guia_de_TP 2013

U.T.N. F.R.C. Depto. de Ing. Civil Cátedra de Cálculo Avanzado

TP1. Repaso de Análisis Matemático, Álgebra y MétodosNuméricos

A) Desarrollo en series de Taylor y MacLaurin

Desarrollar las siguientes funciones en torno a los puntos indicados1) y=e2x alrededor de x = 02) y=sen x−1 alrededor de x = 0

3) y=ln 1−x2

alrededor de x = 0

4) y=arctg x2

alrededor de x = 0

5) y=ex

2 alrededor de x = 2

6) y=ln 3x2

alrededor de x = 2

7) y=cos2 x2 alrededor de x = π

8) y=sin x alrededor de x = 09) y=ln 1ex alrededor de x = 0

10) y=1x4−x

alrededor de x = 1

B) Solución analítica de ecuaciones diferenciales ordinarias

Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

11)dydx

− x y= x3 y3

12) y ' y=x2 e2 x

13) x y '2 y=52

cos2x

14) x y ' y=x e−xx 2

15) y 'yx=2e−x

16) y '3y2=2xe2 x

17) 1x2 y '4 x y= 1x2 −2

18) dsdt

cos ts sen t=0

19) y 'nx

y=a

xn1

20)dydx

−2

x1y=x1

3

21) y '2 x y=2 xe−x2

22) y'ycos x=12

sin 2x

23) y'−2y

x1=x1

3

Juan F. Weber 1

Guía de Trabajos Prácticos

24) x− x2y'−a

yx=

x1

x

25) y 'yx=

sin 2 xx

26)y− y ' cos x= y2 cos(x) 1−sin x

Encontrar la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales quesatisfaga las condiciones de borde indicadas.

27) y '−yx=3 x e−3x , y 0=

116

28) x y '2 x y=x2 e−2x , y 1/2=1

29) x y '2 y=x2−x1 , y −1=12

30) y '2x

y=sin x

x2 , y /2=0

31) x y '2 y=cos x /2

x, y

2=−1

32) x y ' 1x y=x , y ln 2=133) x3 y '4 x2 y=x ex , y −1=0

Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

34) y ' '3 y '−2 y=035) y ' '6y ' y=e2x

36) y ' '−2 y ' y=037) s ' '−a2 s=t138) y ' '−3y '=2−6x39) y ' ' y '− y=8 sen 2x40) 4 y ' '−12 y '9y=041) y ' '9 y=042) y ' '−7 y '12 y=x43) y ' '4 y=−4 y '44) y ' '−4 y '4 y=e2x

45) y ' '4 y=046) y ''2y '10 y=6sen x47) y ''−3y '8 y=048) 5y ''−15 y '9y=0

49) y ''−7y '12 y=23

x

50) y ''3y '−2y=83

sen5x

51) y ''=5x2 y

52) y ''5y=e2x−65

y '

53) 3 y ''9y=6e2x

54) y ''−3y '− y=2−6x55) 4 y ''16 y=12 sen2x

2 Juan F. Weber


C) Operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones

56) Calcule C = A - B, D = B + A, E = AB, donde:

A=−1/2 2 7

0 −1 43 0 −1 , B=

4 1 23 2 10 1 2/5

57) Calcule BtAt y (AB)t, con A y B del problema anterior. Redacte conclusiones.58) Calcule E = AB con

A=1 2 3 /20 1 −43 0 2/3 , B=

15

3 /259) Calcule D = A-E, H = E-A, F=AB, G=BC con

A=1 2/3 3 −10 1 4 23 0 2 3 , E= 2 3/9 5 /2 −1

0 −1/8 0 12 1 5 2 , B=

4 1 2−3 2/3 10 12 23 1 −1

, C= 7−41/3

¿Qué ocurre si se pretende resolver BA?

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

60) 1 2/3 −3/26 1 43 −1 −2 ⋅

x1

x2

x3= 1

123

61) 0 .1 0 . 6 −12 5 /3 1 .31 6 4 /3 ⋅

x1

x2

x3= 0

0 .1−2

62) 4 1 12 −2 −61 −5/2 3 ⋅

x1

x 2

x3=9 /2

1−2

63) 1 1 6−1/2 −2 −1

0 1 1 .6 ⋅x1

x 2

x3=1

01

Calcular las inversas de las siguientes matrices

64) A= 7 12 −3

65) B=−1/2 −4 5

2 7 28 3 1

66) C=7 1 66 1 10 −1 6

Juan F. Weber 3


67) D=5 −1 0 81 2 −1 06 −1 1 −10 0 1 5/6

D) Integrales indefinidas

Calcular las siguientes integrales indefinidas

68) ∫ x 5x3

x3 dx

69) ∫x4−5x23x−4

x21

dx

70) ∫ x3

x−2dx

71) ∫cotg (x) dx

72) ∫5 x

x41

dx

73) ∫ x arctg (x) dx

74) ∫ x Ln (x) dx

75) ∫e xcos xdx

76) ∫ x 2sin (x)dx

77) ∫sin4 (x)dx

4 Juan F. Weber


Trabajo Práctico 2Resolver las siguientes E.D.O. de primer orden por el método que le sea indicado.

1) y '= y−senx , para 0 ≤ x ≤ 1 , con y(0) = 0.52) y '=3x e− x y , para 1 ≤ x ≤ 2 , con y(1) = 13) y '=te3t

−2y , para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 04) y '=1 t− y

2 , para 2 ≤ t ≤ 3 , con y(2) = 1

5) y '=1yt

, para 1 ≤ t ≤ 2 , con y(1) = 2

6) y '=cos2tsen 2t , para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 1

7) y '=yt− y

t 2

, para 1 ≤ t ≤ 1.2 , con y(1) = 1

8) y '=sente−t , para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 0

9) y '=1t

y2 y , para 1 ≤ t ≤ 3 , con y(1) = -2

10) y '=−ty4ty

, para 0 ≤ t ≤ 1 , con y(0) = 1

11) y '=1t sen ty , para 0 ≤ t ≤ 2 , con y(0) = 0

12) dydx

=x y xy , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1

13) dydx

=x y , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1

14)dydx

=2xy

− xy , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1

15) dydx

=y2 1−

y5 , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 1

16) dydx

=yx

, para 1 ≤ x ≤ 2 , con y(1) = 1

17) dydx

=x2 y2 , para 1 ≤ x ≤ 2 , con y(1) = 0

18) dydx

=2x y−1 , para 0 ≤ x ≤ 0.5 , con y(0) = 0

19) dydx

=x3 y2 , para 0 ≤ x ≤ 1.4 , con y(0) = 0

20) dydx

=3 xy− y3 , para 0 ≤ x ≤ 1 , con y(0) = 1

Resolver los siguientes sistemas de E.D.Os. de primer orden. Aplicar el método que lesea indicado.

21)

dxdt

=xy3

2t

dydt

=xy2

1, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 0

Juan F. Weber 5


22)

dxdt

= 4t x y

dydt

=2t 3yx , para 0 ≤ t ≤ 0.5 , con x(0) = 2, y(0) = 1

23)

dxdt

=3xy− yt

dydt

=3t x− y , para 1 ≤ t ≤ 2 , con x(1) = 0, y(1) = -1

24)

dxdt

=tx−2y−1

dydt

=12 ty−x, para 1.5 ≤ t ≤ 2 , con x(1.5) = 1, y(1.5) = 2

25)

dxdt

=3t y

dydt

=2t−x, para 0 ≤ t ≤ 2 , con x(0) = 2, y(0) = 0

26)

dxdt

=−2 tx x2 y

dydt

=2txy, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 0

27)

dxdt

=sin x ty

dydt

=cos y tx, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 0

28)

dxdt

=x−ty

dydt

=ln t y x , para 2 ≤ t ≤ 3 , con x(2) = 5, y(2) = 6

29)

dxdt

=3x − yt

dydt

=2y − x−t, para 0 ≤ t ≤ 1 , con x(0) = 1, y(0) = 1

30)

dxdt

=x− y1

dydt

= y−x−1, para 0 ≤ t ≤ 0.5 , con x(0) = 1, y(0) = 1

Resolver las siguientes E.D.Os. de segundo orden con condiciones inicialestransformándolas a un sistema de E.D.Os. de primer orden. Aplicar el método que lesea indicado.

31) y ' '=9 yx , con y(0) = 1 , y’(0) = -1, para 0 ≤ x ≤ 1

6 Juan F. Weber


32) y ' ' y=3 x3 , con y(0) = 3 , y’(0) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.533) y ' '− y '=ex , con y(1) = 2 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 234) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y’(1) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.535) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y’(0.5) = 1, para 0.5 ≤ x ≤ 136) y ' '2y '10 y=sin x , con y(0) = 0.5 , y’(0) = 0.5, para 0 ≤ x ≤ 137) y ' '3y '−2y=2x x2 , con y(1) = 4 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.538) 4y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -1.2 , y’(1) = 0.5, para 1 ≤ x ≤ 239) y ' '−7y '12 y= x , con y(0.5) = 2 , y’(0.5) = 0.25, para 0.5 ≤ x ≤ 140) y ' ' y '−2y=8sin 2x , con y(0) = 0.1 , y’(0) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.541) y ' '− y=5x2 , con y(1) = 2 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 242) y ' '6y '5y=e2x , con y(0) = 1 , y’(0) = 1, para 0 ≤ x ≤ 143) y ' '9 y=6e−3x , con y(1) = 2 , y’(1) = 1, para 1 ≤ x ≤ 244) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y’(1) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.545) y ' '4y=8x3 , con y(1) = 4 , y’(1) = -8, para 1 ≤ x ≤ 246) y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y’(0.5) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.547) y ' '−2y '3y=cos 2x , con y(0) = 1 , y’(0) = 0, para 0 ≤ x ≤ 148) y' '4y=2sin 2x , con y(0) = 0 , y’(0) = 2, para 0 ≤ x ≤ 0.549) y ' '3y '4y−8x2

−x=0 , con y(1) = -1 , y’(1) = -1, para 1 ≤ x ≤ 250) −2y ' '2y=3y ' , con y(0) = 2 , y’(0) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.5

Juan F. Weber 7


Trabajo Práctico 3Resolver las siguientes E.D.Os. de segundo orden con condiciones de contorno por elmétodo de las diferencias finitas.

1) y ' '=9yx , con y(0) = 1 , y(1) = 2, para 0 ≤ x ≤ 12) y ' ' y=3x3 , con y(0) = 3 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 13) y ' '− y '=ex , con y’(1) = 0.2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 24) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.55) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y’(1) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 16) y ' '2y '10 y=sin x , con y’(0) = 0.5 , y(1) = 0.5, para 0 ≤ x ≤ 17) y ' '3 y '−2y=2xx 2 , con y(1) = 2 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.58) y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -2 , y’(2) = 5, para 1 ≤ x ≤ 29) y ' '−7y '12 y= x , con y’(0.5) = 0.2 , y(1) = 2, para 0.5 ≤ x ≤ 110) y ' ' y '−2y=8sin 2x , con y(0) = 0.1 , y(0.5) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.511) y ' '− y=5x2 , con y’(1) = 2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 212) y ' '6y '5y=e2x , con y(0) = 1 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 113) y ' '9y=6e3x , con y(1) = 2 , y(2) = 4, para 1 ≤ x ≤ 214) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y(1.5) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.515) y ' '4y=8 x3 , con y(1) = 4 , y(2) = -4, para 1 ≤ x ≤ 216) y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y’(1.5) = 1.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.517) y ' '−2y '3y=cos 2x , con y’(0) = 1 , y(1) = 0.3, para 0 ≤ x ≤ 118) y ' '4y=2sin 2x , con y(0) = 0 , y(0.5) = 0.7, para 0 ≤ x ≤ 0.519) y ' '3 y '4 y−8x2

−x=0 , con y(1) = -1 , y(2) = 3, para 1 ≤ x ≤ 220) −2y ' '2y=3y ' , con y(0) = 2 , y(0.5) = 1, para 0 ≤ x ≤ 0.5

Resolver las siguientes EDOs con condiciones de contorno por los métodos deColocación o Galerkin, según se le indique, con dos términos.

21) y ' '=9yx , con y(0) = 1 , y(1) = 2, para 0 ≤ x ≤ 122) y ' ' y=3x3 , con y(0) = 3 , y(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 123) y ' '− y '=2x , con y(1) = 0.2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 224) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.525) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y(1) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 126) y ' '2y '10 y=4x , con y(0) = 0.5 , y(1) = -0.5, para 0 ≤ x ≤ 127) y ' '3 y '−2 y=2 x x2 , con y(1) = 2 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.528) 4 y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -2 , y(2) = 5, para 1 ≤ x ≤ 229) y ' '−7y '12 y= x , con y(0.5) = 0.2 , y(1) = 2, para 0.5 ≤ x ≤ 130) y ' ' y '−2y=3−2x , con y(0) = 0.1 , y(0.5) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.531) y ' '− y=5x2 , con y(1) = 2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 232) y ' '6y '5y= x x−1 , con y(0) = 1 , y(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 133) y ' '9y=6 ln x , con y(1) = 2 , y(2) = 4, para 1 ≤ x ≤ 234) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y(1.5) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.535) 2y ' '4y=8x3 , con y(1) = 4 , y(2) = -4, para 1 ≤ x ≤ 236) 3 y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y(1.5) = 1.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.537) y ' '−2y '3y=3x2 , con y(0) = 1 , y(1) = 0.3, para 0 ≤ x ≤ 1

8 Juan F. Weber


38) y ' '4y= x−1 x , con y(0) = 0 , y(0.5) = 0.7, para 0 ≤ x ≤ 0.539) y ' '3 y '4 y−8 x2


Resolver las siguientes EDOs con condiciones de contorno por el método de loselementos finitos y verifique los resultados con FlexPDE.

41) y ' '=9yx , con y(0) = 1 , y(1) = 2, para 0 ≤ x ≤ 142) y ' ' y=3x3 , con y(0) = 3 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 143) y ' '− y '=ex , con y’(1) = 0.2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 244) y ' '12 y=7y ' , con y(1) = -1 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.545) y ' '−4y '4y= x , con y(0.5) = 0 , y’(1) = 0.5, para 0.5 ≤ x ≤ 146) y ' '2y '10 y=sin x , con y’(0) = 0.5 , y(1) = 0.5, para 0 ≤ x ≤ 147) y ' '3 y '−2 y=2 x x2 , con y(1) = 2 , y(1.5) = 1, para 1 ≤ x ≤ 1.548) 4y ' '−12 y '9y=2−6x , con y(1) = -2 , y’(2) = 5, para 1 ≤ x ≤ 249) y ' '−7y '12 y= x , con y’(0.5) = 0.2 , y(1) = 2, para 0.5 ≤ x ≤ 150) y ' ' y '−2y=8sin 2x , con y(0) = 0.1 , y(0.5) = -0.2, para 0 ≤ x ≤ 0.551) y ' '− y=5x2 , con y’(1) = 2 , y(2) = 1, para 1 ≤ x ≤ 252) y ' '6y '5y=2x , con y(0) = 1 , y’(1) = 1, para 0 ≤ x ≤ 153) y ' '9y=6 x2

−2x , con y(1) = 2 , y(2) = 4, para 1 ≤ x ≤ 254) y ' '−3y '=2−6x , con y(1) = -1 , y(1.5) = 0, para 1 ≤ x ≤ 1.555) 2 y ' '4 y=8 x3 , con y(1) = 4 , y(2) = -4, para 1 ≤ x ≤ 256) 3y ' '− y '=6y x , con y(0.5) = 2 , y’(1.5) = 1.5, para 0.5 ≤ x ≤ 1.557) y ''−2y '3y=cos 2x , con y’(0) = 1 , y(1) = 0.3, para 0 ≤ x ≤ 158) y ' '4y=2sin 2x , con y(0) = 0 , y(0.5) = 0.7, para 0 ≤ x ≤ 0.559) y ' '3y '4y−8 x2


Juan F. Weber 9


Trabajo Práctico 4Aproximar las siguientes funciones, en el periodo indicado, en series de Fourier.Representar gráficamente la función dada y sus aproximaciones por Fourier paradistinto número de términos.

1) y=3x2 (0 ; 4)2) y=2x−1 (-1 ; 1)3) y=x x−2 (-π ; π)4) y=e x (0 ; 2π)5) y=∣2− x∣ (-1 ; 1)6) y= x−1 x−2 (1 ; 2)7) y=−3x1 (0 ; 5)8) y=x3 (-3 ; 3)

9) y=x2

2(0 ; 2)

10) y=3x x−1 (-1 ; 2)11) y=3−x2 (0 ; 3)12) y=2∣x−1∣ (-2 ; 2)

13) y=x31 (0 ; 1)

14) y=2x−∣x∣ (-1 ; 1)15) y=x∣x∣ (-2 ; 2)16) y=∣2− x∣ x1 (-π ; π)

17) y=32

x1 (1 ; 4)

18) y=∣x∣2x (-1 ; 3)19) y=−3x2 (0 ; 6)20) y=x x1 (-2 ; 0)21) y=∣x−1∣ (-3 ; 1)22) y=2x−∣x∣ (-1 ; 3)23) y=x 2

−1 (2 ; 4)24) y=−∣x∣ (-2 ; 1)25) y=∣2x∣−x (-1 ; 3)

10 Juan F. Weber


Trabajo Práctico 5Resolver las siguientes EDPs por el método de separación de variables.

1)u tt=4uxx , 0≤ x≤2 , u 0, t =0 , u 2, t =0

u x ,0 ={ x , 0≤x≤12−x , 1≤x≤2

, u t x ,0 =1

2)u tt=2u xx , 0≤x≤4 , u 0,t =0 , u 4, t =0 ,

u x ,0 =x 4−x

16, ut x ,0 =0

3) u tt=3u xx , 0≤x≤1 , u x 0, t =0 , u 1,t =1 , u x ,0 =x , u t x ,0 =−1

4) u t=100u xx , 0≤x≤1 , u 0, t =0 , u 1, t =0 , u x ,0 =sin 2πx−2sin 5πx

5) u xx=4u t , 0≤x≤2 , u 0, t =0 , u 2, t =0 , u x ,0 =2sinπx2

−sin πx4sin 2πx

6) Considere la conducción del calor en una varilla de cobre (α2=1.14 cm2/s) de100 cm de longitud cuyos extremos se mantienen a 0°C. Hallar u(x,t) si ladistribución inicial de temperaturas en la varilla se expresa por

u x ,0 ={ x , 0≤x50100−x , 50≤x≤100

7) Considere la conducción del calor en una varilla de cobre (α2=1.14 cm2/s) de100 cm de longitud cuyos extremos se mantienen a 0°C. Hallar u(x,t) si ladistribución inicial de temperaturas en la varilla se expresa por

u x ,0 ={0, 0≤ x25

50 , 25≤x≤750, 75 x≤100

8) u t=2u xx , 0≤x≤1 , u 0,t =0 , u x 1, t =0 , u x ,0 =x x−1

9) u t=3u xx , 0≤x≤1 , u 0, t =1 , u 1, t =2 , u x ,0 =1 x2

10) u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=0 , u0, y = y y−1 , u 1, y =0

11) u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤2 ,

u x ,0=x , u x ,2=0 , u 0, y =0 , u 1, y= y 21

12) u xxu yy=0 , 0≤ x≤3 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=0 , u x ,2=0 , u0, y =0 , ux 3, y= y y−2

13) u xxu yy=0 , 0≤ x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0

14) u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u y x ,1=x , u 0, y=0 , u x1, y =2y

Resolver las siguientes EDPs por el método de la separación de variables.15) u xy−u=0

16) u xx−u yy−2u y=017) u xx−u yy2ux−2uyu=0

18) t2u tt−x 2uxx=0

19) u xx− y2 uyy− yu y=020) u xx−u yy−u y=021) u tt−uxx−u=0 , 0≤x≤1 , t0 , u 0, t =u1, t=0 , u t x ,0=022) u tt2ut−4uxxu=0 , 0≤x≤1 , t0 , ux 0, t =u 1, t=0 , u x ,0=0

Juan F. Weber 11


23) u xxu yyuy−u=0 , a≤ x≤b , 0 y1 , u a , y =u b , y =u x ,0=024) u t− t2 u xx−u=0 , 0≤ x≤2 , t0 , u0, t =u 1,t =025) u t−uxx−2ux=0 , 1≤ x≤2 , t0 , u 1, t =u 2,t =026) u tt− x2u xx=0 , 1≤x≤2 , t0 , u x ,0=u 1, t =u 2, t=0

27) u tt−x2

t12 uxx=0 , 1≤x≤2 , t0 , u x ,0=u 1,t =u 2, t =0

12 Juan F. Weber


Trabajo Práctico 6Resolver las siguientes EDPs elípticas por el método de las diferencias finitas yverifique los resultados con FlexPDE.

1)u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=0 , u0, y = y y−1 , u 1, y =0

2)2u xxu yy=4 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=0 , u x ,2=0 , u 0, y =0 , u 1, y =0

3)u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤2 ,

u x ,0=x , u x ,2=0 , u 0, y =0 , u 1, y=4− y2

4

4)u xxu yy=2 x y , 0≤x≤3 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=1 , u x ,2=−1 , u 0, y =1− y , u x 3, y = y 2− y

5)u xxu yy=0 , 0≤ x≤3 , 0≤ y≤2 ,u x ,0=0 , u x ,2=0 , u0, y =0 , ux 3, y= y y−2

6)u xx3u yy=0 , 0≤ x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0

7)u xxu yy=0 , 0≤ x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 1, y =0

8)2u xxu yy=4 x , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0

9)u xxu yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u y x ,1=x , u 0, y=0 , u x1, y =2 y

10) u xxu yy=uy , 0≤x≤1 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u y x ,1=x , u 0, y=0 , u x1, y =2 y

11) u xxx u yy=0 , 0≤ x≤1 , 0≤ y≤1 ,

u x ,0=0 , u x ,1=2 , u0, y =2 y , u 1, y=4 y y−12

12) u xx2u yy=uxu y , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,

u x ,0=u x ,1= x x−2 , u x 0, y =−8 y−12

2

, u 2, y=0

13) u xxu yy=u , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0

14) 2u xxu yy=ux2u , 0≤x≤2 , 0≤ y≤1 ,u x ,0=0 , u x ,1=2−x , u x 0, y =− y , u 2, y=0

15) u xxu xyu yy=1 , 0≤x≤1 , 0≤ y≤1 ,

u x ,0=0 , u x ,1=1 , u 0, y= y , u1, y= y2

Resolver la ecuación del calor u t=uxx en el dominio indicado, para las condiciones deborde e iniciales indicadas, por el métodos explícito o de Crank-Nicolson según le seaindicado y verifique los resultados con FlexPDE.

16) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0= x x−1 , u0, t =u1, t =017) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , u0,t =0 , u 1,t =118) 0≤x≤2 , 0≤t≤0.5 , ux ,0=x , u 0, t =u 2, t =019) 0≤x≤2 , 0≤t≤0.5 , ux ,0=0 , u x0,t =0 , u 2, t =1

Juan F. Weber 13


20) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=1 , u 0, t =2 , ux 1,t =−121) 0≤x≤2 , 0≤t≤0.5 , ux ,0=x−1

2 , u x0,t =0 , ux 2,t =122) 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=1−x , ux 0, t =0 , u1, t =1

Resolver las siguientes EDPs parabólicas en el dominio indicado, para las condicionesde borde e iniciales indicadas, por el métodos explícito o de Crank-Nicolson, según sele indique y verifique los resultados con FlexPDE.

23) uxxux=u t , 0≤ x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=x x−1 , u 0, t =u1, t=024) 3uxx=u−2ut , 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , u 0, t =u 1,t =1

25) uxx−uxu−u t=0 , 0≤ x≤2 , 0≤t≤0.5u x ,0= x−2 , ux 0,t =0 , u 2, t =1

26) 2u xx=3ut−ux , 0≤ x≤2 , 0≤t≤0.5

u x ,0 =x−12−1 , ux 0, t =0 , u2,t =−0.5

27) u t= xu−3uxx , 0≤ x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , u 0, t =1 , u 1, t =028) uxx= x u−2ut , 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5 , u x ,0=0 , ux 0, t =0 , u1, t =1

29) uxxu x= xu t , 0≤x≤1 , 0≤t≤0.5

u x ,0 = x x−1 , u0, t =0 , ux 1, t =0

Resolver las siguientes EDPs hiperbólicas por los métodos explícito o implícito, en eldominio indicado según se le indique y verifique los resultados con FlexPDE.

30) 2u t−ux=1 , 0≤ x≤1 , u 0,t =cos3t , ux ,0=1−x 1x

31) x ut−t ux=2 , 0≤x≤1 , u 0, t =1 , u x ,0 =x132) u tux=tx , 0≤ x≤1 , u 0, t =0 , u x ,0=sin x33) 3ut2t ux=x , 0≤ x≤1 , u 0,t =2−t , ux ,0=2 1−x

34) uxx−3utt=1 , 0≤x≤2 , 0≤t≤1u x ,0 = x−1 , ut x ,0=x , u0,t =t−1 , u2,t =1−t

35) uxx− x utt=−t , 0≤x≤1 , 0≤t≤1u x ,0 =1−cos x , ut x ,0=1 , u 0, t =0 , u2,t =2−t

36) 2t uxx−x utt=t−x , 0≤ x≤1 , 0≤t≤1

u x ,0 = x−12

, ut x ,0=1−x , u 0,t =t−12

, u2,t =121−t

37) uxx− x utt=u−ux , 0≤x≤2 , 0≤t≤1

u x ,0 = x , ut x ,0=−x , u 0, t =t 2 , u1, t =1−t

14 Juan F. Weber

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