía

Guía

Guía

4

5

6La magia del movimiento | 74

Máquinas en movimiento | 78

¿Como se deben acomodar las cosas para ser trasportadas? | 94

Interpreto y concluyo sobre datos de mi entorno | 118

¿Cuál es la producción promedio de Mauricio en su finca? | 122

La pintura y el movimiento | 86

Arte y movimiento | 82

¿Cómo se expresa el volumen? | 98

¿Qué diferencia existe entre la capacidad y el volumen? | 104

¿Sabes lo que significa ser el mediano de la familia? | 126

¿Sabes lo que es estar de moda? | 130

¿Cuántos cm3 de medicina debo dar a josefina? | 110

111213

14

15

17

18

19

16

8

Estándares básicos de competencias

Pensamiento numérico

Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de competencias relacionados con el pensamiento numérico, ya que a par-tir de los números relativos es posible describir situaciones de la cotidia-nidad y al mismo tiempo situaciones que corresponden específicamente al campo de las matemáticas. Con el concepto de valor absoluto y las relaciones de orden se comienza el estudio de las operaciones entre números enteros.

En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

El fantástico mundo de los números

¿Que vas a aprender?

MÓDU

LO

9

Contenidos

Guías Contenidos Procesos

1 Números relativosNúmeros enteros > Relacionar el lenguaje cotidiano con el

lenguaje y los símbolos matemáticos al asignar números relativos a diferentes situaciones.

> Usa modelos como la recta numérica en sus validaciones acerca de las propiedades de los números enteros.

> Formula problemas a partir de situaciones cotidianas que pueden ser descritas con números relativos.

2 Valor absoluto

3 Orden en el conjunto de los números enteros.

10

Los números enteros tienen aplicaciones tanto en situaciones de la vida cotidiana como en situaciones de las ciencias. Por ejemplo, para cono-cer la variación de la temperatura, para conocer ganancias o pérdidas, para el crecimiento o la disminución de la cantidad de agua en el río en diferentes épocas del año.

Con los números relativos es posible conocer a partir de un punto de referencia, qué tan cerca o qué tan lejos queda una vereda vecina, el río más cercano, o la escuela.

Es posible conocer acontecimientos antes y después de un nacimiento por ejemplo, o simplemente saber la altura o la profundidad respecto al nivel del mar.

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

Módulo 1Pensamiento numérico

El concepto de número

Ente de conteo

Como

Aplicado a

Mediante los cuales

Resolver situaciones

Los números relativos Los números enteros

11

¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones:Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades,

problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos

GRADO 7

GradoCantidad de estudiantes

6º. 12

7º. 8

8º. 5

9º. 9

El director de la escuela organizó la información de la cantidad de estudiantes que hay en la escuela.

Cada curso debe tener 9 estudiantes.

>> ¿Qué grupos tienen más de esa cantidad?>> ¿Qué grupos tienen menos?>> ¿Cuántos estudiantes menos hay en grado 7º?>> ¿Cuántos estudiantes más hay en grado 6º?>> Si a la escuela llegan 11 estudiantes nuevos, esa cantidad de estudiantes ¿es

suficiente para organizar otro grupo?>> Si los estudiantes ingresan a 8º, grado, ¿cuántos estudiantes sobrepasan el

cupo?>> Si se reparten seis estudiantes para grado 8º y el resto en grado 9º, ¿en cuánto

sobrepasarían el cupo deseado en cada curso?

12

¿Cómo se organizan

las sartas de pescado?

Guía

Los hermanos Castillo, cada viernes muy temprano en su canoa a pescar. Horas más tarde regresan con lo que han pescado para venderlo en el mercado, el fin de semana.

Una vez son tratados para su consumo, los pescados son ubicados en una cuerda, uno tras otro, formando una fila. Esto comúnmente se conoce como una sarta.

Para la organización de las ventas en el mercado, los hermanos Castillo han elaborado la siguiente tabla:

Clase depescado

Número de pescados en la sarta

Bocachico 5Bacalao 3Trucha 4Mojarra 9

> Si en cada sarta colocan seis pescados, ¿es suficiente el número de pescados que hay de cada clase para armar las sartas?

> Si se quisiera conformar una sarta con las mojarras, ¿cuántos pescados sobrarían?

> Si quiere formar tres sartas completas de truchas, ¿cuántos pescados faltarían?

> En la siguiente figura se representa la loma donde viven los hermanos Castillo y el sitio en el que realizan la pesca.

> ¿Cómo puedes escribir los números para diferenciar la altura de la loma de la profundidad del lago?

Loma

Nivel del agua

Lago

13

Para responder las preguntas anteriores, fue necesario tomar una referencia numérica que sirve como punto de partida para expresar, en este caso, la cantidad de pescados que sobran o faltan para completar una sarta, una altitud o una profundidad.

Cuando se ubica un punto de referencia, se da lugar a la determinación de los números relativos.

Los números relativos se asocian a expresiones como: antes, después, menos que, más que, a la derecha, a la izquierda, por encima de, por debajo de, deudas, ganancias.

Para escribir números relativos se emplean notaciones como:

+3, -5, -200, +6, +18, -367, -45, +19.

Por ejemplo, si una sarta de pescados se organiza con cinco unidades, la cantidad de pescados que sobra después de organizar la sarta, se indica con números positivos.

En el caso contrario, es decir, que falten peces para com-pletar una sarta, entonces se utilizan los números negativos.

Por ejemplo, con el número -1 se representa el número de truchas que faltan para completar una sarta.

Con el número +4, se indica la cantidad de mojarras que sobran después de formar una sarta.

>> ¿Con cuál número relativo se indica la cantidad de bacalaos que faltan para completar una sarta?

>> ¿Qué situación se representa con el número -2?>> ¿Qué número se está tomando como referencia en esta

situación? >> Para indicar la altura de la loma de figura anterior, ¿cuál

es el punto de referencia?>> ¿La profundidad del lago la indicas con una cantidad

positiva o negativa?>> ¿Y la altura de la loma?

La unión de los enteros positivos, los enteros negativos y el cero, forman el conjunto de los números enteros.

Los números que están acompañados por el signo +, se conocen como enteros positivos; y los que están acompañados por el signo -, se conocen como enteros negativos.

14

Este conjunto se denota así: Z = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}Z = Z- U {0} U Z+

Usualmente los números enteros se representan sobre una línea recta. Sobre ella se escoge un punto para ubicar el cero, luego, se toma una unidad de referencia y, hacia la derecha se ubican los enteros positivos. Con un proceso similar, y con la misma unidad, se ubican los enteros negativos hacia la izquierda de cero.

5......-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Enteros negativos Cero Enteros positivos

Indica hacia qué lado de la recta se ubican los números: 7; 13; -9; 20; -15;

>> ¿Cuál es el punto de referencia? >> ¿Ese valor es positivo o negativo?>> ¿Cómo se representa el conjunto de los números

negativos?>> ¿Cómo se representa el conjunto de los números

positivos?>> En la figura anterior, Cuenta las unidades que hay desde

0 hasta 4. ¿Cuántas hay?>> Cuenta las unidades que hay desde 0 hasta -4. ¿Cuántas

hay?>> ¿Cómo son esas distancias?>> Repite la actividad, contando las unidades que hay,

primero, entre 0 y 3, luego 0 y -3. ¿Cómo son esas distancias?

Observa la figura:

5......-4 -3 -2

2 2

-1 0 1 2 3 4

>> 2 es el opuesto de +2 o, +2 el opuesto de -2.>> ¿Cuál es el opuesto de 1?>> ¿Cuál es el opuesto de -4?>> ¿Cuál es el opuesto de 3?>> ¿Cuál es el opuesto de -5?

Los números que están a la misma distancia de cero, pero tienen signos diferentes se denominan números opuestos.

15

>> ¿Cuál es el opuesto de 0?>> Si a representa un número entero, ¿cómo se representa su opuesto?

Forma pareja con uno de tus compañeros. 1. Escriban la situación opuesta y el número opuesto.

a. Llegué una hora antes a la práctica de baloncesto.b. Caminando a la escuela me demoro 25 minutos más que en bicicleta.c. Ayer perdí $ 1500.d. Rodrigo llegó un minuto después de Ángela.

2. El doctor Antonio va de visita a San Juan. Él quiere saber en dónde quedan ubicados el montallantas, el hospital, el hotel, el restaurante y el monumento principal. Preguntándole a las personas que pasan por su vía, Antonio recoge la siguiente información: El monumento principal queda a un kilómetro pasando el puente. Tres kilómetros después del monumento se encuentra el montallantas. El hospital queda un kilómetro antes del puente y dos kilómetros antes del hospital queda el restaurante. El hotel está a cinco kilómetros del montallantas.a. Representen la situación en una recta numérica, tomando como punto de referencia

el puente. Consideren cada unidad como un kilómetro.b. Escriban el número relativo que representa la ubicación de cada uno de los sitios de

interés para Antonio.c. ¿Qué sitios se encuentran ubicados en números relativos opuestos?d. ¿Cuáles son esos números?e. Si se toma el hospital como punto de referencia, ¿qué sitios se encuentran ubicados

en números relativos opuestos? ¿Cuáles son esos números?

3. Analicen la figura.

Q W E T Y U I P L K

> Marquen numéricamente cada uno de los puntos suponiendo que Y es el punto de referencia.

4. Realicen el mismo ejercicios suponiendo que U es el punto de referencia.

16

¿Sabes cómo se

comporta una

hormiga?

Guía

¿Has visto el trabajo que realiza una hormiga?Ellas se encargan de llevar el alimento desde la superficie hasta el hormiguero y pueden cargar hasta el doble de su peso en la comida que llevan. Pueden comunicarse para indicar direcciones acerca del sitio donde se encuentra la comida y dar alarma a sus compañeras para realizar un trabajo en equipo.

Imagínate que uno de esos hormigueros se encuentra ubicado entre dos árboles de naranjo; cada mañana las hormigas salen a buscar su alimento distribuyéndose en sentidos contrarios, como lo muestra la figura.

> ¿Qué número relativo representa la posición del hormiguero?

> ¿Qué número relativo representa la posición del árbol a la derecha del hormiguero?

> ¿Qué número relativo representa la posición del árbol a la izquierda del hormiguero?

> Si cada unidad representa un metro, ¿qué distancia hay del hormiguero a cada uno de los árboles?

5......-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

En la situación anterior, la ubicación de los árboles de naranjo respecto a la ubicación del hormiguero, se puede represen-tar con los números relativos

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-4 y +4, respectivamente, sin embargo, en ambos casos se observa que las hormigas recorren 4 metros.

La distancia que separa a un número del punto 0 en la recta numérica, se denomina valor absoluto.

El valor absoluto de -4 y +4 es 4, puesto que cada uno de esos números se encuentra a cuatro unidades del cero en la recta numérica.

Para indicar que se desea hallar el valor absoluto de un número entero a, se acostumbra encerrarlo entre barras ver-ticales así: |a|.

Sobre la recta numérica se puede verificar que el valor absoluto de cada par de números opuestos es siempre el mismo.

En tu cuaderno representa una recta numérica y repre-senta los valores absolutos indicados.

|-8| y |8||-13|y |13|

>> ¿Cómo son los resultados obtenidos en cada caso?

5......-4 -3 -2 -1 0 1 2

22

3 4|-2| = 2 y |2| = 2

5 7...6-4-5-6 -3 -2 -1 0 1 2

66

3 4

18

1. Indica algunos sitios reconocidos que se encuentren en la vereda o región donde vives. Pueden ser el puesto de salud, la iglesia, la tienda, la plaza, el parque.

a. Toma uno de esos sitios como punto de referencia, por ejemplo el parque, y estima la distancia de ese punto a los diferentes sitios que escogiste.

b. En tu cuaderno, representa sobre una recta numérica cada uno de los sitios. Considera que cada unidad corresponde a 100 metros.

c. Indica cuál es el número relativo que representa la ubicación de cada uno de los sitios y cuál su valor absoluto.

d. ¿Cuál de los lugares que mencionaste está más cerca de tu casa?

e. ¿Cuál está más lejos?f. Estima la distancia que debes recorrer para llegar a uno de

esos sitios, desde tu casa.g. Imagínate que tu casa y todos esos sitios se encuentran en

una recta. Representa esa recta y esos sitios, tomando como punto de referencia tu casa.

h. Escribe el valor relativo que tiene cada uno de esos sitios, al ubicarlos en la recta numérica Luego halla su valor absoluto.

2. Representa la siguiente situación. Dos lanchas parten de la orilla de un río. Una recorre 35

kilómetros hacia el norte de la vereda y la otra, 40 kilómetros hacia el sur.a. ¿Qué punto se toma de referencia en esta situación?b. ¿Qué número representa ese punto de referencia?c. ¿Cuál número entero representa la posición de la lancha

que parte hacia el norte, respecto al punto de partida?d. ¿Cuál número entero representa la posición de la lancha

que parte hacia el sur, respecto al punto de partida?e. Calcula el valor absoluto de +40.f. Calcula el valor absoluto de -40.g. ¿Qué puedes concluir respecto a las distancias recorridas

por las lancha?

19

3. Muy temprano en la mañana María y Francisco salen a sus trabajos respectivos.

a. Si cada unidad representa 1000 kilómetros, ¿qué distancia recorre cada uno?

b. ¿Quién recorre mayor distancia?c. ¿Qué valores absolutos estás calculando?

5. Dos caballos parten de una finca, como muestra la figura.

K -3 -2 -1 p 1 2 M

Uno de los caballos llega al punto K y el otro al punto M. > Si una unidad representa 1000 decámetros, ¿qué distancia

recorrió cada caballo? > Representa cada distancia con su valor absoluto.

6. Responde las preguntas argumentando tu respuesta.

> Consideren el conjunto de los números enteros.

a. ¿Qué números enteros tienen valor absoluto mayor que 7?b. ¿Cuáles tienen valor absoluto menor que 7?c. ¿Cuál es el valor absoluto de cero?d. ¿Por qué el valor absoluto de un número es siempre

positivo?

1 2 3 54 6 7 8 109

trabajo de Francisco

trabajo de María

20

Guía

¿Eres ordenado u ordenada?

Las actividades que realizamos a diario siguen cierto orden.

> Por ejemplo, ponerse los zapatos después de las medias. > Enjabonarse después de estar mojado con el agua. > Colocar crema en el cepillo de dientes antes de cepillarlos.

1. Describe el orden en que realizas las actividades en la mañana.

2. ¿Tienes un horario de clases en la escuela?

3. ¿Qué clase tienes a la primera hora de los viernes?

4. ¿Tienes tus objetos personales ordenados?

5. Escribe en tu cuaderno, las actividades que haces entre las siete de la mañana y las siete de la noche en un día hábil de la semana.a. ¿Todos los días realizas las mismas actividades?b. ¿Cuál es la que más te gusta? ¿Por qué?c. Escribe al frente de cada actividad la hora aproximada en la

que la realizas.

6. Traza una recta numérica y ordena las actividades que escribiste en el punto anterior, tomando como punto de referencia las doce del día.

5 6 7-4-5-6-7 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

21

Cuando representas las actividades que realizas en un día sobre una recta, lo haces de manera ordenada.

Por ejemplo, el baño lo tomas después de levantarte; el desayuno lo tomas antes del almuerzo; te lavas las manos antes de comer.

Así como las actividades que realizas en el día se pueden ordenar, en el conjunto de los números enteros también se establecen relaciones de orden. Es decir se puede determinar qué número está antes o después de otro y por tanto, decir cuál de ellos es mayor o cuál es el menor.

En la figura se ubicaron algunos números enteros en una recta numérica.

5 6-4-5-6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ace bd

Observa que algunos números enteros se ubican a la dere-cha o la izquierda de otro tomado como referencia.

Por ejemplo, el número 4 está ubicado a la izquierda del número 6, o el número 6 está ubicado a la derecha del número 4, en estos casos es sencillo determinar cuál de ellos es el mayor. ¿Cuál es?

>> ¿Cómo representas matemáticamente esta relación?>> ¿El número -2 está ubicado a la derecha o la izquierda

del número 1?>> ¿Cuál es mayor?

a. ¿Cuál es la hora cero?b. ¿Realizas más actividades antes o después de la hora cero?c. ¿Cuáles de esas actividades realizas después de la hora cero?d. ¿Qué número relativo indica la hora a la que llegas a la

escuela?e. ¿Qué haces antes de esa hora?f. ¿Qué actividad realizas dos horas antes de la hora cero?g. ¿Qué actividad realizas tres horas después de la hora cero?

Cuando ubicas números enteros en una recta numérica horizontal, es mayor aquel número entero que se encuentre a la derecha de otro. Esta relación se establece mediante los signos: < (mayor que) o > (mayor que).

22

>> ¿El número -2 queda está ubicado a la derecha o la izquierda del número

>> -5? ¿Cuál es mayor en este caso?>> ¿Qué signo debes colocar entre esos números si deseas

compararlos?

En tu cuaderno representa cada pareja de números en una recta numérica.

3 y -7; 6 y -4; 8 y -3

Concluye: Si un número es positivo y el otro negativo, ¿cuál es menor?

>> Representa en tu cuaderno sobre una recta numérica las siguientes parejas de números:-4 y -9; -1 y -12; -7 y -15

Concluye:Si los dos números son negativos ¿cuál es mayor?

>> ¿Si se representan en la recta numérica dos números positivos, ¿cuál es mayor?

1. En tu cuaderno, representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números enteros.a. Los enteros mayores que 2 pero menores que 12.b. Los enteros positivos menores que 12.c. Los enteros mayores que -6, pero menores que 8.d. Los enteros negativos mayores que -8.e. Los enteros mayores que -4, pero menores que 4.f. Los enteros menores que 5.g. Los enteros mayores que -2.h. Los enteros mayores que 6.

2. Completa cada frase en tu cuaderno.a. +6 está a la __ de +2. Se puede escribir +6 ___+2.b. -7 está a la __ de -5. Se puede escribir -7 ___ -5.c. +8 está a la __ de -2. Se puede escribir +8 ___ -2.d. -10 está a la __ de -4. Se puede escribir -10 ___ -4.

23

3. Escribe el signo que permite comparar las siguientes parejas de números:a. 2 y 3 b. 9 y -6 c. -4 y 2 d. -1 y -7 e. -5 y -8 f. -12 y 3

4. Escribe tres números enteros que estén entre: a. -5 y +6 b. 0 y +8 c. 0 y -5 d. -17 y +12

5. En tu cuaderno, representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números enteros.

a. Los enteros mayores que 2 pero menores que 12.b. Los enteros positivos menores que 12.c. Los enteros mayores que -6, pero menores que 8.d. Los enteros negativos mayores que -8.e. Los enteros mayores que -4, pero menores que 4.f. Los enteros menores que 5.g. Los enteros mayores que -2.h. Los enteros mayores que 6.

6. Cuando se comparan números enteros en una recta vertical, ¿cuál es mayor?Realiza una representación gráfica.

7. Los puntos K, L y M ubicados en la recta, representan números enteros. Determina el signo de cada número y la relación de orden que existe entre ellos.

M L 0 K

24

1. Miguel y sus hermanos se reúnen a jugar en la canchas de baloncesto que hay en el polideportivo del pueblo.

Ellos practican el lanzamiento desde la mitad de la cancha y anotan con números positivos los aciertos y con números negativos los lanzamientos perdidos.

En una serie de cuatro juegos, Miguel obtuvo los siguientes puntajes -12, -8, -4, 5.a. a. ¿Puedes afirmar que el primer puntaje fue el mayor?

¿Por qué?b. b. ¿Crees que Miguel fue mejorando sus lanzamien-

tos? Explica tu respuesta.c. c. ¿Cada vez que Miguel jugó, obtuvo un puntaje mejor

que el anterior? Explica.

2. José y Ramón los hermanos de Miguel, obtuvieron en el primer juego, -11 y -9 puntos, respectivamente. Entonces decidieron apostar una empanada con gaseosa. Decidie-ron que el ganador sería aquel que elevará más su pun-taje inicial.

Los puntajes correspondientes se anotan en la siguiente tabla.

Primer juego

Segundo juego

Tercer juego

Cuarto juego

José -11 -4 7 9

Ramón -9 -4 9 11

¿Quién ganó la empanada con gaseosa?Explica tu procedimiento para hallar la respuesta.

25

3. El siguiente diagrama es un plano cartesiano.

Su representación consiste en trazar dos rectas perpendiculares de modo que su intersección se convierta en un punto de referencia para dar coordenadas de lugares u objetos.

Para cualquier punto que se ubique en el plano, la primera coordenada corresponde a las unidades contadas sobre la recta horizontal a partir del punto de referencia. Será positiva si el conteo se hace hacia la derecha o negativa si se hace hacia la izquierda. La segunda coordenada corresponde a las unidades contadas sobre la recta vertical, a partir del punto de referencia. Será positiva si el conteo se hace hacia arriba o negativa si el conteo se hace hacia abajo.

a. Las coordenadas del punto A son (5, 6). ¿Cuántas uni-dades se desplazó desde el punto de referencia hacia la derecha?

b. ¿Cuántas unidades se desplazó desde el punto de refe-rencia hacia arriba?

Escribe las coordenadas del punto B y explica lo que significa cada número.

c. Desplaza el punto A dos unidades hacia abajo y tres unidades hacia la izquierda. ¿Cuál es su nueva ubica-ción?

d. Desplaza el punto B, cinco unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. ¿Cuál es su nueva ubicación?

1-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

123456

A

A

X

BBY

2 3 4 5 6 7

26

Que aprendí1. Al subir una montaña, la temperatura baja 5 ºC cada 300

metros. En la base de la montaña la temperatura es de 20 ºC. la montaña tiene una altura aproximada de 2500 metros desde la base de la cima. ¿Cuál será la tempera-tura en la cima?

Completa, en tu cuaderno la tabla como ayuda.

Altura (m) 0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400

Temperatura (oC) 20 15

2. Mateo realiza las siguientes transacciones en un banco:Consigna $ 130 000Retira $ 60 000Consigna $ 170 000Retira $ 95 000

>> Escribe cada movimiento de la cuenta con un número entero.

>> Si tenía $ 90 000, ¿cuánto dinero le queda en la cuenta?

3. En la figura se han representado algunos sitios sobre una recta.

Si el río es el punto de referencia, escribe el valor relativo que representa:a. La escuela.b. La estación de gasolinac. La Alcaldíad. El hospital.e. El restaurante.

ALCALDIA

27

4. Si cada unidad representa 1000 metros, escribe la distan-cia de:a. El río al restaurante.b. La Alcaldía al hospital.c. La torre eléctrica a la estación de gasolina.d. La escuela al río.e. Explica cómo calculaste cada una de esas distancias.

¿Cómo me ven los demás? Trabajemos en grupos. 5. En la gráfica se representa la temperatura registrada en

una ciudad, durante una semana.

a. ¿Qué día estuvo más baja la temperatura?b. ¿El miércoles hizo más que el viernes?c. ¿Cómo escribir la temperatura del miércoles para dife-

renciarla de la del sábado?d. Utilicen números enteros para ordenar las temperatu-

ras de menor a mayor.e. ¿Qué significa la pareja (D, -5)?

6. Mencionen tres situaciones en las cuales se utilicen los números enteros.

Me autoevalúo>> Utilizo los números enteros en situaciones de comparación.>> Utilizo lenguaje matemático para relacionarlo con

números enteros para modelar situaciones.>> Comparo números enteros de menor a mayor y viceversa.>> Resuelvo situaciones que requieran de números relativos.>> Utilizo la recta numérica para ubicar un punto de referencia

y determinar los valores relativos.>> Trabajo con mis compañeros aportando mis ideas y

respetando las de ellos.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

3

0

-3

-9

9

Días de la semana

X

Y

(L, -9)

(M, 0)

(Mc, -3)

(J, 9) (V, 9)

(S, 1)

(D, 3)

28

ESTándArES báSICoS dE CoMPETEnCIAS

Pensamiento numérico

Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, divi-sión y potenciación.

Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y pro-piedades de las operaciones.

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicati-vas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de competencias relacionados con el pensamiento numérico, ya que a par-tir de las operaciones con los números enteros es posible describir situa-ciones de la cotidianidad de manera que se comprendan los diferentes significados de los números enteros, de sus propiedades y de las relacio-nes entre las operaciones

Usemos los números enteros

¿QUE VAS A APrEndEr?

MÓDU

LO

29

En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

Contenidos


4 Adicióndenúmerosenteros > Establece conexiones entre las distintas representaciones de los números enteros y entre las operaciones y sus representaciones.

> Comunica a otros sus ideas sobre las operaciones con números enteros de manera clara y coherente.

> Justifica sus respuestas, procedimientos y estrategias empleadas en diversas situaciones de los números enteros.

> Resuelve problemas cuya solución requiere de los números enteros.

5 Sustraccióndenúmerosen-teros

5 Multiplicaciónydivisióndenúmerosenteros

6 Simplificacióndesignosdelasoperaciones

30

El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

Módulo 2Pensamiento numérico

Significado de los número enteros

En contexto de

Adición

Con signos iguales

Con signos diferentes

Sustrac ción

Definida como la operación inversa de la

sumaa – b = a + (-b)

Multiplicación

Con signos iguales

Con signos diferentes

División

a ÷ b = cDefinida para números tales

que a = b × c

Las operaciones con números enteros tienen aplicaciones tanto en situaciones de la vida cotidiana como en situaciones de las ciencias. Por ejemplo, para resolver expresiones matemáticas como x + 10 = -12; para saber cuánto se disminuye una deuda a la que se le abona cierta cantidad, para conocer cuánto dinero tenía hace tres meses, comparado con el que tengo ahora si la cantidad ahorra es la misma.

Con las operaciones con los números enteros puedes conocer datos interesantes, cómo saber cuántos años vivió una persona de otra época o conocer la distancia ente un punto y otro.

¿PArA QUÉ TE SIrVE Lo QUE VAS A APrEndEr?

31

¿CóMo SE TE VA A EVALUAr?





EXPLorA TUS ConoCIMIEnToS

>> ¿En la región donde vives o cerca de ella, hay petróleo?

>> ¿Conoces los derivados de ese mineral?

>> ¿Hay estufa gas en tu casa?

Si la respuesta a la pregunta anterior es no, explica cómo cocinan los alimentos, en tu casa.

¿Sabes cómo se extrae el petróleo?

El petróleo se extrae mediante la perfo-ración de un pozo sobre un yacimiento. El trépano o broca es la herramienta de corte que permite perforar.

a. El trépano puede perforar 60 m por hora. ¿Cuántos metros habrá per-forado en 5 horas? ¿Qué número entero expresa esta profundidad?

b. Si el trépano se encuentra a -720 m, ¿cuántas horas han transcurrido desde que se inició la perforación?

32

Guía

nos movemos en la recta

para sumar

Todos los movimientos describen una trayectoria, aunque a veces no pueda percibirse. Por ejemplo, cuando vas para la escuela sigues un camino que describe una trayectoria, ya sea recta o curva.

Cuando ves pasar un avión por el aire, también se puede describir su trayectoria, lo movimientos que realiza la Tierra, aunque no se puedan ver, si se pueden describir.

Para describir la trayectoria de un desplazamiento, es importante indicar si el movimiento se hace hacia la izquierda, hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo. Además se debe indicar las unidades que se recorren en el desplazamiento.

Las siguientes situaciones representan trayectorias sobre una línea recta. Léelas atentamente. Luego resuélvelas.1. Roberto lleva todos los días el alimento a los animales de la

finca. Al llegar a la caballeriza, primero camina cuatro metros hacia el caballo Pintica, y luego camina tres metros más en la misma dirección hacia donde está el caballo Rúper.

Traza una recta numérica y representa la situación. Considera que cada unidad representa un metro.

a. ¿En qué punto de la recta termina el primer desplazamiento?

b. ¿En qué punto de la recta comienza el segundo desplazamiento?

c. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra Roberto, después de realizar los desplazamientos?

33

CompetidorPrimera

competenciaSegunda

competenciaPuntaje

PuntajefinalPuntos

ganadosPuntos

perdidosPuntos

ganadosPuntos

perdidosPrimera

CompetenciaSegunda

Competencia

Pintica 1 0 2 0 1 2 3

Rúber 0 3 0 2 -3 -2 -5

2. Roberto prepara los caballos Pintica y Rúper para participar en una competencia que se está organizando a las afueras del pueblo. Pintica ha acumulado algunos puntos a favor obtenidos en competencias en las que ha participado anteriormente, pero Rúper, solo ha acumulado puntos contra.

> ¿Qué proceso matemático se siguió para hallar el puntaje final?

En la figura se representa el desplazamiento que hace Roberto en la caballeriza.

0 41 52 63 7 8 9

>> ¿Cómo se representa matemáticamente esa situación?>> Escribe en tu cuaderno la operación que está

representada.

Lee nuevamente los datos de la tabla acerca de los puntos acumulados por los caballos en las competencias.

En la columna de los puntajes finales, se observan números positivos y negativos.

>> ¿Por qué el primer puntaje final de Pintica, es positivo?>> ¿Por qué el primer puntaje final de Rúper es negativo?>> ¿La suma de números enteros positivos, es positiva o

negativa?>> ¿La suma de números enteros negativos, es positiva o

negativa?

34

Observa cómo se representa la adición de números positivos (+1) + (+2):

0 4 71 5 82 3 6

+2

+3

+1

Esta es la representación de enteros negativos:

0-6-9 -5-8 -4-7 -3 -2 -1

-3

-5

-2

La suma de números enteros del mismo signo se repre-senta con una flecha cuyo origen es el origen de la primera flecha y su extremo es el extremo de la segunda flecha.

Representa en tu cuaderno, sobre una recta numérica la suma de las adiciones:

(-3) + (-7) y (-6) + (-5). >> ¿Qué suma obtuviste en cada caso?

Encuentra el valor absoluto de cada uno de los sumandos en las adiciones anteriores.

|3| = ? |-7| = ? |-6| = ? |-5| = ?

Halla la suma de los valores absolutos de cada par de números y compara los resultados con los que obtuviste en la representación gráfica.

>> ¿Qué tienen de diferente?>> ¿Qué puedes hacer para que los resultados sean iguales?

Una mañana Roberto entró a las caballerizas y caminó 7 metros a su derecha, para alimentar al caballo Pillus, y luego se devolvió 3 metros, en línea recta, para sacar agua de un tanque que se encuentra en ese punto.

En general, la suma de enteros negativos del mismo signo se obtiene adicionando sus valores absolutos y escribiendo en el resultado, el signo de los números.

35

Observa la representación gráfica.

0 41 52 63

(-3)

(+7)

7 8 9

(+4)

¿A qué distancia del punto inicial se encuentra Roberto? Explica cómo hallaste la respuesta.

Si Roberto camina cinco metros a su derecha y luego se devuelve en línea recta nueve metros, ¿en qué punto queda?

(+5)

(-9)

0 4 71 5 82-4 3 6-3 -2 -1

(-4)

Ahora Roberto entra a la caballeriza y camina siete metros a su izquierda y se devuelve cinco metros.

0 3-6 -5-8 -4-7 -3 -2 1-1 2

(-7)

(+5)(-2)

¿A cuántos metros queda de la posición inicial?

En tu cuaderno, representa en una recta numérica la siguiente situación.

>> Roberto llega a la caballeriza y camina ocho metros a la izquierda. Luego se devuelve once metros, en línea recta. ¿Cuál es su nueva posición respecto al punto de inicio?

>> ¿La suma de números enteros de diferente signo siempre es positiva? ¿Por qué?

>> ¿La suma de números enteros de diferente signo siempre es negativa? ¿Por qué?

36

En conclusión, la suma de números enteros de diferente signo se obtiene restando los valores absolutos (el mayor del menor) y colocándole al resultado el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

Observa el ejemplo.Analiza la siguiente operación:(+30) + (-46)

Se hallan los valores absolutos de cada número: |+30| = 30 y |-46| = 46

Ahora se restan esos resultados46 – 30 = 16

Luego se coloca al resultado el signo del número con mayor valor absoluto:(+30) + (-46) = -16

Cuando un número es positivo, generalmente se omite el signo + en su escritura, es decir, (+30) se puede escribir sim-plemente 30.

1. Traza en tu cuaderno una recta numérica. > Dibuja y recorta la flecha numérica que representa el número

(+6), en una tira de papel. Coloca sobre la recta el origen de la flecha en cada número indicado a continuación. Lee en qué número queda el extremo de la flecha en cada uno de los casos. Ten en cuenta que la distancia entre las unidades de la recta numérica y la flecha sean las mismas.

(+2), (-1), (+3), (-5), 0 2. Analiza, responde y representa gráficamente las siguientes

situaciones.

a. Luisa se desplaza 7 metros hacia la derecha, luego 5 metros hacia la izquierda. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?

b. Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta situación?c. José camina tres pasos a la izquierda y luego camina 8 pasos

37

a la derecha. ¿A cuántos pasos se encuentra de la posición inicial?

Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta situación?

Reúnete con un compañero o compañera y realicen las actividades que se proponen a continuación.

3. Ramón y Miguel son habitantes de una vereda de Pitalito, en el departamento del Huila. Un día se encuentran en la tienda, se saludan y sigue cada uno su camino en bicicleta.

Ramón partió hacia la derecha y Miguel a la izquierda de la tienda, al cabo de una hora, Ramón había recorrido tres kilómetros y Miguel cuatro kilómetros en línea recta; después de una hora Ramón decidió devolverse tres kilómetros, mientras que Miguel sólo se devolvió un kilómetro.

Representen gráficamente el recorrido de Ramón y Miguel al cabo de una hora.

a. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Ramón, en la primera hora?

b. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Miguel, al cabo de la primera hora?

c. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Miguel después de que se devolvió?

d. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Ramón después de que se devolvió?

e. Representen en la recta numérica la posición final de Ramón y la de Miguel, con respecto a la tienda.

f. ¿Cuántos kilómetros en total recorrió Ramón?g. ¿Cuántos recorrió Miguel?

4. Cada integrante del grupo, realice la siguiente. Luego reúnanse y discutan los resultados obtenidos. Escriban una conclusión.

Ubíquense frente a al escritorio o pupitre de cada uno. Desplácense ocho pasos a la derecha y luego cinco pasos a la izquierda. Marquen con un lápiz el punto a donde llegaron.

38

Ahora vuelvan al punto de inicio y desplácense cinco pasos a la izquierda y luego ocho pasos a la derecha. ¿A qué punto llegaron?

> ¿Obtuvieron el mismo resultado con respecto al punto inicial en los dos casos?

> Con ayuda de la recta numérica verifiquen que: 4 + (-6) = (-6) + 4

> ¿Qué conclusión obtienen? > ¿Recuerdan que nombre recibe esa propiedad de la adición?

5. Representen sobre una recta numérica las siguientes adiciones.

a. (-8) + 0 b. 7 + 0 c. 0 + (-11)

> ¿Cómo son los resultados?, ¿por qué se obtuvieron esos resultados?

> ¿Recuerdan que propiedad de la adición es? > ¿Pueden concluir que la adición de números enteros cumple

esa propiedad?

6. Representen las adiciones:

a. (-3) + 3 b. 5 + (-5) c. 8 + (-8)

> ¿Qué tienen de particular esas adiciones? > ¿Cuál es la suma?, ¿es igual en todos los casos? > Concluyan: > ¿Qué número se obtiene al adicionar un número con su

opuesto?

Esta propiedad de la adición de números enteros se conoce como la propiedad del inverso aditivo.

7. Comprueben, con representaciones en la recta numérica, que la adición de números enteros cumple la propiedad asociativa.

40

Todas las personas somos diferentes. Algunas son altas y otras son bajas. Algunas tienen sus ojos de color claro y otras tienen ojos negros. Además de las diferencias físicas, también existen diferentes culturas a la que pertenecen dife-rentes grupos de personas. Cada una de esas diferencias nos hace especiales y únicos.¿Qué cualidades te hacen diferente al resto de tus compañe-ros de clase?

En matemáticas la diferencia es uno de los términos de la sustracción. La diferencia indica cuánto falta, cuánto sobra, cuánto más, cuánto menos, etc.Reúnete con un compañero o compañera. Lean la siguiente situación.

María, José, Teresa y Luis son compañeros de la clase. Un día salen de la escuela al mismo tiempo y se desplazan así: María 100 metros hacia la derecha, José, 130 metros hacia la derecha; Teresa 20 metros a la izquierda y Luis 80 metros a la izquierda de la escuela.

Representen sobre una recta numérica los desplazamientos de María, José, Teresa y Luis.

¿A qué diferencia en metros de distancia se encuentran: > ¿José de María? > ¿Luis de Teresa? > ¿María de Teresa? > ¿Teresa de José? > ¿Luis de María? > ¿José de Luis? > ¿Qué operación realizaron, para obtener la diferencia de

metros de distancia entre estudiantes que salieron de la escuela?

¿Y cuál es la diferencia?

Guía

41

>> ¿Recuerdas cuál es la operación inversa de la adición?>> ¿Cómo compruebas que 10 - 6 = 4?>> ¿Qué número le adicionas a 6 para obtener 10?

Para realizar sustracciones entre números enteros, debes realizar el mismo proceso: se debe encontrar un número entero, tal que sumado con el sustraendo dé el minuendo.

>> ¿Cuál es el minuendo en la sustracción anterior?>> ¿Cuál es el sustraendo?>> ¿Cuál es la diferencia?

Realiza en tu cuaderno, las siguientes operaciones y observa lo que sucede cuando se resta a un número entero diferentes números consecutivos.

(+7) – (+2) (-7) – (+2) (+7) – (+1) (-7) – (+1)(+7) – 0 (-7) – 0(+7) – (-1) (-7) – (-1)(+7) – (-2) (-7) – (-2)

Escribe las sustracciones que tienen el mismo resultado.

(+7) – (+2) = (+5) y (+7) + (-2) = (+5) (-7) – (-2) = (-5) y (-7) + (+2) = (-5)

Continua.

>> ¿Cuál es el signo de la primera operación?>> ¿Cuál es el signo de la segunda?

En cada caso, compara los números que están en el sus-traendo. ¿Cómo son?

>> ¿Una sustracción se puede expresar como una adición?>> Escribe una conclusión al respecto.

42

En conclusión: restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

Ejemplos: 8 - 3 = 8 + (-3) = 5

10 - 4 = 10 + (-4) = 6

3 - (-5) = 3 + (5) = 8

(-6) - (-2) = (-6) + (2) = (-4)

Recuerda que en los enteros positivos se puede omitir el signo +.

Al igual que en la adición, la sustracción de enteros tam-bién se representa sobre una recta numérica.

Observa la representación de las sustracciones anteriores.

0 41 52 63

-3+8

7 8 9

+5

Representa la segunda sustracción.

Observa la representación de la tercera sustracción.

0 41 52 63

+3

+8

7 8 9

+5

Recuerda que -(-5) significa el opuesto de -5.Representa la cuarta sustracción.

Toda sustracción puede expresarse como una adición: a – b = a + (-b)

43

1. Responde las preguntas.a. Mercede tiene 4 granadillas. ¿Cuántas debe adicionar para obtener 12?b. Para la segunda ronda del campeonato de microfútbol, el equipo arrayanes empieza

con 14 puntos en contra. ¿Cuántos puntos debe ganar para obtener una puntuación final de 8 puntos?

c. ¿Qué número debes adicionar a 2 para obtener (-5)?d. ¿Qué número debes adicionar a (-6) para obtener (-8)?

2. Escribe las siguientes sustracciones como adiciones.a. 12 - 6 b. 5 - 11 c. -25 – (-6) d. 20 – (-8) e. 7 – 0 f. 40 – 30 g. -10 – (-5) h. 13 – 18

3. Resuelve las sustracciones anteriores.4. Escribe la sustracción que está representada en cada caso. El minuendo está

representado por la primera flecha.

0 5-6-9-10 -5-8 -4 1-7 -3 2-2 3-1 4

Reúnete con un compañero o compañera para realizar las siguientes actividades.

Comprueben si (+17) – [(+11) – (+5)] = [(+17) – (+11)] – (+5). > Realicen primero las operaciones entre los signos de agrupación. > ¿Se puede afirmar que la sustracción cumple la propiedad asociativa? > Confirmen su conclusión con otro ejemplo.

Verifiquen si (+12) – (+4) = (+4) – (+12). > ¿Se puede afirmar que la sustracción cumple la propiedad conmutativa? > Den otro ejemplo.

Determinen con varios ejemplos, qué sucede si se sustrae a un número entero su opuesto aditivo.

> ¿Cumple la sustracción la propiedad del inverso aditivo? ¿Por qué?

44

GuíaDuplicar y triplicar son expresiones que se escuchan con frecuencia. Por ejemplo, para informar que la cantidad de agua lluvia que cayó este año, duplicó la cantidad de agua que cayó el año pasado o que las ganancias por la venta de guayaba en época de cosecha, triplicó las ganancias de hace dos años.

Adicionar dos veces una cantidad es calcular el duplo de ese número.

Adicionar tres veces una cantidad es conocer el triple de ese número.

> ¿Cuál es el duplo de tres? > Observa cómo representarlo. > Construye en tu cuaderno rectas numéricas y en ellas

representa el producto 2 × 3.

(+3)(+3)

(+6)

0 4 71 5 82-4 3 6-3 -2 -1

2 × 3 significa dos veces tres.

> ¿Cuál es el triple de dos? > Observa cómo representarlo. > En la siguiente recta se encuentra representado el producto

3 × 2.

(+2)(+2)

(+2)

(+6)

0 4 71 5 82-4 3 6-3 -2 -1

> ¿Por qué la flecha que va desde 0 hasta 2, se repite tres veces? > ¿Qué significa matemáticamente la expresión 3 × 2?

A duplicar y triplicar

45

> Traza en tu cuaderno, una recta numérica para representar el producto de (-2) × 3

> Comienza representando el producto 2 × 3.

(+3)(+3)

(+6)(-6)

0 41 52-4-5-6 3 6-3 -2 -1

> El tres se duplica y se invierte el sentido de la flecha. ¿Por qué? > ¿Cuál es el producto de (-2) × 3?

> Representa ahora el producto de dos números negativos. (-2) × (-3)

(+3)(+3)

(+6)(-6)

0 41 52-4-5-6 3 6-3 -2 -1

> ¿Cuántas veces se representa el factor (-3)? > ¿Por qué se invierte el sentido de la flecha? > ¿Cuál es el producto de (-2) × (-3)?

> Representa el producto de 3 × (-2). > Explica el procedimiento que sigues.

Utiliza las representaciones anteriores y escribe.>> ¿Qué signo tiene el producto de (-2) × 3?

¿Qué signo tiene el producto de 3 × (-2)?>> ¿Qué signo tiene el producto de (-2) × (-3)?

Utilizando representaciones en la recta numérica indica, ¿cuál es el producto de:

a. (-5) × 4b. (-4) × 5c. (-5) × (-4)

46

Indica cuál es el signo del producto en cada caso.Aplicando la propiedad distributiva, también se puede jus-

tificar el producto de dos números negativos. Observa.

(-5) × [(6 + (-5)] = (-5) × 6 + (-5) × (-5) (-5) × 1 = -30 +

>> ¿Qué número debe ir en el recuadro?>> ¿Cómo lo sabes?

Encuentra los productos teniendo en cuenta la regla anterior.(-8) × 9 (-12) × 3(-4) × (-7) (-8) × (-8)

>> ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación?>> ¿Cómo compruebas que 24 ÷ 6 = 4?

Recuerda que con la división es posible hallar un factor desconocido en una multiplicación.

Halla el facto desconocido en cada caso. Realiza la activi-dad en tu cuaderno.

a. –9 × = –18 b. –9 × = 18c. × (-15) = 345 d. × 15 = 345e. 1 × = 19 f. -1 × = -19g. 1 × = -19 h. -7 × = 28

En tu cuaderno, escribe las divisiones correspondiente y completa las igualdades.

Utiliza los resultados anteriores para extraer una regla para dividir números enteros.

Analiza.>> ¿Es posible encontrar siempre el cociente de dos

números enteros?>> Muestra ejemplos o contraejemplos.

Ten en cuenta que el divisor debe ser un número diferente de 0.

Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos. Si los números tienen igual signo, el resultado es positivo. Si tienen signos diferentes tienen signos negativos.

Para dividir números enteros se dividen sus valores absolutos. Si los números tienen igual signo, es resultado es positivo. Si son de diferente signo, el resultado es negativo.

Multiplicación Divisióna. –9 × = –18 –18 ÷ (–9) =

b. –9 × = 18

c. × (-15) = 345

d. × 15 = 345

Multiplicación Divisióne. 1 × = 19

f. -1 × = -19

g. 1 × = -19

h. -7 × = 28

47

Forma un grupo con dos compañeros o compañeras de la clase.

Lean cada una de las situaciones que se presentan a continuación. Luego escriban la expresión matemática que la representa y resuélvanlas.

a. Mariana vende jugos y gaseosas en el paso del peaje para entrar al departamento del Tolima. Cada semana ahorra $ 25 000 de sus ventas. ¿Cuánto habían variado sus ahorros en cinco semanas?

b. Mariana ahorra $ 25 000 cada semana en su venta de jugos y gaseosa. ¿Cuánto dinero tenía hace cinco semanas comparado con el que tiene ahora?

c. Mariana gasta $ 25 000 cada semana en los productos que compra. ¿Cuánto habían variado sus ahorros en cinco semanas?

d. Mariana gasta $ 25 000 cada semana en los productos que compra. ¿Cuánto dinero de más tenía hace cinco semanas, comparado con el que tiene ahora?

e. Mariana estuvo de viaje por Chaparral y cada día gastaba $ 25 000. Si en total gastó $ 200 000, ¿cuántos días estuvo de viaje?

Contesten las siguientes preguntas.a. Comparen los resultados de las operaciones (–3) × 7 y 7 ×

(–3). ¿Son iguales o diferentes? Expliquen.b. ¿Cuál es el resultado de la operación [(–2) × 5)] × 4? c. ¿Y de (–2) × [(5 × 4)]?d. ¿Se altera el resultado de una multiplicación de tres o más

factores si se asocian de maneras distintas?e. ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número

entero por 1?f. Resuelvan estas operaciones:g. [–3 × (–6 + 2)] y [–3 × (–6) + (–3 × 2)]h. ¿Cuál es el resultado de la primera operación? ¿Y de la

segunda?

> Escriban cuáles son las propiedades de la multiplicación. Den ejemplos de cada una.

> Confirmen si esas propiedades se cumplen o no en la división. Den ejemplos o contraejemplos.

48

Guía

realizando cálculos

fácilmente

En el diagrama se muestra el recorrido entre fusagasugá y la línea

a. ¿Qué altura tiene el Boquerón, respecto al nivel del mar?b. Estima la altura de Cajamarca.c. ¿Cuál es la altura respecto al nivel del mar de Gualanday?d. ¿Cuántos metros de altura tiene la línea.e. Escribe las operaciones que permiten hallar la altura de La

Tebaida.

Utilizando números relativos la expresión que permite hallar la altura de La tebaida, es: (+1800) + (-1400) + (+100) + (+1400) + (+1200) + (-1900)

¿Esta expresión es igual a la que escribiste en la actividad anterior?

Para facilitar los cálculos con números enteros los signos + de los números enteros positivos pueden suprimirse.(+1800) + (-1400) + (+100) + (+1400) + (+1200) + (-1900) =1800 + (-1400) + 100 + 1400 + 1200 + (-1900)

¿Esta expresión te parece más sencilla? ¿Por qué?

Todavía se observan signos dobles en la expresión. Observa cómo se simplifica.

Al adicionar un número entero negativo se puede escribir directamente como la sustracción del número positivo.

1800 – 1400 + 100 + 1400 + 1200 – 1900 ¿Cuál es la altura de La Tebaida?

49

Si una operación comienza con un número negativo se puede suprimir el parénte-sis de éste. Por ejemplo, en lugar de escribir (-13) + 45 se escribe

-13 + 45.

Estas indicaciones deben tenerse en cuenta cuando se quiere simplificar expresio-nes con signos de agrupación. Si aparecen varios signos de agrupación en el cálculo, se debe efectuar las operaciones de adentro hacia afuera.

Es importante distinguir entre el signo de la operación y el signo del número. Por ejemplo:

17 + {[(-6) + (-17 – 11)] + 24}17 + {[(-6) + (-28)] + 24}17 + {[(-34)] + 24}17 + {(-34) + 24}17 + {(-10)}17 + (-10)17 – 10 = 7

Forma grupo con tus compañeros para realizar las siguientes actividades.1. Realicen en tu cuaderno las siguientes operaciones en el orden en el que se indican.

(-8) + 3 × (-2) (-8) + 3 × (-2)

¿Son iguales los resultados?

Para solucionar expresiones en las cuales se plantean varias operaciones, primero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, y luego las sumas y las restas en el orden en que aparecen. Si hay signos de agrupación, primero se realizan las operaciones agrupadas.

Según lo anterior, ¿cuál es el resultado correcto en las operaciones anteriores?2. Antonio realizó las siguientes transacciones en su cuenta del banco. Retiró $ 280 000 el lunes, retiró $ 157 000 el martes, consignó $ 325 000 el miércoles,

consignó $ 200 000 el jueves, retiró $ 327 000 el viernes. ¿Cuál era su saldo al final de la semana?

50

1. Responde con base en la información de la tabla, ¿cuál es la temperatura final en cada ciudad?

Ciudad Temperaturainicial Variación

A 12º C Subió 3º CB 8º C Bajó 2º CC 3º C bajo cero Subió 6º CD 5º C bajo cero Subió 7º C

2. Un tanque de agua deja escapar diariamente 430 milili-tros por la llave y 150 mililitros por una grieta. ¿Cuánta agua en total se escapa diariamente del tanque?

3. El alcalde la Villanueva lleva un registro de los habitantes del pueblo, con las modificaciones sucedidas durante su mandato.

Población inicial: 4871

DesplazamientosInmigrantes 329

Emigrantes 562

NatalidadNacimientos 65

Defunciones 43

a. Escribe el número relativo correspondiente a cada suceso.

b. ¿Cuántos habitantes tiene Villanueva al terminar el alcalde su período?

4. Resuelve cada situación.a. a. El equipo de fútbol de una vereda terminó la peor

temporada con diferencia de goles de –81. Si juga-ron 27 partidos y en cada uno de ellos obtuvieron la misma diferencia de goles, ¿cuál fue la diferencia de goles en cada partido?

51

b. Durante un cambio inesperado de temperatura en una ciudad, la temperatura descendió 3 ºC cada minuto. ¿Cuánto tiempo transcurrió para que la temperatura bajara 21 ºC?

5. Teresa, Felipe y Rodrigo juegan a lanzar dos dados cúbi-cos uno azul y el otro rojo. Con el dado azul se gana el número de puntos obtenidos en el lanzamiento, mientras que con el dado rojo, se pierde el número de puntos que se obtenga.

Después de varios lanzamientos, Teresa, Felipe y Rodrigo registraron sus resultados en la siguiente tabla.

Jugador

Puntaje Teresa Felipe Rodrigo

A favor 24 45 30

En contra -12 -35 -18

Puntaje final

a. Completa la tabla.b. Si teresa lanzó el dado azul seis veces y cada vez

obtuvo el mismo puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo en cada lanzamiento?

c. ¿Cuántas veces lanzó Felipe el dado rojo, si en todos los lanzamientos obtuvo -5?

d. Plantea una secuencia de lanzamientos con la que Rodrigo pudo obtener los resultados que muestra la tabla.

6. Cuando se abre el desagüe de un tanque que contiene 1 896 litros de agua, este se desocupa totalmente en 12 horas. a. ¿Qué cantidad de agua sale cada hora por el desagüe?b. ¿Al cabo de cuántas horas de abierto el desagüe, el

contenido del tanque es de 790 litros de agua?

52

Que aprendí1. Don Miguel recibe el siguiente extracto bancario. ¿Cuál es el saldo que tiene don Miguel después de la tran-

sacción de la fecha 22-03-2010?

2. ¿Cuál de estas columnas completa la tabla? Argumenta tu respuesta.

SALDO

1 250 000250 000

–480 00075 00080 00080 000

–450 0008 000

–75 000

SALDO

1 250 000–1 000 0001 480 0001 405 000

–1 325 0001 245 0001 695 000

–1 687 000–1 612 000

SALDO

1 250 000–250 000480 000–75 000–80 000–80 000450 000

–8 000–75 000

SALDO

1 250 0001 000 0001 480 0001 405 0001 325 0001 245 0001 695 0001 687 0001 612 000

a. b. c. d.

BancoMas SEÑOR(A): MIGUEL PEREZNIT: 654,654,951DESDE 2010 MAR 15 A 2010 MAR 30135648564

ESTADO DE CUENTA, CONSOLIDADO EN PESOS

RECUERDE QUE SI TIENE DUDAS DE SU CUPO DISPONIBLE, PUEDE CONSULTARLOS EN LASUCURSAL TELEFÓNICA O VIRTUAL DE SU BANCO

FECHA LIMITE DE PAGO2010/ ABR 06

PAGO SALDO VALOR PAGADO

RESUMEN

SALDO CONSUMO Y CARGOS(*)

INTERESESCORRIENTES

INTERESESDE MORA

ABONO SALDO ACTUAL SALDOEN MORA

FECHA CONCEPTO VALOR SALDO

15-03-201018-03-201019-03-201021-03-201022-03-201023-03-201025-03-201028-03-201029-03-2010

Saldo anteriorCargo compraTraslado en efectivoPago de serviciosCargo compraCargo compraIngreso en efectivoCuota de manejoPago de servicios

1 250 000–250 000480 000–75 000–80 000–80 000450 000

–8 000–75 000

53

3. Si don Miguel paga $ 75 000 pesos mensuales por con-cepto de servicio de agua, ¿cuál sería el registro total en el extracto bancario por el pago de un año de este servicio?

¿Cómo me ven los demás?Trabaja en grupo. Consulten a su profesor cuando sea nece-sario.

4. Escriban un ejemplo de cada una de las propiedades de la adición de números enteros.

5. Realicen apareamiento entre los enunciados de la dere-cha y los de la izquierda, de tal forma que indiquen la propiedad que se aplicó.

(-5) + 3 = 3 + (-5) Clausurativa.(-8) + 0 = 0 + (-8) = -8 Conmutativa.(-2) + 4 = 2 Asociativa.7 + (-7) = (-7) + 7 = 0 Modulativa.(4 + 3) + (-2) = 4 + (3 + (-2)) Invertiva.

6. Respondan las preguntasa. ¿Cuál es el inverso aditivo de 4?b. ¿Cuál es el módulo de la adición de enteros?c. ¿Qué propiedad se cumple en la igualdad 4 + 10 = 10

+ 4?d. ¿Qué propiedad permite afirmar que la suma de (-8) y

(+7) es un número entero?e. ¿Qué propiedad aplicas para resolver la suma: ((+1) +

(-8)) + (+5)? Resuélvela.

Me autoevalúo>> Reconozco situaciones de uso de los números enteros.>> Realizo operaciones de adición y sustracción de

números enteros.>> Aplico correctamente las propiedades de la adición de

los números enteros.>> Utilizo la multiplicación y la división de números enteros

en la solución de problemas.>> Participo activamente en la clase.>> Reconozco la importancia de ser ordenado al realizar las

actividades en el cuaderno.

54

¿Cuál es la ficha que falta para completar el rompecabezas?En nuestra cotidianidad encontramos dife-rentes situaciones en las que nos pregunta-mos cuál es el valor o el objeto desconocido u oculto que completa una escena, un juego, una igualdad y hasta una frase. En matemá-ticas, la capacidad de plantear y encontrar el valor numérico oculto da la oportunidad de aplicar y desarrollar competencias relaciona-das con el pensamiento variacional y los site-mas algebraicos.

EstándaresbásicosdecompetenciasPensamientonuméricoResuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variación en las medidas.

PensamientovariacionalDescribo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas.


MÓDU

LO

55

Utilizo métodos informales (ensayo-error, complementa-ción) en la solución de ecuaciones.

La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos variacional y numérico, a través de los concep-tos asociados a las ecuaciones y su resolución. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Guías Conceptodeecuación Procesos

7 Igualdadesyecuaciones > Expresar enunciados matemáticos mediante el lenguaje algebraico en el planteamiento de ecuaciones.

> Justificar el proceso seguido para resolver ecuaciones.

> Resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones.

8 Solucióndeecuacionesdelaformax+a=b

9 Solucióndeecuacionesdelaformaax+b=c

56

¿PArA QUÉ TE SIrVE?Las ecuaciones sirven básicamente para resolver problemas. Son utilizadas para describir cualquier fenómeno de la naturaleza, desde el movimiento del aire o del agua o la resistencia de las estructuras y tienen su aplicación directa en cuestiones tan norma-les como en hacer unos aviones más seguros, rápidos y cómodos, en explicar fenómenos financieros o, incluso, en la modelización de comportamientos sociales.

Módulo 3Pensamiento variacional

y sistemas algebraicos

Igualdad

Identidad Ecuación

x + a = bó

ax + b = c

Un valor desconocido

llamado incógnita

Equivalente a otra

Tienen la misma soluciónotra

puede ser

Cuando

EsTiene Se puede expresar de la forma

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

57

Doña Olga tiene un terreno de con forma de cuadrilátero irregular al que le quiere colocar una cerca con tres hiladas de alambre de púas.

Tres de los lados del terreno miden 18 m, 23 m y 17 m.a. a. ¿Cuánto mide el cuarto lado, en una hilada se emplean 78 m de alambre?b. b. ¿Cómo calculas el valor del cuarto lado? Describe tu estrategia.c. c. ¿Cuál es la cantidad total de alambre que debe comprar?




La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades de evaluación que te permitirán reflexio-nar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones:Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen dife-

rentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

58

¿Cómo hallar la

información oculta?

organícense en grupos de tres estudiantes y realicen las siguientes actividades en el cuaderno.

> Lean la información y respondan las preguntas que se formulan a continuación.

Doña Olga debe determinar el peso de un bulto de maíz y uno de arroz, pero no dispone de una báscula adecuada para ello. Sin embargo, logró establecer algunas relaciones que le permitirán calcular los pesos mencionados.

Hallar información desconocida implica encontrar los métodos, procesos y cálculos que se deben realizar para acceder a ella.

> ¿Qué significado tiene el signo igual en las relaciones planteadas por Doña Olga?

> ¿Qué cantidad deben sumar a 25 para obtener 100? > ¿Qué cantidad deben sumar a 50 para obtener 150? > ¿Qué estrategia siguieron para determinar estos valores?

Expliquen. > ¿Cuántos kilogramos pesa el bulto de maíz?

¿Y el de arroz? Comparen las estrategias utilizadas por ustedes con las que tuvieron en cuenta los integrantes de otros grupos las utilizadas por otro grupo para responder las preguntas.

> ¿Los resultados obtenidos son iguales a los de ustedes o diferentes?

> ¿La estrategia utilizada es igual o diferente? > Hagan una puesta en común con todo el curso y pidan

ayuda a su profesora o profesor para determinar la estrategia más apropiada para resolver la situación.

Dos expresiones matemáticas forman una igualdad cuando tienen el mismo valor. Las igualdades son utilizadas para estudiar muchos conceptos matemáticos.

MAIZ25kg

100kg

+ =+ =

ARROZ50kg 150kg

+ =

Guía

59

Planteen una igualdad que exprese las relaciones que encon-tró Doña Olga con respecto al peso de los bultos de maíz y de arroz, siguiendo las indicaciones. Copien y completen en su cuaderno.

>> En la primera igualdad, representen el peso del bulto de maíz con la letra x. ¿Qué expresión escribieron en el miembro izquierdo? ¿Y en el derecho?

>> Sumen (-25) a cada miembro de la igualdad. ¿Qué resultados obtuvieron en cada miembro?

>> En la segunda igualdad, representen el peso del bulto de arroz con la letra y. ¿Qué expresión escribieron en el miembro izquierdo? ¿Y en el derecho?

>> Sumen (-50) a cada miembro de la nueva igualdad. ¿Qué resultados obtuvieron en cada miembro de la igualdad?

En cada una de las igualdades que escribieron anterior-mente, hay un valor desconocido, que representaron mediante una letra:

Las igualdades en las que hay un término desconocido o incógnita, se denominan ecuaciones. La solución de una ecuación es el valor de la incógnita, que hace verdadera la igualdad. Las incógnitas se pueden representar mediante letras minúsculas.

Consideren la ecuación m + (-53) = 71. Entre los siguientes valores se encuentra la solución.

18 -18 124 -124

>> Reemplacen m por 18. ¿Se cumple la igualdad con este valor?

>> Cuando reemplazan m por (-18), ¿se cumple la igualdad?>> Al reemplazar m por 124, ¿la igualdad es verdadera?>> ¿Pueden reemplazar m por (-124), y se cumple la

igualdad? >> ¿Cuál es la solución de la ecuación?

60

Consideren ahora la ecuación 45 + n = 169. Encuentren la solución entre los siguientes valores.

174 -174 -124 124

>> ¿Qué tienen en común las ecuaciones m + (-53) = 71 y 45 + n = 169?

Cuando dos o más ecuaciones tienen la misma solución, se dice que son ecuaciones equivalentes.

Seleccionen la solución de cada ecuación. Luego indiquen cuáles de ellas son equivalentes.

x + (-13) = 35

78 + p = 56

(-8) + s = -30

y + 25 = 73

Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Plantear ecuaciones es una estrategia que se utiliza para resolver problemas. Escribe una ecuación que represente cada situación.

-48 48 -22

-48 48 -22

-48 48 -22

-48 48 -22

3800g

2500g ?

4900g

3100g ?

61

2. Escribe la ecuación que representa cada situación. Luego determina si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).

a. La edad de Julia aumentada en 13 es 35 años. Luego la edad de Julia es 22 años.

b. Si a la estatura de Pablo se le disminuyen 15 cm, se obtiene 148 cm. La estatura de Pablo es 158 cm.

c. La temperatura inicial de una ciudad era 13 ºC. Si esta varió algunos grados y quedó en –4 ºC, entonces la variación fue de –13 ºC.

d. Si a un número se le suma (-21) se obtiene (-48). El número es 27.

Determinen si las siguientes igualdades son verdaderas o no. ¿Cómo verifican en cada caso? Expliquen.23 + 45 = 37 + 31 (–32) + (–16) = –20 – 28 74 + 25 = 68 + 21 53 – 34 = 34 – 53

Toda igualdad consta de dos miembros:

23 + 45 = 37 + 31 Miembro Miembro izquierdo derecho

Realicen lo que se indica en cada caso. > Sumen a cada miembro de la igualdad anterior el número 7. > Resten a cada miembro de la igualdad el número 12. > Sumen a cada miembro de la igualdad el número -5. > Resten a cada miembro de la igualdad el número -8. > ¿En qué casos se conserva la igualdad?

Analicen los resultados que obtuvieron en la actividad anterior y determinen si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

> Al sumar un número entero a ambos miembros de una igualdad, esta se conserva.

> Al restar un número entero a ambos miembros de una igualdad, esta se conserva.

62

¡decifremos la

respuesta!

La aplicación de las competencias básicas relacionadas con el pensamiento variacional, invita al análisis y encuentro de las soluciones o respuestas dadas a situaciones o problemas de la cotidianidad.

En estos casos, es necesario identificar las operaciones, los conjuntos numéricos a los que pertenece cada dato y la expresión matemática que se relaiona con la situación planteada.

Reúnete con un compañero o compañera y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno.

Después de consignar el dinero obtenido por la venta de sus cosechas, Doña Olga hizo un retiro de $ 50 000 de su cuenta y le quedan $125 000, ¿cuánto dinero tenía antes del retiro?

> ¿Cuál es la incógnita en la situación anterior? Planteen la ecuación que representa el enunciado.

> ¿Qué sumando acompaña la incógnita en la ecuación que plantearon?

> Sumen a ambos lados de la ecuación el opuesto de dicho sumando.

> ¿Qué resultado se obtiene al sumar un número entero con su opuesto?

> ¿Qué resultado se obtiene al sumar un número entero con cero?

> ¿Qué resultado obtuvieron al lado derecho del igual? > ¿Cuál es el valor de la incógnita? > ¿Se verifica la igualdad con este valor de la incógnita?

Expliquen su respuesta. > ¿Cuál es la solución del problema planteado?

CAJERO AUTOMATICO

Guía

63

La ecuación general que se relaciona con la situación plan-teada en la página anterior es la siguiente:

Cuando se resuelve una ecuación, es necesario transformarla en ecuaciones equivalentes de manera que se obtenga una expresión en la que la incógnita esté despejada. Es decir, en la que la incógnita esté sola en uno de los miembros de la igualdad.

Veamos la solución de la ecuación mediante la que se puede calcular el dinero total que tenía doña Olga. Copia y completa en tu cuaderno.

x + b = c

En la ecuación generalizada las letras b y c representan valores conocidos. Estos valores pueden tener diferentes signos.

Valor desconocido

x = 125000

x =

Identifica el sumando que afecta a la incógnita y la operación que está realizando.

Se aplica la operación inversa a cada lado de la ecuación.

x – 50000 = 125000

Se realizan los cálculos matemáticos correspondientes.

x – = 50.000 125.000

Cantidad de dinero que tenía

en el banco.


en el banco.


en el banco.

64

Completen la tabla indicando el valor que se debe sumar a los dos miembros de la igualdad, para despejar la incógnita en cada ecuación.

Desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Halla el valor que mantiene en equilibrio cada balanza.

> y + (-10) = -25

> m + 55 = -13 > 45 – x = 38

> -23 – y = 76 > n + (-90) = 10

2. Escribe una ecuación que represente cada situación. ¿Cuál es el valor de la incógnita en cada caso?

Ecuación Operación

x + 37 = –29 Sumar (–37) a ambos lados de la igualdad.

24 + x = 16

x + 83 = –10

–28 + x = 35

m + 55 -13=

-23 – y 76= n +(-90) 103=

y + (-10) -25=

45 – x 38=

65

a. La suma de un número con (–8) es 36. ¿Cuál es el número?b. Si a cierto número se le resta 24, se obtiene (–18). ¿Cuál es el

número?c. ¿Cuál es el número que al restarle (–34), se obtiene (–28)?

3. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones. a. (-32) + x = 40b. y – (-9)c. m – 17 = 28

4. Resuelve las ecuaciones sumando a cada lado de la igualdad el opuesto del número que acompaña la incógnita.e. x + 15 = -19 f. -18 + c = 39g. x – 289 = 408 h. a – (-6) = -57

5. Describan la operación que se efectúa en cada paso para resolver la ecuación dada.

a. x + 10 = 21 x + 10 – 10 = 21 – 10 x + 0 = 21 – 10 x = 21 – 10 x = 11

b. (-9) + x = (-2) (-9) + 9 + x = (-2) + 9 0 + x = (-2) + 9 x = (-2) + 9 x = 7

c. Si Marcos hizo un retiro de $ 50 000 de su cuenta y le quedan $125 000, ¿cuánto dinero tenía antes del retiro?

d. Daniel tiene tres billetes de $ 10 000 y dos billetes de $ 20 000. Lucía tiene un billete de $ 50 000 y un billete de $ 20 000. Ambos reciben $ 150 000 al final de la semana por su trabajo. ¿Con cuánto dinero queda cada uno?

6. Halla la medida de los lados de cada triángulo, teniendo en cuenta la información de cada figura.

a. b. c.

Perímetro: 25 cm

Perímetro: 45 cm

Perímetro: 48 cm

x = 15 cm

y =

18 cm

y =

19 cm

x = 14 cmx = 8 cm

y =

10 cm

66

¿Qué significa que algo tiene x

peso?

En ocasiones para poder calcular, comparar o estimar el peso de los objetos que hay en nuestro entorno tenemos que recurrir al plantemiento y resolución de ecuaciones, donde el valor desconocido se representa por una letra. Sea x, y, a, b o cualquier otra variable, el significado de la expresión “tiene x peso” quiere decirnos que existe un valor, que aunque desconocido, cumple con la condición indicada.

> Reúnete con dos de tus compañeros y solucionen la siguiente situación.

Miguel ensilló un burro y puso una carga de nueve bultos sobre su lomo. Armó tres paquetes en uno dejó 3 bultos y en el otro puso dos paquetes de cierta cantidad de bultos.

> ¿Cuántos bultos puso en los dos paquetes iguales?Paso 1. Recuerden lo que conocen acerca del planteamiento y solución de ecuaciones.

Paso 2. Copien y completen en su cuaderno la siguiente tabla. Tengan en cuenta la relación que existe entre el lenguaje cotidiano y el matemático.

LenguajecotidianoLenguaje

matemático

Número total de bultos 9

Número de bultos que puso en uno de los paquetes.

Número de paquetes extra que armó

Número de bultos que hay en los dos paquetes

Número de bultos que hay en cada paquete

Guía

67

Recuerda la tabla que se propuso en la página anterior. Algu-nos de los datos están evidenciados en el enunciado del pro-blema propuesto, pero otros corresponden o dependen de un valor desconocido y que precisamente se vuelve el obje-tivo de solución de la ecuación.

En estos casos se utilizan letras que muestran el descono-cimiento de un dato y la función que tiene dentro de la expre-sión matemática. Esta letra recibe el nombre de incógnita.

En el caso de la expresión 2x, la letra x representa que se desconoce un valor que debe multiplicarse por el número 2, pero no se podría conocer su valor real si no estuviera acom-pañado de otros valores y operaciones conocidas. Piensa y razona en grupo acerca de por qué se genera esta imposibili-dad de solución.

Las ecuaciones de la forma ax + b = c, se conocen como ecuaciones multiplicativas. En ellas se conocen dos términos y se tiene un valor desconocido llamado incógnita.

Paso 3. Piensen y respondan.

> ¿Qué tienen en común las expresiones de la columna de la derecha? ¿tuvieron alguna dificultad para escribir las expresiones matemáticas correspondientes?

> ¿En el caso de expresar el número de bultos que puso Miguel en los paquetes extra, tuviste que emplear alguna expresión diferente? Explica.

> ¿Podrían resolver el problema con los conocimientos que tienen hasta ahora con respecto a las ecuaciones?

> Propongan otro problema que deba resolverse mediante el planteamiento y solución de ecuaciones.

> Elaboren una tabla similar a la que se presenta en el paso 2, incluyendo las ecuaciones para el problema que acaban de proponer.

a x + b = c

En la ecuación generalizada las letras a, b y c representan valores conocidos. Estos valores pueden cumplir tener diferentes signos.

Valor desconocido

68

Volvamos al contexto de la distribución de los bultos que organizó Miguel. La ecuación que relacionada con esta situa-ción es:

Responde a partir de la ecuación anterior:a. ¿Cuál es la letra que representa a la incógnita?b. ¿Qué operación está realizando el número 3 en la

expresión 2x+3?c. ¿Qué función está cumpliento la incógnita en la expre-

sión 2x?d. ¿Recuerdas cuáles son las operaciones inversas de la

adición y la multiplicación?e. ¿Se te ocurre cómo averiguar el valor de x, teniendo

en cuenta las respuesta que diste a las preguntas ante-riores?

Para solucionar una ecuación multiplicativa, se deben apli-car las operaciones inversas a las que se muestran en relación con la variable.

En estos casos se aplica la regla o propiedad de las igualdades.La propiedad de las igualdades o ley de la uniformidad, enuncia que si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.

Volviendo a la situación incial, para resolver la ecuación 2x + 3 = 9, se debe seguir estos pasos. Cópialos y compléta-los en tu cuaderno.

A ambos lados de la ecuación, se aplica la operación inversa al término independiente del término que incluye a la incógnita.

Se multiplica por el inverso multiplicativo del número que multiplica o acompaña a la incógnita.

Responde:>> ¿Cuántos bultos puso Miguel en los dos paquetes iguales?>> ¿Y en cada paquete?

2x + 3 ( 3) = 9 ( __)

2x = ___

2x (÷ __ ) = 6 (÷ __ )

x = 3

2x + = 3 9

Número de bultos que

hay en los dos paquetes extra.

Número de bultos que

hay el primer paquete.

Número total de bultos.

69

Alejandro está construyendo una cerca alrededor de un terreno rectangular. El área total que ocupa es de 36 metros cuadrados y se sabe que la longitud es de 9 metros. ¿De qué medida es el ancho de la casa que está construyendo Alejandro?

1. ¿Cómo quedaría planteada la ecuación? ¿Cuántos metros mide el ancho del terreno?

2. Halla el valor de cada incógnita.> a × 60 = 180 >> 42 × a = 352 >>36 × a = 822> 5 × a = 20 >> 12 × a = 48 >>226 × a = 452

3. Escribe el enunciado de un problema que se pueda resolver mediante la solución de cada ecuación multiplicativa del numeral anterior.

Verifica si se cumple la ley de la uniformidad en los siguientes casos.

36mt29mt

x

Igualdad 32 = 42 - 10 23 + 4 = 17 + 10

Se multiplica a ambos lados por

2 3

Se divide a ambos lados por

4 2

70

1. Un granjero compra una parcela cuadrada para aumentar su terreno de sembrado. La parcela mide 120 metros de lado. El granjero sabe que con la compra el perímetro de su propiedad se duplicó. Teniendo en cuenta que el terreno era rectangular:a. ¿Cuál era la medida del terreno inicial que tenía el

granjero?b. Si uno de los lados del terreno inicial media 110

metros, ¿cuánto media el otro lado? Explica el procedi-miento que seguiste para resolver el problema. (3.9)

c. ¿Cuál es la nueva medida del perímetro del perímetro?

2. Al recoger la cosecha el deposito queda lleno en su tota-lidad, el día lunes se vacía a la mitad, el martes 179, el miércoles el triple del martes, para el jueves quedaban 58 sacos.a. ¿Cuál era la capacidad del depósito, en número de

sacos?b. ¿Cuál es el procedimiento que seguiste para responder?

Comparte tu respuesta con dos de tus compañeros.

3. Un comerciante tiene dos clases de café la primera cuesta $10500 el kilogramo y la otra cuesta el doble de la ante-rior. Si vendió la misma cantidad de café de las dos cla-ses, ¿cuántos kilogramos de cada clase de café vendió si recibió en total $92700?

4. Juliana tenía una cantidad de dinero ahorrado. Si de este dinero gastó $65 450 y le quedó el doble de lo que gastó. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?

5. La suma de las longitudes de los lados de un triángulo es 48. Si uno de sus lados mide 12, el segundo lado mide 17, ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

71

6. Escribe en tu cuaderno la ecuación que representa cada situación. Luego resuélvela. a. Mi equipo obtuvo 10 puntos en el torneo de tejo. En la

segunda ronda obtuvo 3 puntos. ¿Cuántos consiguió en la primera ronda?

b. Mi equipo perdió con 14 puntos en contra. En la segunda ronda perdimos con 9 puntos en contra. ¿Cuántos puntos en contra tuvimos en la primera ronda?

c. Maritza consumió 276 minutos de celular, pero sabe que se excedió en 55 minutos. ¿Cuál es la cantidad máxima de minutos en su plan telefónico?

d. La temperatura del Polo Sur, en invierno, es de -48 ºC. Si al día siguiente descendió a la mitad más 19 ºC, ¿cuál fue la temperatura del día siguiente? ¿Cuánto debería variar para que quedara en -60 °C?

e. Un papá tiene 37 años y su hijo 7. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

f. Las pulsaciones del corazón de una persona son de 70 por minuto. Sandra practica natación, y en cada práctica su ritmo cardiaco aumenta a 120 pulsaciones por minuto. ¿En cuántas pulsaciones aumenta el ritmo cardiaco de Sandra?Un número menos 18 es igual a -4. ¿Cuál es el número?

g. La base de un rectángulo es el doble de su altura. Si el perímetro mide 60 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectangulo?

h. En una reunión hay el doble del número de mujeres que de hombres aumentado en 10. Si en total hay 84 personas, cuántos hombres ymujeres hay en la reunión?

i. José sale de su finca y se desplaza, en su caballo, 13 km hasta la alcaldía del pueblo. Luego sigue su camino hasta el Hato de don Guillermo, sitio en el cual des-cansa y toma un baño en la piscina. Si el total del reco-rrido fue de 21 km, ¿cuál es la distancia de la alcaldía hasta el hato de don Guillermo?

72

Que aprendí1. Encuentra el valor del sumando x que hace que se cum-

plan las siguientes igualdades:a. 9 + x = 12 b. 20 + x = 30c. (-5) + x = -8 d. (-15) + x = -30

2. Copia el ejercicio en tu cuaderno. Determina la res-puesta correcta de la columna B para la columna

A Ba. 2x =10 1b. 5x + 3 = 23 5c. 6x – 17 = 1 2d. 8 + 3x – 5 = 6 3e. 4x + 6 = 14 4

3. Escribe en tu cuaderno la ecuación relacionada con cada enunciado.a. Tres cestos contienen 425 manzanas. El primer

cesto tiene 30 manzanas más que el segundo y 45 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

b. Si al doble de la cantidad de cabezas de ganado que tiene dos Alberto se le añaden 12 más, tendría 100 reses. ¿Cuántas reses tiene en este momento?

c. Si al triplo de mi edad añale quito 6 años, tendría 57 años. ¿Qué edad tengo?

d. El perímetro de un rectángulo mide 28 metros. Si la longitud de uno de los lados mide el doble que la longitud del otro, ¿cuánto mide cada lado?

73

¿Cómo me ven los demás?

4. Formen grupos de cuatro personas a. Escojan uno de los problemas que se trabajaron en la

sección de aplico lo aprendido y cámbiale los datos. b. Pídele a dos compañeros que lo resuelvan. Revisa si

realizaron bien el ejercicio y pídeles que epresen qué opinión tienen de la tarea que realizaste.

c. Preparen una exposición para presentar los problemas con su respectiva ecuación y solución.

d. Expresen su opinión acerca de las ventajas que tuvo realizar este trabajo en grupo y la manera como se sintieron.

Me autoevalúo5. Responde según la manera en la que te desenvolviste en

el desarrollo del módulo.

Sí No Aveces

Represento situaciones mediante el uso de igualdades y ecuaciones.

Identifico cuál es el dato desconocido en una situación y lo represento usando una letra o incógnita.

Interpreto enunciados verbales y los modelo utilizando ecuaciones con enteros.

Identifico las operaciones que me permiten hallar la solución de ecuaciones con operaciones aditivas de números enteros.

Identifico y soluciono ecuaciones de la forma ax = b.

Realizo mis tareas responsablemente tanto en los traba-jos individuales como grupales.

Me relaciono adecuadamente con mis compañeros y mi profesor(a).

74

La magia del movimiento

Te habrás dado cuenta de que la mayoría de cosas que te rodean tie-nen la capacidad de moverse, ya sea de manera natural o por la acción humana. Estos movimientos pueden representarse matemáticamente en el plano o el espacio reconociendo tanto su posición inicial como la final. En este módulo te presentamos algunos ejemplos de ello.


Pensamiento espacial

> Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

> Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.


MÓDU

LO

75

Pensamiento métrico

> Utilizo técnicas herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas.

La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarro-llo de los pensamientos espacial y métrico, a través de los conceptos asociados al concepto de movimiento en el plano y su representación. En la tabla se muestran los conceptos que a prenderás.

Guías Conceptodemovimiento Procesos

10 Traslacionesyrotacionesenelplano.

> Aplicar movimientos de rotación, traslación, simetría y homotecias de figuras.

> Identificar las características de cambio al aplicar los diferentes tipos de transformaciones en el plano.

> Utilizar adecuadamente los instrumentos de medida para representar movimientos y transformaciones en el plano.

11 Simetría

12 Homoteciadefiguras

76

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?Una transformación geométrica permite que una figura se modifique en otra que tiene la misma forma pero diferente posición y en algunos casos, también diferente tamaño.

Ayudan a comprender diferentes situaciones de la cotidianidad como por ejemplo los movimientos que realiza el planeta Tierra, el funciona-miento de los engranajes de las máquinas, el reflejo de nuestra imagen en el espejo y el comportamiento de los modelos que se utilizan en la elaboración de obras artesanales.


Módulo 4Pensamiento espacial

y sistemas geométricos

Movimiento

Transformaciones geométricas

produce

con las que

Como Como

Cambian las figuras de posición

La rotación La traslación La simetría Las homotecias

Cambian las figuras de posición y de tamaño

77

¿Cómo y qué se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progre-sos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con los diferentes movimientos o transformaciones en el plano.

La evaluación se realizará de manera constante. Dentro cada una de las guías encontrarás actividades de evaluación que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué debes reforzar.

Además encontraras dos secciones:Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes acti-

vidades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que reta-rán tus habilidades para expresar ideas y pensamientos.


Observa la fotografía y responde.a. ¿Qué elementos identificas en ella?b. ¿Cómo describirías el movimiento que realiza el trac-

tor? Realiza un dibujo explicativo en tu cuaderno.c. Fíjate en los surcos que deja el tractor sobre el terreno.

¿A qué elemento geométrico se parece?d. ¿Qué movimiento debería realizar el tractor para que

dibuje círculos sobre el suelo?e. Si el fotógrafo permanece siempre en el mismo punto

y el tractor modifica su dirección. ¿Qué cambiaría en la foto? ¿Verías el mismo ángulo del tractor?

78

Máquinas en

movimiento

Desde su construcción, su funcionamiento y las tareas que realizan, las máquinas aprovechan la idea del movimiento. Por ejemplo, los tractores se desplazan en línea recta, algu-nos aspersores giran para distribuir el agua en el campo, entre otros.

Desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

> ¿Sabes para qué se usan los tractores y los aspersores? > Dibuja en el cuaderno una línea que se relacione con el tipo

de movimiento que realizan las máquinas mencionadas anteriormente.

> Piensa que sobre cada máquina se ubica una figura como se muestra a continuación:

Piensa en el comportamiento de las figuras mientras funcionan las máquinas.

> ¿Crees que se modificará la forma de las figuras geométricas? > ¿Y el tamaño cambiará? > ¿Qué aspecto de las figuras se modificaría? > Representa en un dibujo tus ideas. > Compara tu trabajo con dos de tus compañeros. ¿Tuvieron las

mismas conclusiones? > ¿Representaron de igual manera los movimientos de las figuras?

Guía

79

Una manera de representar el movimiento de la figura que se pondría en el tractor puede ser la siguiente. Copia y realiza estos pasos en tu cuaderno.

1. Calca el triángulo y recórtalo.

2. Dibuja una línea recta en tu cuaderno y traza la silueta del triángulo en uno de los extremos y sostén con tu dedo índice el triángulo original.

3. Arrastra sobre la línea recta el trián-gulo recortado.

4. Dibuja nuevamente la silueta del triángulo.

Copia la tabla en tu cuaderno y responde:

PreguntaRespuesta

Sí No¿Cambió el tamaño del triángulo?¿Cambió la posición del dibujo?¿Cambió la forma de la figura?

A esta transformación se le conoce como movimientode

traslación.

Hacia la derecha

Hacia la izquierda

Hacia arriba Hacia abajo

Horizontal Vertical

Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras que se deslizan en línea recta con un sentido y direc ción determinada.

80

En cuanto a la figura dispuesta en uno de los brazos del aspersor, la representación de su movimiento se puede representar así. Copia y realiza estos pasos en tu cuaderno.

Las rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras. Su trayectoria describe una circunferencia o un arco de circunferencia.

Calca el triángulo y recórtalo.1. Dibuja una circunferencia en tu cuaderno.

Une con un hilo el centro de la circunferencia y uno de los vértices del triángulo. La lon-gitud del hilo debe ser igual al radio de la circunferencia.

2. Traza la silueta del triángulo en un punto de la circunferencia. Sostén con tu dedo índice el triángulo original.

3. Arrastra sobre la circunferencia el triángulo recortado.

4. Dibuja nuevamente la silueta del triángulo. 5. Copia la tabla en tu cuaderno y marca con una

X la característica que cambió en la figura.

forma tamaño posición

A esta transformación se le conoce como movimientoderotación.

En el sentido de las manecillas del reloj.

En sentido contrario a las manecillas del reloj.

o

∝A

AC`

B

BC

81

Tanto en el caso del movimiento de traslación como en el de rotación, se puede expresar más puntualmente la transfor-mación que se realiza.

Mide la longitud de la flecha con una regla. Copia y com-pleta la expresión.

>> El rombo se trasladó centímetros hacia la .

En la traslación se expresa la longitud de la trayectoria y la dirección.

Mide el ángulo de separación que se dibujaría con el hilo dibujado en los dos momentos: figuras inicial y final. Ayúdate de un transportador. Responde en tu cuaderno.

>> El rombo se trasladó centímetros hacia la .

1. Realiza en tu cuaderno los movimientos que se indican.

a. Dibuja un cuadrado y trasládalo a la derecha 2 cm.b. Dibuja un cuadrado y rótalo 90° en el sentido de las

manecillas del reloj.c. Dibuja un triángulo y trasládalo 3 centímetros hacia

arriba.d. Dibuja un rectángulo y rótalo 90° en sentido contrario a

las manecillas del reloj.

2. Busca elementos de tu cotidianidad que cumplan cada condición. Descríbe cómo son y para qué se usan.

a. Objetos que se trasladan.b. Objetos que rotan.

90o90o

82

En el caso de la elaboración de obras artesanales como mantas, pañoletas, bolsos, cerámica, entre otros, contamos con una amplia de variedad de diseños que tienen la influencia de las figuras geométricas y más aún de los movimientos de traslación, reflexión y simetría.

Arte y movimiento

Chinchorro elaborado por la cultura Wayúu.

Realiza las siguientes actividades en el cuaderno. Primero trabaja de manera individual.

Responde las preguntas y dibuja donde corresponda.

> ¿Has visto estos u otros modelos similares en las artesanías que conoces o que se elaboran en tu región?

> ¿Qué elementos identificas en los dibujos? > ¿Cuál es la figura base de cada modelo? Dibújala en tu

cuaderno. > Elige uno de los modelos y cópialo en tu cuaderno. ¿Qué

estrategia utilizaste para que te quedara igual que el original? > ¿Te sirvió de algo la cuadrícula sobre la que están copiadas las

figuras?

Guía

83

> Si pudieras recortar cada modelo, ¿crees que encontrarías alguna línea por donde doblarlo para que los dibujos coincidan?

> En caso afirmativo dibújalas en tu cuaderno sobre el modelo que elaboraste.

> Reúnete con dos de tus compañeros y comparen las respuestas que dieron y los dibujos que elaboraron. ¿Coincidieron en algo?

Desde la antigüedad las figuras geométricas han estado estrechamente vinculadas al arte. Tal es el caso de las repre-sentaciones rupestres, las pinturas, los textiles, la cerámica, entre otros. Además del colorido, la forma y la repetición de modelos dotan de armonía a cada uno de los objetos que son tan apreciados por su belleza.

En esta guía te invitamos a reconocer los fundamentos mate-máticos que permiten el desarrollo de tan bellos trabajos manuales.

Fijémonos en el primer modelo que se presenta en la página anterior. Se puede considerar que la figura base es un trián-

gulo rectángulo, ya que es el elemento que se repite, en diferente posición pero conservando su forma y en este caso también el tamaño.Observa y copia en tu cuaderno los pasos corres-pondientes.

1. Elige la figura base del modelo.

2. Dibújala. Utiliza una cuadrícula. Esto facilitará la tarea.

3. Traza una línea real o imaginaria que será reconocido como eje de simetría.

84

>> Realiza un procedimiento similar, partiendo de la misma figura base, pero traza primero uno horizontal halla la imagen y luego traza un eje vertical. ¿Obtienes el mismo resultado?

>> ¿Podrías encontrar otro procedimiento que te lleve a obtener el mismo resultado?

>> ¿Qué recomendación harías para que no varíe la forma ni el tamaño de la figura original?

Ahora realiza un análisis de la medida en los siguiente ele-mentos del modelo.

>> Mide la distancia que hay desde cada vértice del triángulo original hasta el eje vertical.

>> Luego, mide la distancia de los vértices de la imagen hasta el mismo eje.

>> ¿Qué puedes concluir?

>> ¿Sucederá lo mismo con las distancias con respecto al eje horizontal?

>> Revisa tu conclusión y mejórala si es necesario.

Compara tu conclusión con tus compañeros. Para ello pue-des pedir ayuda a tu profesor(a) y organizar una plenaria en la que cada uno exprese sus opiniones y entre todos elabo-ren una conclusión final.

4. Piensa en qué imagen quedaría plasmada al otro lado de la línea si se pintara con témpera el triángulo y se doblara el papel por el eje que trazaste en el paso anterior. Dibújala.

5. Vuelve a realizar el procedimiento al menos dos veces más.

6. Para realizar la parte inferior del modelo se debería trazar una línea o eje horizontal

85

El modelo que acabas de realizar se construyó aplicando un movimiento en el plano llamado simetría o reflexión.

1. Calca las figuras y traza todos sus ejes de simetría.

La reflexión o simetría axial es un movimiento en el plano que permite transformar una figura en otra que tiene diferente posición pero que conserva su forma y tamaño.

Esta transformación se realiza teniendo en cuenta un eje o línea central, de tal manera que cada uno los puntos de la figura tiene un homologo al otro lado del eje, de tal forma que la figura se refleje como en un espejo.

a. ¿Todas las figuras tienen el mismo número de ejes de simetría?

b. Dibuja en tu cuaderno una figura que tenga tres ejes de simetría.

2. Construye en tu cuaderno un modelo cuya figura base sea alguna de las figuras que se muestran a continuación.

a. Copia el modelo en un octavo de cartulina y expónlo ante tus compañeros.

86

Muchos artistas han aprovechado la variedad y la belleza de las figuras geométricas para elaborar sus trabajos artísticos. En pintura hay grandes representantes como Miró, Picasso y en colombia el maestro Omar Rayo. Muchos de estos trabajos están basados en la transformación de figuras geométricas mediante un movimiento conocido como homotecia.

Reúnete con un compañero o compañero y observen la siguiente figura.

La pintura y el

movimiento

> ¿Qué tienen en común los dos dibujos? > ¿Cómo son las figuras que componen cada dibujo? ¿Se parecen

entre sí? ¿Qué las diferencian? > Piensen en un método que utilizarían para hacer cada dibujo.

Escriban los pasos y preséntelos ante el curso. > Intenten elaborar un dibujo similar a alguno de los modelos

que te presentamos anteriormente. > Comenten acerca de las dificultades que tuvieron en la

elaboración de las tareas propuestas. Y si les pareció divertida o interesante o no.

Guía

87

Cómo lo habías visto antes, hay diferentes manifestaciones del arte que aprovechan las figuras geométricas y la varie-dad de color y tamaño para poder representar modelos que atraen la atención de aquellos que tienen la oportunidad de verlas y analizarlas.

En el caso de la primera pintura tenemos un grupo de cua-drados concéntricos, es decir cuadrados que tienen el mismo centro y que van aumentando de tamaño de manera armó-nica.

Una manera fácil de poder recrear este modelo es la apli-cación de una transformación geométrica que se denomina homotecia.

1. Realiza los siguientes pasos en una hoja cuadriculada.

a. Traza dos ejes perpendiculares. Ellos determinarán la ubicación de los vérti-ces de las figuras.

b. Dibuja la figura central y que se cons-tituirá en la figura original del modelo.

c. Se quiere obtener una figura que igual

forma que la original, pero que cam-bie su posición y su tamaño. Entonces, se puede construir una figura cuyas diagonales midan el doble de las de la figura incial, es decir que la distancia hasta el punto central sea dos veces la del primer cuadrado.

d. Este procedimiento se puede repetir, teniendo en cuenta a qué distancia del punto central se encuentran los vérti-ces de la figura que se quiere trazar.

88

2. Piensa y responde:a. ¿ Qué proceso deberías realizar para construir el mismo

modelo si la figura base es la de mayor tamaño?b. Compara tu respuesta con tres compañeros, ¿llegaron

a la misma conclusión?

La homotecia es una transformación que se realiza sobre una figura en el plano y que permite obtener figuras semejantes a la original. Es decir, figuras que tienen igual forma pero diferente tamaño.

Para efectuar una homotecia se debe considerar un punto central y un coeficiente de cambio.

En algunos casos el punto central puede ser uno de los vér-tices de la figura original.

En ese caso se obtendrán modelos similares a los de la segunda figura que se presentó en la primera página de esta guía.

3. Observa los pasos y descríbelos en tu cuaderno.

a.

b.

c.

89

En otras oportunidades el punto central está por fuera de la figura.

En estos casos es necesario construir las líneas que unen el punto central con cada uno de los vértices y prolongarlas.

Para calcular a qué distancia deben ubicarse los vértices del nuevo triángulo se toma la medida desde el punto central hasta cada vértice de la figura inicial y se multiplica o divide por 2, 3, 4… según se quiera ampliar o reducir la imagen.

Los resultados se trasladan sobre las líneas prolongadas y se marcan los vértices. Al unirlos se obtiene la figura resultante.

1. Calca las siguientes figuras y el punto central que se indica. Utiliza papel mantequilla o bond blanco.

a. Amplía cada figura al doble.b. Disminuye cada figura a la mitad.

Punto central

Punto central

Punto central Punto central

90

LasteselacionesCuando se encuentra una figura que permite cubrir una

superficie plana sin dejar huecos ni montarse una encima de otra, se dice que se está realizando una teselación.

Desde la antigüedad diferentes culturas han utilizado las teselaciones para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices y telas, entre otros.

1. A continuación se presentan algunos ejemplos de tesela-ciones. Observa y responde.

a. b.

c.

>> Has visto en algún modelo similar en los elementos que te rodean. En caso afirmativo, descríbelo.

>> ¿Qué movimiento se le debe aplicar a cada figura base de cada dibujo para lograr las teselaciones? Compara tus respuestas con dos de tus compañeros.

>> Piensa en cuáles de las siguientes figuras permiten la elaboración de teselaciones. Verifica tu hipótesis elaborando el dibujo correspondiente. Explica el procedimiento que seguiste.

91

Algunos mosaicos se elaboran creando una pieza o modelo inicial a partir de una figura que se divide a manera de rom-pecabezas para formar una nueva.

2. Observa y copia en tu cuaderno el siguiente ejemplo.a. Se toma una figura regular o irregular.

b. Se divide una o más secciones de la figura.

c. c. Se aplica alguna de las transformaciones geométricas.

Se rota 90°

d. Se copia y se reproduce la figura para for-mar el mosaico.

>> Investiga acerca de otros modelos de laboración de mosaicos. Analízalos y reproduce las figuras que más se te faciliten y te gusten.

>> Realiza una propuesta de figura y sigue los pasos para obtener una ficha de teselado.

>> ¿En dónde o para qué te gustaría elaborar tu teselado o mosaico?

3. Observa el siguiente mosaico y describe en tu cuaderno las diferencias que tienen con los modelos que se elabo-raron durante este módulo.

92

Que aprendí

1. Copia y resuelve el crucigrama.

Horizontales:

1. Permite que una figura se mueva en línea recta.2. Es un movimiento que mantiene la forma de la figura

original, pero modifica su tamaño.3. Es lo que se mantiene en todos los tipos de transfor-

mación geométrica.

Verticales:

1. Lo que cambia en una figura con una homotecia y que no cambia en los demás movimientos en el plano.

2. Sinónimo de giro.3. Movimiento que permite reflejar una figura a partir de

un eje.

2. Dibuja un hexágono en una hoja cuadriculada. Aplica pri-mero un movimiento de traslación, luego uno de reflexión y finalmente una homotecia.

3. Dibuja una flecha hacia la izquierda. Refleja tres veces la figura. ¿Es verdad que se obtiene una figura que podría ser producto de una traslación? Explica.

1

3

2

21

3

93

¿Cómo me ven los demás?4. Formen grupos de tres personas.

a. Cada integrante del grupo eligirá una figura geométrica y la elaborará en car-tulina.

b. En un pliego de papel bond, elaboren un cuadro utilizando las figuras geométricas construidas, aplicándole los movimientos que se trabajaron en el módulo.

c. Expongan su trabajo ante sus compañe-ros y permítales que opinen sobre lo que observan.

d. Evalúa el trabajo de tus compañeros de grupo. Por ejemplo ten en cuenta si: ¿tra-bajaron activamente? ¿Se entendieron para trabajar? ¿Tuvieron en cuenta los pasos dados?

Me autoevalúoResponde según la manera en la que te desenvolviste en el

desarrollo del módulo.

Sí No Aveces

Reconoce y describe las características de cambio de una figura que se traslada o se rota.

Identifica la longitud de la traslación y el ángulo de giro en diferentes situaciones.

Utilizo con responsabilidad los implementos de medida y valoro el beneficio que me trae usarlos.

Realizo mis tareas responsablemente tanto en los trabajos individuales como grupales.

Respeto las opiniones de los demás y me preocupo por exponer las mías.

94

¿Como se deben acomodar las cosas para ser trasportadas?Desde el inicio de los tiempos cuando el ser humano hizo uso de su raciocinio para resol-ver los problemas que a diario le surgían, debió recurrir a estrategias que le permitieran medir y calcular diferentes dimensiones, no solo las longitudes se hicieron presentes en su cotidiani-dad si no que el hecho de estar inmerso en un mundo de tres dimensiones obligó al hombre a resolver problemas que le permitieran dominar el uso adecuado del espacio, grandes avances se hicieron en la antigüedad que dan cuenta de ello, colosales pirámides, recipientes destinados para el intercambio de mercancías etc.

MÓDU

LO

¿Qué voy a aprender?


Pensamiento numérico > Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas

y de variación en las medidas. > Pensamiento variacional > Encuentro regularidades entre varias magnitudes y las empleo en

la solución de un problema. > Describo y represento situaciones de variación relacionando

diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).

Pensamiento geométrico > Realizo representaciones de sólidos en escalas aproximadas

teniendo en cuenta las características que me dan de sus dimensiones

95

Pensamiento métrico > Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas

relativas y de variaciones en las medidas. > Identifico la magnitud correspondiente al contexto de

un problema y empleo las unidades de medida que estimo pertinentes

> La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos numérico, variacional geométrico y métrico, a través de los conceptos asociados al volumen y las medidas de capacidad.

Guíasconceptodevolumenycapacidad

Procesos

13 volumen Establecer diferencias entre volumen y capacidad.Realizar transformaciones entre unidades de volumen y unidades de capacidad.

14 capacidad

15aplicacionesdevolumenycapacidad

96

¿Para qué te sirve?

Las unidades de volumen te permiten calcular el espacio que ocupa un cuerpo ya sea de forma regular o irregular, con esta herramientas puedes determinar si un objeto es de mayor tamaño que otro, sin la necesidad de construirlo. Es decir mediante representaciones graficas del objeto y sus medidas puedes realizar la planificación de la construc-ción de objetos y predecir de forma anticipada el espacio que ocupara incluso sus costos. Las medidas de capacidad te permiten diseñar reci-pientes que puedan contener diferentes elementos para su transporte teniendo en cuenta entre otras cosa sus propiedades físicas y químicas.

¿Cómo se te va a evaluar?En cada una de la guías tienes tres momentos de reflexión individual sobre tus competencias en matemáticas, el primer momento te invita a reconocer las fortalezas que has adquirido durante los años de tu esco-laridad, mostrándote situaciones en las cuales se hace necesario que de demuestres tu ingenio para la resolución de cada uno de los problemas, un segundo momento te permite analizar el proceso que esta llevando con cada una de las situaciones ya que se te indaga sobre conjeturas y regula-ridades que se esperan que observes.

El tercer momento pone a prueba la validación de las conjeturas que haces, al invitarte que compartas tus estrategias de solución con tus compañeros y profesores para que las justifiques, las pongas a prueba y dado el caso las modifiques por los aportes que realizan tus compañeros.


Módulo 5Pensamiento métrico

Volumen

Espacio que ocupa un cuerpo

Cantidad que puede contener un objeto

Capacidad

Unidad de medida Unidad de medida

Metro cubico (m3)

Equivalencias

Litro (l)

97


Para llevar la cosecha don Juan Manuel dispone de unas cajas que tienen 90cm de largo por 60cm de ancho y 50cm de alto y para preparar la carga antes de que llegue el camión decide apilar las cajas en grupos de 30 en el interior de su bodega. El fur-gón del camión que contrata tiene 4.50m de largo por 2.40 de ancho y 2m de alto.1. ¿De que forma puede don Manuel apilar las 30 cajas para que no le ocupe mucho

espacio en su bodega? Realiza un dibujo. 2. ¿Cuántas cajas puede trasportar el camión en un solo viaje?

Otro tipo de empaque que utiliza don Juan para transportar sus cosechas son los bultos

3. ¿Qué estrategia puede emplear don Manuel para saber cuantos bultos puede lle-var en el camión?

Adicionalmente al final de cada guía encontraras una evaluación que será desarro-llada con los conceptos que has adquirido por la experiencia en el desarrollo de este tipo de situaciones en las etapas anteriores.

Cada uno de los módulos presentan al final tres momentos de evaluación uno de ellos es individual y remoje las temáticas presentadas a lo largo del modulo, el segundo de ellos te invita a desarrollar una nueva experiencia de aprendizaje con tus compañeros y la orientación de tu profesor. Finalmente se te invita a una reflexión profunda sobre tu des-empeño en las labores académicas y el reconocimiento de tus logros además del recono-cimiento de aquellas actitudes y competencias que debes mejorar.

98

¿Cómo se expresa el volumen?

De manera similar a como se mide la longitud y el área de los objetos, lo primero que se debe hacer para medir o tantear volúmenes es selec cionar una unidad de medida, ésta se encuentra asociada a las dimensiones que tiene un cuerpo solido es decir largo, ancho y el alto.

Imagina que deseas trasportar la cosecha de don Manuel y que puedes elegir entre cobrar por el peso o cobrar por el espacio que ocupa ¿Cuál de las dos opciones podría ser para ti la más beneficiosa? Imagina que finalmente se decide pagar únicamente por el espa-cio que se ocupa Para establecer el cobro, la forma más fácil de calcularlo es: ¿cuando se emplean los bultos o cuando se emplean las cajas?

> ¿Como podrías establecer una tarifa para este trasporte? > ¿Que procedimiento emplearías para calcular el volumen de

un objeto? > Compara tus respuestas con las de tus compañeros

¿Como determinar el volumen de una piedra, una papa, o un kilo de arroz?

Para hallar la solución a estos problemas debemos estable-cer que tipo de magnitud es el volumen. Imagina que tienes un kilo de alverjas secas y un kilo de papas ¿Cuál de los dos tiene mayor peso?.

Si introduces cada uno de los elementos dentro de un reci-piente lleno de agua hasta el borde ¿Qué sucede? ¿Cuál de los dos desaloja mas agua? ¿Cómo puedes explicar lo que ocurre?

Cuenta la historia que un experimento parecido realizo el sabio Arquímedes ya que el rey le había pedido averiguar si todo el oro dado para elaborar su corona se había utili-zado. Arquímedes mientras tomaba un baño de tina noto que cuando su cuerpo entraba en ella se desalojaba agua, con ello grito ¡Eureka! que significa lo encontré y salió corriendo des-nudo por la ciudad de Siracusa.

Guía

99

>> ¿Qué descubrió el sabio Arquímedes?>> ¿Cómo le puede ayudar a resolver el problema planteado

por el rey?>> Según lo anterior ¿que piensas que sucede con nuestro

pequeño experimento de la alverja y la papa?La forma más sencilla de establecer el volumen es cuando

tenemos objetos de forma regular en el caso anterior las cajas nos permiten calcular de forma directa el volumen que ocupa mientras que para otros como los bultos debemos recurrir a estrategias que nos permitan estimar el volumen en forma indirecta.

El volumen es la medida del espacio ocupado por un cuerpo y se mide con unidades cúbicas. De ellas la unidad básica es el metro cúbico (m3).

¿Cuántos metros cúbicos ocupan las cajas que tiene don Manuel?

Para resolver este problema en primer lugar debemos determinar la forma que tiene el objeto y cual es el valor de cada una de sus dimensiones en este caso la forma es la de un prisma rectangular que tiene 90cm de largo por 60cm de ancho y 50cm de alto.

Ya que las unidades de medida se encuentran dadas en cm y no en metros para expresar el resultado en la unidad funda-mental podemos emplear como estrategia el convertir cada una de las dimensiones de cm a metros es decir las dimen-siones de la caja serian 0.9m de largo por 0.6m de ancho y 0.5m de largo ¿Cómo se obtienen estos resultados?.

0.9m

0.5m

0.6m

100

Luego calculamos el volumen del prisma para ello recuerda que:

El volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura como en este caso la base es rectangular tenemos que el volumen será igual al producto del largo l por el ancho a ( l x a = área de la base) por la altura h V= l x a x h

V= 0.9 m x x 0.6m x 0.5

V= 0.27 m3

Determina el volumen en cm3 y compara los dos resultados ¿Qué estrategia emplearías para pasar de cm3 a m3 ?

Como anotábamos anteriormente la unidad fundamental para el volumen es el metro cubico este corresponde a un cubo que posee un metro de arista ¿Cuántos cm3 tiene este cubo? ¿Para que seria útil este dato?

Tal como ocurre con las unidades de longitud cuya unidad fundamental es el metro y posee múltiplos y submúltiplos en forma similar tendremos múltiplos y submúltiplos del metro cubico ¿te atreves a deducir cuales son?

Múltiplos del metro cubicoComo ya sabes los múltiplos del metro son el decámetro (10 metros), hectómetro (100 metros), kilometro (1000 metros). Por lo tanto los múltiplos del metro cubico están relaciona-dos con los múltiplos del metro, para establecer su equi-valencia usemos como estrategia la de dibujar cubos cuyas dimensiones correspondan a las de los múltiplos expresadas en metros y hallemos el volumen por ejemplo un decámetro cubico lo podemos representar como un cubo cuya arista corresponde a 10 metros

Luego si calculamos su volumen en metros tendremos V= 10m x 10m x 10m = m3 Es decir un decámetro cubico Dm3 equivale a 1000m3

>> ¿Cuál es el volumen de las cajas de don Manuel expresadas en decámetros cúbicos?

>> ¿Cuántos decámetros cúbicos puedes acomodar dentro del camión?

101

De forma similar podemos calcular los otros múltiplos del metro y tendremos:

1 Decámetro cubico(1 Dm3)1.000m3

1 hectómetro cubico Hm3

1 000.000m3

1 kilómetro cúbico(1km3)1.000 000.000

Como puedes deducir los múltiplos del metro son emplea-dos para hacer referencia unidades de volumen de mayor tamaño es decir, si la cosecha de don Manuel ocupa 3Km3 es mas fácil hacer referencia a esta unidad y no decir por ejemplo que la cosecha de don Manuel ocupa un espacio de 3.000´000.000 de m3 o sea tres mil millones de metros cúbicos.

De igual forma tenemos los submúltiplos del metro cubico

y ellos nos permiten hacer referencia a unidades de menor

volumen. Entre ellos están el decímetro cubico dm3 cuya equi-

valencia es de 0.001m3 Para obtener estas equivalencias debes

recordar a que parte del metro equivale cada submúltiplo. Por

ejemplo un decímetro equivale a la decima parte de un metro

esto quiere decir que 1dm = 1dm = 1 m = 0.1m10

por lo tanto un

decímetro cubico será un cubo cuya arista mide 0.1m, luego

su volumen será V= 0.1m x 0.1m x 0.1m = 0.001m3 emplea la misma

estrategia para hallar los submúltiplos restantes verifica tus

respuestas con la tabla que te presentamos.

Unidadesdemedida

1mm3 1cm3 1dm3

Factoresdeconversión

0,001cm3 1000mm3 1 000 000mm3

0,000 001dm3 0.0001dm3 1 000cm3

0,000000001m3 0.000 001cm3 0,001m3

1000 m

1000

m

1000 m100 m

100

m

100 m10 m

10 m

10 m

102

Don Manuel decide emplear otro tipo de cajas para empacar su cosecha además de utilizar las que tiene. Las nuevas cajas que diseña don Manuel son:

> una caja de color rojo con dimensiones de 7dm de largo por 8dm de ancho y 10dm de alto

> una caja de color azul con dimensiones de 3m de largo por 6m de ancho y 4 de alto

1. determina el volumen de cada una de las cajas en unidades de milímetros cúbicos

2. determina el volumen de cada una de las cajas en unidades de hectómetros cúbicos

3. escribe la estrategia que utilizaste para hallar la solución de cada uno de los problemas anteriores

1. Ordena las 3 cajas que ha diseñado don Manuel del menor volumen al mayor volumen.

2. Don Manuel apila en su bodega 3cajas de color rojo y 2 de color azul que volumen ocupan las 5 cajas.

3. Describe la estrategia que empleaste para hallar el volumen total.

4. Don Manuel afirma que tiene un objeto cuyo volumen es de 125.000 mm3 en su bolsillo ¿es eso posible?

5. para realizar la conversión entre diferentes unidades don Manuel organiza la siguiente tabla :

Unidadesdemedida

m3 Dm3 Hm3 Km3

Factoresde

conversión

1.000 000.000mm3 1.000m3 1.000.000m3 1000000000m3

1 000.000cm3 0,001Hm3 1.000Dm3 1 000 000Dm3

1.000dm3 0,000 001km3 0,001km3 1 000Hm3

103

múltiplos

Km3 1.000’000.000 m3

Hm3 1 000.000 m3

Dm3, 1000 m3

Unidadfundamental m3 ---------------------

Submúltiplos

dm3, 0.001 m3

cm3 0.000001 m3

mm3 0.000000001 m3

En ella se observa que las unidades varían aumentando por mil o disminuyendo por mil luego don Manuel propone que para pasar de una unidad a otra lo que debe hacer es multiplicar por mil o dividir en mil según sea el caso. Por ejemplo: 3 Dm3 X1000= 3000 m3 y 3000 m3 X1000=3’000.000 dm3

Otro caso es 5cm 3

1000 = 0.005dm3 y 0.005cm 3

1000 = 0.000005dm3

> ¿en que casos se propone multiplicar por mil? explica > ¿en que casos se propone dividir por mil? Explica

6. Con la información anterior plantea un método que te permita pasar de una unidad a otra ¿Cómo puedes probar que funciona?

7. Don Manuel afirma que tiene un objeto cuyo volumen es de 125.000 mm3 en su bolsillo ¿es eso posible?

8. para probar la eficacia de tu método mira en cuanto tiempo logras resolver la suma 0.00035 Km3 + 2.37 m3 +45’000.000 mm3 +0.000007 Hm3 expresa el resultado en cm3

9. una unidad de medida muy empleada en casa y no convencional es la pizca ¿a cuántos m3 crees que equivale? ¿crees que este tipo de unidad tendrá oportunidad de internacionalizarse? Explica tu respuesta.

104

Don José en sus años mozos se dedico con gran esmero al co-mercio de lácteos recuerda que en esos tiempos de su vaca preferida josefina sacaba 22 litros diarios en los dos ordeños. Casi llenaba la cantina de 25 litros contaba con entusiasmo a sus amigos. Tenía por costumbre preparar cuajada sabia que para ello requería de 5 litros de leche por cuajada y estimaba que era un buen negocio ya que vendía 25 cuajadas de lunes a viernes dejando eso si los 2 litros diarios de leche que se em-pleaban en casa. ¡Ah tiempos aquellos! Exclama don José ya el ordeño no es como antes, ahora son maquinas y estas son capaces de ordeñar 64 vacas en una mañana.1. ¿La capacidad de las cantinas que recuerda don José es de 25

litros ¿Qué capacidad queda disponible en la cantina luego de preparar las cuajadas?

2. ¿Cuántas vacas con las características de josefina necesita don José para utilizar un número entero de cantinas de 25 litros?

3. Imagina que don José vende los 22 litros de leche y emplea para extraer de la cantina recipientes metálicos de dos y tres litros respectivamente. Si los recipientes no tienen marcas y no se le pueden hacer es posible que don José pueda extraer exacta-mente un litro de leche para la venta? ¿Cuál sería la estrategia?

4. ¿Cuántos vasos de leche se pueden sacar de la cantina si se sabe que un vaso tiene una capacidad de 0.25litros?

5. Don José es algo exagerado en sus relatos, y parece ser que no tuvo en cuanta ciertas proporciones ¿Cuál o cuales son las afir-maciones en las que exageró don José?

De forma similar a las unidades de volumen también tenemos las medidas de capacidad. Cabe aclarar que se encuentran estrechamente relacionadas aunque se refieren a conceptos diferentes. El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo mientras que la capacidad refiere a la cantidad que puede contener un objeto.

Por ejemplo las cantinas a las que refiere don José tienen una capacidad de 25 litros es decir que pueden contener 25

¿Qué diferencia

existe entre la

capacidad y el volumen?

Guía

105

litros. Pero su volumen refiere al espacio que ocupan y en este caso lo debemos calcular según su forma cilíndrica obte-niendo su radio y su altura, recuerda que las unidades de medida que se emplean son los m3.

¿Cuántos es el volumen aproximado que ocupa una can-tina si tiene 70cm de radio y una altura de 1.2m?

La unidad de medida para la capacidad es el litro y corresponde a la capacidad de un recipiente cuyo volumen es de 1 dm3

Podemos constatarlo elaborando un cubo que tenga 1dm de arista. Deja una cara libre para poder depositar dentro del cubo 1litro que puedes medir con un recipiente graduado o con uno reciclado que especifique contener una capacidad de un litro.

De acuerdo con la información anterior ¿Cuántos litros son un m3?Si la cantina de don José tiene una capacidad de 25 litros ¿Cuántos es su equivalencia en dm3?Don José afirma que en una mañana hoy en día se pueden ordeñar 64 vacas. Si el promedio de leche producida por una vaca es de 20 litros diarios.

>> ¿Cuántas cantinas de 25 litros de capacidad son necesarias para almacenar la leche?

>> ¿Qué espacio ocupan las cantinas?>> Realiza un diagrama donde evidencies la estrategia de

solución a los problemas anteriores y compáralo con los de tus compañeros.

10dm

1 lit

ro

106

Múltiplos y submúltiplosAnteriormente encontrábamos que las unidades de volumen tenían una variación en potencias de 1000 en este caso las unidades de capacidad mantienen una variación en poten-cias de 10 como lo puedes observar en la siguiente tabla:

múltiplos

Kilolitro(Kl) 1000l

Hectolitro(Hl) 100l

Decalitro(Dl) 10l

Unidadfundamental Litro(l) ----------------

Submúltiplos

Decilitro(dl), 0.1l

Centilitro(cl) 0.01l

1militro(ml) 0.001l

>> ¿Cuántos decalitros tiene la cantina de don José?>> Para que el relato de don José sea verdadero ¿Cuántos

centilitros diarios de leche debe producir josefina?>> ¿Cuántos hectolitros serían a la semana? >> ¿Cuántos mililitros son necesarios para preparar una

cuajada?Estrategia de solución: Si deseamos pasar a un submúlti-

plo debemos multiplicar sucesivamente por 10 por ejemplo:Si deseamos saber a cuantos centilitros equivalen 7 litros

realizamos: 7l x 10 = 7dl luego, 7dl x 10 = 700cl no obstante esta operación la podemos resumir en 7l x 100 = 700cl

Si deseamos pasar a un múltiplo dividimos sucesiva-

mente en 10 por ejemplo: 7l a kilolitros 7l 10

= 0.7 Dl Luego

= 0.07 Hl10

0.7 Dl finalmente = 0.007 Kl

10 0.07 Dl

Observa los procedimientos anteriores y encuentra una estrategia que te permita convertir los litros en otras unida-des de volumen sin emplear la multiplicación o la división sucesiva por 10.

Para elaborar un postre son necesarios 25ml de vainilla ¿a cuantos decalitros equivale?

107

Observa que en este problema debemos pasar de un unidad menor a un mayor lo que implica dividir por 10 hasta llegar a

la unidad indicada eso también equivale a = 0.025 Dl1000 25 ml

explica la estrategia de solución que se empleo para solucionar este problema y compárala con las diseñada por tus compañeros.

Aplica la misma estrategia para pasar 48.5 dl a las demás unidades de capacidad y compara los resultados con los que te presentamos en la tabla

ml cl dl l Dl Hl Kl

4850 485 48.5 4.85 0.485 0.00485 0.000485

Como te podrás dar cuenta en la tabla existe un dato que no corresponde identifica cual es. Justifica tu respuesta

1. Indica cuales de las afirmaciones son falsas o verdaderasa. Para pasar de un unidad mayor a una menor se debe

multiplicar por 10b. Para pasar de dl a Dl se debe dividir por 100c. Para convertir d e ml a l se debe dividir por 1000d. Si un prisma rectangular tiene de largo 26cm,por 30 cm de

ancho y 10cmde alto entonces el prisma tiene un volumen de 7800l

e. La capacidad de un recipiente se define como el espacio que ocupa el cuerpo.

2. ¿Cuántos Hl tiene de capacidad una piscina si se sabe que es llenada con 1 000000l de agua?

3. Don José cuenta que en cierta ocasión las condiciones climáticas afectaron la producción de 22l de josefina ya que esta dejo de producir 10l diarios de leche. ¿Qué porcentaje de la cantina de 25l queda sin llenar diariamente?

4. Se tienen tres recipientes con la siguientes característica: uno de ellos con capacidad de 2000ml, otro con capacidad de 0.03Hl, y el tercero con capacidad de 250cl. Ordénalos por su capacidad de mayor a menor.

5. Si se desean comprar cantinas con capacidad de 50 y 25 litros ¿cuantas se necesitan diariamente para almacenar la leche producida por las 64 vacas?

108

1. Si un recipiente tiene una capacidad de 8000ml y en el se almacena la leche destinada para producir una cuajada ¿que capacidad queda disponible en el recipiente?

2. Don José decide distribuir los 22 litros de leche que produce josefina en 6 recipientes de 500ml, 8 recipientes de 300cl, y 1 recipiente de 0.08Hl si la leche restante la deposita en la cantina de 25 litros ¿Qué capacidad queda disponible en la cantina?

3. ¿Cuál de los recipientes anteriores tiene menor capacidad?4. Observa las siguientes capacidades estimadas en recipientes

de uso cotidiano y completa la tabla

recipiente ml cl dl l Dl Hl Kl

taza 150ml

vaso 2dl

copa 100ml

cucharón 2.5dl

cucharadasopera

15ml

1. Cuantas cucharadas son necesarias para llenar 4 3

de copa y

25 1 tazas.

2. El postre horrendo: Para la preparación del postre se pide medio litro de leche, dos tazas de agua salada, 20 cucharadas soperas de jugo de limón y un acopa de vino seco, esta mezcla se debe agitar y servir en copitas de 60 ml. ¿Cuántas copitas se necesitan para servir toda la mezcla?

3. Si decides servir el postre en recipientes de 0.5dl ¿cuantos recipientes son necesarios?

4. Si toda la mezcla se deposita en un recipiente de 2 litros ¿Qué capacidad queda disponible en el recipiente?

5. ¿Cual es el ingrediente de menor contenido en la mezcla?6. A don José le regalaron una cantina, para depositar la leche

que produce josefina si deposito en el recipiente 20 litros de leche y quedo disponible el 25% de la capacidad que tiene ¿Qué capacitad tiene la cantina?

110

En ciertas ocasiones era necesario suministrar algunos medica-mentos a josefina. El veterinario entregaba su receta a don José y este seguía estrictamente el tratamiento. En cierta ocasión el veterinario recomendó a don José suministrar cierta sustancia en dosis de 700 ml, para medir esta cantidad don José disponía de una jeringa de 10cm3

> ¿Cómo determinar con la jeringa la cantidad para suministrar? > Diseña una estrategia de solución que permita solucionar el

problema de don José. > Compara tu estrategia con las de tus compañeros. > ¿Cuántas veces se debe llenar la jeringa para obtenerlos 700ml? > Que información es suficiente para solucionar el problema. > Si el medicamento se debía suministrara a josefina durante 15

días y cada frasco del medicamento contenía 35cl de la sustancia ¿cuantos frascos diariamente debía comprar don José?

> ¿cuantos frascos debía comprar don José para cubrir todo el tratamiento?

> El vecino de don José le dice que para saber la dosis correcta utilice una cuchara ya que cada cucharada son 100ml ¿Qué piensas de la afirmación del vecino?

Como puedes ver para resolver el problema anterior es necesario buscar una correspondencia entre las unidades de capacidad y las unidades de volumen, para ello debemos partir de saber que 1dm3 equivale un litro. Luego determi-nar la equivalencia entre múltiplos del litro en términos de decímetros cúbicos para luego realizar las correspondientes trasformaciones entre las cantidades y obtener las equiva-lencias. Por ejemplo si un dm3 equivale a 1l entonces 1Dl equivalen a 10 dm3 observa:

¿Cuántos cm3 de

medicina debo dar a josefina?

dm3

como

1Dl

1 litro

10 litro 10 x dm3 = 10 dm3 luegoentonces

Guía

111

De igual forma como 1 Dl equivale a 10 dm3 y un Hl son 10 Dl entonces 1Hl es equivalente a 10 X 10dm3 = 100dm3 rea-liza el calculo y encuentra ¿cuantos dm3 equivale 1m3?

Observa la siguiente tabla:

1Kl 1000 dm3 = 1m3

1 Hl 100 dm3

1 Dl 10 dm3

Litro (l) 1 dm3

1 dl 100 cm3

1cl 10 cm3

1ml 1 cm3

Reúnete con tus compañeros y encuentra el razonamiento por el cual se establece la correspondencia entre dl, cl y ml con los cm3

De acuerdo con la tabla anterior ¿Cuántos cm3 de la sus-tancia debe suministrar don José a josefina?

Para no olvidar como calcular la dosis que se debe sumi-nistrar don José escribe en su cantina de 25l cuantos cm3 tiene de capacidad ¿Qué debió registrar en ella?

Para determinar el resultado basta con saber que 25l son equivalentes con 25dm3 luego como debemos convertir una unidad mayor en una menor debemos multiplicar por mil. Esto es : 25 X 1000cm3 = 25000cm3

En cierta ocasión el veterinario pido a don José realizar la mezcla de 3 diferentes tipos de sustancia para dar a josefina de la sustancia A debía suministrar 250ml, de la sustancia B 30cm3 y de la sustancia C 1500dm3 ¿que cantidad de sustan-cia suministra don José a su vaca?

Para resolver este problema es importante como te habrás dado cuenta emplear las mismas unidades de capacidad esco-jamos para ello los cm3 entonces para cada una de las sustan-cias tendremos:

>> Sustancia A: 250ml lo que es equivalente con 250cm3

>> Sustancia B: 30cm3

>> Sustancia C: 3dm3 lo que es equivalente con 38cm3.

Luego el total de la sustancia suministrada es de 318cm3

Si esta vez don José solo encuentra jeringas de 15ml ¿Qué estrategia debe usar para saber la cantidad de medicamento a suministrar?.

112

Un tanque empleado para el almacenamiento de leche tiene una capacidad de 400 litros. 1. ¿Cuál es su capacidad en m3?2. Si una vaca en promedio es capas de producir 2Dl de leche en

sus dos ordeños cuantas son necesarias para llenar el tanque? 3. Para tener un control sobre la calidad de la leche se extraen

del tanque una muestra de 500 cm3 ¿Qué cantidad de leche queda en el tanque?

4. Cierto día de la semana se emplearon 500 cm3 para la muestra, 2 Hl par la preparación de quesos, 6Dl para la preparación de cuajadas si el tanque se encontraba con su máxima capacidad ¿Cuántos litros quedaron disponibles?

5. Completa la siguiente tabla en las unidades de volumen recuerda las Emplea para ello las equivalencias encontradas en la guía anterior

recipiente cm3 m3 Dm3 dm3

taza

vaso

copa

cucharón

cucharada sopera

113

En el hato donde trabajo don José se tenían se realizo un seguimiento durante tres meses a 4 vacas del establo para conocer su comportamiento en la produc ción de leche los resultados se muestran en la siguiente tabla

vacas Enero Febrero marzoTotal

elitros

Holstein 630l 6000dl 54Hl

Jersey 4500dl 4.5Hl 480000cm3

Gyr690 dm3 600000cm3 585l

Pardo 0.57Kl 480000ml 48000cl

1. Completa la tabla no olvides dar el resultado en litros2. ¿Cual es la vaca con mayor producción de leche?3. ¿Qué vacas produjeron en diferente mes igual cantidad de

leche?4. ¿Que vaca y en que mes produjo menos leche? 5. Si a cada vaca se le debe suministrar un medicamento

en 2 dosis diarias de 400ml ¿Cuántos cm3 se suministran diariamente?

6. Si la producción total se mantiene y se desean comprar cantinas de capacidad de 25l, 50l, 100l y 200l cuantas se deben comprar intentando tener el menor numero de cantinas.

7. Si se desea construir un tanque para el almacenamiento de la leche que capacidad en m3 debe tener.

8. Si se decide vender la vaca Jersey para comprar dos Holstein, ¿en cuanto se debe aumentar la capacidad del tanque de almacenamiento?

9. ¿Con las dos nuevas vacas es necesario comprar más cantinas? ¿de que capacidad se deben adquirir?

10. Si la cuarta parte de la producción de leche se vende para producir cuajadas ¿Cuántas cantinas y de que capacidad se necesitan para trasportar la leche de la venta?

114

1. Se desea construir un piscina de tiene 25m de largo por 10m de ancho y 2m de profundidada. Construye el plano de la piscinab. Que capacidad en metros cúbicos tiene la piscinac. Cual es su capacidad en litrosd. Con la finalidad de hacer un poco más segura la piscina y que pueda ser utili-

zada por niños se construyo en el fondo un rectángulo como el que se mues-tra en la figura. ¿cuales es la nueva capacidad en litros que tiene la piscina?

2. Se tiene un aljibe de forma de base rectangular cuyas dimensiones son 3m de largo por 1.5m de ancho y 1m de largo. es llenado por una llave que arroja 3500 ml de agua por minutoa. En cuanto tiempo se llenara el aljibe.b. Si el aljibe tiene un desagüe que deja perder agua a razón de 1200ml por

minuto ¿en cuánto tiempo se desocupara el aljibe si se encuentra con su máxima capacidad y se abre el desagüe?

c. Si se abre la llave y el desagüe al tiempo ¿cuando el aljibe se encuentra des-ocupado cuanto tiempo tardara en llenarse?

3. Para la venta de postres caseros se quiere elaborar empaques varios diseños que tengan el mismo volumen pero todos ellos de base rectangular. Si uno de los diseños tiene de dimensiones 200mm de ancho por 5cm de largo por 0.07m de alto.a. ¿Cual es el volumen del empaque?b. ¿Si otro diseño tiene 3.5cm de alto por 100mm de largo cual es la dimensión

de su ancho?c. Si un empaque tiene 0.05m de alto cuales podrían las dimensiones de su largo

y ancho?d. Escribe las medidas de por lo menos 3 posibles empaques para los postres

que tengan el doble de volumen.

20 m 5 m

1 m5 m

2 m

115

Qué aprendí1. Cuál es el volumen de un aljibe de 3 metros de largo, 2

m de ancho y 52 m de profundidad? Expresa la respuesta

en dm3.

2. ¿Qué profundidad debería tener el aljibe del ejercicio anterior para que su capacidad sea de 1000000 litros?

3. Marca la unidad de medida más pertinente que utilizarías para calcular el volumen de cada objeto real.

dm3 dam3 hm3 m3 cm3 dam3 m3 km3 mm3

4. Resuelve los siguientes problemasa. Lorena tiene un costurero con forma de cubo. Mide 10

cm por cada lado. ¿Cuál es el volumen del costurero?b. Las dimensiones de un contenedor son: 5 metros de

alto, 12 m de ancho y 14 m de largo. ¿Cuál es el volu-men del edificio, expresado en decímetros cúbicos?

c. En un almacén de químicos deben guardar 234 cajas con las siguientes dimensiones: 38 cm de largo 25 cm de ancho y 22 cm de alto. ¿Cuál es el volumen que ocuparán las cajas?

5. Un hato distribuye su producción de leche a varias pobla-ciones cercanas como se muestra en la tabla:

población cantidaddeleche

A 150000cl

B 1.35Kl

C 7950Dc

D 11500dc

116

a. ¿Cuál es la población que se abastece de mayor canti-dad de leche?

b. ¿Cual es la segunda población que recibe la menor cantidad de leche?

c. Cual es la cantidad de leche producida en el hato?

¿Cómo me ven los demás? 1. Forma grupos de tres personas y seleccionen 3 situacio-

nes problemas que les haya llamado la atención uno de cada guía Luego completa la tabla que se te presenta

problemadatos

importantesenelproblema

estrategiasdesolución

2. Redacta con el grupo tres problemas similares a los selec-cionados cambiando datos, lugares y personajes y com-pártelos con los otros grupos

3. Soluciona los problemas que te entregaron y comparte la estrategia de solución que empleaste con tus compañe-ros al grupo que te dio el problema.

4. Recibe la solución de los problemas que compartiste y observa si se utilizaron las mismas estrategias de solu-ción de alguno de los integrantes del grupo.

117

Me autoevalúo

Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí Aveces No

Realizo esquemas como dibujos, o diagramas que me permiten entender el problema.

Estimo si la respuesta que encuentro es coherente con el problema.

Cuando no puedo solucionar el problema intento nuevamente hasta lograrlo.

verifico la información que se me da en la guía

participo en los debates que se puedan formar alrededor de la temática

se me facilita encontrar regularidades en la transformación de diferentes unidades de medida

Realizo mis tareas responsablemente tanto en los trabajos individuales como grupales.

Siento que mis fortalezas se encuentran en: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sé que debo apoyar más mi proceso en: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

118

Interpreto y concluyo sobre datos de mi entorno

¿Qué voy a aprender?


Pensamiento aleatorio

> Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos.

> Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación.

Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competen-cias, mencionados en la parte superior, mediante los conceptos rela-cionados con las medidas de tendencia central. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

MÓDU

LO

119


16 MediaEjercitación de procedimiento para calcular las medidas de tendencia central.Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana relacionada con las medidas de tendencia central.Comunicación: representar por medio de tablas y gráficas la información correspondiente a un conjunto de datos.

17 Mediana

18 Moda

120

¿Para qué te sirve?Las medidas de tendencia central son usadas con frecuencia en muchas de las situaciones de la cotidianidad.

Por ejemplo, para determinar el promedio de tiempo que demoro en llegar de mí casa al colegio o como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una evaluación.

Posiblemente ya conoces estas medidas, aunque no sepas sus nombres estadísticos. Por ejemplo, los profesores hablan con frecuencia del término medio de lecturas en clase, el “ter-mino medio” se refiere a la media o promedio. Cuando los eco-nomistas hablan que la mitad de la población está ganando sobre o bajo un nivel del salario en particular, se están refi-riendo a la mediana y finalmente, cuando los expertos en demografía manifiestan que la mayoría de la población tiene entre 20 y 35 años de edad, se refieren al valor de mayor fre-cuencia o moda.

Módulo 6Pensamiento aleatorio

Análisis de datos

Medidas de tendencia central

A través del uso

como

Media Mediana Moda


121


Carlos es esposo de Manuela y padre de Alberto, es domingo y ha decidido pedir un domicilio para el almuerzo del día, cada almuerzo cuesta $5.000, el jugo $2.000 y el postre $1.000. Ha pagado por los tres almuerzos, sus respectivos jugos y postres, junto con el domicilio un total de $27.000.

a. ¿Cuánto ha pagado por el servicio de domicilio?b. ¿De cuánto ha sido el gasto total por persona?c. ¿Cuánto le valdrían los almuerzos del domingo para el primer trimestre del

año, si todos los domingos piden el mismo domicilio?


En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con la interpretación de las medidas de tendencia central: media, moda y mediana en el análisis de datos.




122

¿Cuál es la producción promedio

de Mauricio en su finca?

Mauricio es un campesino que vive en el Oriente Colombiano, él en su finca ha sembrado algunos de estos cultivos para su manutención y la de su familia.

¿Sabes lo qué es una cosecha?En Colombia muchas familias campesinas se dedican a esta activi-dad, dependiendo del piso térmico al que pertenezcan se presen-ta gran variedad de cultivos: frutas, hortalizas, cereales, verduras, tubérculos, granos entre otras. Mauricio ha recogido esta última semana su cosecha de papa y ha anotado la cantidad de bultos recogidos en cada día, como se muestra a continuación:

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes SábadoCantidad 30 40 40 50 60 20

Construye una gráfica de barras con la información anterior

> ¿Cuál día de la semana Mauricio recogió mayor cantidad de bultos de papas?

> ¿Cuál día de la semana Mauricio recogió menor cantidad de bultos de papas?

> ¿Cuántos bultos recogió Mauricio los tres primeros días de la semana?

> ¿Cuántos los tres últimos?Presenta tus conclusiones según la información anterior, compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Mauricio quisiera saber cuántos bultos de papa ha recogido por cada día.

Para ayudarle a Mauricio debemos sumar la cantidad de bultos de papa que se recogió por cada día y dividir este valor por el total de días, como se muestra a continuación:

í = Total de los bultos recogidosNúmero de días

Guía

123

Para nuestro ejemplo sería:

í = 30 + 40 + 40 + 50 + 60 + 206

Es decir,Mauricio recoge en promedio 40 bultos de abono por cada día.

40, es el resultado que representa más fielmente el grupo. Este nos permite comparar con un modelo, en este caso el promedio. Por lo tanto un resultado de 60 se consideraría un muy por encima del promedio; mientras que uno de 20 esta-ría por debajo.

Lo que acabamos de hacer es ayudarle a don Mauricio a calcular la media o valorpromedio de bultos que recogió por cada día de la semana.Mauricio pretende comprar una determinada cantidad de abono para sus próximas siembras como se muestra en la tabla:

Cultivo Frijol Maíz Yuca Arveja Papa Zanahoria Café Tomate

Cantidad 4 7 6 4 10 5 7 5

Ayuda a Mauricio a calcular la media de la cantidad de abono.

Entonces la media la podemos calcular sumando las n unidades experimentales, respecto a una característica determinada, la media se calcula como la suma de todos los valores la característica en estudio, dividida por el número total de unidades experimentales observadas.

X =n

X1 + X2 + X3... + Xn

Donde:

X1, X2, ..., Xn Son los n datos recogidos de la variable en cuestión

n: tamaño de la muestra

124

Las siguientes tablas muestran las ganancias diarias de la última semana obtenidas por don Mauricio en tres de sus productos.

Construye una gráfica de barras con un color para cada pro-ducto, en donde se tome como variable independiente los días de la semana y como variable dependiente las ganancias por día.

>> ¿Cuál fue el día que mayor ganancia obtuvo Mauricio en su venta de tomate?

>> Calcula la media o promedio para las ganancias de tomate.

>> ¿Cuál fue el día que menor ganancia obtuvo Mauricio en su venta de Maíz?

>> Calcula la media o promedio para las ganancias de maíz.

>> Calcula la media o promedio para las ganancias de zanahoria.

>> Tomando en cuenta las ganancias de los tres productos por día, puedes averiguar cuál fue el día de la semana que Mauricio obtuvo mejor ganancias en sus tres productos. ¿Cómo lo hallaste?

Tomate

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Ganancia 33.000 30.000 26.000 25.000 29.000 28.000 32.000

Maíz


Ganancia 30.000 33.000 25.000 28.000 25.000 20.000 28.000

Zanahoria


Ganancia 39.000 32.000 35.000 30.000 38.000 35.000 36.000

125

Trabaja con dos compañeras o compañeros y respondan las siguientes preguntas o realicen las actividades en el cuaderno.1. Pregunten la edad de todos los compañeros del curso y averi-

güen cuál es la edad promedio del curso.2. Los siguientes datos representan el número de interrupciones

por día de trabajo debidas a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos: 2, 3, 0, 5, 4, 3, 1, 3, 5, 2Calcula la media de interrupciones diarias.

3. Las siguientes son las estadísticas de la cantidad de perso-nas que asistieron a los últimos siete eventos realizados en el Centro de Convenciones: 800, 700, 650, ___, 900, 950, 700 ¿Cuántas personas asistieron al cuarto evento, si se sabe que la media de asistentes es de 800 personas?

4. La siguiente tabla muestra la cantidad de carros que ingresa-ron al parqueadero de un centro comercial en las diez horas que está habilitado, calcule la media de los carros que ingre-saron por hora.

Hora 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00

Carros 35 28 57 41 23 16 45 38 50 17

126

Mauricio nos acaba de presentar a sus hijos: Pablo es mi hijo mayor, Laura mi hija menor y Francisco es mi hijo del medio. Otra frase comúnmente usada para indicar término medio, es decir que estamos a mitad de semana, sabremos que estamos en el día miércoles de la misma.

Mauricio ha recogido esta última semana su cosecha de café y ha anotado la cantidad de bultos recogidos en cada día, como se muestra a continuación:


Cantidad 110 100 90 100 120 110 30

Al tratar de ayudar a Mauricio a encontrar el promedio diario de la cantidad de bultos de café recogidos, encontramos:

Media = = =7 7

80100 + 100 + 90 + 100 + 120 + 110 + 30 560

La media obtenida ha sido de 80 bultos de café por día.

¿Crees que esta media obtenida representa un buen promedio con respecto a los datos? ¿Por qué?

Existe una desventaja al usar la media cuando algún valor es muy grande o muy pequeño respecto al resto de los datos, más aún cuando la muestra es de pocos datos, en este caso la media no representa bien los datos.

¿Sabes lo que

significa ser el mediano

de la familia?

Guía

127

Para ayudar a Mauricio a calcular una nueva media más representativa, vamos a ordenar los datos de menor a mayor como se muestra en la siguiente tabla.

Cantidad 30 90 100 100 110 110 120

Ahora buscamos el valor que se encuentra en el medio de la lista, para nuestro caso, la posición central corresponde al número 10.

Cantidad 30 90 100 100 110 110 120

Nuestra nueva media, que ahora llamaremos mediana es igual a 100, la interpre-tación que le daremos es: el valor mediano diario de la cantidad de bultos de café recogidos por Mauricio es de 100.

La mediana de un conjunto finito de valores es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el número de valores mayor o igual a la mediana es igual al número de valores menores o igual a estos.

Ahora le ayudaremos a Mauricio a calcular la mediana de los ayudantes que recogie-ron la cosecha de todos sus cultivos en los anteriores catorce días, información que se presenta en la próxima tabla.

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Ayudantes 19 30 22 10 34 15 31 10 35 12 40 20 24 25

Ahora vamos a ordenar los datos en orden ascendente (de forma descendente tam-bién es posible).

Ayudantes 10 10 12 15 19 20 22 24 25 30 31 34 35 40

Al tratar de encontrar la mediana, nos topamos con el inconveniente de que el tamaño de la lista es un número impar, para encontrar la mediana debemos sumar los dos datos centrales y promediarlos.

Ayudantes 10 10 12 15 19 20 22 24 25 30 31 34 35 40

Media =Promedio de los datos centrales

El tamaño de la muestra

Para nuestro ejemplo:

Media = 23 = =22+24 46

2 2

128

Las siguientes tablas muestran nuevamente las ganancias diarias de la última semana obtenidas por don Mauricio en tres de sus productos.

> Calcula la mediana para las ganancias de tomate y compara con la media.

> Calcula la mediana para las ganancias de maíz y compara con la media.

> Calcula la mediana para las ganancias de zanahoria y compara con la media.

¿Qué resultados obtuviste?

Tomate


Ganancia 33.000 30.000 26.000 25.000 29.000 28.000 32.000

Maíz


Ganancia 30.000 33.000 25.000 28.000 25.000 20.000 28.000

Zanahoria


Ganancia 39.000 32.000 35.000 30.000 38.000 35.000 36.000

129

Trabaja con un compañero o compañera. Luego compartan sus respuestas con el resto del grupo.1. Pregunten a 10 compañeros de clase cuanto tiempo se

demoran en llegar al colegio desde el momento que salen de casa, construyan una gráfica de frecuencia con los resultados e indiquen cual fue la mediana de este tiempo.

2. La siguiente tabla muestra la cantidad de goles marca-dos por el delantero estrella del equipo local de futbol después de diez temporadas como profesional, calcula la media y la mediana.

Temporadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Goles 26 25 24 20 22 24 21 25 28 27

3. Ordena los datos y halla la mediana

Datos sobre el valor de venta del kilogramo de manzana, por semana.

$1300$2400$1000$1500$1800$1000

Datos recogidos sobre las horas extras realizadas a diario por un grupo de jornaleros

4,6,7,2,8,9,3

130

Mauricio ha comprado una báscula digital para pesar sus cultivos, porque dice que son más precisas que las analógicas y además están de “moda”.

Mauricio ha recogido esta última semana su cosecha de arveja y ha anotado la cantidad de bultos recogidos en cada día, como se muestra a continuación:


Cantidad 60 45 34 50 60 180 40

Al tratar de ayudar a Mauricio a encontrar el promedio diario de la cantidad de bultos de arveja recogidos, encontramos:

Media = 60 + 45 + 34 + 50 + 60 + 180 + 40 4207 7

67 = =

La media obtenida ha sido de 67 bultos de café por día.

Y al tratar de ayudar a Mauricio a encontrar la mediana diaria de la cantidad de bultos de arveja recogidos, encontramos:

Cantidad 34 40 45 50 60 60 180

La mediana obtenida ha sido de 50 bultos de café por día.

¿Crees que la diferencia entre la media y la mediana obtenidas es significativa? ¿Por qué?

Para ayudar a Mauricio, vamos a tomar nuevamente los datos ordenados de menor a mayor como se muestra en la siguiente tabla.

Cantidad 34 40 45 50 60 60 180

¿Sabes lo que es estar

de moda?

Guía

131

Ahora vamos a buscar el valor más frecuente, para nuestro caso:

Cantidad 34 40 45 50 60 60 180

De esta manera hemos encontrado una nueva unidad de ten-dencia central que llamaremos moda.

La moda o valor de mayor frecuencia es el valor que mayor se repite en una distribución de resultados o conjunto de datos.

Ahora le ayudaremos a Mauricio a calcular la moda de los camiones que transportaron la cosecha de todos sus cultivos en los anteriores diez días, información que se presenta en la próxima tabla.

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Camiones 5 6 3 5 4 7 2 7 8 1

Al ordenar los datos en ascendentemente encontramos:

Camiones 1 2 3 4 5 5 6 7 7 8

Buscaremos el valor más frecuente, para nuestro caso:

Camiones 1 2 3 4 5 5 6 7 7 8

Hemos encontrado que existen dos valores frecuentes 5 y 7, entonces diremos que el conjunto de datos es bimodal.

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que ocurre más frecuentemente. La moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el o los datos con mayor incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para un conjunto de datos.

Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra es unimodal, cuando tiene dos moda bimodal, cuando la muestra contiene más de un dato repetido se dice que es mutimodal y un último caso es cuando ningún dato tien una frecuencia en dicho caso se dice que la muestra es amodal.

Cuando en los valores de un conjunto de datos vemos que dos de ellos tienen la misma frecuencia, y además estos valo-res son adyacentes, consideramos que la moda es el prome-dio de estos dos valores adyacentes.

132

Las siguientes tablas muestran nuevamente las ganancias diarias de la última semana obtenidas por don Mauricio en tres de sus productos.

> Calcula la moda para las ganancias de tomate y compárala con la mediana y la media.

> Calcula la moda para las ganancias de maíz y compárala con la mediana y la media.

> Calcula la moda para las ganancias de zanahoria y compárala con la mediana y la media.

¿Qué resultados obtuviste?

Tomate


Ganancia 33.000 30.000 26.000 25.000 29.000 28.000 32.000

Maíz


Ganancia 30.000 33.000 25.000 28.000 25.000 20.000 28.000

Zanahoria


Ganancia 39.000 32.000 35.000 30.000 38.000 35.000 36.000

133

1. Pregunten a 13 compañeros de clase cual es su color favorito, hallen la moda y la mediana de estas respues-tas. ¿Es posible calcular la media?, justifíquelo.

2. Identifique la moda para el siguiente grupo de datos

Hortalizaprefererida Númerodepersonas

Coliflor 6

Acelga 10

Apio 9

Espinaca 13

Calabacin 8

Ajo 4

3. Considerando el grupo de datos identifica la moda

4. Observando el siguiente grupo de datos ordenados:

1, 1, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 10.

Es correcto afirmar que la moda en este caso sería el pro-medio de los valores 6 y 8. ¿Por qué?

15

10

5

0Manzana Pera Fresa Mango

FRUTASFAVORITAS

Banano

134

1. A los estudiantes de undécimo grado se le pregunto cuál área del saber les gustarían estudiar una vez terminado el colegio, la tabla indica los resultados.

AreaCantidaddeestudiantes

Ingeniería 45

Ciencias Puras 50

Ciencias Sociales 55

Artes 40

Educación 45

Ciencias Humanas 60

Otras 35

Halle la media, la mediana y la moda2. En una prueba de lectura, los alumnos de tercero de pri-

maria han obtenido los siguientes resultados, calcule la moda y la mediana.18, 17, 7, 12, 15, 6, 7, 10, 9, 4, 2, 7, 20, 9, 10, 13, 11, 2, 16, 8, 3, 9, 4, 2, 19, 14, 15, 9, 8, 11, 13, 10, 4, 10, 3.

3. La siguiente es la secuencia ordenada de las presas que han devorado un grupo de leones en su estado natural en el Africa, durante los ultimos seis meses:2, 2, 2, 5, 5, 5, 8, 8, 8. Se puede considerar que como todos los valores presentan una frecuencia de tres no existe moda ¿por què?.

4. Calcula la media, mediana y moda en cada uno de los siguiente casos:a. 2, 8, 3, 5, 4, 7, 9b. 2, 3, 2, 4, 5, 8, 6, 2c. 100, 200, 200, 100, 300, 100, 200

135

Que aprendí A continuación, se nombrarán algunas ventajas y desventa-jas de las medidas de tendencia central estudiadas, debes seleccionar la que consideres correcta:1. Ventajas:

>> Es la medida de tendencia central más usada>> Es sensible a cualquier cambio en los datos>> Presenta rigor matemático

Desventajas:>> Es sensible a los valores extremos

a. Mediab. Medianac. Moda

2. Ventajas:>> Es estable a los valores extremos>> Es recomendable para el tratamiento de valores

cualitativosDesventajasPuede que no se presente o exista más de una.

3. Ventajas:>> Es estable a los valores extremos>> Es recomendable para distribuciones muy asimétricas

Desventajas:>> No presenta todo el rigor matemático

a. Mediab. Medianac. Moda

136

¿Cómo me ven los demás?

Trabaja con dos compañeros o compañeras. Se muestran los resultados de las mediciones realizadas en 10 departamentos de nuestro país en los siguientes histogramas. El primer histograma muestra las pobla-ciones de los departamentos (unidades dadas en millones), indicando que solo un departamente alcanza los 3 millones de habitantes. El segundo histograma muestra el porcentaje de analfabetismo de los departamentos objeto del estudio.

1. El total de ciudades consideradas en el estudio es de:a. 3b. 5c. 10d. 15

2. Qué significado tiene la moda para el estudio del analfabetismoa. Cuatro de las ciudades no presentan analfabetismob. La mayoría de la ciudades no presentan analfabetismoc. Seis ciudades presentan problemas de analfabetismod. Ninguna de las anteriores

3. El porcentaje promedio de analfabetismo que arroja el estudio es de:a. 0,4%b. 1,0%c. 1,4%d. 2,0%

4

3

2

1

00,5 1,0

No d

e D

epar

tam

ento

s

1,5 2,0 2,5 3,0

5

4

3

2

1

00,0 1,0

No d

e C

uid

ades

3,02,0 4,0 5,0

POBLACIÓN

ANALFABETISMO

137

4. El estudio arrojado al número de habitantes por departamento indica que:a. El promedio de habitantes por departamento es de 0,5 millones.b. El promedio de habitantes por departamento es de 1 millón.c. El promedio de habitantes por departamento es de 1,45 millones.d. El promedio de habitantes por departamento es de 2,0 millones.

Me autoevalúo

Sí No Aveces

Resuelvo situaciones que requieren el calculo de la media.

Resuelvo situaciones que requieren el calculo de la mediana.

Resuelvo situaciones que requieran el calculo de la moda.

Reconozco las principales ventajas y desventajas de las principales medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

Reconozco cuando es más representativo utilizar una determinada medida de tendencia central: media, mediana y moda.

Trabajo activamente en grupo y espeto la opinión de mis compañeros o compañeras.

Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de segui-miento con tu profesor.

Guia Post-Primaria Matemáticas 7°

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