f9S~~Escuela de Economía

Departamento de Métodos CuantitativosCátedra de Matemática

Matemática 11

MÉTODO PARA EL CALCULO DE EXTREMOS LIBRESCASO PARTICULAR: FUNCIONES REALES DE TRES

VARIABLES

1. Definir la función objetivo: f: H e 9\3 -} 9\ 1\ f(x,y,z) = w

2. Verificar la condición necesaria:

• Calcular todas las derivadas parciales de primer orden de f:fx (x,y,z); fy (x,y,z); fz (x,y,z)

1& Calcular los candidatos a extremos, esto es, los puntos (xo,Yo,zo) E Dfque:

o Establecen la inexistencia de alguna de las derivadas parciales de f.o Anular! todas las derivadas parciales de f, es decir, que son solución del

siguiente sistema de ecuaciones:

{X (x,y,z) = O

fy (x,y,z) = Ofz (x,y,z) = O

3. Verificar la condición suficiente:

• Calcular todas las derivadas parciales de segundo orden de f.• Definir la matriz hessiana como sigue:

fxx

H(x,y,z) = fyx

fzx

1& Evaluar la matriz hessiana en cada candidato a extremo hallado en el

paso 2, es decir, H (xo,Yo,zo)• Calcular todos los menores principales de H (xo,Yo,zo): det(H¡),det(H2), det(H3).

• Se determina el signo de los menores principales y:

../ Si det(H¡) < 0, Si det(H2) > ° y det(H3) < ° entonces en (xo,Yo,zo), lafunción f alcanza un valor máximo relativo .

../ Si det(H¡) > 0, Si det(H2) > ° y det(H3) >0 entonces en (xo,Yo,zo) lafunción f alcanza un valor mínimo relativo .

.,/ Si ninguna de las condiciones anteriores se satisface, no se puede afirmarnada acerca de la naturaleza de dicho punto.

4. Hallar cada uno de los puntos extremos clasificados anteriormente:• Hallar el valor máximo o mínimo de la función, es decir, f (xo,Yo,zo).• Determinar el punto extremo (xo,Yo,Zo,f(xo,Yo,zo) ).

EXTREMOS CONDICIONADOS: EL MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Sea la función f: H e 9\D ~ 9\ /\ (Xt,X2, ... ,Xn) = Y tal que las variables Xt,X2, ... ,Xn seencuentran sometidas a la condición dada por la ecuación: g (X¡,X2, ... ,Xn) = O.Parahallar los extremos condicionados se p....oceüe así:

1. Definir la función Lagrangiana L de la siguiente manera:L(Xt,X2, ... ,Xn,A) = f(Xt,X2,~ .. ,Xn) + A g(X¡,X2, ... ,Xn)

2. Calcular los candidatos a extremos condicionados, los cuales son puntos(abaZ, ...an) del dominio de f que son solución del siguiente sistema deecuaciones:

(Xl,X2, ,Xn,A) = OLx (Xl,xZ, ,xn,A) = OLx (Xl,xZ, ,xn,A) = O

LA (Xl,xZ, ,xn,A) = O

3. Definir la matriz hessiana condicionada como sigue:

gl gzLl1 L12LZI Lzz

4. Para cada candidato a extremo condicionado (al, az,...an) hallado en el paso 2,evaluar la matriz hessiana condicionada: He (al, aZ,...an).

5. Calcular todos los menores principales condicionados de la matriz hessianaevaluada, a partir del que tiene orden 3x3:det(H3c) ,det(H4e) ,det(Hse) ,.... ,det(Hne)

6. Se determina el signo de los menores principales condicionados y:Si det(H3c) > O A det(~c) < OA det(H5c) > O .....~ en (al.a2,... an) f alcanza un valor máximocond.

Si det(H3c) < OA det(H4c) < O A det(H5c)< O ..... ~ en (al.a2,... an) f alcanza un valor minimocond.

Es decir, si todos los menores principales de la matriz hessiana condicionada, a partir del orden3x3, alternan de signo, siendo los impares positivos y los pares negativos, entonces en (al.a2....an) la función f alcanza un valor máximo local condicionado. Pero si todos estos menoresprincipales condicionados son negativos, entonces en (al. a2....an) la función f alcanza un valormínimo local condicionado. En caso de que no se cumplan ninguna de estas condiciones, no sepuede afirmar nada sobre los puntos. Para determinar su naturaleza, deberá hacerse un estudioespecial en una vecindad del punto.

EL MÉTODO DE LOS MmLTWUCADORES DELAGRANGECASO PARTICULAR: FUNCIONES REALES DE TRES VARIABLES

Sea la función f : H e9\3 ~ 9\ /\ f(x,y,z) = w tal que las variables "x", "y" y"z" seencuentran sometidas a la condición dada por la ecuación: g(x,y,z) = O. Para hallar,los extremos condicionados se procede así:

1. Definir la función Lagrangiana L de la siguiente manera:

L(X,y,z,A) = f(x,y,z) + Iv g(x,y,z)

2. Calcular los candidatos a extremos condicionados, los cuales son puntos(xo,Yo,zo)del dominio de f que son solución del siguiente sistema deecuaciones:

Lx (x,Ysz~Iv) = OLy (x,y,z, A) = O

Lz (x,y,z, A) = O

LA (x,y,z, A) = O

3. Definir la matriz hessiana condicionada como sigue:

Ogxgygzgx

LxxLxyLxzHe=

gyLyxLyyLyzgz

LzxLzyLzz

4. Para cada candidato a extremo condicionado (xo,Yo,zo) hallado en el paso 2,evaluar la matriz hessiana condicionada: He(xo,Yo,zo)

5. Calcular los menores principales de He(xo,Yo, zo) : det(H3c) y det(Rtc)'

6. Se determina el signo de los Inenores principales condicionados y :

Si det(H3c) > OY det(ILe) < O=> en (xo,Yo,zo) f alcanza un valor máximocondicionado

Si det(H3c) < OY det(Rtc) < O => en (xo,Yo,zo) f alcanza un valor mínimocondicionado

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Matemática 11

" TERCE~~M~ PARCIALDE MATEMÁTIc.!' II , 'ALUMNO (A): 'j Jio"t! ~~h'lL C.I.: S V'S+.,(USECCI¿'N: TUR~O:L FECHA: 12 DE DICIEMBRE DE 2007

(-1X -'1 ) -\-Á (x "2 -\ 12 - '5~PREGUNTA N° 4:

Sea la función f(x, y)= -~x- y sujeta a la restricción definida por la ecuacióh

2 tJ_ -1. ~ Á.'L~ r -1-2.'1.g(x,y)==x2+y2-5=O +,,~ '2. +1~ i

4.1. Demuestra, analíticamente, que la curva de niV~1 de la función f asociada ~

k=-% es.tangentea lagráficade!l__:"_:'J:unt8que la cu~~~":el dt

la función f asociada a k == % es tangente a la gráfica de g en el punto~ -1,-2). ') !

.~. • '. ---··(-2,,'ptas.)

4.2. Representa gráficamente en el plano xy, las curvas de nivel para k = -~ y2

k ==~ de la función f. En ese mismo plano dibuja la restricción dada2

g(x, y) = x2 + y2 - 5 = O. Identifica cada una de las gráficas obtenidas y los puntos de

tangencia. (2 ptos.)

4.3. Utilizando la representación de la situación planteada e;n los ítems anteriores"explique si f alcanza extremos condicionados en los puntos P(l,2) y Q(-l,-2). Encaso de que la respuesta sea afirmativa, diga qué tipo de extremo es cada punto.Halle el valor máximo o mínimo, según sea el caso. (2 ptas.)

\JJ -;; -1 ~ (tI 1PREGUNTA N° 1:'x L;;:~ f'{

Sea w = x f(.t) con t =- . 1 -1.-Y _7'- I

1.1. Demuestra que si Ew,x representa la elasticidad parcial de w con respecto a lavariable a x y Ew,y representa la elasticidad parcial de w con respecto a la variablea y entonces Ew,x +Ew,y = 1. (3 ptas,)

1.2. Calcula el valor de Ew,x en el punto (2,1), suponga que f(t) = et • Interpreta el

resultado del obtenido en términos del cambio de las variables. (2 ptas.) , ,1..¡. -1 '

L( 51:; Lh- '\ 1;" ,.:?~ fA :t 1<? . ~-PREGUNTA N° 2: • ;) ()"" "-''; ,\ I

La función de costos e de una determinada empresa depende de la cantidad , :\ +- ,:,

invertida de capital 1<(en miles de dólares) y del número de empleados L (en miles UJ~~_\de empleados) de manera tal que e+.fE -15 = L-J9 + K2 determina la elasticidad ()

de e con respecto a _~_:i_.seinvierten 4 mil dólares y contratan mil empleados. ? ()L/OO 1- 2 O ~ ú-= ¿ ~.n:z.{ /!.:.. (.),'fI/~~ t¡ Wf/Q (000) (4 ptas.) ~O .

L{ ;t~_( :: L. ~-~~~1l e I coa. OtlO L ~ 1~ 4'00PREGUNTA N0 3: L.::; mI.

La ecuación _1 +lz+(x-2f+y=o define a z como una función implícita de x e4'

1Y tal que z=f(x,y). Se sabe que P(2,-I)ED, y que f(2,-I)=.,-. Demuestra,

, 2 "

utilizando la condición necesaria para el cálculo de puntos extremos, que el puntoP(2.-!) es un punto crítico de primer orden. (5 ptas.)

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA SEMANA DEL 19-05-2008 AL 23-05-2008

Elasticidad de una función para una y varias variables.

EJERCICIO Nº 1

Sea y= f(x) una función real de variable real.

A) Si 9 Y h son funciones reales tales que f(x)= g(x) . h(x), demuestra que la

elasticidad puntual de f se puede expresar en términos de las elasticidades

puntuales de 9 y h de la siguiente manera: Ef = Eg + Eh•

B) Sea la función y= f(x) = Xae b(x+e) con a y b constantes reales positivas.

Utiliza el resultado obtenido en el item (A) para demostrar que la elasticidad

puntual de f en cualquier punto de su dominio es una función lineal

~creciente.

(\ :::::.

EJERCICIO Nº 2

b:lf~

[~

(1 +Pytlln(1:" Py)

Dada la función de demanda X = f(Px' Py,1) = (1 + Py)1-1 - Px

A)

B)

Calcula la elasticidad parcial de la d~manda del bien X con respecto al1

ingreso 1. Suponga que Px = 2 ;Py = 2; I =1. Interpreta el resultadoobtenido en términos del cambio de las variables.

Utilizando el resultado del item (A) calcúla el nivel que alcanza la demandade X si el ingreso aumenta en 10% permaneciendo constantes las otrasvariables.

1-/ 4\

()