Hallar La Ecuación Del Lugar Geométrico
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1. Hallar la ecuación del lugar geométrico, del centro de una circunferencia que se mantiene tangente a la circunferencia x²+y²-4y-12=0 y x²+y² =1 Respuesta: 100 x²+84(y-1)² =525 Hola Identificamos El círculo C1 x^2 +y^2 = 1 de centro (0;0) y radio 1 El círculo C2 X^2 +y^2 -4y -12 = 0 de centro (0,2) y radio 4 C1 es interior a C2 Entonces, el círculo tangente debe ser siempre interior a C2, para que toque a C1 Tenemos 2 tipos de tangencias a) C1 exterior a círculo tangente. b) C1 interior a círculo tangente. Llamamos (x;y) centro del círculo tangente r radio del círculo tangente a) C1 exterior a círculo tangente. Formamos las ecuaciones Desde C1 √(x^2 + y^2) = 1 + r Desde C2 √(x^2 + (y-2)^2) = 4 - r Si sumamos √(x^2 + y^2) + √(x^2 + (y-2)^2) = 5 Podemos analizar esta fórmula de la siguiente manera. Esta es una elipse con focos en (0,0) y (0,2) y con suma de distancias constante 5 El centro se encuentra en la mitad de los focos (0;1) La elipse es de eje focal vertical con la forma x^2/b^2 + (y-1)^2/a^2 = 1 Además 2a = 5
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Geometría Analítica
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1. Hallar la ecuación del lugar geométrico, del centro de una circunferencia que se mantiene tangente a la circunferencia x²+y²-4y-12=0 y x²+y² =1 Respuesta: 100x²+84(y-1)² =525
Hola
Identificamos El círculo C1 x^2 +y^2 = 1 de centro (0;0) y radio 1
El círculo C2 X^2 +y^2 -4y -12 = 0 de centro (0,2) y radio 4
C1 es interior a C2 Entonces, el círculo tangente debe ser siempre interior a C2, para que toque a C1
Tenemos 2 tipos de tangencias a) C1 exterior a círculo tangente. b) C1 interior a círculo tangente.
Llamamos (x;y) centro del círculo tangente r radio del círculo tangente
a) C1 exterior a círculo tangente. Formamos las ecuaciones Desde C1 √(x^2 + y^2) = 1 + r Desde C2 √(x^2 + (y-2)^2) = 4 - r Si sumamos √(x^2 + y^2) + √(x^2 + (y-2)^2) = 5
Podemos analizar esta fórmula de la siguiente manera. Esta es una elipse con focos en (0,0) y (0,2) y con suma de distancias constante 5 El centro se encuentra en la mitad de los focos (0;1) La elipse es de eje focal vertical con la forma x^2/b^2 + (y-1)^2/a^2 = 1
Además 2a = 5 a = 5/2 c = 2-1 = 1 b = √((5/2)^2 - 1) = √((25/4) - 1) = √21/4
Ecuación (x^2/(21/4)) + ((y-1)^2/(25/4)) = 1 Desarrollamos (25/4) x^2 + (21/4) (y-1)^2 = (25/4)*(21/4) 100 x^2 + 84 ( y -1)^2 = 525 100 x^2 + 84 y^2 - 168 y + 84 = 525
100 x^2 + 84 y^2 - 168 y - 441 = 0 ============================== b) C1 interior a círculo tangente. Formamos las ecuaciones Desde C1 √(x^2 + y^2) = r - 1 Desde C2 √(x^2 + (y-2)^2) = 4 - r Si sumamos √(x^2 + y^2) + √(x^2 + (y-2)^2) = 3
Podemos analizar esta fórmula de la siguiente manera. Esta es una elipse con focos en (0,0) y (0,2) y con suma de distancias constante 3 El centro se encuentra en la mitad de los focos (0;1) La elipse es de eje focal vertical con la forma x^2/b^2 + (y-1)^2/a^2 = 1
Además 2a = 3 a = 3/2 c = 2-1 = 1 b = √((3/2)^2 - 1) = √((9/4) - 1) = √5/4
Ecuación (x^2/(5/4)) + ((y-1)^2/(9/4)) = 1
Desarrollamos (9/4) x^2 + (5/4) (y-1)^2 = (9/4)*(5/4) 36 x^2 + 20 ( y -1)^2 = 45 36 x^2 + 20 y^2 - 40 y + 20 = 45 36 x^2 + 20 y^2 - 40 y - 25 = 0 ==============================
2. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes al eje Y, y que pasa por (1,0)Respuesta: y² =2x-1
