UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDAREA DE TECNOLOGIA.DEPARTAMENTO DE FSICA Y MATEMTICACTEDRA: ESTADSTICA PROF. LICDA. YOHELIS LUGO

TEMA 1.3Medidas Descriptivas Numricas

Dentro de ellas se encuentran:

Medidas de Tendencia Central: Son conocidas tambin como medidas de localizacin y sirven para determinar los valores centrales de una distribucin; se da; para datos agrupados y no agrupados.Las medidas de tendencia central son: media aritmtica (valor medio), mediana (valor central) y moda valor ms comn.

1) Datos no Agrupados: Es cuando los datos se representan en forma individual. (45, 70, 63, 14).

Las medidas de tendencia central se definen y se utilizan para los datos no agrupados de la siguiente manera:

A) Media Aritmtica: Es el centro fsico del conjunto de datos, el valor ms representativo del conjunto de observaciones. y se calcula con la formula siguiente:

Donde:Xi: Valores dados.n: nmero de observaciones.

X= Xi n Ejemplo: Se tiene las calificaciones de 12 alumnos calcular el promedio.

13 15 12 17 16 17 17 18 20 20 19 15

X= = = 16.58 Interpretacin: La calificacin promedio del grupo es de 16,58 puntos.

Consideraciones: Todo conjunto de observaciones posee una media y es nica.

B) Mediana (Me): Es el punto o valor central de todas las observaciones. n (Impar): Valor central del conjunto ordenado en forma ascendente. Es decir que si el nmero de datos es impar la mediana ser el valor central, si es par tomaremos como mediana la media aritmtica de los dos valores centrales.

n (Par): se utiliza la formula

Se ordenade forma ascendente.Ejemplo:12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20 6.5

Como son 12 observaciones, entonces n= 12 (es Par).

Lugar donde est la Mediana.

Luego: El valor de la Mediana.

Interpretacin: el valor es 17 puntos es la mediana, porque divide la serie de datos en dos partes iguales.

C) Moda Modo: valor ms comn o frecuente dentro del conjunto (Mo) puede ser:

1 moda Unimodal 2 modas Bimodal 3 modas o ms MultimodalEs decir:

IMPORTANTE: en la moda, puede haber ms de una moda; pero en la media aritmtica y mediana solo debe haber una (1).

Ejemplo:

12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20

(Mo): 17 y 20 (Bimodal).

Tema 1.3.1

Medidas de Dispersin: Son parmetros estadsticos cuanto se alejan del centro de los valores de la distribucin, es decir permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permite identificar la concentracin de los datos de un sector del recorrido de la variable. Dentro de los estadsticos ms utilizados para medir la dispersin, podemos contar: el rango, la varianza, la desviacin estndar entre otros.

1) Datos no Agrupados: Una vez determinado el punto medio de un conjunto de datos, nuestra bsqueda se dirige a las medidas de dispersin.

Rango: Diferencia entre el valor mximo y mnimo del conjunto de observaciones indica la amplitud (distancia entre el primer y el ltimo valor.) Ejemplo:

12 13 15 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20

R: valor Mximo - Valor MnimoR: 20-12R: 8Interpretacin: Significa que la variabilidad mxima entre los datos (calificaciones) es de 8 puntos.

Varianza: (S2): Es considerado como el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observacin y media del conjunto. La dispersin de un conjunto de datos es pequea o grande si los valores se agrupan en forma cerrada o se dispersan ampliamente en torno a su media, respectivamente. Las medidas de dispersin que toman en consideracin lo anterior son, precisamente, la varianza y la desviacin estndar.

S2 Valor Ato bastante dispersosS2 Valor Bajo bastantes agrupados.

Frmula de la Varianza S2=

Ejemplo: X= 16.66

S2=

S2=

DispersosXiXi2

12144

13169

15225

15225

16256

17289

17289

17289

18324

20400

20400

20400

X=16.67

Desviacion Estandar

S= = = 2.62 Agrupado

Interpretacin: La calificacin promedio de la seccin es de 16,58 puntos con una desviacin estndar de ms o menos de 2,62 puntos.

Datos Agrupados: cuando estn los datos estn organizados en una distribucin de frecuencia.

Se tiene las calificaciones de 15 estudiantes de una seccin de la asignatura matemtica la cual se organizo en la siguiente tabla de frecuencia: (k)ClasesLmitesRealesLi-Ls

fa(Frecuencia absoluta)Fac(Frecuencia absoluta acumulada)XiMarca de Clase

11-1210,512,53311,5

13-1412,514,52513,5

15-1614,516,54915,5

17-1816,518,551417,5

19-2018,520,511519,5

n= 15

A) Media Aritmtica Promedio: se calcula con la siguiente frmula:

Interpretacin: El promedio general de la seccin es de 15,37 puntos.

B) Mediana:

Donde:

Li= lmite inferior de la clase donde est la media. n/2= Este cociente nos da la posicin aproximada de la mediana en la distribucin, de acuerdo al nmero de datos Frecuencia Acumulada (fac) hasta la clase anterior a ella. fac: es la frecuencia acumulada anterior a la clase medianal. fa: Frecuencia absoluta de la clase medianal. C: Amplitud de la clase.(k)ClasesLmitesRealesLi-Ls

Fa(Frecuencia absoluta)Fac(Frecuencia absoluta acumulada)XiMarca de Clase

11-1210,512,53311,5

13-1412,514,52513,5

15-1614,516,54915,5

17-1816,518,551417,5

19-2018,520,511519,5

Frecuencia absoluta acumulada anterior donde se encuntrala clase medianal

Frecuencia absoluta donde se encuentra la clase medianalLmite inferior donde est la clase medianal

Clase Medianal

Continuando con el ejemplo anterior:

Se busca el intervalo donde est la mediana calculando y luego tomamos la frecuencia absoluta acumulada ms prxima a este valor. (lugar o posicin)

C= 2

Li=14,5

Resultado

Interpretacin: el elemento 7,5 tiene 15,75 puntos que es el valor que tiene 50% de las observaciones por encima y el otro 50% por debajo.

C) Moda Modo: se calcula con la clase que tiene mayor frecuenta absoluta, utilizando la siguiente frmula:

Mo: Li + C () d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta inmediatamente anterior. d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente. Li= Lmite inferior de la clase modal (La de mayor frecuencia) C= Amplitud de clases. (k)ClasesLmitesRealesLi-Ls

Fa(Frecuencia absoluta)Fac(Frecuencia absoluta acumulada)XiMarca de Clase

11-1210,512,53311,5

13-1412,514,52513,5

15-1614,516,54915,5

17-1816,518,551417,5

19-2018,520,511519,5

d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase siguiente(5-1)=4d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase anterior(5-4)=1Lmite inferior de la clase modal(La de mayor frecuencia)

d1= 5-4 =1

Clase Modal d2= 5-1 =4

C= 2L= 16,5

Mo= Li+C

Resultado.

Interpretacin: 16,9 puntos es la calificacin o valor ms frecuente en las observaciones.

d1= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de arriba). d2= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de abajo).

Importante: La clase modal es aquella que tiene mayor frecuencia absoluta.

Medidas de Dispersin

a) Rango: lmite superior de la til clase menos (-) el lmite inferior de a clase inicial. R= Lmite superior-Lmite Inferior R= 20-11 R= 9(k)ClasesLmitesRealesLi-Ls

fa(Frecuencia absoluta)XiMarca de Clase

11-1210,512,5311,5

13-1412,514,5213,5

15-1614,516,5415,5

17-1816,518,5517,5

19-2018,520,5119,5

Interpretacin: Significa que la variabilidad mxima entre los datos (calificaciones) es de 9 puntos.b) Varianza (S2): La varianza es una medida razonablemente, busca la variabilidad debido a que si michas de las diferencias son grandes, entonces el valor de la varianza ser grande o pequeo.

(k)ClasesLmitesRealesLi-Ls

fa(Frecuencia absoluta)XiMarca de Clase(Xi-X)2

11-1210,512,5311,5(11,5 -15,37)2

13-1412,514,5213,5(13,5-15,37)2

15-1614,516,5415,5(15,5-15,37)2

17-1816,518,5517,5(17,5-15,37)2

19-2018,520,5119,5(19,5-15,37)2

Ejemplo: Tomamos el resultado de la media aritmtica o promedio del ejemplo anterior:

Media Aritmtica X= 15,37

(k)ClasesLmitesRealesLi-Ls

fa(Frecuencia absoluta)XiMarca de Clasefa*(Xi-X)2

11-1210,512,5311,544,93

13-1412,514,5213,56,99

15-1614,516,5415,50,07

17-1816,518,5517,522,68

19-2018,520,5119,517,06

91,73

Utilizamos la frmula de la varianza:

c) Desviacin Estndar: Es la raz cuadrada de la varianza.

S= = 2,56

Interpretacin: La calificacin promedio de la seccin es de 15,37 puntos con una desviacin estndar de ms o menos de 2,56 puntos.

D. E - X + D.EEl rango de :

2,56 - (15,37) + 2,56

Interpretacin: Se dice entonces que entre 12,81 puntos y 17,93 puntos es el rango donde estn la mayora de las calificaciones.

COEFICIENTE DE VARIACIN:Esta medida sirve para comparar las dispersiones de dos o ms distribuciones, establece la relacin entre la desviacin estndar y la media aritmtica y se expresa generalmente en por cientos:

Utilizando el ejemplo anterior0

=16%

Interpretacin: los datos tienen una variabilidad de 16%

Licda. Yohelis Lugo Dpto. Fsica y Matemtica. UNEFM .