UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADISTCA

MATEMATICA III CICLO I 2010

GUA DE EJERCICIOS SOBRE MXIMOS Y MNIMOS

EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Preparado por: Lic. Oscar Roberto Chacn.

I. Encuentre los mximos o mnimos relativos si los hay de las siguientes funciones.

xxyxxyyxf

xyyyxf

yxyxyxf

yxxyyxf

xyxyxyxf

yxyxyxf

yxyxxyyxf

eyxf

yxyxyxyxf

xyyxyxf

yxyxyxyxf

xyyxyxf

xyxyxyxf

xy

2)(2),( .13

16

172),( .12

742),( .11

8

13),( .10

53),( .9

16

122),( .8

9884104),( .7

),( .6

4442),( .5

273663),( .4

8622),( .3

151222),( .2

108642),( .1

2

224

22

33

22

2244

22

22

32

22

23

22

xyyx

yxf

qppqqpf

KLKLLKKLf

yxyxyxf

yexeyxf

yxxyyxf

yxxy

yxf

yxyxyxf

yx

641),( .21

11),( .20

2102642),( .19

1)(2)8(3

1),( .18

),( .17

)ln(),( .16

2),( .15

41),( .14

22

2233

2

2

22

II. Resuelva:

1. Una empresa esta desarrollando un nuevo refresco. El costo en dlares de producir un lote del refresco es

C(x, y) = 2200 + 27x3 72xy +8y2

Donde x es el nmero de kilos de azcar por lote y y es el numero de gramos de saborizante por lote.

a) Encuentre las cantidades de azcar y saborizante que conducen a un

costo mnimo por lote. b) Cual es el costo mnimo?

2. Suponga que la ganancia de cierta compaa est dada por

U(x, y) = 1000 + 24x - x2 + 80y - y2

Donde x es el costo de una unidad de fuerza de trabajo y y es el costo de una unidad de bienes. Encuentre los valores de x y y que maximicen la ganancia. Encuentre la ganancia mxima.

3. El costo total de producir x unidades de cinta tipo A y y unidades de

cinta tipo B esta dado por :

C(x, y) = 2x2 + 3y

2 - 2xy + 2x - 126y + 3800

Encuentre el nmero de unidades de cada tipo de cinta que deben producirse para que el costo sea mnimo. Encuentre el costo total mnimo.

4. El ingreso total en miles de dlares por la venta de x tinas y y calentadores esta dada por :

I(x, y) = 12 + 74x + 85y 3x2 5y2 5xy

Encuentre el nmero de cada artculo que debe venderse para producir el ingreso mximo. Encuentre el ingreso mximo.

5. El ingreso mensual en cientos de dlares por la produccin de x miles

de toneladas de mineral tipo A y y miles de toneladas de mineral tipo B, esta dado por:

I(x, y) = 2xy + 2y + 12

El correspondiente costo en cientos de dlares esta dado por:

C(x, y) = 2x2 +y

2

Encuentre la cantidad de cada tipo de mineral que debe producirse para obtener la mxima ganancia.

6. Suponga que el costo y el ingreso en miles de dlares por la

fabricacin de x unidades de un producto A y y unidades de un producto B, estn dados por:

C(x, y) = x2 + 3y

3 ; I(x,y) = 6xy + 3 x2

Cuantas unidades de cada producto producirn una ganancia mxima?

Cuanto es la ganancia mxima?

7. Suponga que

P (L, K) = 1.08L2 0.03L3 + 1.68K2 - 0.08K3

es la funcin de produccin de una empresa.

Encuentre las cantidades de insumo L y K que maximizan la produccin P.

8. Una empresa produce dos tipos de producto, A y B. El costo diario total (en dlares) de producir x unidades de A y y unidades de B, est dada por

C(x,y) = 250 4x 7y + 0.2x2 + 0.1y

2

a) Determine el nmero de unidades de A y B que la empresa debe producir al da con el objeto de minimizar el costo total.

b) Si la empresa puede vender cada unidad de A a $20 y cada unidad de B a $16, encuentre los niveles de produccin de A y B que maximizan las utilidades de la empresa. Cul es la utilidad Mxima?

9. Una empresa utiliza dos tipos de materia primas, A y B, en su

producto. Usando x unidades de A y y unidades de B, la empresa puede elaborar P unidades de su producto, con

P = 0.52x + 0.48y + 0.12xy 0.07x2 0.06y2

Si el costo de cada unidad de A es de $5.10 y de $1.80 por cada unidad utilizada de B, y si la empresa puede vender todas las unidades que produce a $15.00 cada una, Que cantidad de A y B debera utilizar la empresa con el objeto de maximizar sus utilidades?

III. Encuentre los mximos y mnimos relativos, para las siguientes

funciones, sujetas a la condicin lateral dada.

FUNCIN CONDICIN LATERAL

700 x ; 7005xy2),( .10

4 x ; x34),( .9

13 x ; 23),( .8

313y2x ;3xy -),( .7

732x ; ),( .6

72-3x ; 752),( .5

1 x ; ),( .4

4 x ; 63),( .3

21y2x ; 43),( .2

10 x ; ),( .1

22

22

22

22

22

22

22

22

22

yyxyxf

yyyxf

yyxyxf

yxyxf

yyxyxf

yyxyxf

yyxyxf

yyxyxf

xyyxyxf

yxyyxf

FUNCIN CONDICIN LATERAL

32 x ; 2),( .17

08 x ; ),( .16

02 x ; 6),( .15

1002x ; 22),( .14

062- x ; ),( .13

04x ; ),( .12

208-2x ; 64),( .11

22

22

22

22

22

yyxyxf

yeyxf

yyxyxf

yyxyxyxf

yyxyxf

yyxyxf

yyxyxf

xy

IV. Resuelva:

1. La funcin de produccin para una empresa es:

f(x, y) = 12x + 20y x2 2y2

El costo para la compaa es $4. y $8. por unidad de x e y respectivamente. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $88. , Calcule la mxima produccin posible, sujeta a la restriccin presupuestal.

2. El costo de producir x modelos regulares y y modelos de lujo del producto de una empresa, esta dado por :

C(x, y) = x2 + 1.5y

2 + 300.

Cuantas unidades de cada tipo deben producirse a fin de minimizar los costos totales, si la empresa debe producir un total de 200 unidades?

3. La funcin de produccin de una empresa es

f(x, y) = 80x3/4

y1/4

.

En donde x e y representan el nmero de unidades de mano de obra y de capital utilizado y f es el nmero de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60. y cada unidad de capital un costo de $200. Si la empresa dispone de $40,000 destinados a produccin, determine el nmero de

unidades de mano de obra y capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una produccin mxima.

4. Encuentre el costo mnimo para fabricar 20,000 unidades de un

producto, si la funcin de produccin es P(x, y) = 100 x0.6

y0.4

Siendo x el nmero de unidades de trabajo (a $48. por unidad) y y el numero de unidades de capital (a $36. por unidad).

5. La funcin de produccin de una empresa es

22 5.13 800),( KLKLP

Donde L y K representan el nmero de unidades de mano de obra y de capital utilizados, los costos unitarios de mano de obra y del capital son de $250. y $50., respectivamente. Si la empresa dispone de $6,750 para gastos en produccin, determine el nmero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear, a fin de obtener una produccin mxima.

6. Una empresa puede elaborar su producto en dos plantas, el costo de producir x unidades en su primera planta y y unidades en la segunda planta esta dado por la funcin de costo conjunta:

C(x, y) = x2 + 2y

2 - 5xy +700

Si la empresa tiene un pedido de 500 unidades, Cuantas unidades debe producir en cada planta con el objeto de minimizar el costo total?