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IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011

TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1

GUIÓN DEL TEMA

1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.

2. Expresión algebraica.

3. Valor numérico de una expresión algebraica.

4. Monomios.

5. Grado de un monomio.

6. Monomios semejantes.

7. Suma y resta de monomios.

8. Multiplicación de monomios.

9. Potencia de un monomio.

10. División de monomios.

11. Polinomios.

12. Suma y resta de polinomios.

13. Producto de polinomios.

14. Sacar factor común.

15. Igualdades notables:

15.1. Cuadrado de una suma.

15.2. Cuadrado de una diferencia.

15.3. Producto de una suma por una diferencia.

16. Descomposición factorial.

17. Simplificación de fracciones algebraicas.




1. LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRÁICO. El lenguaje en el que sólo intervienen números y signos de operaciones se denomina

lenguaje numérico.

Ejemplos:

Lenguaje usual Lenguaje numérico

Catorce dividido entre siete 14 : 7

Dos elevado al cuadrado 22

El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama

lenguaje algebraico.

Ejemplos:

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

La suma de dos números a + b

Un número menos tres unidades x – 3

1. Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda. Lenguaje usual Lenguaje numérico

La suma de once más nueve es veinte

Cien dividido entre veinte

La cuarta parte de veinte es cinco

Dos elevado al cubo es ocho

32: 8

3 . 4

2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico. La mitad de un número (m + n)

2

El triple de un número menos cinco n - 1

El anterior a un número entero 2 · (a + b + c)

El posterior a un número entero x + 1

El cuadrado de la suma de dos números 2

m

El doble de la suma de tres números 3·b - 5

2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las

operaciones aritméticas. Las letras reciben el nombre de indeterminadas y representan

números cualesquiera.

Ejemplos:

Expresión escrita Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos x + y - 2

El triple de un número menos cinco 3 · x - 5

El cuadrado de un número más uno x2 + 1




1. Escribe estos enunciados como expresión algebraica. El doble de un número b.

El doble de la suma de dos números m y n.

El cuadrado de un número x más 4 unidades.

El producto de tres números a, b y c.

El doble de un número x más tres unidades.

2. Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica. El doble de un número más dos unidades. x - 5

Un número disminuido en cinco unidades. 3

x

La tercera parte de un número. 2x + 2

El cubo de un número. x + 10

El doble de un número. 2 x

Un número aumentado en diez unidades. x3

La diferencia de dos números. x + 1

El número siguiente a un número entero. x – y

3. Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.

EXPRESIÓN LENGUAJE

ALGEBRAICO

Los años que tenía el año pasado

Los años que tendrá dentro de un año

La edad que tenía hace 5 años

La edad que tendrá dentro de 5 años

Los años que faltan para que cumpla 70 años

3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las

letras por números y realizar las operaciones que se indican.

Ejemplos:

Hallamos el valor numérico de la expresión 3x + 2 para x = 4.

Sustituimos x por 4 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones:

x = 4 3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14

El valor numérico de 3x + 2, para x = 4, es 14.

1. Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para:

Valor Sustituir Operación Valor numérico

x = 0 2 · 0 + 1 0 + 1 1

x = 2

x = -1

x = -2




2. Calcula el valor de estas expresiones para los valores que se indican:

4. MONOMIOS.

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los

números se les llama coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

Ejemplos:

Monomio 3x -5ab -5x3 -7abx

2

Coeficiente 3 -5 -5 -7

Parte literal x ab x3

abx2

1. Completa las tablas.

Monomio Coeficiente Parte literal

x

- 3xy

- x3

- 5xy2

yx2

3

1

5. GRADO DE UN MONOMIO. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte

literal.

Ejemplos:

El grado del monomio 6 x2 es 2.

El grado del monomio – 3 x4 y

3 es 7.

1. Calcula el grado de los siguientes monomios:

a) – 5 x2 b) 7 x

2y c) ba5

3

2

d) z.x2 e) – y x f) – x

2. Completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

-6 x

- 2 a4b

yzx

8 ab4c

9

- 7 mn

8 y7z

5

Valores x + y 2 x – 3 y (x + y)2

x = 1 y = 0 1 + 0 = 1

x = - 1 y = 2

x = 1 y = - 2

x = - 2 y = 3

x = - 1 y = - 1

Monomio Coeficiente Parte literal

ba2

3

2

- 2xyz

- 3 b2c

6 x2y

2

7

5xyz




6. MONOMIOS SEMEJANTES. Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplos: 6 x y –9 x son monomios semejantes por tener la misma parte literal.

- 3 x3 y 8 x

3 son monomios semejantes.

5 xy2 y - x

2y no son semejantes.

1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado: – 5 y – 4 y

5z

4

– mn dc2

3

2

– 6yx4 8 xy

7. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS.

La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la

misma parte literal.

Ejemplos:

2x + 3x + 5x = 10 x 3 x3-7 x

3+5 x

3- 4 x

3 = - 3 x

3

2x + 5y .... La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes.

1. Realiza las siguientes operaciones.

m + m + m + m = 8 a – 3 a – a = 2 x2 + x2 + x2 = - 6 x5 – 2 x5 = 6 ab – ab – 3 ab = u – 2 u + 5 u =

2. Completa con monomios semejantes y calcula. 2x + ........ + .......... = .......... ............ + 6 p + ............. = ........... 3 x3+ ........... = ............ .............. + 2 ab + ............ = ...........

3. Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula. 9 x - .......... = .............. ................ – x5 = ......... 8 df - ........... = ............ ................. – 7 m2n = ............

4. Reduce las siguientes expresiones.

mn – mn + 7 mn + 5 mn – 3 mn 5 x6 – 2 x6 + 3 x6 – x6 = 5ab3 – 3 ab + 7 ab3 – ab + 8 ab = – 8 xy – 4 xy + 3 xy + 5 x – 9 y + 3 x =




8. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los

coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

Ejemplos: 3x · 2x = 6x

2 4x · (-5 x

3)= - 20 x

4

1. Realiza estas multiplicaciones. 5 m · 3 m = - 3 d · (- 6 d) = a · a2 =

6 c2 · 6 c2 = 4 x2 · (- 5 x2) = 2

8

3

3

2rr =

2. Calcula y reduce. 3 (2x + 9) = 3 ( 2x + 4x2) = 3m ( 5m2 – 3m) = (6 – cd + cd2) · 2c = 4 (x4 + 4x3) – 6 x3 = - 3x (x3 – 2x + 4) – 12 x = - x4 (- 6x + 9 – 6 x2 – 11 x) =

24 233

1xxxxx

9. POTENCIA DE UN MONOMIO.

Para elevar un monomio a una potencia se eleva cada factor (el coeficiente y la parte literal) a

dicha potencia.

Ejemplos: (3 x3)

4=(3 x

3). (3 x

3). (3 x

3). (3 x

3) =3

4(x

3)4 = 81 x

12

1. Calcula.

(3x4)4 =

3

3

3

2x

(x3)6 =

2

8

4

3x

(-5x6)3 =

7

4

2

1x

(- 4x5)4 =

3

5

2x

10. DIVISIÓN DE MONOMIOS.

El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los

coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.

Ejemplos: 6x : 2x = x

x

2

6= 3 10x

3 : (-5x) = -2 x

2

1. Resuelve estas divisiones entre monomios. 8 x3 : 2 x = a8 : a3 = -12 x5: -12 x4 = - 16 y5 : - 8 y2 = 20 m6 : 4 m3 = - 20 z7 : 10 z5 =




2. Efectúa las siguientes operaciones. (12 x5 : 3 x3) + x = (6 x7 : 2 x5) – (3 x6 : x4) = (8 m2n : 4 mn) + mn = 3p (p + 1) – (4 p2 : p) = (12 c3d2 : 3 c2d )- d = 3(4 xy2 : 2 xy) – 2y = 2x [(- 2y2x3) : (- x2y)] + x (x – 1) =

11. POLINOMIOS.

Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes.

Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio.

A los términos que no tienen parte literal se les denominan términos independientes.

El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.

Ejemplos: 3 x

4 – 6 x

3 + 5 x

2 – 7 x – 1 es un polinomio ordenado, completo de grado 4º.

- 8 x5 – 9 x

7 + 4 es un polinomio de grado 7º. Su término independiente es 4.

1. Completa esta tabla. Polinomio Términos Término

independiente Grado del polinomio

3 x4 + 4 x2 – 1

3 mn – 5 mx2n 7 x – 8

3 ab – 2ª y3-4 y2 – y + 9 3 ab + 5 ab6

13

2 2 yx

2. Escribe un polinomio de grado 3 con dos términos y otro de grado 4 con 5 términos.

3. Indica el grado de los siguientes polinomios. - x + 3 x2 3 m5 – m c2d - 3 c - 5 m4 – m3 – 8

4. Halla el valor numérico del polinomio 3x3 – 2x2 + x - 3 para los valores que se indican. Valor de la indeterminada Valor numérico del polinomio

x = 0 x = 2

x = - 3

12. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. Para sumar polinomios se suman los monomios semejantes de ambos polinomios.

Para restar polinomios, se suma al polinomio primero el opuesto del segundo.

Ejemplos: A(x) = 2x

2 + 3x – 5 B(x) = x

3 – 7x + 6x

2 – 9

A(x) + B(x) = x3 + 8x

2 – 4x – 14 A(x) – B(x) = - x

3 - 4x

2 + 10x + 4




1. Dados los polinomios A(x ) = 6 x3 – 4 x2 + 5 y B(x) = - 7 x2 – 5 x + 3, calcula: a) A(x) + B(x) b) A(x) – B(x) B(x) – A(x)

a) (6 x3 – 4 x2 + 5) + (- 7 x2 – 5 x + 3) =

2. Dados los polinomios A(x ) = 6 x4 – 3 x3 + 7x – 1 , B(x) = - 3 x2 + 7 x – 6 y C(x) = - x4 + 3x2 – 2 x, calcula:

a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) + B(x) - C(x) c) A(x) - B(x) - C(x) 3. Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.

P (x) = 4 x3 + 4 x2 – 8 x3 – 3 x2 + 8 x – 2 x3 – 7 + 3 x – 2= Q (x) = 5 x5 + 7 x3 – 7 x4 – 7 x3 + 3 x – 5 x5 – 6 + 2 x4 – 4 = R (x) = -7 x4 + 5 x3 – 6 x2 – 6 x3 + 8 x4 – 8 x2 – 8 + x – 6 =

4. Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula. a) P (x) + Q (x) b)Q (x) + R (x) c) Q (x) – R (x) d)P (x) – Q (x)




13. PRODUCTO DE POLINOMIOS. Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer

polinomio por cada monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios

semejantes.

Ejemplos:

A(x) = x3 – 7x + 6x

2 – 9

B(x) = 2x2 – 4x + 5

A(x) . 3x2 = (x

3 – 7x + 6x

2 – 9) · 3x

2 = 3x5 – 21x3 + 18x4 – 27x2

A(x) . B(x) = (x

3 – 7x + 6x

2 – 9) · (2x

2 – 4x + 5) = 2x

5 – 4x

4 + 5x

3 – 14x

3+ 28x

2 – 35x + 12x

4

– 24x3 +30x

2 – 18x

2 + 36x – 45 = 2x5 + 8x4 - 33x3 + 40x2 + x - 45

1. Dados los polinomios A(x ) = 3 x2 – 3x + 6 y B(x) = 2 x2 – 3, calcula: a) A (x) · B (x) b) B (x) · 3x c) A (x) · x d) B (x) · ( - 3x) a) (3 x2 – 3x + 6) · (2 x2 – 3) =

14. SACAR FACTOR COMÚN. Una aplicación de la propiedad distributiva es “sacar factor común”. Esta operación consiste

en extraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos.

Ejemplos:

Expresión Factor común Sacar factor común

5x + 5y 5 5 (x + y)

7x2 – 3x x x (7x – 3)

3x2 – 12x + 15 x

3 3x 3x (x – 4 + 5x

2)

1. Extrae factor común en las siguientes expresiones. 3 m + 4 m = 16 y4 – 8 y2 + 4 y = 12 a2 – 3 a2 + 9 a2 = 2 b + 4 b + 8 = 6 m2n + 4 mn2 = 10 ab2 – 2 ab + 10 a2b =

2. Simplifica las siguientes fracciones, sacando factor común en el numerador y en el denominador.

nm

nmc

sr

srb

b

bba

3

33

23

24

3

)

3

6)

5

1010)




22

322

32

3

)

96

64)

8

12)

ba

babaf

mm

me

k

kd

15. IGUALDADES NOTABLES.

Llamamos igualdades notables a ciertas igualdades cuyo desarrollo y aplicación resultan muy útiles

para abreviar cálculos con expresiones algebraicas.

Cuadrado de una suma. El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble

del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a

2 + ab + ba + b

2 = a

2 + 2ab + b

2

(a + b)

2 = a

2 + 2ab + b

2

Ejemplos:

(2x + 3)2 = (2x)

2+2·2x·3 + 3

2 = 4x

2 + 12x + 9

(5x2 + 2y)

2 = (5x

2)

2+ 2·(5x

2)·2y + (2y)

2 = 25x

4 + 20x

2y + 4y

2

Cuadrado de una diferencia. El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el

doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = (a - b) · (a - b) = a

2 - ab - ba + b

2 = a

2 - 2ab + b

2

(a – b)2 = a

2 – 2ab + b

2

Ejemplos:

(2x - 3)2 = (2x)

2 – 2·2x·3 + 3

2 = 4x

2 - 12x + 9

(5x2 - 2y)

2 = (5x

2)

2- 2·(5x

2)·2y + (2y)

2 = 25x

4 - 20x

2y + 4y

2

Suma por diferencia. El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los

cuadrados.

(a + b) · (a - b) = a2 + ab - ba + b

2 = a

2 - b

2

(a + b) . (a – b) = a

2 - b

2

Ejemplos:

(2x + 3) · (2x – 3) = (2x)2 - 3

2 = 4x

2 - 9

(3x2 + 5y) · (3x

2 – 5y) = (3x

2)

2 - (5y)

2 = 9x

4 - 25y

2




1. Calcula: (a + 5 )2 = (2 + m )2 = (x + 2 y)2 = (ab + 1)2 = (2x + 3)2 = (3x3 + 4x)2 =

2. Calcula:

( a - 1)2 = ( x – 6y)2 = ( 2x - 3y)2 = ( 5 - 3b)2 = (2x2 – 3x5)2 = (3x – 3y)2 =

3. Calcula: ( a + 1)·( a - 1) = ( 5 +b )·( 5 - b) = ( 2a + b)·(2a - b) = ( 5a + 1)·( 5a - 1) =

4. Expresa en forma de igualdad notable: a2 + 2ab + b2 = (...... + .....)2 x2 + 2x + 1 =(...... + ......)2 x2 + 10x + 25 = a2 – b2 = x2 – 16 = 4x2 – 4x + 1 = 9 a2 – 30 ab + 25 b2 = 4 x2 – 36 = 16 a2 – 25 b4 =

5. Simplifica las siguientes fracciones, utilizando cuando sea necesario las igualdades notables:

11

1)

2

21)

3

12)

15

20)

2)

2

3

45

645

4

35

2

3

xx

xe

xx

xxxd

ca

cbac

yx

yxb

a

baa




3333

33)

2)

25

2510)

44

2)

2

2

22

22

2

2

2

xxx

xxi

ba

babah

x

xxg

xx

xf

OTRAS ACTIVIDADES

OPERACIONES CON MONOMIOS

1. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios:

Monomios

- 7 x y

a2 b3 x

4

3

5

4

3a

33

2

1ba

5 x2

Grado

2. Reduce:

a. 3x + 2x + x =

b. 5x2 + 2 x2 =

c. 3x – 5 + 2x + 4 =

d. x2 + x + x2 + x =

e. 3x2 – x2 + 5 – 7 =

f. 8x + x2 – 3x – x2 + 5 =

3. Quita paréntesis y reduce:

a. ( x – 1) – (x – 5) =

b. 2x + (1 + x) =

c. 6x – (3x – 8) =

d. (4x – 5) + (3x + 4) =

e. (1 - x) – (1 – 2x) =

f. (2 – 5x) – (4 – 7x) =

4. Opera y reduce:

454

323

5

68

2)

5)

26)

)

32)

4

112)

72)

bcag

yxf

xxe

xxd

xxxc

xxb

xxa




OPERACIONES CON POLINOMIOS:

5. Reduce las siguientes expresiones:

a. 2 – 5 x2 + 7 x2 – 2x + 6 =

b. (x + 1) – (x – 1) + x =

c. (2x2 – 3x – 8) + (x2 – 5x + 10) =

d. (2x2 – 3x – 8) – (x2 – 5x + 10) =

6. Quita paréntesis y reduce:

a. (5x2 -6x +7) – (4x2 – 5x + 6) =

b. (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x) =

7. Reduce:

a. 2· (5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4) =

b. 3· (x – 2) – 2 (x – 1) – (x + 1) =

c. 2· (x2 – 1) + 4 (2x – 1) – 11x =

8. Calcula:

a. 3x · (x3 – 2x + 5) =

b. (x + 2 ) · (x – 5) =

c. (x2 – 2) · (x2 + 2x - 3) =

d. (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1)

9. Reduce:

a. x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x) =

b. (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2 =

c. (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1) =

d. (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x) =

10. Calcula:

a. (15x – 10) : 5 =

b. (12x2 – 18x + 6 ) : 6 =

c. (x4 + 5 x2 – 6 x) : x =

d. (2 x4 + 5 x3) : x2 =

e. (2 x3 – 6 x2 + 8 x) : 2x =

f. (5 x3 – 10 x2 + 15 x) : 5x =

PRODUCTOS NOTABLES Y EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN

11. Desarrolla las siguientes expresiones:

a. (x + 6) 2 =

b. (3 – x)2 =

c. (8 + a)2 =

d. (ab - 3)2 =

e. (2x - 3)2 =

f. (3a - 5b)2 =

g. (3x - 5)2 =

h. (3

2- 4x)2 =

i. (x + 4 ) · (x – 4) =

j. (y - a) · (y + a) =

k. (2x + 1) · (2x – 1) =




12. Transforma cada expresión en un cuadrado:

a. x2 + 6x + 9 =

b. x2 – 10 x + 25 =

c. x2 + 2x + 1 =

d. x2 + x + 4

1=

e. 4x2 - 4x + 1 =

f. 9x2 – 12x + 4 =

13. Extrae factor común en estas sumas:

a. 5a + 5b – 5c =

b. 3a - 4ab + 2ac =

c. x2 – 2x =

d. 2x – 4y =

e. 3x + 6y + 9 =

f. 6x – 3x2 + 9 x3 =

g. 3x – 6x2 + 9x3 =

h. x2 – 10 x4 + 2x8 =

i. 6a2 b + 4ab2 =

j. 15 x4 + 5 x3 + 10 x2 =

k. 10 x3y2 – 2 x2 y + 4 y4 x =

14. Utiliza los productos notables y la extracción de factor común para descomponer en factores las siguientes expresiones:

a. x2 + 2xy + y2 =

b. 4 a2 b4 – 4 a b2 + 1 =

c. 4 x2 – 4 x + 1 =

d. 3 x3 – 3 x =

e. 6 x2 – 9 x3 =

f. 5 x2 + 10 x + 5 =

g. 4 x2 – 25 =

h. 16 x6 – 64 x5 + 64 x4 =

i. 5 x4 – 10 x3 + 5 x2 =

j. x4 – x2 =

k. 3 x2 – 27 =

l. 3 x3 – 18 x2 + 27 x =

m. x4 – 1 =

n. x4 – 2 x2 + 1 =




15. Saca factor común en el numerador y el denominador y después simplifica:

22

232

23

2

2

3

2

2

23

23

23

23

2

32

)

22)

55)

)

2

3)

32)

2

105)

96

64)

yx

yxyxh

xx

xxg

x

xxf

babb

aabae

xx

xxd

xx

xxc

x

xxb

xx

xa

16. Descompón en factores los numeradores y los denominadores, teniendo en cuenta los productos notables y la extracción de factor común y después simplifica:

xxx

xxh

x

xxg

xx

xxf

xx

xe

x

xd

yxyx

yxc

xx

xb

x

xxa

23

2

2

24

24

34

2

2

22

22

2

2

2

2

333)

3

93)

44

22)

144

12)

2

82)

2)

44

4)

1

12)

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