Guia1 Parcial 1 Ecuaciones Diferenciale

7/23/2019 Guia1 Parcial 1 Ecuaciones Diferenciale

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Departamento de Fsica y Matematicas del Instituto Tecnologico y

de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de Mexico.

Gua para el primer examen parcial de la materia Ecuaciones Diferenciales.

Profesor: Juan Carlos Del Valle Sotelo

Ejercicios

Secciones 1 a 5

1. (a) Muestre que el problema del paracadas es com-patible con el modelo de cada libre; es decir,que el primero tiene como caso particular al se-gundo cuando no hay resistencia del aire, estoes, cuando la constante de proporcionalidad escero. (Sugerencia: calcule lim

k0v(t). )

(b) Que ocurre con la velocidad a largo plazo?

(c) Si la altura inicial del paracadas es s0, integrerespecto at la expresion hallada parav(t), paraencontrar la posicion del cuerpo s(t) para cadat.

2. Indique si la relacion dada es una EDO o una ecuacionen derivadas parciales y senale cual es, en cada caso,la funcion incognita y la variable o variables inde-pendientes:

(a) y (y)2 +y = 5x3 25 cosh(ln(x)).(b) uxx uxy =u exp(xy).

(c) 2f

x2 2f

xy = 0.

(d) d3z

dw3+ cos(w)

d2z

dw2 z3 =w2 +z.

(e) x

tx= tx ln(t).

(f) ta a = t

sen(u2)du.

3. Indique el orden de cada EDO, la funcion incognitay la variable de la que depende:

(a) yiv yy= xy cos(y2). (yiv =d4y/dx4).(b) sen(x) x= ext.(c) u u= 0.(d) z(6) 2z(4) + 6z z(7) + 5z= y8ey.

(e) dnv

dun d

n+1v

dun+1 uv d

n1v

dun1 = 0.

4. En cada caso mostrar que la funcion propuesta, en elintervalo donde esta definida, es solucion de la EDOdada:

(a) y(x) = C e2x +1

3ex, C R; y + 2y ex = 0.

(b) y(x) = x

1 x2; yy= x 2x3.(c) y(x) = earcsen(Cx), C R; xy = y tan(ln(y)).

(d) y(x) = ex x

0

et2

dt + C ex, C R; y y =ex+x

2

.

(e) y(x) = 4; y+ 2y= 8.

(f) y (x) =xex+ C1ex cos x + C2e

x sen x,C1, C2R; y 2y+ 2y= xex.

(g) x (t) = C1t cos (ln t) +C2t sen (ln t); C1, C2R; t2x tx+ 2x= 0.

(h) u (t) = ln |t+C1| +C2, C1, C2 R ; u+(u)2 = 0.

(i) u(z) = zez

; u 3u+ 3u u= 0.(j) y(x) =e cosx

x0

2ecosudu+Ce cosx, C R;y y sen x= 2.

(k) y(x) = ex2

x0

eu2

du+ Aex2

, A R; y +2xy= 1.

5. Hallar los numeros realesktal que la funciony = ekx

sea solucion de la EDO y y 2y= 0.6. Encontrar los numeros k tal que la funcion y = xk

sea solucion de la EDO x2y

4xy+ 6y= 0.

7. Demuestre que en el ejemplo del plano inclinado(ejemplo 27 de las notas del curso), el angulo mide30.

8. (Modelo de poblacion). La poblacion,p(t), de bacte-rias de una caja de Petri cambia, en cada instante t, aun ritmo proporcional a la cantidad de pobladores enese momento. Establezca la EDO que correspondeal modelo de calcular p(t) en el tiempo t.

9. (Movimiento con resistencia del medio). Se lanzauna piedra hacia arriba desde el suelo. Se supone que

para este tipo de objetos el aire manifiesta una fuerzaque se opone al movimiento directamente propor-cional al cuadrado de la velocidad en cada instantedel tiempo. Si y(t) es la distancia que tiene este ob-jeto al suelo en el tiempo t, encontrar la EDO quedescribe al modelo de calculary(t) si la unica fuerzaque actua sobre el cuerpo, aparte de la resistenciadel aire, es la de gravedad.

10. (Oscilaciones en un fluido). Una caja cubica de 10pies de arista, inicialmente se haya en reposo, des-pues se le sumerge un poco y se le suelta; entoncesoscila sumergiendose y saliendo parcialmente de un

lquido de peso especfico 62.3 lb/pie3. Aplique elprincipio de Arqumedes para determinar la EDO

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que corresponde a encontrar la posiciony(t), relativaal nivel del agua, a la que se encontrara, en cadainstante del tiempo t, un puntoPque se encontrabaen la interseccion de la superficie del agua con elcubo cuando este estaba en reposo. Suponga que elcubo tiene un peso W, medido en libras.

11. (Un problema de polucion). Suponga que un reci-

piente de 100 m3 contiene agua con un cierto con-taminante, con una concentracion de 0.5 g/m3. Seintroduce al recipiente agua con el mismo contam-inate, con una concentracion de 0.1 g/m3, a razonde 4 m3/seg. Si el agua tambien sale en forma si-multanea del recipiente a razon de 2 m3/seg , es-tablecer la EDO para determinar la cantidad de con-taminante que existe en el recipiente en cada instantedel tiempo.

12. (Evaporacion). Un recipiente conico abierto por ar-riba, de altura h y radio r, como se muestra en lasiguiente figura,

4

h

1

contiene agua hasta una profundidad h(t). Supongaque se cumple la ley de evaporaciondel ejemplo 28del apedice de las notas de la clase.

(a) Encuentre la EDO que establece el modelo decalcularh(t).

(b) Integre ambos lados de la ecuacion encontradaen el inciso anterior, para probar que la funciontiene la forma h(t) = kt+C; donde k es unaconstante de proporcionalidad y Ces una con-stante de integracion.

(c) Si ademas se supone que el tanque inicialmente(t = 0) esta lleno y que despues de 2 horas elnivel del liqudo bajo 1 m, calcule las constantesk y C para determinar h en funcion de t, para

resolver el modelo.

13. (Tractriz). Un hombre parte del origen de coorde-nadas, como indica la figura de aba jo, dirigiendoseen la direccion positiva del eje x y arrastrando, conuna cuerda de longitud constante l, un cuerpo a lolargo de la curva C. Al inicio del movimiento elcuerpo esta en (0, l). Resulta que la cuerda es siem-pre tangente a la curva Cen cualquier punto (x, y)de la posicion donde se encuentre el cuerpo. Ha-llar la EDO que establece el modelo de encontrarla relacion entre x y y. La curva de este problemarecibe el nombre de tractriz.

C

(x, y)y

x

l

(0, l)

14. (Un problema geometrico). Obtenga la EDO querepresenta la familia de circunferencias que tienensus centros en la recta y =x, y pasan por el origende coordenadas.

15. (Sustancia en flujo sanguneo). Una solucion glu-cosa es administrada intravenosamennte en el flujosanguneo de una persona a un ritmo constante r.Se sabe que cuando se anade glucosa al organismo,este la transforma en otras sustancias que desechadel flujo sanguneo con un ritmo proporcional, conconstante de proporcionalidad k, a la cantidad deglucosa en cada instante en la sangre. Si C(t) de-nota la cantidad presente de glucosa en el torrentesanguneo en el instante t, establezca la EDO paraeste modelo.

16. (Movimiento a traves de un fluido viscoso). Un cuer-

po esferico de radio R y masa m cae en una grasadensa. Este medio ejerce sobre la esfera dos fuerza:una boyante, regida por el principio de Arqumedes,que es igual al peso de la grasa desplazada por la es-fera; y otra, ocasionada por la friccion, proporcionala la velocidad, con constante de proporcionalidad6R, donde es el llamado coeficiente de viscosi-dad de la grasa. Si aparte de estas fuerzas sobre elcuerpo solo actua la gravedad, hallar la EDO queconduce al calculo de la velocidad de la esfera encualquier instante del tiempo.

Secciones 6 y 71. Verifique, en cada caso, que y = C(x), C R,

es solucion de la EDO correspondiente. Suponiendoentonces que toda solucion de la EDO tiene la formay = C(x), encontrar la solucion particular que re-suelve el problema con valor inicial.

(a) y= C e2x + 13

ex ; y + 2y ex = 0 , y (0) = 0(b) y = 2 +C

x2 1 ; 1 x2 y +xy = 2x ,

y(

10) = 11

(c) y = earcsen(Cx) ; xy = y tan(ln(y)) , y(1) =

e/2

2


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(d) y = exx0

et2

dt+Cex; y y = ex+x2 , y(1) =3e+

10

et2

dt

2. Demostrar en cada inciso que la funcion y = C(x)es la solucion general de la ecuacion diferencial dada.

(a) y = C

cos(x) , y y tan(x) = 0

(b) y = x2 Cx , x2 +y2 dx 2xydy = 0(c) y = x (C ln |x|), (x y) dx+xdy = 0(d) x= yeCy+1 , y =

y

x (ln(x) ln(y))(e) y = ex

x0

et2

dt+Cex; y y = ex+x2

3. Hallar la solucion general de las siguientes ecuacionesdiferenciales:

(a) xdy

dx = 2y

(b) 1 +y2 dx+ 1 +x2 dy = 0.(c)

y2 +xy2

y+x2 yx2 = 0.

(d) y= ax+y (a >0, a = 1)(e) drd =r cos +r sen

(f) ey

1 +x2

dy 2x (1 +ey) dx= 0.

(g) (1 y) eyy+ y2

x ln x = 0.

(h) x2

x2 4 y= x.(i)

xy2 y2 +x 1 dx

+

x2y 2xy+x2 + 2y 2x+ 2 dy= 04. Hallar la solucion particular de cada ecuacion difer-

encial que satisface la condicion inicial dada:

(a) x dy+ 2y dx= 0,y(2) = 1.

(b) x

1 y2 dx+y1 x2 dy = 0, y (0) = 1.(c) cos(y) dx +(1+ ex) sen(y) dy = 0,y(0) =/4.

(d) y ln ydx+xdy = 0, y (1) = 1.

(e) (1 +ex) yy = ey , y (0) = 0.

5. Se depositan P dolares en un banco que paga unatasa de interes de r por 100 compuesto continua-mente.

(a) Hallar el tiempoTrequerido para doblar el cap-ital, en funcion de la tasa r .

(b) Hallar la tasa de interes necesaria para que elcapital se duplique en diez anos.

6. Un cultivo de bacterias de poblacion x crece a unritmo proporcional a x . Entre las 6 P.M. y las 7P.M. la poblacion se triplica. A que hora sera cienveces mayor que la que haba a las 6 P.M.?

7. La poblacion de una ciudad minera crece a un ritmoproporcional a dicha poblacion. En dos anos la poblacion

se ha doblado, y un ano mas tarde haba 10,000 habi-tantes. Cual era la poblacion inicial?

8. Un moho crece a un ritmo proporcional a la cantidadpresente. Inicialmente haba 2 gramos. En dos dasha pasado a haber 3 gramos.

(a) Si x = x (t) es la masa de moho en el instante

t, probar quex= 2 (3/2)t/2.

(b) Calcular la cantidad al cabo de diez das.

9. La fision nuclear produce neutrones en una pila atomicaa un ritmo proporcional al numero de neutrones pre-sentes en cada momento. Si hay n0 neutrones ini-cialmente y hay n1 y n2, respectivamente, en losinstantes t1 y t2, demostrar que

n1n0

t2=

n2n0

t1.

10. Si la mitad de cierta cantidad de radio se desintegraen 1600 anos, que porcentaje de la cantidad originalquedara al cabo de 2.400 anos?Y de 8000 anos?

11. Si la semivida de una sustancia radiactiva es de veintedas, cuanto tardara en desintegrarse el 99 por 100de ella?

12. El uranio 238 se desintegra a un ritmo proporcionala la cantidad presente. Si hayx1 yx2 gramos en losinstantes t1 y t2, probar que la semivida es

(t2 t1) l n 2ln (x1/x2)

.

13. Un deposito contiene 100 galones de salmuera en la

que hay disueltas 40 libras de sal. Se desea reducirla concentracion de sal hasta 0.1 libras por galon,y ello vertiendo en el deposito agua pura a razonde 5 galones por minuto y permitiendo que salga lamisma cantidad, mientras se mantiene uniforme lamezcla removiendola. Cuanto tiempo tardara enconseguirse el proposito?

14. Se esta celebrando una fiesta en una habitacion quecontiene 1, 800 pies cubicos de aire libre de monoxidode carbono. En el instante t = 0 varias personascomienzan a fumar. El humo, que contiene 6 por100 de monoxido de carbono, se introduce en lahabitacion a razon de 0.15 pies cubicos por min-uto, y la mezcla, removida por ventilacion, sale a esemismo ritmo por una ventana entreabierta. Cuantodebera abandonar una persona prudente esa fiesta,si el nivel de monoxido de carbono comienza a serpeligroso a partir de una concentracion de 0.00018?

15. Supongamos que un cuerpo caliente se enfra a unritmo proporcional a la diferencia de temperaturarespecto del ambiente (ley del enfriamiento de New-ton). Un cuerpo se calienta a 110Cy se coloca enaire a 10C. Tras una hora su temperatura es de

60C. Cuanto tiempo tarda todava en alcanzarlos 30C?

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16. Un cuerpo de temperatura desconocida se coloca enun frigorfico que se mantiene a temperatura con-stante de 0F. Tras 15 minutos, el cuerpo esta a30F, y despues de 30 minutos esta ya a 15F. Cualera su temperatura inicial?

17. Una olla de sopa, inicialmente hirviendo, se enfra enaire a 0C, y a los 30 minutos esta a una temperatura

de 20C. Cuanto se enfriara en los siguientes 30minutos?

18. Por razones obvias, la sala de diseccion de un forensese mantiene fra a una temperatura constante de 5C(= 41F). Mientras se encontraba realizando la au-topsia de la vctima de un asesinato, el propio forensees asesinado, y el cuerpo de la vctima robado. A las10 A.M. el ayudante del forense descubre su cadavera una temperatura de 23C. A medioda, su tem-peratura es de 18.5C. Supuesto que el forense tenaen vida la temperatura normal de 37C(= 98.6F),a que hora fue asesinado?

19. El radiocarbono de la madera viva se desintegra a unritmo de 15.30 desintegraciones por minuto (dpm)por gramo de carbono. Tomando 5, 600 anos comosemivida del radiocarbono, estimar la edad de cadauno de los siguientes objetos descubiertos por losarqueologos y analizados por radiactividad en 1950:

(a) un fragmento de pata de silla de la tumba deTutankhamon, 10.14 dpm;

(b) un trozo de viga de una casa construida en Ba-bilonia durante el reinado de Hamurabi, 9.52

dpm;(c) estiercol de un perezoso gigante hallado 6 pies y

4 pulgadas por debajo del nivel del suelo dentrode la Cueva Gypsum, en Nevada, 4.17 dpm;

(d) una flecha encontrada en Leonard Rock Shelter,en Nevada, 6.42 dpm.

20. Si la resistencia del aire sobre un cuerpo de masam ejerce en su cada una fuerza retardadora por-porcional al cuadrado de la velocidad, la ecuaciondiferencial

dv

dt =g cv

se convierte en

dv

dt =g cv2

donde c = k/m. Si v = 0 para t = 0, hallar vcomo funcion det. Cual es en este caso la velocidadterminal?

21. Un torpedo se mueve a una velocidad de 60 mil-las/hora en el momento en que se queda sin com-bustible. Si el agua se opone a su movimiento conuna fuerza proporcional a su velocidad y si una milla

de recorrido reduce su velocidad a 30 millas/hora,que distancia recorrera?

22. Desde la superficie terrestre se lanza hacia arribauna piedra con velocidad inicial de 128 pies/segundo.Despreciando la resistencia del aire y suponiendoque la unica fuerza que actua sobre la piedra es unafuerza gravitacional constatne, hallar la maxima al-tura alcanzada, el tiempo que tarda en alcanzarla yel tiempo de llegada al suelo. Responder identicascuestiones para una velocidad inicial v

0.

23. Se lanza hacia arriba, desde la superficie terrestre,una masamcon velocidad inicialv0. Si la resistenciadel aire se supone proporcional a la velocidad, conconstante de proporcionalidad k, y la unica fuerzaque actua ademas es una fuerza gravitacional con-stante, probar que la maxima altura alcanzada es

mv0k m

2g

k2 log

1 +

kv0mg

Usar la regla de LHospital para demostrar que esa

cantidad tiende av2

0/2g, de acuerdo con el resultadodel problema 3.

24. La fuerza que la gravedad ejerce sobre un cuerpo demasa m sobre la superficie terrestre es mg. En elespacio, sin embargo, la ley de Newton de la grav-itacion afirma que esa fuerza vara en proporcioninversa al cuadrado de la distancia al centro de latierra. Si un proyectil disparado desde la tierra ha-cia arriba ha de continuar su viaje indefinidamente,y si se desprecia la resistencia del aire, probar quesu velocidad inicial ha de ser al menos

2gR, donde

R es el radio de la tierra (unas 4, 000 millas). Esta

velocidad de escape es de unas 7 millas/segundo, osea, 25, 000 millas/hora. Ayuda: Si x denota la dis-tancia del proyectil al centro de la tierra yv = dx/dtes su velocidad, entonces

d2x

dt2 =

dv

dt =

dv

dx

dx

dt =v

dv

dx

25. En el problema 5, sivedenota la velocidad de escapey v0 < ve, de modo que el proyectil sube pero noescapa, demostrar que

h=

(v0/ve)2

1 (v0/ve)2 R

es la maxima altura que alcanza antes de regresar ala tierra.

26. Una bola de naftalina que inicialmente tena un radiode 1/4 de pulgada, al cabo de un mes tiene solo 1/8de pulgada de radio. Supuesto que se evapora a unritmo proporcional a su superficie, hallar el radioen funcion del tiempo. Cuantos meses tardara endesaparecer?

27. Un gran deposito contiene 100 galones de salmuera

en la que hay disueltas 200 libras de sal. Desde elinstante t = 0 se le anade agua pura a razon de 3

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galones/minuto. La mezcla, que se mantiene uni-forme revolviendola, sale del deposito al ritmo de2 galones/minuto. Cuanto tiempo tardara en re-ducirse a 100 libras la cantidad de sal disuelta enel?

28. De acuerdo con la ley de Torricelli, el agua escaparade un deposito abierto por un pequeno orificio a

una velocidad igual a la que adquirira al caer li-bremente desde el nivel del agua hasta el del orificio.Un cuenco hemisferico de radio R esta inicialmentelleno de agua, y en el instante t = 0 se le perforaun orificio circular de radio r en el fondo. Cuantotardara en vaciarse?

29. La clepsidra, reloj antiguo de agua, era un cuenco delque sala el agua por un pequeno agujero del fondo.Se usaba en las cortes griegas y romanas para medirel tiempo de discurso de los oradores, para evitarque se prolongaran en demasa. Hallar la forma quedeba tener para que el agua fluyese a ritmo con-stante.

30. Dos depositos con orificios identicos en sus fondos sevacan en el mismo tiempo. Uno es cilndrico con eleje vertical y el otro es un cono con su vertice abajo.Si tienen bases iguales y la altura del cilindro es h,cual es la altura del cono?

31. Una lata cilndrica parcialmente llena de agua, giraen torno a su eje con velocidad angular constante.Probar que la superficie del agua adopta la formade un paraboloide de revolucion. (Ayuda: La fuerzacentrfuga que actua sobre una partcula de la su-

perficie libre es mx2, donde x es su distancia aleje, y esta es la resultante de la fuerza gravitacionalvertical mg y la reaccion normal R debida a otraspartculas proximas del agua.)

Secciones 8 y 9

1. Comprobar que las siguientes ecuaciones diferencialesson homogeneas y resolverlas

(a)

x2 2y2 dx+xydy= 0(b) x2y 3xy 2y2 = 0(c) x2y= 3

x2 +y2

tan1 yx +xy

(d) x sen(y/x) y= y sen(y/x) +x

(e) xy= y + 2xey/x

(f) (x y) dx (x+y) dy = 0(g) xy= 2x+ 3y

(h) xy=

x2 +y2

(i) x2y= y2 + 2xy

(j)

x3 +y3

dx xy2dy= 0

2. Resolver las siguentes ecuaciones diferenciales

(a) dy

dx =

x+y+ 4

x y 6

(b) dy

dx=

x+y+ 4

x+y 6(c) (2x 2y) dx+ (y 1) dy= 0(d)

dy

dx=

x+y 1x+ 4y+ 2

(e) (2x+ 3y 1) dx 4 (x+ 1) dy= 0

Secciones 10 y 11

1. Comprobar que las siguientes ecuaciones diferencialesson exactas y resolverlas

(a)

x+

2

y

dy+ydx = 0

(b)

y x3 dx+ x+y3 dy = 0(c) (sen(x) sen(y) xey) dy= (ey cos(x) cos(y)) dx

(d)1y

sen

x

y

dx+

x

y2sen

x

y

dy = 0

(e)

2xy

3

+y cos(x)

dx +

3x

2

y

2

+ sen(x)

dy = 0(f)

2xy4 sen(y)

dx+

4x2y3 +x cos(y)

dy = 0

(g) 2x

1 +

x2 y

dx=

x2 ydy

(h)

ey2 csc(y)csc2(x)

dx

+

2xyey2 csc(y) cot(y) cot(x)

dy = 0

2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones en-contrando un factor integrante

(a)

3x2 y2 dy 2xydx= 0(b) (xy 1) dx+ x

2

xy dy= 0(c) (x+ 2) sen(y)dx+x cos(y)dy = 0

(d)

x+ 3y2

dx+ 2xydy= 0

(e) ydx+ (2x yey) dy = 0(f)

x3 +xy3

dx+ 3y2dy= 0

Seccion 12

1. Comprobar que las siguientes ecuaciones son linealesy resolverlas:

(a) x

dy

dx 3y= x4

(b) y+y = 1

1 +e2x

(c)

1 +x2

dy+ 2xydx= cot(x)dx

(d) y+y = 2xex +x2

(e) y+y cot(x) = 2x csc(x)

(f)

2y x3 dx= xdy(g) y x+xy cot(x) +xy= 0(h)

dy

dx 2xy = 6xex2

(i) x ln(x)y+y = 3x3

(j)

y 2xy x2 dx+x2dy = 0

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2. La ecuacion

dy

dx+P(x)y = Q(x)yn

que se conoce como ecuacion de Bernoulli, es linealcuandon= 0 o n = 1. Probar que se puede reducira una ecuacion lineal para cualquier valor de npor el

cambio de variable z =y1n

, y aplicar este metodopara resolver las siguientes ecuaciones:

(a) xy+y = x4y3

(b) xy2y+y3 =x cos(x)

(c) xdy+ydx = xy2dx

3. Un deposito contiene 10 galones de salmuera con 2libras de sal disueltas en ella. Se introduce en eldeposito salmuera que contiene disuelta una libra desal por cada galon a razon de 3 galones por minuto,y la mezcla, bien revuelta, se deja salir a razon de

4 galones por minuto. Hallar la cantidad de sal x(t)en el deposito en un instante t arbitrario.

4. Un deposito contiene 40 galones de agua pura. Sal-muera con 3 libras de sal por galon fluye en el a razonde 2 galones por minuto, y la mezcla escapa a raz onde 3 galones por minuto.

(a) Calcular la cantidad de sal en el deposito cuandoya solo quedan en el 20 galones.

(b) Cuando es maxima la cantidad de sal en eldeposito?

Respuestas

Secciones 1 a 5

1. (b) Tiende amg/k(c)m

k

v0+

mg

k

e

k

mt mg

k t

+y0+m

k

v0+

mg

k

2. (a) EDO, funcion incognitay , var. ind. x

(b) Ecuacion en derivadas parciales, func. inc. u,variables ind. x, y .

(c) Ecuacion en derivadas parciales, func. inc. f,variables ind. x, y .

(d) EDO, funcion incognitaz , var. ind. w

(e) EDO, funcion incognitax, var. ind. t

(f) EDO, funcion incognitaa, var. ind. t

3. (a) Orden 4, funcion incognitay , var. ind. x

(b) Orden 2, funcion incognitax, var. ind. t

(c) Orden 3, funcion incognitau, var. ind. cualquierliteral, excepto u

(d) Orden 7, funcion incognitaz , var. ind. y(e) Orden n, funcion incognitav , var. ind. u

5. k= 1 y k = 26. k= 2 y k = 3

8. dp

dt =kp, donde k >0 es una cte. de proporcionali-

dad.

9. d2y

dt2 =

g

k

m

dy

dt

10. md2y

dt2+ 6230y = 0, donde m = W/g

11. dx

dt = 0.4 +

2

100 2t x

12. (a) dh

dt = k

(c) h(t) = 4 12

t

13. y = yl2 y2

14. y =y2 2xy x2y2 + 2xy x2

15. dC

dt =r kC

16. mdv

dt = 4

3R3 6Rv+mg, donde es el peso

especfico de la grasa.

Secciones 6 y 7

3. (a) y= C x2

(b) x+y = C(1 xy)

(c) (x+y) (x y 2) + 2 ln1 +x1 y

=C(d) ax +ay =C

(e) ln r= sen cos +C(f) 1 +ey =C

1 +x2

(g) C+

ey

y = ln |ln x|

(h) y (x) = 14

ln x +18

ln (x 2)+18

ln (x+ 2)+ C1

(i) x2 2x+ 2 y2 + 1 e2 arctany =C

4. (a) x2y= 4

(b)

1 x2 +

1 y2 = 1; y = 1(c) (1 +ex)sec y= 2

2

(d) y= 1

(e) (1 +y) ey = ln 1+ex

2 + 1 x

5. (a) T =100ln2

r anos

(b) aproximadamente 6.93 por 100

6. Hacia las 10:11 P.M.7. 3531

6


7/7

8. (b) Unos 15.2 gramos

10. Aproximadamente 35.35 por 100, unos 3125 por 100

11. Unos 133 das

13. 40ln2 27.72 minutos14. Antes de 36 minutos a partir de que se comience a

fumar

15. ln 5

ln 2 1 hora

16. 60o

17. 16o

18. A las 6 A.M.

19. (a) Unos 3330 anos (1380 a. de C.)

(b) Unos 3850 anos (1900 a. de C.)

(c) Unos 10510 anos

(d) Unos 7010 anos

20. v =

g

c

1 e2gct1 +e2

gct

, la velocidad terminal es

g

c

21. 2 millas

22. 256 pies; cuando t = 4, t = 8. v20/2g; cuando t =v0/g, 2v0/g

26. r= (2

t) /8; un mes mas.

27. 100

2 1 minutos28.

14R5/2

15r2

2g segundos

29. La forma superficie obtenida al hacer girary =cx4

en torno al eje y

30. 25h

Secciones 8 y 9

1. (a) y2

=x2

+Cx4

(b) y = C x2 (x+y)

(c) y = x tan

Cx3

(d) cos(y/x) + ln (Cx) = 0

(e) y = x ln

ln Cx2

(f) x2 2xy y2 =C(g) y = C x3 x(h) y

x2 +y2+x2 ln

y+

x2 +y2

3x2 ln (x)+

y2 =C x2

(i) y = C x

2

/ (1 Cx)(j) y = x3 ln(Cx3)

2. (a) tan1

y+ 5

x 1

= ln

(x 1)2 + (y+ 5)2 +C

(b) y x= 5ln (x+y 1) +C(c) ln

(y x)2 + (x 1)2

+ 2tan1

y xx 1

=

C

(d) (x+ 2y) (x

2y

4)

3=C

(e) (2x y+ 3)4 =C(x+ 1)3

Secciones 10 y 11

1. (a) xy+ ln(y2) = C

(b) 4xy x4 +y4 =C(c) xey + sen(x) cos(y) = C

(d) cos

x

y

= C o

x

y =C

(e) x2y3 +y sen(x) = C

(f) x2y4 +x sen(y) = C

(g) 3x2 + 2

x2 y3/2 =C(h) xey

2

+ csc(y) cot(x) =C

2. (a) = 1

y4, x2 y2 =C y3

(b) = 1

x, 2xy ln(x2) y2 =C

(c) = xex, x2ex sen(y) = C

(d) = x2, 4x3y2 +x4 =C

(e) = y, xy2 eyy2 2y+ 2= C(f) = ex

2/2, ex2/2

y3 +x2 2

= C

Seccion 12

1. (a) y= x4 +Cx3

(b) y= ex arctan(ex) +Cex

(c) y=

1 +x21

ln (sen(x)) +C

1 +x21

(d) y= x2ex +x2 2x+ 2 + Cex(e) y= x2 csc(x) +Ccsc(x)

(f) y= x3 +Cx2(g) xy sen(x) = sen(x) x cos(x) +C(h) y= 3x2ex

2

+Cex2

(i) y=

x3 +C

/ ln(x)(j) y= x2

1 +Ce1/x

2. (a) 1

y2 = x4 +Cx2

(b) y3 = 3sen(x) + 9x1 cos(x) 18x2 sen(x) 18x3 cos(x) +Cx3

(c) 1 +xy ln(x) = C xy

3. x= (10 t) 8104

(10 t)4, 0 t 10

4. (a) 45 libras

(b) Despues de 403

33min. 16.9 min.

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Guia1 Parcial 1 Ecuaciones Diferenciale

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