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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I
APNDICE
HERRAMIENTAS MATEMTICAS PARA EN ANLISIS
MICROECONMICO.1
En general, los economistas usan, al igual que todos los
profesionales, herramientas de trabajo comunes a su ciencia. Y
normalmente, las ciencias operan usando como herramientas los modelos.
Un modelo es un marco analtico para entender algn fenmeno que lo
simplifica, con el objeto primordial de entender el fenmeno en sus partes
esenciales, de manera de tal de describirlo y poder predecir sobre el mismo.
Muchas veces (quizs Ud. crea demasiadas), los economistas utilizan
los modelos matemticos para explicar los fenmenos econmicos. Esto no
tiene ningn afn de complejizar excesivamente un asunto, sino todo lo
contrario: Especificando un par de ecuaciones de comportamiento, haciendo
los supuestos necesarios sobre las variables, y usando el razonamiento
matemtico y lgico, podemos llegar a conclusiones generales sobre
fenmenos econmicos importantes debidamente tipificados.
Este Apndice de Herramientas matemticas usadas en el anlisis
econmico pretende sintetizar el conjunto de conocimientos matemticos
que el estudiante del curso Microeconoma I debe manejar para trabajar con
los modelos estudiados en el curso. (Modelo de la eleccin del consumidor,
modelo de eleccin de los insumos, la produccin, modelos de equilibrio
parcial, modelos de monopolio, etc).
1El Siguiente apndice es un resumen de muchos de los conceptos explicados (Nicholson, 2002),
captulo 2: las matemticas de la optimizacin. Tambin se usan definiciones y explicaciones deconceptos extrados de (Alpha Chiang, 2006). as como algunas explicaciones e interpretaciones de(Frank Ayres, 1991). En los casos en que las definiciones sean extradas textuales; se citar a los autorescorrespondientes, en caso de no hacerlo, corresponde a una interpretacin de los docentes a cargo deeste trabajo, y cualquier error, u omisin ser atribuible a los mismos y no representa las intenciones deUniversidad de las Amricas.
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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I
I. Desde la variable econmica al modelo econmico.
Una variablees algo cuya magnitud puede cambiar, es decir algo que
puede tomar valores diferentes (Alpha Chiang, 2006). Las variables de Uso
comn en este curso sern:
Usualmente, representaremos estas variables con letras, o smbolos; por
ejemplo:
=
=
=
) : = {,, ({.
los precios de los bienes,
las cantidades producidas por empresas,
las cantidades demandadas por
consumidores,
el ingreso obtenido por los consumidores,
el beneficio o ganancias- obtenidas por los
productores, sus costos,
y un gran etc.
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Lo que se lee como que La utilidad que estamos analizando es la obtenida
por el i-simo consumidor quin es este consumidor?, uno de todos los
consumidores de este mercado que pueden ser el consumidor 1 ( ),
consumidor 2 (), el consumidor i (), hasta el n-simo (el ltimo)
consumidor ().
Un Modelo econmico, normalmente2es unconjunto de ecuaciones que
representan una explicacin de un fenmeno econmico, ests ecuaciones
estn compuestas por Variables y parmetros. Durante este curso usaremos
muchos modelos matemticos que representaran fenmenos econmicos,
los modelos matemticos pueden ser Uni-ecuacionales (si tienen slo una
ecuacin que describe el modelo), o multi-ecuacionales (si tienen un
conjunto de ecuaciones que describen el modelo). Las ecuaciones a su vez
tienen variables, hablemos un poco ms de ellas.
Existen, a nivel general dos tipos de variables:
Variables Endgenas: que son aquellas variables que el modelo
intenta explicar y /o predecir y
Variables Exgenas, que son variables que usamos para introducir
en el modelo con el objetivo de explicar a las variables endgenas.
Lo anteriormente dicho podemos esquematizarlo a travs del siguiente
diagrama de sistema de entrada y salida:
2Existen modelos econmicos que no usan ecuaciones, sino diagramas, o simplemente palabras. Un
ejemplo de este tipo de modelos es el modelo de flujo circular de macroeconoma (Vase tambin(Mankiw, 2009), captulo 2: pensar como un economista)
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Donde observamos que como inputs tomamos un conjunto de variables
exgenas, tales como los precios y los ingresos; y las relacionamos
(generalmente en ecuaciones -procesadores- como la funcin de utilidad,
la funcin de gasto) con variables endgenas como las demandas, y la
utilidad obtenida del consumo, con el objetivo de predecirlos valores de
salida u outputs que ests variables endgenas tomarn.
Aplicacin Econmica: La restriccin presupuestaria.
En los modelos econmicos intervienen muchas ecuaciones; como
por ejemplo en la Teora del consumidor, la siguiente ecuacin, conocida
como restriccin de presupuesto; que nos dice en palabras que lo que una
persona gasta en dos bienes cualesquiera, debe ser igual a lo que esa
persona gana. Por eso es una restriccin, porque estamos restringiendo los
valores de demanda de los bienes(valorando su cantidad en trminos
monetarios, lo que significa multiplicndola por su precio). Por ejemplo:
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Y tenemos que cada smbolo utilizado representa:
Entonces la parte a la izquierda del igual en la ecuacin me dice
que de ese lado estaremos explicando el gasto. Es decir la cantidad
demandada de cada bien al precio del mismo (el gasto en el bien).
Entonces, la suma del gasto es todos los bienes (en este caso simplificamos
a slo 2 bienes) debe ser igual al ingreso (que es lo nico que hay en la
parte derecha de la ecuacin). Adems de las variables cantidad de cada
bien, precios e ingreso, en esta ecuacin aparecen dos nmeros que
conocemos como parmetros o constantes.
Diremos que:
Un parmetro o constante, es una magnitud que no cambia, y por
lo tanto es lo contrario la anttesis- de una variable. Adems,
normalmente los parmetros le dan un cierto comportamiento o
forma a cada una de las funciones con las que trabajaremos.
En el ejemplo anterior, de la restriccin presupuestaria, los
parmetros son 2, y 8, e indican que el precio de ser siempre
4 veces el precio de .
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II. Repaso sobre Funciones
Qu es una funcin?
Una funcin es la herramienta matemtica que se usa para entablar una
relacin entre dos o quizs ms- variables. Como hemos dicho, las
variables se denotan con letras y subndices, y generalmente una funcin se
denota con:
Lo cual nos dice que la letra Y es funcin de la letra X. Y se lee como que Y
es funcin de X. Es decir, las funciones se denotan diciendo que una
variable es funcin de otra a travs de un smbolo = sumado a una letra
(generalmente la letra ) que indica la forma funcional que relaciona o
mapea a estas variables. En la terminologa de funciones se indica que el
conjunto de valores que puede tomar la variable se llama dominio de la
funcin. Mientras que la cantidad de valores que puede tomar la variable
se llama recorrido de la funcin. Por otro lado cada relacin especfica entre
un (pre-imagen) y su respectivo (imagen) es un punto, o par ordenado
que pertenece a la funcin, o al conjunto de valores definidos por la funcin.
Ejemplo: Si sabemos que la nota que se saca una persona es una variable
continua (es decir que toma infinitos valores entre 1 y 7 recorrido-), y que
est relacionada con las horas de estudio que esta persona dedica, que
tambin es una variable continua (toma infinitos valores entre 0 horas y 84
horas como mximo dominio-) Lo podemos hacer mediante una funcin,
que nos diga que la Nota del i-simo alumno, es funcin de las horas
de estudio de ese i-simo alumno, matemtica o formalmente:
= ()
= ()
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Recordemos que la letra nos dice que hay una relacin entre las
variables, pero no especifica cul relacin, sino que lo deja abierto a miles
de posibilidades, es decir a todas las posibilidades. La forma que toma cada
una de stas relaciones, ser siempre un tipo distinto de funcin
matemtica. Normalmente, se usan distintas relaciones funcionales, muchas
veces entre las mismas variables, con el objetivo de representar que esas
variables se estn relacionando de una forma en particular y precisa. Esto
nos llevar a estudiar las distintas funciones matemticas conocidas, y
observar que aplicaciones tienen en la economa.
III. Tipos de Funciones
Funcin Constante.
La funcin cuya imagen es siempre es siempre el mismo elemento
o tiene el mismo valor numrico, se conoce como funcin constante; y por
ejemplo tenemos la funcin
() = 7
Que se puede expresar de forma alternativa como , o .
Aplicacin Econmica: Costos Marginales Constantes.
Una aplicacin econmica que usaremos a menudo de las funciones
constantes son las funciones de costos marginales constantes. Recuerde
de su curso de introduccin a la Economa, que el costo marginal para
determinada empresa es el incremento en los costos totales, derivados
de un aumento marginal o unitario- en la cantidad producida, o
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Si consideramos una gran empresa de comida rpida, que vende
sus productos (hamburguesas, papas fritas y bebidas) a lo largo del
mundo entero, y en cantidades gigantescas, tranquilamente podemos
suponer que dada su organizacin y tecnologa; producir una
hamburguesa en el mercado interior de Santiago le supone un costo
constante de 1, 6 dlares. O sea un dlar y 60 centavos.
Si quisiramos representar esto matemticamente cmo lo
haramos?
La respuesta es usando una funcin que muestre que el costo
marginal de producir una hamburguesa en Santiago es 1.6 us$.
Para esto, usamos la notacin anterior del costo marginal, pero ya que
sabemos que son hamburguesas, reemplazamos la notacin , e
igualamos esta expresin del costo marginal al valor constante 1.6 us$
= 1= 1.6
Grficamente, las funciones constantes como sta, producen una
recta horizontal
Funcin Lineal, o Ecuacin de la Recta.
Normalmente, usamos la ecuacin de la recta cuando queremos
una funcin que describa que la relacin de cambio entre las variables es
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siempre la misma. Dicho de otra forma cada vez que la variable
independiente aumente en una determinada cantidad, podemos predecir
sin ningn problema, el valor que tendr .
Donde
Se conoce con este nombre, ya que como muestra la figura anterior (en
varias ocasiones) la grfica que esta relacin indica es una lnea recta.
La siguiente
ecuacin
Se conoce como
Ecuacin de la
Recta
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El primer componente es el Intercepto o coeficiente de posicin que nos
muestra grficamente dnde la recta intercepta al eje de las abscisas, su
interpretacin prctica, usada en economa a menudo, es que nos dice
cunto vale la variable dependiente, si la variable independiente es cero.
Para explicar su otro nombre (coeficiente de posicin)vase en la figura
siguiente, para un intercepto , la recta tendr unaposicin en el plano,
pero si el intercepto llegase a ser , la posicin de la misma recta (o
sea con la misma pendiente, lo que las hara paralelas) en el plano sera
ms alta. Por lo tanto este trmino constante le da su posicin en el plano a
cualquier recta. Grficamente
La pendiente: Un asunto ms tcnico, pero de suma importancia.
La inclinacin de una rectase mide por un nmero llamado
pendiente de la recta, representado en la funcin de ecuacin de la recta
anteriormente mostrada por la letra .En la figura anterior, las dos rectas
tenan la misma pendiente, por eso son paralelas. Veamos cmo se calcula
la pendiente.
Sea una recta y ()) dos puntos
cualesquiera en ella. La pendiente de la recta y que se
define como
es un cociente entre el cambio que sufre la variable
dependiente, dividido en el cambio que sufre la variable independiente.
Este cociente, la pendiente, tambin se conoce como razn media de
cambio, y que se puede representar anlogamente como .
Veamos lo anteriormente dicho en la grfica del primer cuadrante
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Recta
En este caso es positivo puesto que cuando aument
tambin lo hizo y un nmero positivo dividido en otro positivo darn sin
lugar a dudas un nmero positivo. En estos casos, al ser la pendiente
positiva, decimos que existe una relacin directa entre las variables, o
sea a medida que va aumentando en los nmero reales (nos movemos
hacia el este.), tambin lo hace (nos movemos hacia el norte).
Entonces de forma general el valor de , la pendiente, nos dice cunto
aumenta (caso m>0), o disminuye (caso ) la variable dependiente
cuando la variable aumenta en una unidad.
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Aplicacin Econmica de contenidos: Rectas dedemanda y oferta.
En este modelo intentamos representar dos fuerzas que mueven a
la economa. La primera es la fuerza que mueve a las personas a comprar
determinados productos sobre los que tienen preferencias (Demanda) y la
otra es la fuerza que mueve a los productores de cada uno de esos
determinados productos a venderlos en un determinado mercado al precio
aceptado y conocido por todos (Oferta).
De esta forma, estas fuerzas pueden ser cuantificadas como las
unidades de productos comprados/vendidos por cada integrante del
mercado. Esto sera la demanda individual; pero podramos sumar las
cantidades compradas por todos los consumidores de este mercado a cada
uno de los distintos precios posibles existentes, y considerar esto como la
demanda del mercado. Por otro lado, se pueden sumar las distintas
cantidades vendidas por cada productor individual a cada uno de los precios
antes mencionados y considerar esto como la oferta del mercado.
Tenemos la siguiente tabla, que resume la informacin respecto de
la oferta y demanda en un mercado de helados de agua:
PRECIO DEMANDA OFERTA0 20 05 16 010 12 415 8 820 4 1025 2 1230 0 14
Lo que haremos ser usar una funcin, para representar como
depende la cantidad demandada/ofertada del precio al que se vende
Usaremos los conocimientos aprendidos hasta ahora sobre las
funciones, los parmetros, las variables y las rectas, para estudiar un
modelo analtico que seguramente Ud. ya debe haber conocido, que es
el modelo de Oferta y Demanda.
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esa cantidad demandada/ofertada. Estas funciones se conocen como
Funciones de oferta y demanda.
Formalmente:
Funcin de demanda: ()
Funcin de oferta inversa: ()
Suponemos que existe una relacin Lineal entre las cantidades
(demandadas y ofertadas)y el precio. Pero invertimos la relacin para poder
expresar las cantidades en el eje de las abscisas, y el precio en el eje de las
ordenadas. De esta forma, aplicando a la forma funcional la frmula
general de la ecuacin de la recta:
; Donde
= +
( )
) )
El problema: Queremos encontrar la forma de representar
las funciones de oferta y demanda en el primer cuadrante
del plano cartesiano (slo puede haber precios y cantidades
positivas). Por lo cual, debemos construir dos funciones
lineales (rectas) que nos digan que la cantidad
demandada/ofertada de un bien, depende
(linealmente) del precio del bien en cuestin.
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Usamos el hecho de que conociendo dos puntos cualquiera de la recta
podemos conocer su pendiente; y que una vez conocida esta, mediante
lgebra podemos obtener el valor del intercepto.
La frmula para la pendiente es:
=
;
Tanto para la cantidad ofrecida, como para la demandada, por eso los supra
ndices "d"y subndices "o" .
Y encontramos n reemplazando o evaluando cualquier punto de los
conocidos sobre la funcin lineal, con pendiente conocida.
Eligiendo para la demanda dos pares ordenados
(10; 12), (25; 2)
Y para la oferta
(10; 4), (25; 12)
Obtenemos las pendientes, para la demanda:
=
=
Y para la oferta:
=
=
Ahora que conocemos la pendiente, y el intercepto para cada curva, las
expresamos como lo hemos hecho usualmente, pero debemos invertirlas
porque necesitamos saber cmo depende la cantidad demandada del
precio, ese era el problema inicial:
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Una vez encontradas las funciones de oferta y demanda podemos
igualarlas, para as encontrar lo que en la teora econmica se conoce como
el equilibrio parcial del mercado, y que consiste en un par
ordenado que satisfaga la condicin de equilibrio, o vaciado del
mercado. Pero eso es objeto del curso de la lnea de economa anterior a
ste.3
Funcin Cuadrtica.
Anteriormente, hemos usado los conocimientos aprendidos sobre la
ecuacin de la recta para mostrar una aplicacin concreta al campo de la
Economa a travs de las funciones de oferta y demanda; no obstante, las
relaciones lineales rara vez se dan en la realidad, y a pesar de que
normalmente usaremos funciones lineales, en algunos casosestrictamente
necesarios tendremos que utilizar otras formas funcionales adecuadas para
cada problema, una de stas ser la funcin cuadrtica. Sobre la que nos
detendremos un poco.
3Si quiere ver una referencia ms detallada y explicativa sobre este tema, vase (Mankiw, 2009),
captulo 4: El funcionamiento de los mercados: las fuerzas de la oferta y la demanda.
= ,
=
=
.+
.
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Las funciones cuadrticas, al igual que la funcin lineal
anteriormente estudiada, son casos particulares de otra funcin general,
que es la funcin polinomial, incluso la funcin constante tambin lo es.
La funcin polinomial general de una variable , es la funcin que
relaciona la variable con la variable de la siguiente manera
Donde si nos fijamos, el primer ndice de cada constante coincide con el
exponente de la variable y esto no es coincidencia, puesto que el objetivo
es diferenciar cada parmetro, mediante la identificacin de la potencia de
a la que acompaa. Ntese que el primer parmetro es el que acompaa
a la variable con exponente0, pero recuerde que:
Para todo , siempre se cumple que = 1,y adems: X
Para cada funcin polinomial, decimos que el exponente ms
grande que la funcin tiene nos determina el grado de la funcin. Para la
funcin polinomial general anteriormente descrita, el grado de sta es .
Para la funcin , el grado es 1. Si observamos bien, esta es la
funcin lineal, debido a que cualquier nmero elevado a 1 es el propio
nmero, sera el intercepto, sera la pendiente.
La funcin cuadrtica es aquella donde el mayor exponente al
que est elevada la variable independiente es 2, es decir
Al igualar esta funcin a cero, obtenemos la ecuacin cuadrtica, que es
aquella ecuacin que nos servir para obtener los ceros o races soluciones
de la ecuacin.
= 0
Es necesario, antes de proseguir, hacer un pequeo cambio de
notacin, llamaremos a cada parmetro, con una letra distinta, para
incluirlos en una frmula, recordemos que esto no cambia en nada ni la
ecuacin, ni el problema que estamos intentando resolver solamente es un
cambio de etiqueta en la ecuacin, pura cosmtica.
Entonces, en la frmula
= 0 , ordenaremos los
elementos desde el que tenga mayor potencia, al que tenga menor, de la
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siguiente forma
ax + ax
+ a = 0
Y luego cambiamos las etiquetas de las constantes por las letras
del abecedario en el orden de la mayor, a la menor potencia, por tanto la
ecuacin cuadrtica queda representada por
La ventaja de la expresin , es que al igualarla a cero,
existe el mtodo algebraico conocido como la frmula cuadrtica que nos
da las soluciones o races del problema
:
Dnde la parte + del signo produce , y el del signo produce
.
Ntese que:
Si
Es decir, si el discriminante es cero, los dos valores soluciones sern
los mismos.
Si
.
Es decir, si el discriminante es negativo, los valores solucin no
existirn en los reales.
Si
.
Es decir, si el discriminante es positivo, los dos valores soluciones
diferirn. Y este es el caso que normalmente nos interesar en economa.
/
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Aplicacin Econmica: Equilibrio de mercado parcial: unmodelo no lineal4.
Supngase que la demanda clsica de forma lineal en el modelo de
equilibrio del mercado parcial (anteriormente analizado como modelo de
oferta-demanda), por una funcin de demanda cuadrtica, mientras que
seguimos considerando una funcin de oferta lineal. Tambin, utilcense
coeficientes numricos en vez de parmetros. Entonces tenemos un
modelo representado por las siguientes ecuaciones:
Como se mencion anteriormente, este sistema de ecuaciones se
puede resolver para encontrar el Equilibrio Parcial del Mercado.
`Para esto utilizamos las ecuaciones antes mostradas, y resolvemos el
sistema.
Cmo procedemos?
La primera ecuacin nos dice que demanda y oferta deben
ser iguales.
La segunda y tercera ecuacin ; . Describen
la relacin entre demanda y precio, y la oferta y el precio,
respectivamente
Por lo tanto podemos igualar la segunda y tercera
ecuaciones, lo que significa que estamos haciendo uso de la
primera.
=
Y es una ecuacin cuadrtica, por lo que podemos usar la
frmula cuadrtica para resolver para .
Podemos ver que: . Por lo tanto usando la frmula
cuadrtica:
4Este ejemplo ha sido extrado en su totalidad de el pargrafo 3.3 del captulo 3 de (Alpha Chiang, 2006)
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=
=
= 1, 5 , pero ya que no existen precios
negativos, el valor admitido es es el precio de equilibrio. Lo que nos
indica a su vez que la cantidad de equilibrio = 3.
IV. Concepto de derivada y su aplicacin econmica.
Incremento
El incremento de una variable es el cambio en cuando crece
o decrece desde un valor hasta otro valor en su dominio (todos
los posibles valores que puede llegar a toma la variable . De ah que
, y podemos escribir .
Por otro lado, si la variable es funcin de la varaible ) ).
Cuando la variable experimenta un incremento a partir de (esto
significa que cambia desde a ), este cambio, conllevar que
la funcin tambin cambie, en el siguiente incremento ) ) )
a partir de ).
Estamos entonces en condiciones de definir el cociente razn
media de cambio, que anteriormente habamos conocido como la pendiente
de una funcin
=
; no obstante, la razn media de cambio,
nos entrega la variacin de frente a las varaiciones de en trminos
unitarios. Y si por ejemplo,
;y me interesara saber, no
solamente cunto cambia el consumo de las familias chilenas por ao, sino
tambin por mes, o por minutos, etc. A veces, los economistas, necesitan
analizar incluso hasta el ltimo peso gastado, o incrementado.
La escuela marginalista de la economa, es una escuela que ha
incorporado en el campo analtico de la economa moderna el concepto de
pensar en trminos marginales, debido al supuesto de que las personas
racionales, piensan y toman sus decisiones en trminos marginales.5 Por lo
tanto, muchas veces, se hace necesario, introducir en el anlisis
herramientas que reflejen esta minuciosidad a la hora de trabajar con los
5(Mankiw, 2009) Captulo 1.
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datos econmicos. Este espacio terico lo viene a llenar el concepto de
derivada. Esto debido a que; si manipulamos esta razn de cambio
,Pero
la consideramos no cuando los cambios de la variable son unitarios, sino
cuando son muy pequeos, lo ms pequeos que pudisemos llegar a
imaginar. De esta manera la frmula para la derivada en un punto .
lim
=
())
; Que quiere decir que analizamos el cociente
de la razn media de cambio de respecto de , pero cuando este ltimo
vara en una variacin tan pequea, que sta tiende a cero(la variacin ms
pequea que podramos imaginar). Llamamos a esta variacin
infinitesimal (infinitamente decimal, infinitamente pequea).
Este es el objetivo, analizar una razn instantnea de cambio.Y
esto lo haremos a travs de la funcin derivada.
Esta funcin (que en breve mostraremos cmo se obtiene), lo que
hace es aproximar una recta tangente que une las dos coordenadas que
estamos intentando analizar, coordenadas que nos hablan de una razn de
cambio6. Dicho de otra forma, la derivada nos entrega la pendiente que
tiene la recta tangente al punto que estamos analizando, y por tanto
la pendiente de nuestra funcin en algn punto en particular,
especficamente, en el punto que evaluemos la funcin, por ejemplo
.
Geomtricamente.
6Ntese que sta razn de cambio es instantnea, es decir, los dos puntos que analizamos son tan
prximos, que no podramos distinguirlos al ojo humano, ni dibujarlos en Word; pero el dibujo quemostraremos a continuacin, debe interpretarse como una imagen tomada con un telescopio.
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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I
A pesar de que las reglas y procedimientos para obtener una
funcin derivada de otra funcin, son bastante complejos, y podran dar
para todo un curso de clculo diferencial e integral, en este caso haremos
un breve y simple descripcin de las principales reglas de derivacin que
usaremos en este curso. Siempre hay que tener una sola cosa clara en
nuestros ejercicios: cuando sacamos una derivada, estamos analizando
cmo cambia la funcin, o el valor que toma la imagen , cuando la
preimagen cambia en una variacin muy pequea, es decir estamos
obteniendo la pendiente de la funcin en ese punto.
Reglas de derivacin.
A continuacin, presentaremos las frmulas ms usadas para la
derivacin en Microeconoma, con una breve explicacin, para luego hacer
un par de ejemplos, puramente matemticos. Y luego, como es costumbre,
pasar a la aplicacin econmica.
El proceso mediante el cul calculamos la derivada de una funcin
se llama derivacin. Las que se mencionan a continuacin son las frmulas
elementales. Para poder enunciarlas, debemos hacer las siguientes
suposiciones: () () , es decir Son funciones
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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I
diferenciables7 de y , son constantes, o parmetros que pueden llegar
a intervenir en stas funciones.
Las Reglas:
Esta primera regla nos dice que si estamos derivando cualquier
funcin de , como , y en algunas de ella aparece una constante ,
la derivada de esta constante ser 0. Esto se aplica al ejemplo de la funcin
constante que vimos anteriormente:
Ejemplo
Si
= 0
La regla n 2 nos dice que si estamos derivando una funcin
con respecto a la variable ; la derivada de la variable elevada a la
potencia 1, ser siempre el nmero 1.
Ejemplo
(0) + (1) + (0)
En este caso, mezclamos la regla 1 y la regla2. Por la regla 1, la
derivada de 9 es 0, y puesto que = 1, su derivada tambin es 0.. Por otro
7Una funcin es diferenciable cuando podemos calcular su derivada. Este supuesto es casi obvio, pero
existen ciertas funciones que no lo cumple, y estamos diciendo que no son, ni representanninguna de esas funciones.
1.
( ) = 0.
2.
() = 1.
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lado, la derivada con respecto a la propia . Al sumarlas, tenemos que
finalmente
.
Esta regla nos dice que la derivada de una suma de funciones de la
variable , es la suma de las derivadas individuales de cada funcin.
En el ejemplo anterior se uso esta regla. Como se ve, muchas
veces las reglas de derivadas no son excluyentes, sino que se aplican a la
par con otras reglas.
Esta regla, conocida como la derivada de una constante, nos dice
que si una funcin de se est multiplicando por alguna constante , esta
constante se mantiene inalterada en la derivada.
Ejemplo
= 0 + 2
= 2.
La quinta regla, conocida como regla del producto. Nos dice que si
tenemos, dos funciones cualesquiera de . La derivada del producto de
stas funciones ser la suma entre la primera funcin no derivada
multiplicado por la derivada de la otra funcin
ms la derivada de la
otra funcin
por la segunda funcin sin derivar .
3.
+) + ) =
() +
() +
( ).
4.
( ( =
.()
5.
() =
() +
.()
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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I
Esta regla es slo una extensin de la anterior.
Esta regla nos dice que si cualquiera de nuestras funciones ,)
est multiplicada por la constante
, la derivada de esta expresin ser
la constante por la derivada de la funcin.
Esta regla, conocida como regla del cociente, tiene una
construccin bastante parecida a la regla del producto, excepto que
como es una divisin, los trminos se restan y se dividen por
denominador al cuadrado.
Esta regla conocida como regla del exponente, nos dice que si
queremos la derivada de la variable elevada a cualquier exponente ,
debemos multiplicar la variable por este exponente m, y restarle uno al
nuevo exponente de la variable.
Ejemplo
Vemos que aqu, primero utilizamos la regla de la constante, y el 2
se mantiene en la derivada, luego el exponente de en la funcin (4)
baja multiplicando ( ), y la variable queda elevada al exponente
menos uno (4 1 = 3).
6.
() =
() +
() +
.()
7.
=
,() 0.
8.
=
()
()
, 0.
9.
) ) = .
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Cuadernillos de apoyo pedaggico Microeconoma I
La ltima regla aqu descrita es una extensin de la regla del
exponente antes mostrada, y nos dice que si ahora tenemos una
funcin,, de la variable , que tambin est elevada a un exponente .
En este caso, el exponente tambin baja a multiplicar a la funcin tal
cual, quedando la funcin elevada a una potencia menor. Finalmente
debemos multiplicar esto por la derivada de la funcin .
Ejemplo
= 4( ( .
Aplicacin econmica: Utilidad marginal yProductividad marginal.
I. Si tenemos la siguiente funcin de utilidad , que nos representa las
preferencias de un individuo sobre dos bienes, :
Y suponemos adems, que el consumo del bien es constante e igual a 4.
Obtenga la derivada de
e interprtela.
Solucin
En primer lugar, reemplazamos el consumo de la variable , que se
ha mantenido constante en 4. Y la funcin se transforma en
10.
) ) =
.()
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Observamos que para calcular la derivada, deberemos aplicar tanto la regla
2 como la regla 9:
=
4 +
II. Suponga que la curva de demanda inversa de un monopolio es
. Adems, por el curso de introduccin a la economa
sabemos que los Ingresos totales para cualquier empresa
representativa (incluso un monopolio) ser .
Obtenga la funcin de ingreso marginal de este monopolio.
Recordemos que si los ingresos totales estn definidos como
, y segn la curva de demanda inversa del mercado tenemos la
siguiente expresin para , entonces los ingresos totales sern
re/definidos como :
( )
Y por nuestro curso de introduccin a la economa, sabemos que
los ingresos marginales son cunto aumentan (o varan) los ingresos totales
cuando la cantidad vendida del bien , aumenta en una unidad. Podemos
aproximar este cambio mediante la derivada
, pero debemos aplicar
la regla del producto, puesto que tenemos dos funciones de , el precio, y
la constante
= ( )(1) + ()(2)